2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本(高数一)

2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本

高等数学(一)

本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.

第Ⅰ卷(选择题.共40分)

一、选择题(1-10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.的（）为时，当x x x x x x 4320+++→

A.等价无穷小 阶无穷小 阶无穷小

阶无穷小

2.（）=+∞→x x x

)21(lim A.2e -

2

3.设函数y=cos2x ， 则（）='y

C. sin2x

4.设函数()x f 在[a,b]上连续.在可导,()()(),0,0<>'b f a f x f 则()x f 在(a,b)内零点的个数为 （ ）

5.设2x 为f(x)的一个原函数.则f(x)=

2 2十C

6.设函数(),arctan x x f =则()()='?dx x f

A. -arctanx+C

B.C x ++-211 +C D.C x

++2

11

7.设dx x I dx x I dx x I ???===1

431

321

21,,.则（ ）

A.321I I I >>.

B.132I I I >>

C.123I I I >>

D.231I I I >>

8.设函数y e x z 2=，则

()

()=??0,1x z

B.2

1

9.平面x 十2y-3z+4=0的一个法向量为（ ） A.{1，-3,4} B.{1,2,4} C.{1,2，-3} D.{2，-3,4}

10.微分方程()x y y y y =+'+'43

的阶数为

（ ）

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

二、填空题(11-20小题，每小题4分，共40分) 11.=→x

x

x 2tan lim

0 。

12.若函数()??

?≥<=,

0,,

0,5x a x x x f 在点x=0处连续.则a= 。

13.设函数x e y 2=，则dy= 。

14.函数x x x f 12)(3-=的极小值点x= 。

15.=-?

dx x

2

11 。

16.x x ?-1

1

2tan =dx 。

17.设函数,23y x z +=dz= 。

18.设函数,arcsin y x z =则=??22x

z

。

19.幂级数∑∞

=1

n n nx 的收敛半径为 。

20.微分方程x y 2='的通解=y 。

三、解答题(21-28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)

21. (本题满分8分) 若,22sin lim 0=+→x

kx

x x 求k.

22.(本题满分8分) 设函数),12sin(-=x y 求.y '

23.（本题满分8分） 设函数,ln x x y = 求.y ''

24.(本题满分8分)

计算dx e x x ?+)(3

1

25.(本题满分8分) 函数,11y x z -=

求.22y

z y x z x ??+??

26.(本题满分10分)

设D 是由曲线21y x -=与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求： (1)D 的面积S ；

(2)D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V.

27.(本题满分10分)

求微分方程0

y

y的通解.

-''y

5=

6

-'

28.(本题满分10分)

计算??+D

dxdy y x )(22 其中D 是由曲线x x y y x ,,122==+轴在第一象限围成的有

界区域.

参考答案及解析

1. 【答案】A

【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.

【解析】：1)1(lim lim 324

320=+++=+++→x x x x

x x x x x x 故4

32x x x x +++是x 的等价无穷小 . 2.【答案】D

【考情点拔】本题考查了两个重要极限的知识点

【解析】22

222)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x

x x x x x =???

???+=+=+∞

→?∞→∞→

3.【答案】B

【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点 【解析】.2sin 2)2(2sin )2(cos x x x x y -='?-='='

4.【答案】C

【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.

【解析】由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)上必有零点.且函数是单调函数.故其在(a ，b)上只有一个零点. 5.【答案】B

【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.

【解析】由题可知2)2())(()(,2)(='+='=+=??C x dx x f x f C x dx x f 故 6.【答案】C

【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点 【解析】 C x C x f dx x f +=+='?arctan )()( 7.【答案】A

【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点. 【解析】在区间内.有432x x x >>由积分的性质可知

???>>1

4

1

3

1

2

dx x dx x dx x 即32I I I

>>

8.【答案】D

【考情点拨】本题考查了二元函救的偏导数的知识点. 【解析】

2112,2)

01(=??=??=??，故x z xe x z y 9.【答案】C

【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点

【解析】平面的法向量即平面方程的系教{1,2，-3}. 10.【答案】B

【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.

【解析】微分方程中导敏的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.

二、填空题 11.【答案】2

【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.

【解析】.22lim 2tan lim 00==→→x

x

x x x x

12. 【答案】0

【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.

【解析】由于f(x)在x=0处连续，故有a f x x f x x ====--→→)0(05lim )(lim 0

13. 【答案】dx e x 22

【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点。 【解析】dx e dx x e e d dy x x x 2222)2()(='?== 14. 【答案】2

【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点。

【解析】0)(,2-2),2)(2(3123)(2='==+-=-='x f x x x x x x f 时或当

()()0)(2;022;02>'><'<<->'-

因此x=2是极小值点。 15. 【答案】arcsinx+C

【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点。 【解析】C x dx x

+=-?

arcsin 112

.

16. 【答案】0

【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点. 【解析】被积函数x x 2tan 在对称区间[]上是奇函数， 故0tan 1

12=?-xdx x 。

17.【答案】ydy dx x 232+

【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点， 【解析】

y y z x x z 2,32=??=??所以ydy dx x dy y

z

dx x z dz 232+=??+??=

18.【答案】0

【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.

【解析】.0,arcsin 22=??=??x

z

y x z

19.【答案】1

【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点. 【解析】,0

1

∑∑∞

=∞

==n n n n

nx nx 设n a n =.则有1)1

1(lim 1lim

=+=+=∞→∞→n

n n x x ρ

故其收敛半径为.11

==ρ

R

20.【答案】C x +2

【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.

【解析】微分方程x y 2='是可分离变量的微分方程， 两边同时积分得

C x

y xdx dx y +=?='??2

2.

三、解答题

21..2

1

,2212sin lim 2sin lim 00==+=+=+→→k k k x x x kx x x x 故

22.[]).12cos(2)12()12cos()12sin(-='-?-='

-='x x x x y 23.1ln )(ln ln )(+='+'='x x x x x y ，故.1

)(ln x x y ='=''

24.C e x

dx e dx x dx e x x x

x

+++=

+=++

???3

113

13

13

111)(

25.011-11,1,122222222=+=?+?-=??+??=??-=??y y x x y z y x z x y y z x x z 故

26.（1）积分区域D 可表示为：,10,102y x y -≤≤≤≤

32)31()1(1

31

02=-=-=?y y dy y S 。

（2）2

)1(1

1

2

π

ππ=

-==??dx x dx y V

27.

为任意常数）

故微分方程的通解为，

或解得2162-121212,(2161,065特征方程C C e C e C e C e C y r r r r x

x

x

r

x

r +=+==-==--

28.积分区域用极坐标可表示为：,10,4

0≤≤≤

≤r π

θ

所以.16

41

4)(1

0440

1

222π

πθπ

=?=

?=+=????r rdr r d dxdy y x I D