湖南省醴陵市2017-2018学年高二数学上学期入学考试试题 文 精
高二2017年8月入学考试文科数学试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC 中,AB =5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形
D .非钝角三角形
2.若向量a =(3,m ),b =(2,-1),a ·b =0,则实数m 的值为( ) A .-32 B.3
2
C .2
D .6
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = ( )
A .1
2
n -
B .1
32n -??
???
C .1
23n -?? ???
D .
1
12n - 4.在△ABC 中,AB =5,BC =7,AC =8,则BA →
·BC →的值为 ( ) A .5 B .-5 C .15
D .-15
5.若三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是 ( ) A .1:2:3 B .1:3:2 C .1:2: 3
D.2:3:2
6.在△ABC 中,若a =6,b =9,A =45°,则此三角形有 ( ) A .无解 B .一解
C .两解
D .解的个数不确定
7.已知△ABC 的外接圆半径为R ,且2R (sin 2
A -sin 2
C )=(2a -b )sin B (其中a ,b 分别为A ,B 的对边),那么角C 的大小为 ( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
8.在△ABC 中,已知sin 2
A +sin 2
B -sin A sin B =sin 2
C ,且满足ab =4,则该三角形的面积为 ( )
A .1
B .2
C. 2
D. 3
9.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin B
sin C 的值为 ( )
A.85
B.58
C.53
D.35
10.在三角形ABC 中,AB =5,AC =3,BC =7,则∠BAC 的大小为( )
A .2π3
B .
5π6 C .
3π4
D .π3
11.有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要加长 ( )
A .0.5 km
B .1 km
C .1.5 km
D .
3
2
km 12.已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a =c =6+2,且A =75°,则b 为 ( )
A .2
B .4+2 3
C .4-2 3
D .6- 2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上)
13.在△ABC 中,A =60°,C =45°,b =4,则此三角形的最小边是____________. 14. 若等比数列{}n a 满足2412
a a =
,则2
135a a a =_____________. 15.在△ABC 中,A +C =2B ,BC =5,且△ABC 的面积为103,则AB =________. 16.数列{}n a 的通项公式cos 2
n n a n π
=,其前n 项和为n S ,则2018S 等 于_______.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设()f x 是一次函数,已知()815f =,且()()()2,5,4f f f 成等比数列, (1)求()f x 的解析式;
(2)求()()()()2462f f f f n +++???+.
18.(12分)锐角三角形ABC 中,边a ,b 是方程x 2
-23x +2=0的两根,角A ,B 满足2sin (A +B)-3=0.求:
(1)角C 的度数;
(2)边c 的长度及△ABC 的面积.
19.(12分)如右图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°,距离为12 6 nmile ,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°,距离为8 3 nmile ,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°,求:
(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.
20.(12分)已知△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m =(a ,b ),n =(sin B ,sin A ),
p =(b -2,a -2).
(1)若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形;
(2)若m ⊥p ,边长c =2,角C =π
3,求△ABC 的面积.
21.(12分)已知{}n a 为等差数列,且13248,12,a a a a +=+=
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)记{}n a 的前n 项和为n S ,若12,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值.
22.(12分) 如图所示,扇形AOB ,圆心角AOB 等于60°,半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设∠AOP =θ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值.