微分方程数值解――

微分方程数值解――

第二章 习题

1． 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数，试用类似办法定义)(x f 的k 阶广义导数)

()

(x f k （ ,2,1=k ）。

解：对一维情形，函数的广义导数是通过分部积分来定义的。 我们知，)(x f 的一阶广义导数位)(x g ，如果满足 dx x x f dx x x g b

a

b

a

)()()()('??

-=??

类似的，)(x f 的k 阶广义导数为)()()

(x f x g k =，如果有

dx x x f dx x x g b

a

k k b

a

)()()1()()()(??

-=??

2． 试建立与边值问题

?????====<<=+=)

2.1(0)()(,0)()()

1.1(,''44b u b u a u a u b x a f u dx

u

d Lu

等价的变分问题。

证明：

设}0)()(,0)()(),(|{'

'2====∈=b v a v b v a v I H v v V 对方程)1.1(两边同乘以v ，再关于x 在),(b a 上积分)(V v ∈，得

??=+b a

b

a fvdx vdx u dx u

d )(44

其中

dx dx

dv dx u d dx dx dv dx u d dx u d v dx u d d v vdx dx u d b a b a b a b a b

a

????

-=-==33

33333344|)( dx dx

v

d dx u d dx dv dx u d dx u d d dx dv b a b a b

a ??+-=-=22222222|)( dx dx

v

d dx u d b

a

?

=

2

222 (*) 记dx uv dx v

d dx u d v u a b

a ?+=)(),(2

222，?=b a fvdx v f ),(。于是我们得到以下等价变分问题的提法：

设V I c u )(4∈是原边值问题)2.1(),1.1(的解的充分必要条件是，它是以下变分问

题的解：

)2()

,(),(v f v u a =，其中V v ∈

这个等价性是容易证明的。事实上，上述推导过程已经将充分性证明了，我们只要

就必要性予以证明。注意到(*)，由其反推，便可证得必要性。

3． 对边值问题

?????

=+==+-=)

2.1()()(,1)()1.1()('

α

βb u b u a u f

qu dx

du p dx d Lu

其中)(1-

∈I c p ，0)(min >≥p x p ，)(1

-

∈I c q ，0)(>x q 建立虚功原理或极小位能原理。

解：

由题意，试探函数空间}1)(),(|{1=∈=a u I H u u U 检验函数空间}1)(),(|{1=∈=a v I H v v V

虚功原理：设U I c u )(2∈是原问题的解，当且仅当u 是以下变分问题的解 ),(),(v f v u a -

= )2(

其中，dx quv dx dv

dx du v u a b

a ?+=][

),(，?-+=-b a

b u b v b p fvdx v f )]()[()(),(βα 证明： 必要性

设U I c u )(2

∈是原问题的解，对方程)1.1(两边同乘以v ，再关于x 在),(b a 上积

分)(V v ∈，得

??=+-b a b

a fvdx vdx u dx du

p dx d ])([ 其中

dx dx

dv dx du v dx du p vdx dx du p dx d b a b a b

a ??+-=-

|)( dx dx

dv dx du b u b v b p b a ?+-=)()()('

dx dx

dv

dx du b u b v b p b a ?+--=)]()[()(βα (*) 令

dx quv dx dv

dx du v u a b

a ?+=][),(，?-+=-

b a

b u b v b p fvdx v f )]()[()(),(βα

则有

),(),(v f v u a -

= 充分性

设U I c u )(2

∈是变分问题)2(的解，即 ),(),(v f v u a -

= V v ∈?

由(*)式，

=?dx dx dv dx du b

a b

a b a v dx du p vdx dx du p dx d |)(+-=? 特别，取)(0I c v ∞

∈，则0|=b a v dx

du p ，0)()[

()(=-b u b v b p βα 于是，

0][=-?b

a

vdx f Lu ，所以由变分法基本引理知，f Lu =，即)1.1(式成立。

将f Lu =代入),(),(v f v u a -

=得到

0)()[()(|=--b u b v b p v dx

du p

b

a βα 于是得到

)()('b u b u βα-= 即)2.1(式成立。

综上，等价性得到证明。

如要建立极小位能原理，则首先要对原边值问题齐次化。