反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数：

概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ??

∈-

????

时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =. sin ()y x x R =∈，不存在反函数.

含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ??

∈-????；sin x α=.

反余弦、反正切函数同理，性质如下表.

其中：

（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－

2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2

π

]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；

（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2

π

], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关

系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],

arcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π

], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件；

（4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2

π

的应用。

2

（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k

k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；

若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；

（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

【例题精讲】

例1. 函数，，的反函数为（

）y x x =∈???

???sin π

π2

32

[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []

B y x x .arcsin =-∈-，，11 []

C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []

D y x x .arcsin =-∈-π，，11 分析与解： π

π2

32

≤≤

x ∴?-??????x x π

π2

2，，需把角转化至主值区间。 ∴-

≤-≤

-==π

ππ

π2

2

x x x y ，又sin()sin

由反正弦函数定义，得π-=x y arcsin ∴=--≤≤x y y πarcsin ，又由已知得11

[]

∴=-∈-所求反函数为，，y x x πarcsin 11 例4. 函数，，的图象为（）y x x =∈-

??????arccos(cos )π

π2

2

（A ） （B ）

（C ） （D ）

分析与解：

解析式可化简为，，，，y x x x x x ==∈?

? ??

?-∈-???????????

??arccos(cos )0220ππ

即，，，，显然其图象应为（）y x x x x A =∈?

? ??

?-∈-????????

???

??0220ππ 例5. 函数，，

的值域为（）y x x =∈-

arccos(sin )()π

π

3

23

A B ..π

ππ656056，，??

??

??

?????

C D ..π

ππ

π3236

23，，??

??

???????

分析与解： 欲求函数值域，需先求，，

的值域。u x x =∈-

sin ()π

π

3

23

-

<<

∴-<≤-<≤π

π3

2332132

1x x u ，，即sin []

而在，上为减函数y u =-arccos 11

∴->≥arccos()arccos arccos 3

2

1u 即，故选（）056

≤

例6.使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是( )

A B ..022221，，??

?

??

?? ?

??

[)C D ..-??

??

?

?-12210，

，

分析与解：

该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x 的取值范围，故需把x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。 若，则，，而，x x x ≤∈-

??????∈????

?

?0202arcsin arccos πππ 此时不成立，故arcsin arccos x x x >>0 若，则，

，，x x x >∈??

?

??∈?

? ??

?00202arcsin arccos ππ 而在区间，上为增函数y x =?

?

?

?

?sin 02π

又arcsin arccos sin(arcsin )sin(arccos )x x

x x >∴>

即，解不等式，得x x x >->

12

2

2

|| 又，故选（）012

2

1<≤∴

<≤x x B 例7. []若，则（）022<<

+????

?

?++=απ

παπαarcsin cos()arccos sin()

A B C D .

..

.π

π

π

απ

α22

2

22

2-

--

-

分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。 arcsin cos()arcsin(sin )arcsin(sin )π

αααα2+??

???

?=-=-=-

[]arccos sin()arccos(sin )arccos(sin )πααπα+=-=- =--??

??

?

?=--=+ππ

αππαπαarccos cos(

)(),222 ∴=-++=

原式，故选（）()(

)απ

απ

2

2

A

例8. 求值：(1)3sin 2arcsin 5????- ???????

(2)1

1tan arccos 2

3??

???

分析：arcsin()arcsin()sin --

??????=-3

5

2

235表示，上的角，若设，则易得π

παα =-3

5

2，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin α问题的关键

是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。 解：（）设，则13

535arcsin()sin -==-αα αππαα∈-????

??∴=

-=

2

2145

2，，cos sin ∴==?-?=-sin sin cos ()()2223

5452425

ααα 即sin arcsin()23524

25-?

???

??=-

（）设，则21313arccos

cos ==αα []

απ

αα∈∴=-=

0122

3

2，sin cos ∴=-=-

=tg ααα2111

3223

22cos sin 即tg 121322arccos ?????

?= 例9.知函数2

()arccos()f x x x =-

（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)f x f x <+

解：（1）由112

≤-≤-x x 得

251251+≤≤-x 又]1,4

1[41)21(22

-∈--=-x x x ∴)(x f 的定义域为]251,251[

+-，值域为]4

1arccos ,0[-π 又∵]2

1

,251[

-∈x 时，x x x g -=2)(单调递减，x y arccos =单调递减，从而)(x f 递增 ∴)(x f 的单调递增区间是]21,251[

-，同理)(x f 的单调递减区间是]2

5

1,21[+

（2）)]

2

1

2(

)

2

1

2

arccos[(

)

arccos(

)

2

1

2(

)

(2

2+

-

+

<

-

+

x

x

x

x

f

x

f即

即)

4

1

4

arccos(

)

arccos(2

2-

<

-x

x

x

∴

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

>

-

≤

-

≤

-

≤

-

≤

-

4

1

4

1

4

1

4

1

1

1

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

解不等式组得

6

1

2

1

<

<

-x∴不等式的解集为)

6

1

,

2

1

(-

简单的三角方程

例1.写出下列三角方程的解集

(1)

2

sin()

82

x

π

-=; (2)2cos310

x+=; (3)cot3

x=

解集{x|x=(kπ+arctg3)2，k∈Z}

例2.求方程tan(3)3

4

x

π

+=在[]

0,2π上的解集.

说明 如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k 取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解．

例3.解方程2

2sin 3cos 10x x ++= 解：方程化为22cos 3cos 30x x --=

说明 可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解． 例4. 解方程①3sin 2cos 0x x -= ②2

2

2sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=

②除以cos 2x 化为2tg 2x-3tgx-2=0．

说明 关于sinx ，cosx 的齐次方程的解法：方程两边都除cos n x(n=1，2，3，…)(∵cosx=0不是方程的解)，转化为关于tgx 的方程来解．

例5.解方程：(1)3sin 2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x x -= 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程

2x-30°=k180°+(-1)k 30°

∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k ∈Z)所以解集是 {x|x=k90°+(-1)k15°+15°，k ∈Z}

于是x=k60°+(-1)k 10°+22°38′，(k ∈Z)

∴原方程的解集为{x|x=k60°(-1)k 10°+22°38′，k ∈Z}

最简单的三角方程．

例6.解方程22sin 3cos 0x x +=．

解 原方程可化为 2

2(1cos )3cos 0x x -+=， 即 22cos 3cos 20x x --=． 解这个关于cos x 的二次方程，得

cos 2x =，1

cos 2

x =-．

由cos 2x =，得解集为φ；

由1

cos 2x =-

，得解集为22,3x x k k Z ππ??=±∈????

． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ??

=±

∈???

?

． [说明]方程中的2sin x 可化为2

1cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0

?≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．

【拓展提高】

例1.若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围． 解一 由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，

即 2sin sin 02

m

x x +-

= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤

要使方程有解，只需14()02

1102

m m ?

?=-?-≥????+-≥??

解得1

42

m -

≤≤． 所以m 的取值范围为1,42

??-???

?

．

[说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0?≥，而且必须考虑sin x 的值在

[]1,1-内．

解二 由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，

得22112sin 2sin 2(sin )22

m x x x =+=+- 因为1sin 1x -≤≤，所以1

42m -

≤≤． 所以m 的取值范围为1

,42

??-???

?

．

[说明] 当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤， 则原题就转化为求[]211

2(),1,122

m t t =+-

∈-的最大值、最小值问题． 例2.求方程sin 2cos()x x π=-的解集． 解一 由原方程得2sin cos cos x x x ?=-， 得 cos 0x =，1sin 2

x =-

． 由cos 0x =，得解集为,2x x k k Z π

π??=+

∈???

?

； 由1

sin 2x =-

，得解集为(1),6K x x k k Z ππ??=--∈????

．

所以原方程的解集为(1),2

6K

x x k x k k Z π

π

ππ??=+

=--∈???

?

或． 解二 由原方程得sin 2cos x x =－， 即3sin 2sin()2

x x π

=+ 得3222x k x ππ=+

+或322()2x k x π

ππ=+-+， 即322x k ππ=+或236

k x ππ

=-，k Z ∈．

所以原方程的解集为322,236k x x k x k Z ππππ??

=+

=-∈????

或． 解三 由原方程得sin 2cos x x =－， 即cos(2)cos 2

x x π

+= 得222

x k x π

π+

=+或222

x k x π

π+

=-，

即22

x k π

π=-

或236

k x ππ

=

-，k Z ∈． 所以原方程的解集为22,2

36k x x k x k Z π

πππ??

=-

=

-∈???

?

或． [说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等

的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．

（1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈； （2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈； （3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈．

【巩固练习】

反三角函数

1.3arctan(tan

)5

π

的值是 ( ) A.35π- B. 25π C.25π- D.35

π

2.下列关系式中正确的是 ( ) A. 55cos cos 44arc ππ??

??-

=- ???????

B. sin arcsin 33ππ??= ???

C. cos cos

cos cos 44arc arc ππ?

?

?

?= ? ??

??

? D.1tan(2)cot()2arc arc -=- 3.函数()arcsin(tan )f x x =的定义域是 ( ) A.,44ππ??-

???? B.(),44k k k Z ππππ?

?-+∈???

?

C.(),(1)4

4k k k Z π

πππ?

?

+

+-

∈???

? D.()2,244k k k Z ππππ?

?-+∈???

? 4.在31,2

??-???

?

上和函数y x =相同的函数是 ( )

A.arccos(cos )y x =

B.arcsin(sin )y x =

C.sin(arcsin )y x =

D.cos(arccos )y x = 5.函数arctan 2

x

y π=+的反函数是 . 6.求sin y x =在3,22ππ??

???

?上的反函数.

7.比较arccos ? ??与1cot()2

arc -的大小.

1

arccos cot()2arc ?>- ??

8.研究函数(

)2

arccos y x x =-的定义域、值域及单调性.

9.计算:45cos arccos

arccos 513????-- ???????

10.求下列函数的定义域和值域： (1) y ＝arccos

x

1;

(2) y ＝arcsin(－x 2＋x ); (3) y ＝arccot(2x －1),

解：(1) y ＝arccos

x

1, 0<

x

1≤1, ∴ x ≥1, y ∈[0,

2

π). (2) y ＝arcsin(－x 2＋x ), －1≤－x 2＋x ≤1, ∴ 251-≤x ≤2

5

1+, 由于－x 2＋1＝－(x －21

)2＋41, ∴ －1≤－x 2＋x ≤41, ∴ －2π≤y ≤arcsin 4

1.

(3) y ＝arccot(2x －1), 由于2x －1>－1, ∴ 0< arccot(2x －1)<43π, ∴ x ∈R , y ∈(0, 4

3π

).

11.求函数y ＝(arccos x )2－3arccos x 的最值及相应的x 的值。

解：函数y ＝(arccos x )2－3arccos x , x ∈[－1, 1], arccos x ∈[0, π]

设arccos x ＝t , 0≤t ≤π, ∴ y ＝t 2－3t ＝(t －23)2－4

9

,

∴ 当t ＝23时,即x ＝cos 23时, 函数取得最小值－4

9

，

当t ＝π时,即x ＝－1时，函数取得最大值π2－3π. 简单的三角方程 1.解下列方程.

(1)2

tan 1x = (2)sin5sin3x x =

(2)5x=2k π+3x 或5x=2k π+π-3x

x k π∴=或21

8

k x π+=

()k Z ∈

2.方程sin2x ＝sin x 在区间(0, 2π)内的解的个数是 3个 .

解：作出函数y ＝sin2x 和y ＝sin x 的图象，由图象知，它们的交点有3个。

3.(1) 方程tan3x ＝tg x 的解集是{x | x ＝k π, k ∈Z }. (2) 方程sin x ＋cos x ＝2

2

在区间[0, 4π]上的所有的解的和是 9π .

4.解方程2

223

sin cos cos 0x x x x -=． x

y

O

π

2π

解一 因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得

2

tan tan 10x x -

-=． 解关于tan x 的二次方程，得

tan x =tan 3

x =-

．

由tan x =

,3x x k k Z ππ??

=+∈????

；

由tan 3x =-

，得解集为,6x x k k Z ππ??

=-∈????

． 所以原方程的解集为,,3

6x x k x k k Z π

π

ππ??

=+

=-

∈???

?

或．