【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版,理)一轮复习讲义：选修4-4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：?
???
?
x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．
[探究] 1.极点的极坐标如何表示？
提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 3．极坐标与直角坐标的互化
设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
?????
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ； ?
????
ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x (x ≠0). [探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？
提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．
4．常见曲线的极坐标方程
[自测·牛刀小试]
1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程． 解：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， 故x 2＋y 2＝x .
2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．
解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.
3．在极坐标系中，求点A ????2，π
2关于直线l ∶ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标． 解：在直角坐标系中，A (0,2)，l ：x ＝1，点A 关于
l 的对称点为(2,2)，所以ρ＝22＋22
＝22，θ＝π
4
，所以此点极坐标为????22，π4. 4．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，求AB 的长．
解：曲线ρ＝4cos θ，即为圆x 2＋y 2－4x ＝0，过A (3,0)且与极轴垂直的直线为x ＝3，将x ＝3代入x 2＋y 2－4x ＝0，得y 2＝12－9＝3，解得y ＝±3.故AB ＝2 3.
5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，求该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离． 解：直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x ＋y －1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x ＋y －1＝0的距离是
5
5
.
[例1] 求椭圆x 24
＋y 2
＝1，经过伸缩变换?????
x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．
[自主解答] 由?????
x ′＝12x ，y ′＝y
得到?????
x ＝2x ′，
y ＝y ′.①
将①代入x 24＋y 2
＝1得4x ′24
＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.
因此椭圆x 24
＋y 2
＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x ′2＋y ′2＝
1.
若椭圆x 24＋y 2
＝1经过伸缩变换后的曲线方程为x ′216＋y ′24
＝1，求满足的伸缩的变换．
解：设变换为?????
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′216＋y ′24＝1，得λ2x 216＋μ2y 24＝1，与x 24＋y 2
＝1的系
数对比，得λ＝2，μ＝1，即????? x ′＝2x ，y ′＝y .因此经过变换?????
x ′＝2x ，y ′＝y
后，椭圆x 24＋y 2
＝1变换
为x ′216＋y ′2
4
＝1. —————
—————————————— 求经伸缩变换后曲线方程的方法
平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：???
??
x ′＝λx ，y ′＝μy
的作用下的变换方程的求法是将
???
x ＝x ′，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ???
?x ′
λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后
的方程．
1．在同一坐标系中，曲线C 经过伸缩变换????
?
x ′＝x ，y ′＝1
2y 后得到的曲线方程为y ′＝lg(x ′＋5)，求曲线C 的方程．
解：将????
?
x ′＝x ，y ′＝1
2y 代入y ′＝lg(x ′＋5) 得1
2
y ＝lg(x ＋5)，
即y ＝2lg(x ＋5)为所求曲线C 的方程.
[例2] 已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ????θ－π
4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [自主解答] (1)由ρ＝2知ρ2＝4
所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ????θ－π
4＝2 ， 所以ρ2－22ρ????cos θcos π4＋sin θsin π
4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ????θ＋π4＝2
2. —————
—————————————— 极坐标与直角坐标互化的注意点
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一．
(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P 的极坐标．
解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ＝1，ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π
3
(k ∈Z )，故点P 的极坐标为????2，2k π－π3(k ∈Z )． 3．求以点A (2,0)为圆心，且过点B ????23，π
6的圆的极坐标方程． 解：由已知圆的半径为 AB ＝
22＋(23)2－2×2×23cos π
6
＝2，
又圆的圆心坐标为A (2,0)， 所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.
由?
????
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.
[例3] 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．
[自主解答] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．
(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝3x ， 即????x －322＋y 2＝???
?3
22， 知P 的轨迹是以????32，0为圆心，半径为3
2的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.
—————
—————————————— 求解与极坐标有关的问题的主要方法
一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； 二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．
使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标．
解：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，
联立方程，得????? x 2＋y 2
－2y ＝0，x ＝－1，解得?????
x ＝－1，
y ＝1，
即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为????2，3π
4. 5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6(ρ∈R )的距离．
解：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π
6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2
＝ 3.
1个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合； ②极轴与x 轴正方向重合； ③取相同的单位长度．
(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲
易误警示——极坐标系中的解题误区
[典例] (2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．
[解] 直线方程为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为???
?22，0，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2
，把交点??
??22，0代入得????222＋02＝a 2，又a >0，所以a ＝22.
[易误辨析]
(1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程． (2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x 轴的交点，如果不会转化，导致计
算加大，多走弯路．
(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．
[变式训练]
已知两曲线的极坐标方程C 1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C 2：ρ＝4cos θ，求两曲线交点的直角坐标．
解：C 1的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.
将两方程联立，解方程组得x ＝1，y ＝±3.
又因为y ≥0，舍去y ＝－3，所以两曲线交点坐标为(1，3)．
1．已知直线的极坐标方程ρsin ????θ＋π4＝2
2，求极点到直线的距离． 解：∵ρsin ????θ＋π4＝2
2
， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2
＝2
2.
2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线方程为3x ＋4y ＋a ＝0，又圆与直线相切，所以|3×1＋4×0＋a |
32＋42
＝1，解得a ＝2或a ＝－8.
3．(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．
解：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 4．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ????θ－π
4＋6＝0，求ρ的最大值． 解：原方程化为ρ2－42ρ??
?
?22cos θ＋22sin θ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.
故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.
故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.
5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ????2，π4，圆心为直线ρsin ????θ－π
3＝－
3
2
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解：在ρsin ????θ－π3＝－3
2中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ?
???2，π
4，
所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，于是圆C 过极点，所以圆C
的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
1．设直线l 1的参数方程为?
????
x ＝1＋t ，
y ＝a ＋3t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系得另一直线l 1的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，求实数a 的值．
解：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，将直线l 2的方程化为直角坐标方程得3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|
10＝10?|a ＋1|＝10?a ＝9或a ＝－
11.
2．(2011·江西高考改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程．
解：由?
????
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，得，ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
3．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求AB 的最小值．
解：将互化公式?
????
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2
＋y 2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，
圆心到直线的距离d ＝|－1－7|
2＝4 2.
所以|AB |的最小值为42－2.
4．在极坐标系中，圆C 的圆心C ????6，π
6，半径r ＝6. (1)写出圆C 的极坐标方程；
(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．
解：(1)圆C 的极坐标方程ρ＝12cos ???
?θ－π6. (2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在O Q 的延长线上， 又O Q ∶QP ＝3∶2.所以点Q 的坐标为????35ρ，θ， 若Q 点在圆C 上运动，则3
5
ρ＝12cos ????θ－π6，
即ρ＝20cos ???
?θ－π6. 故点P 的轨迹方程为ρ＝20cos ????θ－π
6.
第二节 参数方程
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某
个变量t 的函数：????? x ＝f (t )，y ＝g (t )反过来，对于t 的每个允许值，由函数式?????
x ＝f (t )，
y ＝g (t )所确定的
点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程?
????
x ＝f (t )，
y ＝g (t )叫做这条曲线C 的参数方程，变量t 叫做参
变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
[探究] 1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？
提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．
2．直线的参数方程
经过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????
?
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0
＋t sin α(t 为参数)．
3．圆的参数方程
圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为
?
????
x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． 4．椭圆的参数方程
椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为
?
????
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． [探究] 2.椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程?
????
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中，参数φ的几何
意义是什么？
提示：如图，取椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上任一点M 作x 轴垂线，交以
原点为圆心，a 为半径的圆于点A ，φ就是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(或点M 的离心角)即Ox 绕O 逆时针转到与OA 重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．
[自测·牛刀小试]
1．若直线l 的参数方程为?
????
x ＝1＋3t ，
y ＝2－4t (t 为参数)，求直线l 倾斜角的余弦值．
解：消去参数，得直线l 方程为4x ＋3y －10＝0，所以tan θ＝－43，cos θ＝－3
5
.
2．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线?
???
?
x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求|PF |.
解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.
3．(2012·中山模拟)将参数方程?
????
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程．
解：将参数方程变形为?????
x ＝cos α，
y －1＝sin α
(α为参数)，平方相加得x 2＋(y －1)2＝cos 2α＋sin 2α
＝1，所以对应的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.
4．求参数方程?????
x ＝t ＋1t ，
y ＝2
(t 为参数)表示的曲线．
解：当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2；当t <0时，x ＝t ＋1
t ≤－2，故此方程表示的曲线是两条射
线．
5．求椭圆(x －1)23＋(y ＋2)2
5＝1的参数方程．
解：设x －13＝cos θ，y ＋2
5
＝sin θ，
则?
??
x ＝1＋3cos θ，
y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
(1)???
x ＝3k
1＋k 2，y ＝
6k
21＋k 2
，
(2)?
????
x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.
[自主解答] (1)两式相除，得k ＝y
2x ，将其代入得
x ＝3·y 2x
1＋???
?y 2x 2，
化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． —————
—————————————— 将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)???
x ＝1t
，
y ＝1
t
t 2
－1
(t 为参数)；
(2)?
????
x ＝1－t 21＋t 2
，y ＝t
1＋t 2
(t 为参数)．
解：(1)∵x 2＋y 2＝????1t 2＋???
?1
t t 2－12＝1，
∴x 2＋y 2＝1.
∵t 2－1≥0.∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1
t ，∴t ≠0.
当t ≥1时，0<1
t ≤1，
当t ≤－1时，－1≤1
t <0，
∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1
? ??
??????? 0 －1≤x <0，－1 (2)由? ????1－t 2 1＋t 22＋????2t 1＋t 22＝1，得x 2＋4y 2＝1， 又x ＝1－t 21＋t 2≠－1，得所求的普通方程是 x 2＋4y 2＝1(x ≠－1). [例2] (2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：???? ? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与 曲线C 2：? ???? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值． [自主解答] ∵C 1：? ???? x ＝t ＋1，y ＝1－2t ， ∴C 1的方程为2x ＋y －3＝0. ∴C 2：? ???? x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，∴C 2的方程为：x 2a 2＋y 2 9＝1. ∵C 1与C 2有一个公共点在x 轴上，且a >0， ∴C 1与x 轴的交点????32，0在C 2上．∴a ＝32. ————— —————————————— 与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题． 2．(2011·广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为??? x ＝5cos θ， y ＝sin θ (0≤θ<π)和 ????? x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，求它们的交点坐标． 解：由??? x ＝5cos θ，y ＝sin θ (0≤θ<π)得x 25＋y 2 ＝1(y ≥0)， 由????? x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )得x ＝5 4 y 2. 联立方程可得??? x 25 ＋y 2 ＝1，x ＝5 4y 2 . 则5y 4＋16y 2－16＝0， 解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝5 4y 2＝1， 又y ≥0，所以其交点坐标为? ??? 1，255. 3．(2013·扬州模拟)已知P (x ，y )是椭圆x 24 ＋y 2 ＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围． 解：∵x 24＋y 2 ＝1的参数方程? ???? x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)， ∴设P (2cos θ，sin θ)， ∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ????θ＋π 4， ∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，22]． [例3] (2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． [自主解答] (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2；圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ； 联立方程组? ???? ρ＝2，ρ＝4cos θ，解得ρ＝2，θ＝±π 3.故圆C 1，C 2的交点极坐标为????2，π3，? ???2，－π3. (2)由ρ＝2，θ＝±π 3，及????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得??? x ＝1，y ＝3，??? x ＝1，y ＝－3， 圆C 1，C 2的交点直角坐标为(1, 3)，(1，－3)， 故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为 ? ???? x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)． ————— —————————————— 求参数方程与极坐标问题的转化方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同． 4．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：? ???? x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值． 解：曲线C 1：? ???? x ＝3＋cos θ， y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝1，知C 1是以(3,4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离. 由圆的方程知，这两个圆相离，所以 |AB |min ＝(3－0)2＋(4－0)2－1－1＝5－1－1＝3. 4种方法——化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有： ①代入消元法； ②加减消元法； ③乘除消元法； ④三角恒等式消元法. 数学思想——参数方程中的转化思想 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想． [典例] (2012·浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别 为??? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和??? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标． [解] C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程 得：????? y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得? ???? x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)． [题后悟道] (1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围． (2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的． [变式训练] (2012·朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ： ????? x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：? ???? x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，求|AB |的长． 解：直线l 可化为x ＋y －2＝0，① 曲线C 可化为y ＝(x －2)2，② 联立①②消去y 得x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋(－1)2·(x 1－x 2)2＝2|x 1－x 2|＝ 2. 1．直线????? x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆? ???? x ＝3＋5cos θ， y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，求θ∈[0,2π))所截得的弦长． 解：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为x ＋y ＋1＝0和(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，于是弦心距d ＝32 2 ，弦长l ＝2 25－9 2 ＝82. 2．(2012·福州模拟)已知点P (x ，y )在曲线x 2a 2＋y 2 b 2＝1，且 a 2＋ b 2≤3，求x ＋y 的最小值． 解：设x ＝a cos t ，y ＝b sin t (0≤t ≤2π)， 则x ＋y ＝a cos t ＋b sin t ＝a 2＋b 2cos(t －α)， 因此，当a 2＋b 2＝3，cos(t －α)＝－1时，x ＋y 取得最小值－ 3. 3．已知曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ????θ＋π4＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由． 解：(1)由? ???? x ＝sin α， y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]． (2)由ρsin ??? ?θ＋π 4＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0.? ???? x ＋y ＋2＝0， x 2＋y ＝1，得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±13 2?[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点． 4．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，?? ? ? 233，π2，圆C 的参数方程 为??? x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ (θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系． 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，???? 0，233，又P 为线段MN 的中 点，从而点P 的平面直角坐标为? ?? ? 1， 33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，???? 0，233， 所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|1＋3 ＝3 2 5．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是? ???? x ＝2cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为??? ?2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； (2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解：(1)由已知可得A ? ???2cos π3，2sin π 3， B ????2cos ????π3＋π2，2sin ????π3＋π2， C ????2cos ????π3＋π，2sin ????π3＋π， D ??? ?2cos ????π3＋3π2，2sin ????π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]． 1．(2012·南京模拟)已知圆的极坐标方程为 ρ2＋4ρcos ??? ?θ＋π 3－5＝0. (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋3y 的最大值和最小值． 解：(1)∵ρ2＋4ρcos ????θ＋π 3－5＝0， ∴ρ2＋2(ρcos θ－3ρsin θ)－5＝0. ∴x 2＋y 2＋2x －23y －5＝0， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝9. ∴圆的参数方程为??? x ＝－1＋3cos α， y ＝3＋3sin α (α为参数)． (2)利用圆的参数方程可得： x ＋3y ＝33sin α＋3cos α＋2＝6sin ????α＋π 6＋2， ∴x ＋3y 的最大值为8，最小值为－4. 2．(2013·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝2cos α， y ＝sin α (α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ??? ?θ－π 4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程； (2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos ????θ－π 4＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4| 2 ， 即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25 . 当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋10 2 . 高考化学专题训练及解析： 无机框图题 （含标准答案及解析） 时间：45分钟分值：100分 1．从物质A的水溶液出发，有如图所示的一系列变化(参加反应或反应生成的H2O没有表示出来)。 试完成下列问题： (1)写出下列物质的化学式： A，E，X，Y。 (2)写出步骤①②发生反应的离子方程式： ①________________________________________________________________________； ②________________________________________________________________________。2．甲、乙、丙为常见单质。A、B、C、D、E、F、G、H均为中学化学中常见的化合物，其中B、G的焰色反应均为黄色，C能使品红溶液褪色。在一定条件下，各物质相互转化关系如图所示。 请回答下列问题： (1)用化学式表示：丙为__________，H为__________。 (2)A的电子式为__________________________________________________________。 (3)电解E的水溶液时，E起到的作用是_____________________________________。 (4)写出B＋C―→D的化学方程式：_________________________________________； 写出E＋G―→F的离子方程式：____________________________________________ 3．A、B、C、D、E为中学化学常见的单质或化合物，相互转化关系如图所示(部分产物略去)。 (1)若A是能使湿润红色石蕊试纸变蓝的气体；C、D均为空气的主要成分；E是一种有 毒气体。 ①C的电子式为______________。 人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数 第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2直线、平面平行的判定及其性质 2．3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1直线的倾斜角与斜率 3．2直线的方程 3．3直线的交点坐标与距离公式 必修三： 第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例 第二章统计 2．1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型 3．3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四： 第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数 1．3三角函数的诱导公式 1．4三角函数的图象与性质 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2．2平面向量的线性运算 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．4平面向量的数量积 2．5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 高考数学复习资料精选推荐 复习是高考数学教学的关键部分，它不仅是对数学知识系统全面的整合与巩固，下面是查字典数学网编辑的高考数学复习资料，供参考，祝大家高考大捷~ 高考数学复习资料精选推荐： (一) 任一x∈A x∈B，记作A B A B， B A A=B A B={x|x∈A，且x∈B} A B={x|x∈A，或x∈B} card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q，则p (2)四种命题的关系 (3)A B，A是B成立的充分条件 B A，A是B成立的必要条件 A B，A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法 ③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 (二) 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这 常考问题5 导数的综合应用 (建议用时：50分钟) 1．若函数y ＝－4 3x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 解析 由条件y ′＝－4x 2＋b ，∴Δ＝0＋16b ＞0，得b ＞0. 答案 (－2，－1) 2．已知函数f (x )＝13x 3 －2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数 m 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0. ∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179. 答案 ???? ?? 179，＋∞ 3．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝1 3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数 y ＝f ′(x )图象，则f (－1)等于________． 解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②，④排除．若图象不过原点，则f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝5 3；若图象过原点，则f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1， ∴f (－1)＝－1 3. 答案 －13或5 3 4．(2013·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在 点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 解析 因为y ′＝12x －12(x ＋1)＋x ＝3x 2＋1 2x ≥2 34＝3，(当且仅当x ＝13 时，“＝”成立)设点P (x ，y )(x ＞0)，则在点P 处的切线的斜率k ≥3，所以tan θ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈?????? π3，π2. 答案 ???? ?? π3，π2 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为______． 解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 (0，＋∞) 6．(2013·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以{ －a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0. 答案 (－4,0) 7．若函数f (x )＝－1 2x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______． 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2 ＋4x －3 x ＝－(x －1)(x －3)x .由 f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1 必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 成人高考数学复习资料 集合和简易逻辑 考点：交集、并集、补集 概念： 1、由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”（求公共元素）A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2、由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”（求全部元素）A∪B={x|x∈A,或x∈B} 3、如果已知全集为U，且集合A包含于U，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A的补集，记作 A C u,读作“A补” A C u={ x|x∈U，且x?A } 解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现 考点：简易逻辑 概念： 在一个数学命题中，往往由条件A和结论B两部分构成，写成“如果A成立，那么B成立”。充分条件：如果A成立，那么B成立，记作“A→B”“A推出B，B不能推出A”。 必要条件：如果B成立，那么A成立，记作“A←B”“B推出A，A不能推出B”。 充要条件：如果A→B,又有A←B，记作“A←B”“A推出B ，B推出A”。 解析：分析A和B的关系，是A推出B还是B推出A，然后进行判断 不等式和不等式组 考点：不等式的性质 如果a>b，那么b 常考问题7三角恒等变换与解三角形 (建议用时：50分钟) 1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________． 解析∵S＝1 2ac sin B＝2，∴ 1 2×1×c×sin 45°＝2. ∴c＝4 2. ∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b2＝25，b＝5. 答案 5 2．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是________三角形． 解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B 或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π 2，所以△ABC为等腰或直角三角形． 答案等腰或直角 3．(2013·浙江卷改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝10 2，则tan 2α等于________． 解析∵sin α＋2cos α＝10 2， ∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2. 化简，得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2α cos 2α＝－ 3 4. 答案－3 4 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________． 解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解． 由b sin B ＝c sin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝4 5. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝7 25. 答案 7 25 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝5 13，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为________． 解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝5 13 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 2020高考数学复习资料 任一x∈Ax∈B，记作AB AB，BAA=B AB={x|x∈A，且x∈B} AB={x|x∈A，或x∈B} card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q，则p (2)四种命题的关系 (3)AB，A是B成立的充分条件 BA，A是B成立的必要条件 AB，A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法 ③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。 (5)线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。 (6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 线面平行的判定方法: ⑴定义：直线和平面没有公共点. 27题题型训练---明清时期转型与迟滞时期学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1．【2014年全国II卷.27-1】明初废丞相、设顾问性质的内阁大学士，严防权臣乱政。明中后期严嵩、张居正等内阁首辅操纵朝政，权倾一时。这表明 A．君主集权加强B．皇权渐趋衰落 C．内阁取代六部D．首辅权力失控 2．【2016年全国I卷.27-1】明初废行省，地方分设三司，分别掌管一地民政与财政、司法、军事，直属六部。明中叶以后，皇帝临时派遣的巡抚逐渐演变为三司之上的地方最高行政长官。这一变化有助于 A．扩大地方行政权力B．提高地方行政效率 C．削弱六部的权限D．缓解中央与地方的对立 3．【2017年全国II卷.27-1】明初朱元璋严禁宦官读书识字，但后期宦官读书识字逐渐制度化，士大夫甚至有针对性地编纂适合宦官学习的读本。由此可以推知，明代中后期 A．中枢决策过程发生异变B．皇帝权力日趋衰落 C．内阁议政功能已经丧失D．宦官掌握决策权力 4．【2018年全国I卷.27-1】下图中的动物是郑和下西洋时外国使臣随船向明政府贡献的奇珍异兽。明朝君臣认为，这就是中国传说中的“麒麟”， 明成祖遂厚赐外国使臣。这表明当时 A．海禁政策的解除促进了对外文化交流 B．对外交流促使中国传统绘画出现新的类型 C．朝廷用中国文化对朝贡贸易贡品加以解读 D．外来物品的传入推动了传统观念更新 5．【2014年全国I卷.27-2】据记载，清初实施海禁前，“市井贸易，咸有外国货物，民间行使多以外国银钱，因而各省流行，所在皆有”。这一记载表明当时 A．中国在对外贸易中处于优势地位B．外来货币干扰了中国资本市场 C．自然经济受到了进口货物的冲击D．民间贸易发展冲击清廷的统治 6．【2015年全国I卷.27-2】 表中为河南、江苏两地科举考试状元人数表（） 唐宋明清 河南151621 江苏781749 表中呈现的变化反映了 A．理学的影响力不断扩大 B．经济发展促进文化兴盛 常考问题21 坐标系与参数方程 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ? ? ???2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极 坐标方程． 解 将圆心C ? ? ???2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2 －4ρcos ? ?? ?? θ－π3－1＝0. 此即为所求的圆C 的极坐标方程． 2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆??? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数) 的右焦点，且与直线??? x ＝4－2t ， y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝1 2(x －4)，即x －2y －4＝0. 3．(2010·江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 解 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a | 32＋4 2 ＝1， 解得a ＝－8或a ＝2， 故a 的值为－8或2. 4．已知曲线C 1：??? x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ?? x ＝8cos θ，y ＝3sin θ 2014年高考专题训练--语言表达简明、连贯、得体、准确、鲜明、生动 习题 1.依次填入下面一段文字横线处的语句,衔接最恰当的一组是( ) 没有谁可以活在社会舆论的真空里,“贫二代”如此,“拼二代”亦如此,“富二代”更不例外。________________,________________。当然,这其中也不乏误解与偏见。________________,________________ ,只是,“富二代”的代言人在为这个群体正名的时候, ________________。“富二代”其实没那么脆弱,也不该如此敏感。 ①试图改变社会舆论对“富二代”的看法是必要的 ②客观地为“富二代”正名也无可厚非 ③只不过社会舆论给予前两者的多是支持和鼓励 ④对于“富二代”多是批评与鞭策 ⑤实在没必要把普通的社会舆论升级到“歧视”的地步 A.②③①⑤④ B.③④①②⑤ C.③④②①⑤ D.③①②⑤④ 2.依次填入下面一段文字横线处的语句,衔接最恰当的一组是( ) 风在瓦缝中穿行,声如短笛,拖着长长的尾音,是底气充足的美声。雨点落下,清越激昂,雨越来越大,击瓦之声,与飞流的雨声汇聚成一曲浑厚的交响乐。最美要数檐下滴雨了, ________________ ,________________,________________。________________。________________,________________。当檐下雨珠落成一条雨线时,雨就大了,很大,很大。 ①下系在地上一洼清亮的雨水里 ②风吹来,雨珠飘来荡去,像个顽皮的孩子,尽情地撒欢,恣意地嬉戏 ③上连着屋檐最边沿的沟瓦 ④雨珠稀稀落落,那是小雨 ⑤像是有一根无形的线,把那雨珠串起来 ⑥雨珠变得密密挤挤,那是雨势明显增大之故 A.⑤②①③④⑥ B.④⑥②⑤③① C.④⑥⑤②①③ D.⑤③①②④⑥ 3．某班为激发学生学习古文的热情，举办古诗文朗诵比赛，请你以主持人的身份在下面的作品之间拟写两段串词，要求关涉作品的内容，衔接连贯自然，有文采。(每段串词80至150字) 串词一(《琵琶行》结束，《项脊轩志》即将开始)：__________________________ 串词二(《滕王阁序》结束，《阿房宫赋》即将开始)：______________________ 答案 4．某中学食堂为践行节约能源、保护环境的理念，从2012年1月起，彻底杜绝一次性方便 2019-2020学年高考数学复习讲义 平面几何 一、考试要求：平面几何是自主招生考试中北约、华约、卓越共同考查的内容，主要考查平 面图形中三边角关系以及长度、角度、面积的计算；考查学生逻辑思维能力，推理认证 能力及计算能力. 二、知识准备： 定理：梅涅劳斯定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延长线与一条不经过其 顶点的直线交于P 、Q 、R 三点，则1=??RB AR QA CQ PC BP . 梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延 长线上三点，若有1=??RB AR QA CQ PC BP ，则P 、Q 、R 三点在同一条直线上. 三、题型训练： 类型一：凸多边形有关的计算或证明 例1：（2012北约）求证：若圆内接五边形的两个角都相等，则它为正五边形. 例2：（2008北约）求证：边长为1的正五边形对角线长为2 15+. 例4：（2013北约）如果锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边距离比. 例5：（2009北大）圆内接四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4.求圆的半径. 例6：（2011北约）在△ABC 中，若c b a 2≥+，证明 60≤∠c .其中∠A,∠B,∠C 的对 边 分别为c b a ,,. 例7：（2009中国科技大）如图：已知D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的三等分点.且EC ＝ ２AE ，BD ＝２CD ，AF ＝２BF ，若1=?ABC S ，试求PQR S ?. 例８：（２０１１华约）如图，已知△ABC 的面积为２，D ，E 分别 为边AB ，AC 上的点， F 为线段DE 上一点，设z DE DF y AC AE x AB AD ===,,，且1=-+x z y .则△BD 下面 积的最大值为（ ） A. 278 B. 2710 C. 2714 D. 27 16 2014年高考语法专题训练特殊句式 1.【2013·江苏省泰州市高三上学期期末考试】Only when they put their heads together_ such a brilliant plan and complete the task ahead of schedule, A． did they make B．they made C．do they make D．they have made 【解析】A考查倒装。句意：只有他们集思广益共同努力时，他们才能制定出这么好的计划， 而且提前完成了任务。Only when…做状语提前时，主句用倒装句。任务已经提前完成了， 所以用过去时。 2.【2013·河北省五校联盟调研考试】— Who is making so much noise in the garden? — ______ the children. A. It is B. They are C. That is D. There are 【解析】A考查强调句型。此句是强调句型的省略形式，原句应为：It is the children that are making so much noise in the garden。 3.【2013·浙江温州八校联考1】David said that it was because of his strong interest in literature_________ he chose the course. A. that B. what C. why D. how 【解析】A考查强调句型。句意：大卫说正是因为他对文学的强烈的爱好他才选择了这个课 程。此处because of his strong interest in literature.是被强调的部分。 4.【2013·山西省高三第二次诊断考试】So popular that it attracts more than 100,000 kite fans to this city. A．became kite flying B．kite flying became C．has kite flying become D．kite flying has become 【解析】C考查倒装语序。句意：在这个城市放风筝是如此的流行以致吸引了大约100,000 的风筝迷到这儿来。本句的句型是so…that…；在这个句型中若so+adj/adv提前，主句部 分倒装，即“主倒从不倒”，故选C项。 5.【2013·江苏省兴化市板桥高级中学高三12月度检测】 How long do you think ________ the computer company brings out a new product ? A. it will be before B. will it be before C. it will be that D. will it be when 人教版高中数学必修一目录 ?第一章集合与函数概念 ?集合 ?函数及其表示 ?函数的基本性质 ?第二章基本初等函数(Ⅰ) ?指数函数 ?对数函数 ?幂函数 ?第三章函数的应用 ?函数与方程 ?函数模型及其应用 人教版高中数学必修二目录 ?第一章空间几何体 ?空间几何体的结构 ?空间几何体的三视图和直观图 ?空间几何体的表面积与体积 ?第二章点、直线、平面之间的位置关系 ?空间点、直线、平面之间的位置关系 ?直线、平面平行的判定及其性质 ?直线、平面垂直的判定及其性质 ?第三章直线与方程 ?直线的倾斜角与斜率 ?直线的方程 ?直线的交点坐标与距离公式 ?第四章圆与方程 ?圆的方程 ?直线、圆的位置关系 ?空间直角坐标系 人教版高中数学必修三目录 ?第一章算法初步 ?算法与程序框图 ?基本算法语句 ?算法案例 ?第二章统计 ?随机抽样 ?用样本估计总体 ?变量间的相关关系 ?第三章概率 ?随机事件的概率 ?古典概型 ?几何概型 人教版高中数学必修四目录 ?第一章三角函数 ?任意角和弧度制 ?任意角的三角函数 ?三角函数的诱导公式 ?三角函数的图像与性质 ?函数 ()?+ =wx sin y A的图像 ?三角函数模型的简单应用 ?第二章平面向量 ?平面向量的实际背景及基本概念 ?平面向量的线性运算 ?平面向量的基本定理及坐标表示 ?平面向量的数量积 ?平面向量应用举例 ?第三章三角恒等变换 ?两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ?简单的三角恒等变换 人教版高中数学必修五目录 ?第一章解三角形 ?正弦定理和余弦定理 ?应用举例 ?实习作业 ?第二章数列 ?数列的概念与简单表示法 ?等差数列 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 2014年高考有机化学选择题专题训练 1.（09全国Ⅰ）现有乙酸和两种链状单烯烃混合物，其中氧的质量分数为a,则碳的质量分数是 A. (1)7a - B.34 a C.6(1)7a - D.12 (1)13a - 2.（09全国Ⅰ）有关下图所示化合物的说法不正确的是 A.既可以与Br 2的CCl 4溶液发生加成反应， 又可以在光照下与Br 2发生取代反应 B.1mol 该化合物最多可以与3molNaOH 反应 C.既可以催化加氢,又可以使酸性KmnO 4溶液褪色 D.既可以与Fecl 3溶液发生显色反应，又可以与NaHCO 3溶液反应放出CO 2气体 3.1 mol 与足量的NaOH 溶液充分反应，消耗的NaOH 的物质的量为 A ．5 mol B ．4 mol C ．3 mol D ．2 mol 4．（09北京）化学与人类生活密切相关。下列说法正确的是： A ．苯酚有一定毒性，不能作消毒剂和防腐剂 B ．白磷着火点高且无毒，可用于制造安全火柴 C ．油脂皂化生成的高级脂肪酸钠是肥皂的有效成分 D ．用食醋去除水壶中的水垢时所发生的是水解放应 5．有4中混合溶液，分别由等体积0.1mol/L 的2种溶液混合面成：①3CH COONa 与HCl ； ②3CH COONa 与 NaCl;③3CH COONa 与NaCl ④3CH COONa 与3NaHCO ，下列各项排序正确的是 A ．pH:②>③>④>① B. -3c(CH COO )：②>④>③>① C. 溶液中:①>③>②>④ D. 3c(CH COOH):①>④>③>② 6.（09安徽）北京奥运会期间对大量盆栽鲜花施用了S-诱抗素制剂，以保证鲜花盛开，S-诱抗素的分子结 构如图，下列关于该分子说法正确的是 A.含有碳碳双键、羟基、羰基、羧基 B.含有苯环、羟基、羰基、羧基 C.含有羟基、羰基、羧基、酯基 D.含有碳碳双键、苯环、羟基、羰基 7．(09山东)下列关于有机物的说法错误的是 https://www.360docs.net/doc/806624444.html,l 4可由CH 4制得，可萃取碘水中的碘 B.石油和天然气的主要成分都是碳氢化合物 C.乙醇、乙酸和乙酸乙酯能用饱和Na 2CO 3溶液鉴别 D.苯不能使KMnO 4溶液褪色，因此苯不能发生氧化反应 8．(09浙江)一种从植物中提取的天然化合物a-damascone ，可用于制作“香水”，其结构如下，有关该化合物的下列说法不正确．．．的是 A ．分子式为 1320C H O B ．该化合物可发生聚合反应 C ．1mol 该化合物完全燃烧消耗19mol O 2 D ．与溴的CCl 4溶液反应生成的产物经水解、稀硝酸化后可用AgNO 3溶液检验2014年高考化学专题训练及解析： 无机框图题
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