椭圆大题——含答案

1.已知椭圆M ：

=1（a >b >０)的离心率为

,焦距为2

.斜率为k 的直线l 与椭圆Ｍ有两个不

同的交点A ，Ｂ.(Ⅰ）求椭圆M 的方程;（Ⅱ）若k ＝１，求｜ＡB |的最大值;

2.设椭圆E 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，

,点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段A Ｂ上,满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510

． (I ）求E 的离心率ｅ；

(I Ｉ）设点C 的坐标为()0b -，

,Ｎ为线段AC 的中点，点N 关于直线ＡB 的对称点的纵坐标为7

，求 E 的方程.

３. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b

的左焦点为(,0)F c -,3

，点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM

被圆42

b x y

截得的线段的长为c,3

|FM|=3.

(I)求直线FM 的斜率;（II ）求椭圆的方程;

４．已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ,原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为1

c ．

(I ）求椭圆E 的离心率;

（II ）如图，AB 是圆:M ()()2

212

x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ,B 两点，求椭圆E 的方程．

5．已知斜率为ｋ的直线l 与椭圆C:+=１交于A,B 两点,线段AB 的中点为M(1,ｍ）(m ＞0）．(1)

证明:ｋ<﹣;

(2）设F 为Ｃ的右焦点,P 为Ｃ上一点,且++=,证明：2||＝||+｜|.

答案

1．【解答】解：(Ⅰ)由题意可知：2c=2，则ｃ=,椭圆的离心率e==，则ａ＝,

ｂ2=a2﹣c２=1，∴椭圆的标准方程：；

(Ⅱ）设直线AB的方程为:ｙ=ｘ+m，A（ｘ1，y1），B(x2，y2),

联立，整理得:４ｘ2+6ｍx+３ｍ2﹣3=０,△=（6m)２﹣4×４×3(m2﹣1）＞０，整理得:m2

＜4，x1＋x2=﹣，x１ｘ2＝,∴｜AB｜==，

∴当m=0时，|AB|取最大值,最大值为；

２．【答案】(Ｉ）25

；（IＩ)

459

x y

+=.

３.【答案】(Ｉ）

; (IＩ)

x y

+=;

【解析】(I) 由已知有

=,又由222

a b c

=+，可得22

a c

=,22

b c

=，

设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+,由已知有

22c b ??????+= ? ?

????

，解得k = (II ）由（I)得椭圆方程为22

22132x y c c +=,直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得

223250x cx c +-=,解得5

3x c =-或x c =,因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为c ?? ??

?，由

3FM ==

，解得1c =,所以椭圆方程为22132x y +=

4.【答案】（Ｉ)2;（I Ｉ)

221123

x y +=. 试题解析:（I ）过点(),0c ,()0,b 的直线方程为0bx cy bc

，则原点O 到直线的距离

d a

, 由1

c ，得2222a b a c ，解得离心率

c a . （I Ｉ）解法一:由（I)知，椭圆E 的方程为2

2244x

y b ． (1) 依题意,圆心()2,1M -是线段AB 的中点,且|AB |10.

易知,AB 不与x 轴垂直,设其直线方程为(2)1y

k x ,代入（1)得

2222

(14)8(21)4(21)40k x k k x k b

设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22

8(21)

4(21)4,.1414k k k b x x x x k k

由1

4x x ，得

8(21)4,14k k k 解得1

.从而21282x x b .

于是12|AB ||x x =-=

=由|AB |

10,2

2)10，解得2

.故椭圆E 的方程为

21123

x y .

解法二:由（I)知,椭圆E 的方程为2

2244x

y b . （２)

5.【解答】解：(1)设A(x１,y1），B（x2，y２)，∵线段AB的中点为M（１，m)，

∴x

１

+ｘ2=2，y1+ｙ2=２m将A,B代入椭圆C：＋=1中，可得,

两式相减可得，3(x

１+x

２

）(ｘ

１

﹣ｘ2）＋4（y1＋y2）(ｙ1﹣y2)＝0,

即6(x1﹣ｘ2）+8m（y1﹣y２)=0,∴k==﹣＝﹣

点M(1，ｍ）在椭圆内，即，解得0<ｍ∴.（2)证明：设A(x1,y1）,B（x2，y2),P（x3，y3)，可得ｘ1+x2=２

∵＋+=,F（１，０),∴x

１﹣1+ｘ

２

﹣1+x3﹣１＝0,∴x３=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=ａ﹣ex1＝2﹣ｘ1，|FＢ|=２﹣x2,|ＦＰ|=2﹣x3=．则|FＡ|+|FB|=4﹣,∴|FA|+|FＢ｜=2|FＰ｜,

高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1)

椭圆题 1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、已知1 F 、2 F 是两个定点，且4 2 1=F F ,若动点P 满足4 2 1 =+PF PF 则动点P 的轨迹是（） A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、线段 3、已知1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1 F P 到Q ,使得2 PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、点 4、已知1 F 、2 F 是平面α内的定点，并且) 0(22 1>=c c F F ，M 是α 内的动点，且a MF MF 221 =+,判断动点M 的轨迹. 5、椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1 F 的距离为2，N 为1 MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。 6、若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围. 7、轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件

8、已知方程 11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 . 9、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 10、方程2 31y x -= 所表示的曲线是 . 11、如果方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 12、已知椭圆0 6322 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 13、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点) 2,3(),1,6( 21 --P P ,求椭圆方程. 15、以)0,2(1 -F 和)0,2(2 F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为。 16、如果椭圆：k y x =+22 4上两点间的最大距离为8，则k 的值为。 17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆 36 94:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C

椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆练习题1 A组基础过关一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1

解析依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．

椭圆典型题型归纳(供参考)

椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；练习： 1.6=对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>

高中数学椭圆经典例题(学生+老师)

（教师版）椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．

例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得．故．例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标

高中数学椭圆大题之向量综合

高中数学椭圆大题之向量综合题型一：单一共线型例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当?? ? ???∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围. 例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆13 22 =+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMF OME S S ??= λ，求λ的取值范围.

练1、椭圆12322 22=+c y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率. 练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆13 22 =+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若F F 215=，求点A 的坐标.

题型二、点在曲线上例1、已知椭圆2 2 2 33b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且 OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值. 练1、椭圆C:12 32 2=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有 +=成立？若存在，求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.

练2、设动点P 满足OM 2+=，其中M,N 是椭圆C:12 42 2=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为2 1 - ，求P 的轨迹.

椭圆练习题大题含详细答案

高中椭圆练习题一、选择题： 1.下列方程表示椭圆的是（） A.22 199x y += B.2228x y --=- C. 22 1259 x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.椭圆2222 222222 222 11()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线 D ．有相同的焦点 5.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（） A.3 B.2 C.3 D.6 6.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程2 2 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的 3 2 倍，则椭圆的焦距是（） B.4 C.6 D.

2 F C c D 1 F 9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 38x y -=的曲线关于原点对称 10.方程 22 22 1x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点； C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 第11题二、填空题：（本大题共4小题，共20分.） 11.（6分）已知椭圆的方程为： 22 164100 x y +=，则a=___，b=____，c=____，焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，（如图）则?2F CD 的周长为________. 12.（6分）椭圆2 2 1625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为四个顶点坐标分别为___ ，离心率为；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆：（1）①2 2 9436x y += 与 ② 22 11216 x y += ，哪一个更圆（2）① 22 1610 x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M