根与系数关系教案
22.2.4 根与系数的关系（课案：教师用）
一、教学目标:
1.知识与技能:掌握一元二次方程的根与系数之间的关系以及根的判别式的综合运用。
2.过程与方法:经历由公式法推导一元二次方程根与系数的过程，理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用此关系解题。
3.情感、态度与价值观：在由公式法推导一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展观察、分析、发现问题的能力。 二、学情分析：
三、教学重点：根与系数的关系的应用
难点：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
突破难点的关键：鼓励学生动手操作，主动探索和讨论交流。
突破方法：通过活动一中的复习引入得出一元二次方程的根与系数的关系，通过例1运用根与系数的关系解题突出本课的重点。通过例2运用根据系数的关系求待定系数的值，突破本课的难点，通过跟踪训练加强根与系数的应用的理解。
四、教学方法：采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。 学习方法：合作交流性学习，探究性学习，概括性学习等方法 五、教师的准备：制作活动一、活动二、活动三中问题的幻灯片
学生的准备：复习一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。 六、教学过程
【课前预习】课本P40~P41
【课内探究】复习引入：方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式a
ac
b b x 242-±-=。
问题：解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的和与积，填入下表
（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.
分析：这是一道探究一元二次方程根与系数关系的问题，探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一。首先要根据题意求出已知方程的解，再根据得出的规律，
【解】（1）， 0， 2
9
-；
32， 0， 3
2
， 0； 2， 1， 3， 2； b a -
， c
a
. （2）已知：1x 和2x 是方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，
那么，12b x x a +=-
， 12c
x x a
?=. 【点评】探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，
探究性问题一般分为三类：1、条件探究型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。条件探究型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比、引申推广，或题目给出条件，要通过归纳总结出一般结论，探究存在型题目是指在一定的前提下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识较为广泛，既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能考查学生的观察、分析、概括能力，能从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜在藏在表面现象中的一般规律挖掘出来。
注：牢记利用一元二次方程的根与系数关系的前提条件必须满足042
≥-ac b ，用根与系数的关系求出一元二次方程中待定的常数的值后，一定要把待定的常数的值代入ac b 42-，使042
≥-ac b 的值保留，使042
<-ac b 的值舍去。
【活动二】例1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根21x x ，的和与积。 （1）01562=--x x ； （2）09732
=-+x x （3）2415x x =- （4）0262
=--x x （5）0122=++x x （6）0132
=--x x
分析：不是一般形式的先化成一般形式，再运用根与系数的关系，即公式：12b x x a +=-， 12c
x x a
?=代入进行计算。
例2：已知关于x 的方程012)14(2
=-+++k x k x 。 （1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根。
（2）若21,x x 是方程的两个实数根，且32)2)(2(21-=--k x x ，求k 的值。
分析：（1）要证方程有两个不相等的实数根，即证ac b 42
-≥0.只需将方程中二次项、一次项的系数代入进行化简、验证即可。（2）要求k 的值，必须先将32)2)(2(21-=--k x x 化简，变形可得：
324)(22121-=++-k x x x x ，再将1221-=k x x ，)14(21+-=+k x x 代入上式，可得
2k-1+2(4k+1)+4=2k-3，求出此一元一次方程的解即可。
跟踪训练：
1.课本P42练习，P43习题2
2.2第7题。
2.已知关于x 的一元二次方程012
=-+kx x （1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）设方程的两根分别为21,x x ，且满足2121x x x x ?=+，求k 的值。 【活动三】思维拓展：
例3：已知21,x x 是关于x 的一元二次方程062
=+-k x x 的两个实数根，且115212
22
1=--?x x x x 。
（1）求k 的值；（2）求82
221++x x 的值。
分析：本题很多同学拿到题目首先就运用根与系数的关系和式子115212
22
1=--?x x x x 求出k 的值。再将k 的值代入原方程，根据根与系数的关系解决第（2）问。事实上，本题有一个隐含条件，即方程有两个实数根，根据这个条件，首先应该求出k 的取值范围，然后根据115212
22
1=--?x x x x 求出k 的值，取符合k 取值范围的k 的值，再解决其他问题。 八、课堂作业：
1.设21,x x 是方程03422
=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。 （1）)2)(2(21++x x ；（2）
2
1
12x x x x + 2.已知βα,是方程0242
=++x x 的两个实数根，则50143
++βα=_________.
3.设21,x x 是关于x 的一元二次方程mx n x x =-++22
的两个实数根，且01 A.???>>21n m B.???<>21n m C.???><21n m D.???<<2 1 n m 【课后延伸】 已知21x x ，是方程04322 =-+x x 的两个根，求2 12 1x x x x +的值。 九、教学反思： 通过这节课的学习，可以发现：合作探究性的学习是有利于我学习好数学知识的，其实数学学习是一个由浅入深、由简到繁、环环相扣，不断深入性的过程。通过启发学生思考，归纳总结所学知识，让学生更加明确本节课的知识点。同时也培养和锻炼学生的语言表述能力，增强了学生学习数学的信心。 十、教后反思： 22.2.4一元二次方程的根与系数的关系习题 Ⅰ．核心知识扫描 一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当240b ac -≥时，方程有实数根，设这两个实数根分别为 12x x 、，这两个根与系数的关系：1212b c x x x x a a +=-?=，。 Ⅱ．知识点全面突破 知识点：○ C 一元二次方程根与系数的关系 【易错警示】：一元二次方程20ax bx c ++=根与系数的关系成立的条件：（1）a ≠0；（2）240b ac -≥。在解决有关字母的取值范围的问题时，一定要先考虑这两个条件。 例：已知12x x ，是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在这样的实数k ，使1212 3 222x x x x +- =成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知，0k ≠且2 44(3)0k ?=-->, 4 3 k ∴>-且0k ≠． （2）存在． 121243 x x x x k k +=-=-， 又 12123 222x x x x +- =，∴82k k -+=． 解得14k =，22k =-（不符合题意，舍去）． ∴存在满足条件的k 值，即4k =． 点拨：（1）由于该方程有两个不相等的实数根，因此该方程根的判别式的值大于零，从而列出一个关于k 的一元一次不等式，从而求出k 的取值范围；（2）用含k 的代数式表示12x x +和12x x 的值，然后代入 1212 3 222x x x x +- =，求出k 的值. Ⅲ．高效解题提升 提升点：根与系数的关系的综合运用 例1. （2008年南通市）设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋n －2＝mx 的两个实数根，且1x ＜0，2x －31x ＜0，则（ ） A ．12m n >?? >? B ．12m n >??? D ．1 2 m n 答案：C 点拨：∵12x x +＝m －1，12x x ＝n －2 1x ＜0，2x －31x ＜0，∴2x ＜0 ∴12x x +＜0，120x x >． ∵12x x +＝m －1，12x x ＝n －2 ∴m －1＜0，n －2＞0 Ⅴ．分层实战 1.已知一元二次方程x 2 ＋2x －7=0的两个根为x 1、x 2，则x 1＋x 2的值是（ ）（知识点） A ．－2 B ．2 C ．－7 D ．7 2. 若,αβ是方程2220050x x +-=的两个实数根，则2 3ααβ++的值为（ ）（知识点） A ．2005 B ．2003 C ．－2005 D ．4010 3. 若1x 、2x 是一元二次方程0572 =+-x x 的两根，则 2 11 1x x +的值是（ ）（知识点） A ． 57 B ．57- C ．7 5 D ．75- 4.（2010年包头市）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且 22 127x x +=，则212()x x -的值是（ ）（提升点） A ．1 B ．12 C ．13 D ．25 5.（2010江苏南通）设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1(x 22+5x 2－3)+a ＝2，则a = ______．（提升点） 6.已知关于x 的一元二次方程x 2 －(k ＋1) x －6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．(知识点) 7.（2010广东中山）已知一元二次方程022 =+-m x x ．（提升点） （1）若方程有两个实数根，求m 的范围； （2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。 第3课时用待定系数法求一次函数解析式 【知识与技能】 1.学会用待定系数法确定一次函数解析式. 2.了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数. 【过程与方法】 1.经历待定系数法的应用过程，提高解决数学问题的能力. 2.体验一次函数中数形结合思想的运用. 【情感态度】 能把实际问题与数学问题相互转化，认识数学与生活的密切关系. 【教学重点】 待定系数法确定一次函数解析式. 【教学难点】 灵活运用有关知识解决实际问题. 一、情境导入，初步认识 已知两个函数的图象如图所示，请根据图象写出每条直线的表达式. 【教学说明】从图象知，图1中直线表示的是正比例函数，其解析式为y=kx形式，关键是如何求出k的值；由图可知图象过点（1，2），所以该点坐标必适合解析式，将坐标代入y=kx即可求出k的值. 图2中直线表示的是一次函数，其解析式为y=kx+b形式，代入直线上两点坐标（2，0）与（0，3），通过解方程组即可求出k、b，确定解析式. 学生讨论后，由教师小结. 确定正比例函数解析式需要1个条件，确定一次函数的解析式需要2个条件，先设 出相应的解析式，然后将条件代入得到方程或方程组，求解后确定解析式. 二、典例精析，掌握新知 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 例1 已知正比例函数的图象经过点（-4，3），求它的解析式. 【分析】求解正比例函数的解析式，我们可以首先设它的解析式为y=kx，根据已知条件，求解出k的值即可.根据这个正比例函数图象经过点（-4，3），意味着当x=-4时，y=3，从而得到k的值. 解：由题意可知3=-4k，k=-3 4 所以，这个正比例函数解析式为y=- 3 4 x. 例2 问点A（-1，3），B（1，-1），C（3，-5）是否在同一条直线上. 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意得 3 1k b k b =-+? ? -=+?解得 2 1 k b =- ? ? = ? ， ∴直线AB：y=-2x+1；当x=3时，y=-2×3+1=-5，∴点C（3，-5）在直线AB上，因此，、B、C三点共线. 【教学说明】本题的实质是先求出过其中的两点确定的一条直线，再把第三点坐标代入直线解析式，如果该点坐标符合解析式，则表明该点在这条直线上，否则三点就不共线. 例3 一次函数y=kx+4的图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，O为坐标原点，且△AOB的面积为4，求一次函数的解析式. 【分析】由于k的符号不确定，我们无法画出一次函数的大致图象，但由于题目的信息非常明确，而且条件也非常简单，由此希望同学们能够练成“纸上无图象，而心中有图象”的境界，我们分别用含k的代数式表示A、B两的坐标，再把坐标转化为线段OA、OB的长度，根据△AOB的面积进而求出k的值. 解法一：令x=0，y=4，∴B（0，4），OB=4. 令y=0，x=-4 k ，∴A（- 4 k ，0） ∴OA=|4 k |（一定要注意绝对值符号） ∵S△AOB=4，∴错误!未找到引用源。OA·OB=4.即|4 k |·4=4，∴k=±2. 一元二次方程根与系数的关系说课稿 尊敬的各位评委，各位老师，大家好！我叫杨东笑，来自峨山县小街中学。今天我说课的课题是“一元二次方程根与系数的关系”。现代数学教育观认为：教学活动是师生积极参与，交往互动，共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者。在此理念的指导下，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程等几个方面向各位评委介绍我对本节课的教学设计。 一、教材分析 “一元二次方程根与系数的关系”是人教版数学九年级上册第二十一章2.4节的内容。此内容为选学内容。一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法及根的判别式之后来进一步揭示根与系数的关系，是对前面知识的巩固与深化，又为今后继续研究一元二次方程根的情况作下一个铺垫，因此虽为选学内容，但却起着承上启下的重要作用。同时，在教学内容中体现的数学方法和数学思想对学生数学能力的培养起到非常重要的作用。 二、学情分析 本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力有差异，但大部分学生已经会解一元二次方程。同时，这一年龄阶段学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，已经具备一定的归纳推理能力和团结协作意识，相信在教师的引导下应该能很好地完成本节教学内容。 三、教学目标 根据《课程标准》的要求，结合九年级学生的年龄特征，我将教学目标制定如下： 1.知识与能力 （1）掌握一元二次方程根与系数的关系； （2）会利用定理求解已知一元二次方程的两根之和及两根之积； 2.过程与方法 （1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察、猜想、证明、归纳概括能力； （2）在运用一元二次方程根与系数关系解决数学问题的过程中，培养学生解决问题的能力，渗透特殊到一般的数学思想。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【知识与技能】 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 2.能运用根与系数的关系解决具体问题. 【过程与方法】 经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 通过观察、归纳获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点,掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法,培养学生勇于探索的精神. 【教学重点】 一元二次方程根与系数的关系及其应用. 【教学难点】 探索一元二次方程根与系数的关系. 一、情境导入,初步认识 问题请完成下面的表格 观察表格中的结果,你有什么发现？ 【教学说明】通过对具体问题的思考,可以找出x1+x2和x1·x2与方程的系数之间的关系,引入新课. 二、思考探究,获取新知 通过对问题情境的讨论,可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一 定的联系,请运用你发现的规律填空: (1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2,则x1+x2= , x1·x2= ; (2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2,则x1+x2= , x1·x2= . 答案：（1）4,-7；（2）-3,-5. 思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2,你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？ （2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由. 【教学说明】设置上述思考的两个问题,目的在于引导学生在感性认识的基础上进行理性思考,从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时,应给予充足的思考交流时间,让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究,完善认知.具体推导过程可参见教材. 【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）： 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2,则x1+x2=-b a ,x1·x2= c a .这表明 两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比. 思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时,是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？ 【教学说明】设置思考2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0,否则方程就没有实数根,自然不存在x1,x2,防止学生片面理解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意. 三、典例精析,掌握新知 例1见教材16页例4. 分析：对于方程（3）,应化为一般形式后,再利用根与系数的关系来求解. 【试一试】教材第16页练习. 例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值. 分析：设方程的另一根为x1,可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c,也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值. 用待定系数法解二次函数 解析式教案 Prepared on 24 November 2020 宝坻区中学课堂教学教案 教学教学内容教师活动学生活动 例题讲解合 作 探 究 通过例题讲解让学生 熟悉二次函数解析式的求 法。 例1、已知一个二次函数 的图象过点三点，求这个 函数的解析式 例2、已知抛物线的顶点 为，与轴交点为求抛物线 的解析式 例3、已知抛物线与轴交 于并经过点，求抛物线的 解析式 教师出示问题，引导让学 生先以小组为单位自学、 讨论。 师板书：根据题意 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 去解这个三元一次方程组 得： a=2，b=-3，c=5； 所求二次函数 5 3- 22+ =x x y 师分析：二次函数y＝ax2 ＋bx＋c通过配方可得y ＝a(x-h)2＋k的形式称为 顶点式，(h，k)为抛物线 的顶点坐标，因为这个二 次函数的图象顶点坐标是 -1，-3)，因此，可以设 函数关系式为：y＝ a(x+1)2-3 由于二次函数的图象过点 (0，-5)，代入所设函数 关系式，即可求出a的 值。 师：二次函数y＝ax2＋bx ＋c与x轴的两个交点为 所以应设二次函数y=a （x-x1）（x-x2） （a≠0）再把01 M（，） 代入求a的值。 锻炼学生会根据题目中不 同条件设不同的解析式的 能力。 学生动手自主操解出二次函 数解析式 锻炼学生的计算能力 教学环节教学内容教师活动学生活动 巩固提升达标检测课堂小结1.已知二次函数当x＝－3时， 有最大值－1，且当x＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。 1.已知抛物线的顶点坐标为(－ 1，－3)，与y轴交点为(0，－ 5)，求二次函数的关系式。 2．函数y＝x2＋px＋q的最小值 是4，且当x＝2时，y＝5，求 p和q。 3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的 最高点为(－1，－3)，求b和 c。 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象经过A(0，1)，B(－ 1，0)，C(1，0)，那么此函数 的关系式是______。如果y随x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是______。 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c的图象过A(0，－5)，B(5， 0)两点，它的对称轴为直线x＝ 2，求这个二次函数的关系式。 小结：让学生讨论、交流、归 纳得到：已知二次函数的最大 值或最小值，就是已知该函数 顶点坐标，应用顶点式求解方 便，用一般式求解计算量较 大。 教师与学生一起回顾本节课内容， 并请学生回答：想一想,你的收获是 什么困惑有哪些说出来,与同学们分 享。 1． 让学生体验用不 同的方法解决问 题。 教师适时引导、 点拨，然后由小 组推荐学生板书 问题，其他小组 学生评价。 让学生理清求二 次函数 c bx ax y+ + =2 解析式的研究内 容和方法，让学 生会分析问题、 解决问题的方 法。 学生在自主探究的 基础上，尝试解决 问题。 学生梳理本节课学 习内容，方法及获 得结果，感受过程 体验成功。 中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证. 1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 知识与技能：理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、 b、c之间的关系。 过程与方法：能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。会求已知方程的两根的倒数和与平方和、 两根的差。 情感态度与价值观：在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明” 的研究问题的思想与方法。 教学重点：掌握一元二次方程根与系数的关系． 教学难点：熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题 教学过程 第一环节：复习回顾 内容： 1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)（板书） 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△=b2-4ac≥0) 3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ 4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。 效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。 后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。 第二环节：情景引入 内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？ （1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x +1=0 目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题 第三环节：探究新知 内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果） 问题： 1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？ 2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？ 运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标： 1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤; 2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法; 3.通过自主、合作学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 教学重点：用待定系数法求函数的解析式 教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式 教学设计： 一、基础扫描 1．已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1)，则k=__________． 2．已知反比例函数 k y x =的图象经过（1，－2）．则k=__． 3．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.求经过A、B、C三点的抛物线的解析式. 4．抛物线的顶点为（-2，-3），且过点（0，-7），求该抛物线的解析式． 问题1：结合上述四题，说说何为待定系数法？（板书课题） 问题2：谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤. 二、课内探究 活动一：一次函数的解析式的确定 1．与直线y=x平行，并且经过点P（1,2）的一次函数解析式为_________. 2．如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上. (1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02 y ≤≤时,自变量x的 取值范围； (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段 BC.若直线BC的函数解析式为y kx b =+, 则y随x的增大而(填“增大”或“减小”). 活动二：反比例函数解析式的确定 1．如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（） A． 2 y x =B． 2 y x =-C． 1 2 y x =D． 1 2 y x =- 一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知 一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根． 1 专题一 根的判别式及根与系数的关系 2019年下期九年级培优 唐国栋 知识提炼 1、一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式：ac b 42-=?，用来判断一元二次方程的实根的个数。当0>?时，方程有 的实数根；当?=0时，方程有 的实数根；当0++?x x x x ，那么实数m 的取值范围是 。 例4（全国联赛)已知t 是实数，若b a ,是关于一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是 。 例5(北京市) 已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围； （2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 2.2.3 待定系数法 【学习要求】 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式； 2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题． 【学法指导】 通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定 ，然后再根据题设条件求出这些 待定系数 ．这种通过求 待定系数 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法． 2.正比例函数的一般形式为 y ＝kx(k ≠0) ，反比例函数的一般形式为y (k ≠0) ，一次函数的一般形式为 y ＝kx ＋b(k ≠0) ，二次函数的一般形式为 y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0) . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 对于一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法． 探究点一 待定系数法的概念 问题1 已知一个正比例函数的图象通过点(－3,4)，如何求这个函数的解析式？ 答：我们可设所求的正比例函数为y ＝kx ，其中k 待定，根据已知条件，将点(－3,4)代入可得k ＝－4 3 . 所以所求的正比例函数是y ＝－4 3 x. 问题2 在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？ 答：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法． 问题3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几个需要确定的系数？ 答： 解析式分别为y ＝kx(k≠0)，y ＝kx ＋b(k≠0)，y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)，它们的解析式中待定系数各有1个，2个，3个． 问题4 对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？ 答： 当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等． 探究点二 用待定系数法求一次函数 问题1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？ 答： 只需要一个条件． 问题2 我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？ 答： 需要2个独立的条件．因为一次函数的解析式中有2个待定的系数． 例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式． 解： 设所求的一次函数是f(x)＝kx ＋b(k≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组? ???? 22k ＋b －3k ＋b ＝5 2b －－k ＋b ＝1 即??? ? ? k －b ＝5k ＋b ＝1 解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2. 小结： 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式． 跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x ＋8，求此一次函数的解析式． 解： 设该一次函数是y ＝ax ＋b ， 由题意得f[f(x)]＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2 x ＋ab ＋b ＝9x ＋8. 因此有? ?? ?? a 2 ＝9ab ＋b ＝8， 解方程组，得? ?? ?? a ＝3 b ＝2或? ?? ?? a ＝－3 b ＝－4. 所以一次函数为f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4. 探究点三 用待定系数法求二次函数 问题1 二次函数解析式有哪几种表达式？ 答： 二次函数解析式有三种形式：一般式：y ＝ax 2 ＋bx ＋c ； 《一元二次方程的根与系数关系》教学 设计 教材分析: 本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系． 教学目标： 【知识与能力目标】 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 2.能运用根与系数的关系解决具体问题. 【过程与方法】 经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神. 教学重难点： 【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用. 【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系. 课前准备： 多媒体 教学过程： 问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？ （2）一元二次方程有实数根的条件是什么？ （3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？ （4）一元二次方程的求根公式是什么？ [师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点． [答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根； （3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根； （4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 a ac b b x 2 4 2- ± - =（△≥0）. 【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。 问题2：请完成下面的表格 观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？ 【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。 问题3：（1）填写上表后思考： ①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？ 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式 1．用待定系数法求一次函数的解析式； (重点) 2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点) 一、情境导入 已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式． 一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？ 二、合作探究 探究点：用待定系数法求一次函数解析式 【类型一】 已知两点确定一次函数解析式 已知一次函数图象经过点A (3，5) 和点B (－4，－9)． (1)求此一次函数的解析式； (2)若点C (m ，2)是该函数图象上一点，求C 点坐标． 解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；(2)将点C 的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m 的值． 解：(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋ b (k 、b 是常数，且k ≠0)，则??? ? ?5＝3k ＋b ，－9＝－4k ＋b ，∴? ????k ＝2， b ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝2x －1； (2)∵点C (m ，2)在y ＝2x －1上，∴2＝ 2m －1，∴m ＝32，∴点C 的坐标为(3 2 ，2)． 方法总结：解答此题时，要注意一次函 数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下． 【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式． 解析：先求出点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式． 解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．设直线AB 的解 析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则???? ?2k ＋b ＝0，b ＝－2，解得 ? ????k ＝1， b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2. 方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式． 【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式 如图，点B 的坐标为(－2，0)， AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式． 中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____. 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时) 导学探究 1．一元二次方程的一般形式是_______________. 2. 一元二次方程的求根公式是______________________. 3. 判别式与一元二次方程根的情况： 4. 一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究 1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结： 已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件. 练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2 ﹣（2k+1）x+k 2 +2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1?x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围. 【例2】（2015?丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2 ﹣2（m+1）x+m 2 ﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2 ﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结： 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下： 24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ?-，则 （1）当0?＞时，__________________________________； （2）当=0?时，___________________________________ （3）当0?＜时，原方程____________________________. 【例1】已知关于x 的方程2 120,3 x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有 1212,b c x x x x a a +=-?=．这是著名的韦达定理. 一元二次方程根与系数的关系公开课教案 Revised on November 25, 2020 一元二次方程根与系数的关系教案 教材出处：义务教育课程标准实验教科书实践与探索第1课时根与系数的关系。 授课时间：2016年8月31 教学目标： 1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。 2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。 3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。 教学重点：根与系数的关系的推导、运用。 教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。 教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。 教学过程： 一、问题情境，导入新课： 观察上面的表格，你能得到什么结论 （1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系 （2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢你能证明你的猜想吗 二、探究新知： 1、根与系数关系： （1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是： 12x x p +=-，12x x q =。 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 教学目标 【知识与技能】 利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式. 【过程与方法】 通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法. 【情感态度】 经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性. 教学重点 待定系数法求二次函数的解析式. 教学难点 选择恰当的解析式求法. 教学目标 一、情境导入，初步认识 问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？ 【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件. 二、思考探究，获取新知 在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式. 回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况： （1）顶点在原点，可设为y=ax2; （2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k; （3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2; （4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx; (5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k; （6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c; （7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2). 【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握. 三、典例精析，掌握新知 例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式. （1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式. （2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）； （3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）. 分析： (1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解. (2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解. （3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但 若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有 2b a - =-1, 2 4 4 ac b a - =3,因此仍 可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式. 解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则 一元二次方程的根与系数的关系 教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点 重点：韦达定理的推导和初步运用． 难点：定理的应用． 教学过程 一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ 二、新课讲解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么 例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 讲解例1 例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数． 四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程； 五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。人教版八年级下册数学 用待定系数法求一次函数解析式教案与教学反思
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