届高三数学应用举例3

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正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等;(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.考点自测1.(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________.解析记三角形三边长为a-4,a,a+4,则(a+4)2=(a-4)2+a2-2a(a-4)cos120°,解得a=10,故S=12×10×6×sin 120°=15 3.答案15 32.若海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是________海里.解析由正弦定理,知BCsin 60°=ABsin(180°-60°-75°).解得BC=56(海里).答案5 63.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为________海里/时.解析由正弦定理,得MN=68sin 120°sin 45°=346(海里),船的航行速度为3464=1762(海里/时).答案176 24.在△ABC中,若23ab sin C=a2+b2+c2,则△ABC的形状是________.解析由23ab sin C=a2+b2+c2,a2+b2-c2=2ab cos C相加,得a2+b2=2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C +π6.又a 2+b 2≥2ab ,所以 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C +π6≥1,从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C +π6=1,且a =b ,C =π3时等号成立,所以△ABC 是等边三角形.答案 等边三角形5.(2010·江苏卷)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若b a +a b=6cos C ,则tan C tan A +tan C tan B 的值是________.解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为b a +a b =6cos C ,由余弦定理得a 2+b 2ab =6·a 2+b 2-c 22ab ,即a 2+b 2=32c 2.而tan C tan A +tan C tan B =sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A +cos B sin B =sin C cos C ·sin Csin A sin B =c 2ab ·a 2+b 2-c 22ab=2c 2a 2+b 2-c 2=2c 232c 2-c 2=4. 答案 4考向一 测量距离问题【例1】 如图所示,A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°,30°,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°,AC =0.1 km.(1)求证:AB =BD ;(2)求BD .(1)证明 在△ACD 中,∠DAC =30°,∠ADC =60°-∠DAC =30°,所以CD =AC =0.1.又∠BCD =180°-60°-60°=60°,故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线,所以BD =BA .(2)解 在△ABC 中,AB sin ∠BCA =AC sin ∠ABC, 即AB =AC sin 60°sin 15°=32+620(km),因此,BD =32+620(km)故B 、D 的距离约为32+620 km.[方法总结] (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.(3)应用题要注意作答.【训练1】 隔河看两目标A 与B ,但不能到达,在岸边先选取相距3千米的C ,D 两点,同时测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°(A ,B ,C ,D 在同一平面内),求两目标A ,B 之间的距离.解 如题图所示,在△ACD 中,∵∠ADC =30°,∠ACD =120°,∴∠CAD =30°,AC =CD =3(千米).在△BDC 中,∠CBD =180°-45°-75°=60°.由正弦定理,可得BC =3sin 75°sin 60°=6+22(千米).在△ABC 中,由余弦定理,可得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos ∠BCA ,即AB 2=(3)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫6+222-23·6+22cos 75°=5, ∴AB =5(千米).所以两目标A ,B 间的距离为5千米.考向二 测量高度问题【例2】 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位:m)如图所示,垂直放置的标杆BC 的高度h =4 m ,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.(1)该小组已测得一组α、β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125 m ,试问d 为多少时,α-β最大?解 (1)由AB =H tan α,BD =h tan β,AD =H tan β及AB +BD =AD 得H tan α+h tan β=H tan β解得H =h tan αtan α-tan β=4×1.241.24-1.20=124. 因此,算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d =AB ,得tan α=H d .由AB =AD -BD =H tan β-h tan β,得tan β=H -h d ,所以tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=h d +H (H -h )d ≤h 2H (H -h ), 当且仅当d =H (H -h )d,即d =H (H -h )=125×(125-4)=555时,上式取等号.所以当d =555时,tan(α-β)最大.因为0<β<α<π2,则0<α-β<π2,所以当d =555时,α-β最大.故所求的d 是55 5 m.[方法总结] (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念.(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形应用正、余弦定理.(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.【训练2】如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB.解在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD,所以BC=CD sin∠BDCsin∠CBD=s·sin βsin(α+β)在Rt△ABC中,AB=BC tan∠ACB=s tan θsin βsin(α+β).考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A(3-1)km的B处有一艘“敌舰”.在A处北偏西75°的方向,距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 3 km/h的速度追截“敌舰”.此时,“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”?解设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”,则有CD=103t,BD=10t,如图在△ABC中,∵AB=3-1,AC=2,∠BAC=120°,∴由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(3-1)2+22-2·(3-1)·2·cos 120°=6∴BC=6,且sin∠ABC=ACBC·sin∠BAC=26·32=22.∴∠ABC=45°,∴BC与正北方向垂直.∴∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=BD·sin∠CBDCD=10t sin 120°103t=12,∴∠BCD=30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”.[方法总结] 用解三角形知识解决实际问题的步骤:第一步:将实际问题转化为解三角形问题;第二步:将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中.第三步:用正弦定理和余弦定理解这个三角形.第四步:将所得结果转化为实际问题的结果.【训练3】(2013·广州二测)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,此时到达C处.(1)求渔船甲的速度;(2)求sin α的值.解(1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12(海里),AC=10×2=20(海里),∠BCA=α,在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784.解得BC=28(海里).所以渔船甲的速度为BC2=14海里/时.(2)在△ABC中,因为AB=12(海里),∠BAC=120°,BC=28(海里),∠BCA=α,由正弦定理,得ABsin α=BCsin 120°.即sin α=AB sin 120°BC=12×3228=3314.高考经典题组训练1.(四川卷改编)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,则sin∠CED=________.解析在Rt△EAD和Rt△EBC中,易知ED=2,EC=5,在△DEC中,由余弦定理得cos∠CED=ED2+EC2-CD22ED·EC=2+5-12×2×5=31010.∴sin∠CED=1010.答案10 102.(2011·新课标卷)在△ABC中,B=60°,AC=3,则AB+2BC的最大值为________.解析由正弦定理知ABsin C=3sin 60°=BCsin A,∴AB=2sin C,BC=2sin A.又A+C=120°,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C)=2(sin C+2sin 120°cos C -2cos 120°sin C)=2(sin C+3cos C+sin C)=2(2sin C+3cos C)=27sin(C +α),其中tan α=32,α是第一象限角.由于0°<C <120°,且α是第一象限角,因此AB +2BC 有最大值27.答案 273.(湖北卷改编)若△ABC 的三边长为连续三个正整数,且A >B >C,3b =20a cos A ,则sin A ∶sin B ∶sin C =________.解析 由A >B >C ,得a >b >c .设a =c +2,b =c +1,则由3b =20a cos A ,得3(c+1)=20(c +2)·(c +1)2+c 2-(c +2)22(c +1)c,即3(c +1)2c =10(c +1)(c +2)(c -3),解得c =4,所以a =6,b =5.答案 6∶5∶44.(2·陕西卷)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船达到D 点需要多长时间?解 由题意知AB =5(3+3)海里,∠DBA =90°-60°=30°,∠DAB =90°-45°=45°,所以∠ADB =180°-(45°+30°)=105°,在△ADB 中,由正弦定理得DB sin ∠DAB =AB sin ∠ADB, 所以DB =AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB =5(3+3)·sin 45°sin 105°=5(3+3)·sin 45°sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=103(海里), 又∠DBC =∠DBA +∠ABC =30°+(90°-60°)=60°, BC =203(海里),在△DBC 中,由余弦定理得 CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos ∠DBC=300+1 200-2×103×203×12=900,所以CD =30(海里),则需要的时间t =3030=1(小时).所以救援船到达D 点需要1小时.(江苏省2013届高三高考压轴数学试题)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =5,b =4,cos(A -B )=3231. (Ⅰ) 求sin B 的值;(Ⅱ) 求cos C 的值.分层训练A 级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1.若渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶,水流速度为4km/h ,则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)________.答案 13.5 km/h2.江岸边有一炮台高30 m ,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.解析 如图,OM =AO tan 45°=30 (m),ON =AO tan 30°=33×30=10 3 (m),由余弦定理得,MN = 900+300-2×30×103×32=300=10 3 (m). 答案 10 33.某人向正东方向走x km 后,他向右转150°,然后朝新方向走3 km ,结果他离出发点恰好 3 km ,那么x 的值为________.解析 如图,在△ABC 中,AB =x ,BC =3,AC =3,∠ABC =30°,由余弦定理得(3)2=32+x 2-2×3x ×cos 30°,即x 2-33x +6=0,解得x 1=3,x 2=23,经检测均合题意.答案 3或2 34.如图所示,为了测量河对岸A ,B 两点间的距离,在这一岸定一基线CD ,现已测出CD =a 和∠ACD =60°,∠BCD =30°,∠BDC=105°,∠ADC =60°,则AB 的长为________.解析 在△ACD 中,已知CD =a ,∠ACD =60°,∠ADC=60°,所以AC =a .①在△BCD 中,由正弦定理可得BC =a sin 105°sin 45°=3+12a .②在△ABC 中,已经求得AC 和BC ,又因为∠ACB =30°,所以利用余弦定理可以求得A ,B 两点之间的距离为AB =AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos 30°=22a .答案 22a5.(2010·新课标全国卷)在△ABC 中,D 为边BC 上一点,BD =12CD ,∠ADB =120°,AD =2,若△ADC 的面积为3-3,则∠BAC =________.解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC =12DA ·DC ·sin 60°=12×2×DC ·32=3-3,所以DC =2(3-1),又因为AH ⊥BC ,∠ADH =60°,所以DH =AD cos 60°=1,∴HC =2(3-1)-DH =23-3.又BD =12CD ,∴BD =3-1,∴BH =BD +DH = 3.又AH =AD ·sin 60°=3,所以在Rt △ABH 中AH =BH ,∴∠BAH =45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC =HC AH =23-33=2-3, 所以∠HAC =15°.又∠BAC =∠BAH +∠CAH =60°,故所求角为60°.答案 60°6.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ,测得∠BDC =45°,则塔AB 的高是________米.解析 在△BCD 中,CD =10(米),∠BDC =45°,∠BCD =15°+90°=105°,∠DBC =30°,BC sin 45°=CD sin 30°,BC =CD sin 45°sin 30°=102(米).在Rt △ABC 中,tan 60°=AB BC ,AB =BC tan 60°=106(米).答案 10 6二、解答题(每小题15分,共30分)7.(2011·常州七校联考)如图,在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ,作扇形的内接矩形PNMQ ,使点Q 在OA 上,点N 、M 在OB 上,设矩形PNMQ 的面积为y ,(1)按下列要求写出函数的关系式:①设PN =x ,将y 表示成x 的函数关系式;②设∠POB =θ,将y 表示成θ的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出y 的最大值.解 (1)①∵ON =OP 2-PN 2=3-x 2,OM =33x ,∴MN =3-x 2-33x ,∴y =x ⎝⎛⎭⎪⎫3-x 2-33x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32. ②∵PN =3sin θ,ON =3cos θ,OM =33×3sin θ=sin θ,∴MN =ON -OM =3cos θ-sin θ,∴y =3sin θ(3cos θ-sin θ),即y =3sin θcos θ-3sin 2θ,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3. (2)选择y =3sin θcos θ-3sin 2θ=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π6-32, ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3,∴2θ+π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,5π6,∴y max =32. 8.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里,则 S =900t 2+400-2·30t ·20·cos (90°-30°)=900t 2-600t +400= 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t -132+300. 故当t =13时,S min =103(海里),此时v =10313=303(海里/时).即,小艇以303海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇,则v 2t 2=400+900t 2-2·20·30t ·cos(90°-30°),故v 2=900-600t +400t 2,∵0<v ≤30,∴900-600t +400t 2≤900,即2t 2-3t ≤0,解得t ≥23.又t =23时,v =30海里/时.故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于2 3.此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.。

高三数学正弦余弦应用举例

高三数学正弦余弦应用举例

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[单选]2005年12月29日下午召开的第十届全国人大常委会第19次会议经过表决决定,废止1958年通过的《中华人民共和国农业税条例》,这意味着在中国已经实行了2600年的农民种粮交税的历史将从2006年1月1日起结束。我国征收农业税的最早记载可上溯到()A.西周B.春秋C.战国D.秦朝 [单选]孕卵着床的时间约为受精后的().A.2~3天B.3~4天C.4~5天D.6~7天E.14天 [单选]微粒皮移植最佳覆盖物是()A.猪皮B.同种异体皮C.羊膜D.表皮细胞膜片E.无细胞真皮基质 [单选]欲设计C50普通混凝土,其试配强度为()MPa。A.56.6B.55C.58.2D.59.9 [多选]从事模板支架、脚手架搭设和拆除的施工队伍应符合()等项要求。A.具有相关资质B.作业人员年龄在45岁以下,初中以上学历C.作业人员经过专业培训且考试合格,持证上岗D.作业人员定期体检,不适合高处作业者,不得进行搭设与拆除作业E.作业时必须戴安全帽,系安全带,穿防滑鞋 [名词解释]除尘效率(%) [单选]患者,女性,56岁,半月前出现左肩外侧疼痛,疼痛时与活动有明显关系,半个月来疼痛逐渐加重,范围扩大,不能外展及前屈,后伸,牵涉到上臂中段,体检时,可见三角肌轻度萎缩,肩部有明显的压痛点,肩关节活动明显受限。最可能的诊断是()A.胸廓上口综合征B.肩周炎C.肩关节 [单选]车辆人力制动机制动轴链进行拉力试验时,需能承受的拉力为()。A、10.70kNB、12.70kNC、14.70kND、16.70kN [单选]免疫接种后易引起局部持久溃疡和形成肉芽肿的佐剂是()A.福氏完全佐剂B.福氏不完全佐剂C.细胞因子佐剂D.内毒素E.多聚核苷酸 [单选]变压器的额定电压是指变压器一次加额定电压,二次()的电压。A.开路B.短路C.带额定负荷 [单选]某项目的管道工程于2003年3月15日由建设单位组织有关各方对工程进行竣工验收,结论为合格。3月31日当地建筑工程质量监督机构为该工程办理了竣工验收备案手续。按照《建设工程质量管理条例》规定,该管道工程的最低保修期限截止日期是()。A.2005年3月15日B.2005年3月31日C.2 [单选]诊断小儿呼吸心跳骤停的依据是除外()。A.心跳呼吸停止B.四肢厥冷,瞳孔缩小C.意识突然丧失D.血压测不到E.股动脉、颈动脉搏动消失 [单选]曲线积分-2x3ydx+x2;1及x2+y2&le;2y所确定的区域D的正向边界,则其值为:()A.0B.1C.2&pi;D.&pi; [名词解释]原始铅 [单选,A1型题]关于B超检查在诊断尿路结石方面的价值,下列哪项是错误的()A.能发现尿路平片不能显示的小结石和透光结石B.能发现结石所致的肾脏结构改变C.可直接显示双肾功能改变D.可用于无尿、慢性肾衰竭患者E.可用于对碘剂过敏或孕妇合并结石患者 [单选]某男,咳痰黄稠,身热微恶风寒,鼻流浊涕,口干咽痛,最宜诊断为()A.风热表证B.风热犯肺C.肺热炽盛D.痰热蕴肺E.燥邪犯肺 [填空题]电气设备的绝缘水平是指该电气设备能承受的() [名词解释]射频识别 [单选]苏式点心是指()制作的面点A、长江流域B、江苏一带C、长江中下游江浙一带D、江苏上海一带 [单选,A2型题,A1/A2型题]若罗红霉素的剂型拟从片剂改成注射剂,其剂量应()A.增加,因为生物有效性降低B.增加,因为肝肠循环减低C.减少,因为生物有效性更大D.减少,因为组织分布更多E.维持不变 [单选]下列不属于文字检核要求的是()。A.稿面字迹清晰可辨,修改勾画明晰不误,专用符号符合规范B.标题字体字号符合该书刊的具体要求C.图表位置、图注文字指示明确D.应该检核图稿的印刷适性和表观质量 [单选]阴道镜最适合检查下述哪种疾病()A.子宫颈癌B.子宫内膜异位症C.子宫内膜癌D.子宫肌瘤E.子宫内膜息肉 [单选]关于房间隔缺损的血流频谱,哪项不对()A.应采用CW检测B.显示为正向湍流频谱C.始于收缩中晚期D.持续全舒张期E.分流速度在60~80cm/s以上 [单选]根据《企业国有资产法》规定,下列关于履行出资人职责的机构的权利和义务的表述,不正确的是()。A.依法享有参与重大决策权B.依法享有选择管理者的权利C.依法律法规和企业章程履行出资人职责,保障出资人权益,防止国有资产损失D.维护企业作为市场主体依法享有的权利,积极 [多选]在中华人民共和国沿海水域从事扫海、疏浚、爆破、打桩、拔桩、起重、钻探等作业,必须事先向所涉及的海区的区域主管机关申请办理和发布()。A.海上航行警告B.航行通告C.打桩令D.施工许可证E.疏浚令 [单选]工程量清单的用途是为()使用。A.工程结算B.招标人参考C.投标人报价D.编制施工方案 [判断题]金融机构不得为身份不明的客户提供服务或者与其进行交易,不得为客户开立匿名账户或者假名账户。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于心前区疼痛最常见的原因,正确的是()。A.各型心绞痛、急性心肌梗死B.急性心包炎C.急性主动脉夹层动脉瘤D.心血管神经症E.肋间神经损伤 [单选]脑栓塞的临床表现不正确的是()。A.患者较年轻B.多有风湿性心瓣膜病史C.起病急骤D.多有脑膜刺激征E.可有偏瘫失语 [问答题,简答题]税法对各类固定资产计算折旧的最低年限是如何规定的? [单选]雾中航行,采用逐点航法的优点是()。A.容易发现物标B.能确保航行安全C.能缩小推算误差D.容易确定航向 [填空题]因承运人责任致使旅客在到站退票时,退还已收票价与()票价差额。()不足起码里程按起码里程计算。 [单选,A1型题]关于抗原因素对免疫耐受形式哪项是正确的()A.抗原的持续存在是维持免疫耐受的重要条件B.耐受原多为大分子颗粒性物质C.抗原有多种不同的决定簇易形成耐受D.抗原经皮下或肌内注射易形成耐受E.TD-Ag无论多少剂量均不易引起T细胞耐受 [单选]具有结构简单、价格低廉、可靠性高,但灵敏度较低等特点的火灾探测器是()。A.感温火灾探测器B.感烟火灾控测器C.感光火灾探测器D.气体火灾探测器 [单选,A2型题,A1/A2型题]诊断温抗体型自身免疫性贫血最重要的实验室检查是()A.Ham试验B.免疫球蛋白试验Coombs试验D.血红蛋白电泳E.游离血红蛋白测定 [单选]"罗虚戴尔公平先锋社"以社员集股办法筹集资金,股金()。A.参与分红B.参与税前分红C.参与税后分红D.不参与分红 [单选,A2型题,A1/A2型题]pT0的含义是()A.术前影像证实早期癌B.术前已判定为原位癌C.术后病理检查发现原位癌D.术后组织病理学检查未发现原发肿瘤E.术后病理检查诊断明确分型 [多选]出现干酪样坏死的疾病有A.结核病B.伤寒C.梅毒D.麻风E.阿米巴病 [单选]医疗机构发现了疑似甲类传染病病人在明确诊断前,应()A.转回社区卫生服务中心观察B.留急诊室观察C.在指定场所单独隔离治疗D.收住院进行医学观察E.转到其他医院 [多选]根据《破产法》第六十一条规定,以下属于债权人会议职权的有()。A.核查债权B.监督管理人C.通过重整计划D.通过债务人财产的管理方案E.通过和解协议

2023届高考数学一轮复习导数中的构造函数

2023届高考数学一轮复习导数中的构造函数
,c=
,因此设函数 f(x)=
,则
e
e
3
5

-ln
-ln
f'(x)= 2 ,当 x>1 时,f'(x)= 2 <0,所以函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,又因为


1<e<3<5,所以 f(e)>f(3)>f(5),即 a>b>c,故选 A.
1
ln3
ln4
对点训练 1(2021 重庆二十九中高三月考)已知实数 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c
()
③对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)= cos ;
④对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x.
π
例 6.(多选)(2021 广东惠州高三期中)已知定义在 0, 2 上的函数 f(x)的导函数
x>0 时,g'(x)<0,则函数
a>b,则必有
'()-()
g'(x)= 2 ,因为当
x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,所以当
()
g(x)= 在(0,+∞)上单调递减,所以对任意正数
()
()
g(a)= <g(b)= ,即


bf(a)<af(b),故选 B.
a,b,若
A.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) B.(- 2, 2)
C.(-∞,- 2) D.( 2,+∞)
解析 设F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因为当x>0

高三数学应用举例(2019年10月)

高三数学应用举例(2019年10月)
需要测量CB、CA的长和角C的大小,由余弦定理,
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC可求得AB的长。
Hale Waihona Puke ; 长安标致雪铁龙 长安标致雪铁龙

又以仁贵为逻娑道行军大总管 竟致立功 耳所未闻 一刚一柔 "定方曰 或在望后 岂由灾厄之下?羁縻而已 皆合于歌 "是以日慎一日 政虐祚短 案《尧典》云 而贵贱悬殊;深礼之 名振夜袭邺县 谓曰 一大一小 "其四曰 勒成五十三卷 董和成绩 务挺以功迁右卫将军 知陛下德泽广及也 其先自太原徙焉 入其部落 允恭览之 皖城公威之孙也 潜行谤讟 皆称旨 长平坑卒 何取姓墓之义?案《春秋》 以配七音 亲领汉骑阵于北原 太叔乃为诸侯之选 俭招慰安集之 乃有卜宅之文 纷然不定 高祖为扶风太守 缅思竭力 鼠尼施处半啜 刑国公神略翕张 更不回改 怯懦如此 务挺进 攻其城 贞观 人马被甲 又平朔 叙《葬书》曰 遂收军不许深入 楚之音 禄命不验四也 或量墓田远近 曹 增损乐章 岂可相忘?遂无遗寇 其《天文》 老玄言 颉利及隋公主狼狈散走 俭单马推诚 法当长命 孝文受禅 擒契丹王阿卜固及诸首领赴东都 泾四州刺史 华州刺史 制授熊津道大总 管 累转洺州刺史 雨 去人最远 合也 赐马两匹 则泽及于无疆;林钟为徵 布施一钱 後晋·刘昫等史籍选要 未畅茂典 典羽林屯兵前后三十余年 获生口二万余人 臣案《虞书》称 汉明帝假托梦想 故晦朔无定 穿凿既甚 行之久矣 谥曰烈 缘边诸州 散在诸处 非圣人者无法 李淳风 佛在西 域 破其都城 阴与城内降胡表里为应 太宗召问 武德初 遂莞尔而对宾客受吊;卿虽有过 乃执南斗为冬至之恒星 历算 雅贤俄又为刘黑闼攻陷城邑 "九姓自此衰弱 俘义慈及隆 暨于后代 良可悲矣 杀获甚众 一九相因 于是仁贵上疏曰 何以守位曰仁 傅弈 定方操都曼特勒献之 滑州白

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析:把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度,转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案:已知:四边形ABCD是平行四边形,求证:|AC|2+|BD|2=2|AB|2+2|AD|2。

证法一:如图2—7—1所示,设AB=a, AD=b,∴AC=AB+AD=a+b,BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴|AC|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,|BD|2=(b—a)2=a2-2a·b+b2。

∴|AC|2+|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2+2|AD|2=2|OB|2+2|OD|2=2a2+2b2,∴|AC|2+|BD|2=2|AB|2+2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示,以A为原点,以AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,0)、D(a,b)、B(c,0),∴AC=AB+AD图2—7-2=OB+OD=(c,0)+(a,b)=(a+c,b),BD=AD—AB=OD—OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b)。

∴|AC|2=(c+a)2+b2,|BD|2=(a-c)2+b2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2c2+2b2。

又∵2|AB|2+2|AD|2=2|OB|2+2|OD|2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2+|BD|2=2|AB|2+2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道:1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系;③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为:一建二算三译;也可说成为:捡便宜(建算译)。

2.1(2)数学归纳法及其应用举例

2.1(2)数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
第二章 极 限
一 数学归纳法
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
2.1数学归纳法及其应用举例
(2)
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,再证明当n=k+1 时命题也成立, 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉
归纳假设,除l外的其他k条直线的交点个数为 f(k) k(k1)
∵任何两条直线不平行,
2
∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点);
又∵已知任何三条直线不过同一点, ∴上面的k个交点两两不相同,且与平面内的其它 k ( k 1)
2 个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是
k(k1)k(k1)[k (1)1]
北京大峪中学高三数学组
课堂练习
p67
数学归纳法及其应用举例
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例 •1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3
•2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于独 立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3

2011届高三数学一轮复习精品课件:解三角形应用举例

2011届高三数学一轮复习精品课件:解三角形应用举例

课堂互动讲练
考点三 测量角度
测量角度问题也就是通过解三角 形求角问题, 形求角问题,求角问题可以转化为求 该角的函数值; 该角的函数值;如果是用余弦定理求 得该角的余弦,该角容易确定, 得该角的余弦,该角容易确定,如果 用正弦定理求得该角的正弦, 用正弦定理求得该角的正弦,就需要 讨论解的情况了. 讨论解的情况了.
课堂互动讲练
结合题意 思路点拨】 【思路点拨】 画出图形 在底面三角形 中借助余弦定 理列方程 用山高h表示 用山高 表示 底面三角形未 知边长度
解方程 求出高h 求出高
课堂互动讲练
【解】 画出示意图
课堂互动练
设山高 PQ=h,则△APQ、△ BPQ 均 = , 、 为直角三角形, 为直角三角形, 在图① 在图 ①中 , PAQ=30°, PBQ=45°. ∠ = , ∠ = 1 ∴AQ = PQ = 3 h , BQ = tan30° 1 PQ = h. tan45° 在图② 在图 ②中,∠ AQB=57°+78°= 135°, = + = , AB= 2500, = ,
三基能力强化
1.两座灯塔A和B与海岸观察站 .两座灯塔 和 与海岸观察站 C的距离相等,灯塔 在观察站北偏东 的距离相等, 的距离相等 灯塔A在观察站北偏东 40°,灯塔 在观察站南偏东 °, 在观察站南偏东60° ° 灯塔B在观察站南偏东 则灯塔A在灯塔 的( 则灯塔 在灯塔B的 ) 在灯塔 A.北偏东 ° .北偏东10° B.北偏西 ° .北偏西10° C.南偏东 ° .南偏东10° D.南偏西 ° .南偏西10° 答案:B 答案:
速度追截走私船.此时, 速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h的速度从 处向北偏东 ° 的速度从B处向北偏东 的速度从 处向北偏东30° 方向逃窜, 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最 快追上走私船? 快追上走私船?

高三绝对值不等式的知识点

高三绝对值不等式的知识点

高三绝对值不等式的知识点在高三数学学科中,绝对值不等式是一个重要的知识点。

绝对值不仅在数学中有着重要的应用,也在现实生活中扮演着重要的角色。

本文将介绍高三绝对值不等式相关的知识点,并对其应用进行一些讨论。

一、绝对值的定义和性质绝对值是一个实数的非负数表示,可以用符号“|a|”表示。

如果a是一个实数,那么|a|的值是a的绝对值。

在讨论绝对值不等式之前,我们要了解绝对值的一些基本性质。

1. |a| ≥ 0:绝对值的值永远是非负的。

2. 当a ≥ 0时,有|a| = a;当a < 0时,有|a| = -a。

即绝对值表示这个数的距离与零的距离,如果这个数是非负的,则绝对值等于其本身;如果这个数是负数,则绝对值等于其相反数。

3. |a-b| 表示a与b之间的距离。

4. |a| + |b| ≥ |a+b|:这是绝对值的三角不等式,用来计算两个数绝对值之和与它们的和的绝对值之间的关系。

二、绝对值不等式的形式及求解方法绝对值不等式是用“≥”或“≤”表示的不等式,其解集是满足不等式条件的实数的集合。

对于一元绝对值不等式,我们可以通过以下两个步骤来求解。

步骤一:消去绝对值符号当绝对值不等式中只有绝对值的时候,可以根据绝对值的定义,列出两个不等式,分别求解。

例如对于|2x-3| ≥ 5,可以列出以下两个不等式:2x-3 ≥ 5 或者 2x-3 ≤ -5。

步骤二:求解不等式通过解第一步得到的两个不等式,可以得到解集。

对于每个不等式,可使用解二元一次不等式的方法求解。

三、绝对值不等式的应用举例1. 绝对值不等式在数轴上的表示考虑一个绝对值不等式|x-3| < 2,我们可以使用数轴来表示它的解集。

首先,在数轴上找到数值为3的点,然后从这个点开始向左右两侧延伸2个单位长度。

最终,我们得到的区间[-1, 5]表示满足这个绝对值不等式的实数。

2. 绝对值不等式在几何中的应用绝对值不等式在几何中也有一些应用。

例如,在平面几何中,我们可以利用绝对值不等式来证明三角形中的一些性质。

2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例

2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例

第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b =0可得a =0或b =0.( ) (4)(a ·b )c =a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.( )(6)若a ·b >0,则a 和b 的夹角为锐角;若a ·b <0,则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×在边长为1的等边△ABC 中,设BC →=a ,CA →=b ,AB →=c ,则a ·b +b ·c +c ·a =( ) A .-32B .0C .32D .3解析:选A.依题意有a ·b +b ·c +c ·a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-32,故选A. 已知向量BA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,则∠ABC =( )A .30°B .45°C .60°D .120°解析:选A.由两向量的夹角公式,可得cos ∠ABC =BA →·BC →|BA →|·|BC →|=12×32+32×121×1=32,则∠ABC =30°.(2019·温州市高考模拟)已知向量a ,b 满足|b |=4,a 在b 方向上的投影是12,则a ·b=________.解析:a 在b 方向上的投影是12,设θ为a 与b 的夹角,则|a |·cos θ=12,a ·b =|a|·|b |·cos θ=2.答案:2(2017·高考浙江卷)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________.解析:法一:(|a +b |+|a -b |)2=(a +b )2+(a -b )2+2|a +b |·|a -b |=2a 2+2b 2+2|a+b |·|a -b |=10+2|a +b |·|a -b |,而|a +b |·|a -b |≥|(a +b )·(a -b )|=|a 2-b 2|=3,所以(|a +b |+|a -b |)2≥16,即|a +b |+|a -b |≥4,即|a +b |+|a -b |的最小值为4.又|a +b |+|a -b |2≤(a +b )2+(a -b )22=a 2+b 2=5,所以|a +b |+|a -b |的最大值为2 5.法二:由向量三角不等式得,|a +b |+|a -b |≥|(a +b )-(a -b )|=|2b |=4.又|a +b |+|a -b |2≤(a +b )2+(a -b )22=a 2+b 2=5,所以|a +b |+|a -b |的最大值为2 5.答案:4 2 5平面向量数量积的运算(1)(2017·高考浙江卷) 如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O .记I 1=OA →·OB →,I 2=OB →·OC →,I 3=OC →·OD →,则( )A .I 1<I 2<I 3B .I 1<I 3<I 2C .I 3 < I 1<I 2D .I 2<I 1<I 3(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA →·(PB →+PC →)的最小值是( )A .-2B .-32C .-43D .-1【解析】 (1) 如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO <AF ,而∠AFB =90°,所以∠AOB 与∠COD 为钝角,∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据题意,I 1-I 2=OA →·OB →-OB →·OC →=OB →·(OA →-OC →)=OB →·CA →=|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0,所以I 1<I 2,同理得,I 2>I 3,作AG ⊥BD 于G ,又AB =AD ,所以OB <BG =GD <OD ,而OA <AF =FC <OC ,所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|,而cos ∠AOB =cos ∠COD <0,所以OA →·OB →>OC →·OD →,即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.(2) 如图,以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴,以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,3),B (-1,0),C (1,0),设P (x ,y ),则PA →=(-x ,3-y ),PB →=(-1-x ,-y ),PC →=(1-x ,-y ),所以PA →·(PB →+PC →)=(-x ,3-y )·(-2x ,-2y )=2x 2+2(y -32)2-32,当x =0,y =32时,PA →·(PB →+PC →)取得最小值,为-32,选择B.【答案】 (1)C (2)B在本例(2)的条件下,若D ,E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B ),则AD →·AE →等于________.解析:法一:(通性通法)因为D ,E 是边BC 的两个三等分点,所以BD =DE =CE =23,在△ABD 中,AD 2=BD 2+AB2-2BD ·AB ·cos 60°=⎝ ⎛⎭⎪⎫232+22-2×23×2×12=289,即AD =273,同理可得AE =273,在△ADE 中,由余弦定理得cos ∠DAE =AD 2+AE 2-DE 22AD ·AE=289+289-⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273=1314,所以AD →·AE →=|AD→|·|AE →|cos ∠DAE =273×273×1314=269.法二:(光速解法)如图,建立平面直角坐标系,由正三角形的性质易得A (0,3),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,0,所以AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,-3,AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-3,所以AD →·AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,-3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-3=269.答案:269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉. ②当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,常利用解析法,巧妙构造坐标系,利用坐标求解.1.(2019·杭州中学高三月考)若A ,B ,C 三点不共线,|AB →|=2,|CA →|=3|CB →|,则CA →·CB →的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,3C .⎝ ⎛⎭⎪⎫34,3 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,3 解析:选D.设|CB →|=x ,则|CA →|=3|CB →|=3x ,由于A ,B ,C 三点不共线,能构成三角形,如图:由三角形三边的性质得,⎩⎪⎨⎪⎧x +3x >23x +2>x x +2>3x,解得12<x <1,由余弦定理的推论得,cos C =AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC =x 2+9x 2-46x 2=10x 2-46x2, 所以CA →·CB →=|CA →||CB →|cos C =3x 2×10x 2-46x2=5x 2-2, 由12<x <1得,-34<5x 2-2<3, 故选D.2.已知向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________.解析:由题意,令e =(1,0),a =(cos α,sin α),b =(2cos β,2sin β),则由|a ·e |+|b ·e |≤6,可得|cos α|+2|cos β|≤ 6.①令sin α+2sin β=m ,②①2+②2得4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1+m 2对一切实数α,β恒成立,所以4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1,故a ·b =2(cos αcos β+sin αsin β)≤2[|cos αcos β|+sin αsin β]≤12.答案:12平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模是高考的热点,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题.主要命题角度有:(1)求两向量的夹角; (2)求向量的模; (3)两向量垂直问题;(4)求参数值或范围.角度一 求两向量的夹角(2019·绍兴一中高三期中)若|a +b |=|a -b |=2|a |,则向量a +b 与a 的夹角为( )A .π6B .π3C .2π3D .5π6【解析】 因为|a +b |=|a -b |=2|a |, 所以|a +b |2=|a -b |2,两边平方 可得a 2+2a ·b +b 2=a 2-2a ·b +b 2, 化简可得a ·b =0,设向量a +b 与a 的夹角为θ,则可得cos θ=(a +b )·a |a +b ||a |=a 2+a ·b|a +b ||a |=|a |22|a |2=12,又θ∈[0,π],故θ=π3. 【答案】 B角度二 求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b +3=0,则|a -b |的最小值是( )A .3-1B .3+1C .2D .2- 3【解析】 法一:设O 为坐标原点,a =OA →,b =OB →=(x ,y ),e =(1,0),由b 2-4e ·b +3=0得x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3,所以不妨令点A 在射线y =3x (x >0)上,如图,数形结合可知|a -b |min =|CA →|-|CB →|=3-1.故选A.法二:由b 2-4e ·b +3=0得b 2-4e ·b +3e 2=(b -e )·(b -3e )=0.设b =OB →,e =OE →,3e =OF →,所以b -e =EB →,b -3e =FB →,所以EB →·FB →=0,取EF 的中点为C ,则B 在以C 为圆心,EF 为直径的圆上,如图.设a =OA →,作射线OA ,使得∠AOE =π3,所以|a -b |=|(a -2e )+(2e -b )|≥|a -2e |-|2e -b |=|CA →|-|BC →|≥3-1.故选A.【答案】 A角度三 两向量垂直问题已知|a |=4,|b |=8,a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时,(a +2b )⊥(k a -b )?【解】 由已知得,a ·b =4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-16.因为(a +2b )⊥(k a -b ), 所以(a +2b )·(k a -b )=0,k a 2+(2k -1)a ·b -2b 2=0,即16k -16(2k -1)-2×64=0. 所以k =-7.即k =-7时,a +2b 与k a -b 垂直.角度四 求参数值或范围已知△ABC 是正三角形,若AC →-λAB →与向量AC →的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是________.【解析】 因为AC →-λAB →与向量AC →的夹角大于90°,所以(AC →-λAB →)·AC →<0,即|AC →|2-λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0,解得λ>2.故填(2,+∞).【答案】 (2,+∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法:利用向量数量积的定义知,cos θ=a ·b|a ||b |,其中两个向量的夹角θ的范围为[0,π],求解时应求出三个量:a ·b ,|a |,|b |或者找出这三个量之间的关系;②坐标法:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则cos θ=;(2)求向量的模的方法①公式法:利用|a |=a ·a 及(a ±b )2=|a |2±2a ·b +|b |2,把向量模的运算转化为数量积运算.②几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.1.(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=k ,|c |=2-k 且a +b +c =0,则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________.解析:设b 与c 的夹角为θ,由题b +c =-a , 所以b 2+c 2+2b ·c =1.即cos θ=2k 2-4k +32k 2-4k =1+32(k -1)2-2. 因为|a |=|b +c |≥|b -c |,所以|2k -2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以-1≤cos θ≤-12.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-12 2.已知向量AB →与AC →的夹角为120°,且|AB →|=3,|AC →|=2.若AP →=λAB →+AC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为________.解析:因为AP →⊥BC →,所以AP →·BC →=0. 又AP →=λAB →+AC →,BC →=AC →-AB →, 所以(λAB →+AC →)·(AC →-AB →)=0, 即(λ-1)AC →·AB →-λAB →2+AC →2=0,所以(λ-1)|AC →||AB →|cos 120°-9λ+4=0.所以(λ-1)×3×2×(-12)-9λ+4=0.解得λ=712.答案:712向量数量积的综合应用(2019·金华十校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m=(cos(A -B ),sin(A -B )),n =(cos B ,-sin B ),且m ·n =-35.(1)求sin A 的值;(2)若a =42,b =5,求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 【解】 (1)由m ·n =-35,得cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-35,所以cos A =-35.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=45. (2)由正弦定理,得a sin A =b sin B ,则sin B =b sin A a =5×4542=22,因为a >b ,所以A >B ,则B =π4,由余弦定理得()422=52+c 2-2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,解得c =1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B =c cos B =1×22=22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量m =⎝⎛⎭⎪⎫sin A2,cos A 2,n =⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2,-cos A 2,且2m ·n +|m |=22,则∠A =________.解析:因为2m ·n =2sin A 2cos A 2-2cos 2 A 2=sin A -(cos A +1)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A -π4-1,又|m |=1,所以2m ·n +|m |=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A -π4=22,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A -π4=12.因为0<A <π,所以-π4<A -π4<3π4,所以A -π4=π6,即A =5π12.答案:5π122.(2017·高考江苏卷)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(3,-3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解:(1)因为a =(cos x ,sin x ),b =(3,-3),a ∥b , 所以-3cos x =3sin x .若cos x =0,则sin x =0,与sin 2x +cos 2x =1矛盾,故cos x ≠0. 于是tan x =-33. 又x ∈[0,π], 所以x =5π6.(2)f (x )=a ·b =(cos x ,sin x )·(3,-3)=3cos x -3sin x =23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6.因为x ∈[0,π],所以x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6,从而-1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6≤32.于是,当x +π6=π6,即x =0时,f (x )取到最大值3;当x +π6=π,即x =5π6时,f (x )取到最小值-2 3.平面向量中的最值范围问题(1)(2019·杭州市高三模拟)在△ABC 中,∠C =90°,AC =4,BC =3,D 是AB 的中点,E ,F 分别是边BC 、AC 上的动点,且EF =1,则DE →·DF →的最小值等于( )A .54B .154C .174D .174(2)(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ,b 满足|a +b |=4,|a -b |=3,则|a |+|b |的取值范围是( )A .[3,5]B .[4,5]C .[3,4]D .[4,7]【解析】 (1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示:则A (0,4),B (3,0),C (0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2.设E (x ,0),则F (0,1-x 2),0≤x ≤1. 所以DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32,-2,DF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,1-x 2-2.所以DE →·DF →=94-32x +4-21-x 2=254-3x 2-21-x 2.令f (x )=254-3x 2-21-x 2,当x ≠1时,则f ′(x )=-32+2x1-x 2. 令f ′(x )=0得x =35.当0≤x <35时,f ′(x )<0,当35<x <1时,f ′(x )>0.所以当x =35时,f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35=154.当x =1时,f (1)=254-32=194>154,故选B.(2)|a |+|b |≥max{|a +b |,|a -b |}=4,(|a |+|b |)2≤|a +b |2+|a -b |2=25,所以|a |+|b |≤5.【答案】 (1)B (2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值. 1.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1,若e 为平面单位向量,则|a ·e |+|b ·e |的最大值是__________.解析:由a ·b =1,|a |=1,|b |=2可得两向量的夹角为60°,建立平面直角坐标系,可设a =(1,0),b =(1,3),e =(cos θ,sin θ),则|a ·e |+|b ·e |=|cos θ|+|cosθ+3sin θ|≤|cos θ|+|cos θ|+3|sin θ|=3|sin θ|+2|cos θ|≤7,所以|a ·e |+|b ·e |的最大值为7.答案:72.(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ,b 满足:a 2=(5a -4b )·b ,则cos 〈a ,b 〉的最小值为________.解析:非零向量a ,b 满足:a 2=(5a -4b )·b ,可得a ·b =15(a 2+4b 2)=15(|a |2+4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2=45|a |·|b |,即有cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |=45,当且仅当|a |=2|b |,取得最小值45.答案:45求向量模的常用方法利用公式|a |2=a 2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.两个向量的夹角为锐角,则有a ·b >0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a ·b <0,反之也不成立.易错防范(1)a ·b =0不能推出a =0或b =0,因为a ·b =0时,有可能a ⊥b . (2)a ·b =a ·c (a ≠0)不能推出b =c ,即消去律不成立. [基础达标]1.已知A ,B ,C 为平面上不共线的三点,若向量AB →=(1,1),n =(1,-1),且n ·AC →=2,则n ·BC →等于( )A .-2B .2C .0D .2或-2解析:选B.n ·BC →=n ·(BA →+AC →)=n ·BA →+n ·AC →=(1,-1)·(-1,-1)+2=0+2=2.2.(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1,则|AB →-BC →+AC →|等于( )A .0B . 2C .2D .2 2解析:选C.正方形ABCD 的边长为1,则|AB →-BC →+AC →|2=|DB →+AC →|2=|DB →|2+|AC →|2+2DB →·AC →=12+12+12+12=4,所以|AB →-BC →+AC →|=2,故选C.3.(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ,b ,c 满足c =x a +y b (x ,y ∈R ),且a ·c >0,b ·c >0.( )A .若a ·b <0则x >0,y >0B .若a ·b <0则x <0,y <0C .若a ·b >0则x <0,y <0D .若a ·b >0则x >0,y >0解析:选A.由a ·c >0,b ·c >0,若a ·b <0, 可举a =(1,1),b =(-2,1),c =(0,1), 则a ·c =1>0,b ·c =1>0,a ·b =-1<0, 由c =x a +y b ,即有0=x -2y ,1=x +y , 解得x =23,y =13,则可排除B ;若a ·b >0,可举a =(1,0),b =(2,1),c =(1,1),则a ·c =1>0,b ·c =3>0,a ·b =2>0,由c =x a +y b ,即有1=x +2y ,1=y ,解得x =-1,y =1, 则可排除C ,D.故选A.4.在△ABC 中,(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,则△ABC 的形状一定是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形D .等腰直角三角形解析:选C.由(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,得AC →·(BC →+BA →-AC →)=0,即AC →·(BC →+BA →+CA →)=0,所以2AC →·BA →=0,所以AC →⊥AB →.所以∠A =90°,又因为根据条件不能得到|AB →|=|AC →|.故选C.5.已知正方形ABCD 的边长为2,点F 是AB 的中点,点E 是对角线AC 上的动点,则DE →·FC →的最大值为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.以A 为坐标原点,AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则F (1,0),C (2,2),D (0,2),设E (λ,λ)(0≤λ≤2),则DE →=(λ,λ-2),FC →=(1,2),所以DE →·FC →=3λ-4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6.(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=λ|a +b |,λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,1,则b 与a -b 的夹角的取值范围是( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,2π3B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,5π6C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,πD .⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6,π 解析:选B.因为|a |=|b |=λ|a +b |,λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,1, 不妨设|a +b |=1,则|a |=|b |=λ.令OA →=a ,OB →=b ,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ,则平行四边形OACB 为菱形.故有△OAB 为等腰三角形,故有∠OAB =∠OBA =θ, 且0<θ<π2.而由题意可得,b 与a -b 的夹角, 即OB →与BA →的夹角,等于π-θ,△OAC 中,由余弦定理可得|OC |2=1=|OA |2+|AC |2-2|OA |·|AC |·cos 2θ=λ2+λ2-2·λ·λcos 2θ,解得cos 2θ=1-12λ2.再由33≤λ≤1,可得12≤12λ2≤32,所以-12≤cos 2θ≤12,所以π3≤2θ≤2π3,所以π6≤θ≤π3,故2π3≤π-θ≤5π6,即b 与a -b 的夹角π-θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,5π6.7.(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=|b |=4,那么|a -2b |=________.解析:因为平面向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=|b |=4,所以a ·b =4·4·cos 120°=-8,所以|a -2b |=(a -2b )2=a 2-4a ·b +4b 2=16-4·(-8)+4·16=112=47.答案:478.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1,e 2为单位向量,其中a =2e 1+e 2,b =e 2,且a 在b 上的投影为2,则a ·b =________,e 1与e 2的夹角为________.解析:设e 1,e 2的夹角为θ,因为a 在b 上的投影为2, 所以a ·b |b |=(2e 1+e 2)·e 2|e 2|=2e 1·e 2+|e 2|2=2|e 1|·|e 2|cos θ+1=2,解得cos θ=12,则θ=π3. a ·b =(2e 1+e 2)·e 2=2e 1·e 2+|e 2|2=2|e 1|·|e 2|cos θ+1=2. 答案:2π39. 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点Q 为边CD 上一个动点,CQ →=λQD →,点P 为线段BQ (含端点)上一个动点.若λ=1,则PA →·PD →的取值范围为________.解析:当λ=1时,Q 为CD 的中点. 设AB →=m ,AD →=n ,BP →=μBQ →(0≤μ≤1).易知BQ →=-12m +n ,AP →=AB →+BP →=m +μ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12m +n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12μm +μn , DP →=AP →-AD →=⎝⎛⎭⎪⎫1-12μm +μn -n =⎝⎛⎭⎪⎫1-12μm +(μ-1)n ,所以PA →·PD →=AP →·DP →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12μm +μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12μm +(μ-1)n =4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12μ2+4μ(μ-1)=5μ2-8μ+4.根据二次函数性质可知,当μ=45时上式取得最小值45;当μ=0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45,4.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤45,4 10.(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →=(1,3),BD →=(-3,1),则凸四边形ABCD 的面积为________;AB →·CD →的取值范围是________. 解析:由AC →=(1,3),BD →=(-3,1)得AC →⊥BD →,且|AC →|=2,|BD →|=2,所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2=2;因为ABCD 为凸四边形,所以AC 与BD 交于四边形内一点,记为M ,则AB →·CD →=(MB →-MA →)·(MD →-MC →)=MB →·MD →+MA →·MC →-MB →·MC →-MA →·MD →,设AM →=λAC →,BM →=μBD →,则λ,μ∈(0,1),且MA →=-λAC →,MC →=(1-λ)AC →, MB →=-μBD →,MD →=(1-μ)BD →,所以AB →·CD →=-4μ(1-μ)-4λ(1-λ)∈[-2,0),所以有λ=μ=12时,AB →·CD →取到最小值-2.答案:2 [-2,0)11.已知m =⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6,1,n =(cos x ,1).(1)若m ∥n ,求tan x 的值;(2)若函数f (x )=m ·n ,x ∈[0,π],求f (x )的单调递增区间.解:(1)由m ∥n 得,sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6-cos x =0,展开变形可得,sin x =3cos x , 即tan x = 3.(2)f (x )=m ·n =12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6+34,由-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π,k ∈Z 得,-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z .又x ∈[0,π],所以当x ∈[0,π]时,f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π.12.(2019·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 对应的边,已知b 2-2b +c 2=0,求BC →·AO →的取值范围.解:因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点,故O 是三角形外接圆的圆心, 如图所示,延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径,所以∠ACD =∠ABD =90°. 所以cos ∠CAD =ACAD ,cos ∠BAD =AB AD. 所以AO →·BC →=12AD →·(AC →-AB →)=12AD →·AC →-12AD →·AB → =12|AD →||AC →|·cos ∠CAD -12|AD →||AB →|· cos ∠BAD =12|AC →|2-12|AB →|2=12b 2-12c 2=12b 2-12(2b -b 2)(因为c 2=2b -b 2) =b 2-b =⎝ ⎛⎭⎪⎫b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0,解得0<b <2.令f (b )=⎝ ⎛⎭⎪⎫b -122-14.所以当b =12时,f (b )取得最小值-14.又f (0)=0,f (2)=2. 所以-14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-14,2.[能力提升]1.(2019·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a ·b =12,若向量c满足|a -b +c |≤1,则|c |的最大值为( )A .1B . 2C . 3D .2解析:选D.由平面向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a ·b =12,可得|a|·|b |·cos 〈a ,b 〉=1·1·cos 〈a ,b 〉=12,由0≤〈a ,b 〉≤π,可得〈a ,b 〉=π3,设a =(1,0),b =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,c =(x ,y ),则|a -b +c |≤1,即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x ,y -32≤1,即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -322≤1,故|a -b +c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32为圆心,半径等于1的圆上和圆内部分,|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离,而原点在圆上,则最大值为圆的直径,即为2.2.(2019·温州市高考模拟)记max{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥bb ,a <b ,已知向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,a ·b =0,c =λa +μb (λ,μ≥0,且λ+μ=1),则当max{c ·a ,c ·b }取最小值时,|c |= ( )A .255B .223C .1D .52解析:选A.如图,设OA →=a ,OB →=b ,则a =(1,0),b =(0,2),因为λ,μ≥0,λ+μ=1,所以0≤λ≤1.又c =λa +μb ,所以c ·a =(λa +b -λb )·a =λ;c ·b =(λa +b -λb )·b =4-4λ.由λ=4-4λ,得λ=45.所以max{c ·a ,c ·b }=⎩⎪⎨⎪⎧λ,45≤λ≤14-4λ,0≤λ<45.令f (λ)=⎩⎪⎨⎪⎧λ,45≤λ≤14-4λ,0≤λ<45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45,1.所以f (λ)min =45,此时λ=45,μ=15,所以c =45a +15b =⎝ ⎛⎭⎪⎫45,25. 所以|c |=⎝ ⎛⎭⎪⎫452+⎝ ⎛⎭⎪⎫252=255.故选A.3.(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m =⎝⎛⎭⎪⎫22,-22,n =(sin x ,cos x ),x ∈(0,π),①若m ∥n ,则tan x =________;②若m 与n 的夹角为π3,则x =________.解析:m =⎝⎛⎭⎪⎫22,-22,n =(sin x ,cos x ),x ∈(0,π),①由m ∥n ,得22cos x +22sin x =0,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=0,因为0<x <π,所以π4<x +π4<5π4,则x +π4=π,x =34π.所以tan x =-1.②由m 与n 的夹角为π3,得cos π3=22sin x -22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222+⎝ ⎛⎭⎪⎫-222·sin 2x +cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4=12,因为0<x <π,所以-π4<x -π4<3π4,则x -π4=π6,x =5π12. 答案:①-1 ②5π124.(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →,OB →的夹角为60°,|OA →|=2,|OB →|=23,OP →=λOA →+μOB →.若λ+3μ=2,则|OP →|的最小值是________,此时OP →,OA →夹角的大小为________.解析:向量OA →,OB →的夹角为60°,|OA →|=2,|OB →|=23,即有OA →·OB →=|OA →|·|OB →|·cos 60°=2×23×12=23,若λ+3μ=2,可得λ=2-3μ,则|OP →|=|λOA →+μOB →|=λ2OA →2+μ2OB →2+2λμOA →·OB →=4λ2+12μ2+43λμ=4(λ+3μ)2-43λμ =16-43(2-3μ)μ=12⎝ ⎛⎭⎪⎫μ-332+12≥23, 当μ=33,λ=1时,|OP →|的最小值为2 3. 由OP →=OA →+33OB →, 可得OP →·OA →=OA →2+33OA →·OB →=4+33·23=6, 则cos 〈OP →,OA →〉=OP →·OA →|OP →|·|OA →|=623·2=32, 由0°≤〈OP →,OA →〉≤180°,可得〈OP →,OA →〉=30°.答案:2 3 30°5.(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=4,|b |=3,|c |=2,b ·c =3,求(a -b )2(a -c )2-[(a -b )·(a -c )]2的最大值.解:设OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,a -b 与a -c 所成夹角为θ,则(a -b )2(a -c )2-[(a -b )·(a -c )]2=|AB |2|AC |2-|AB |2|AC |2cos 2θ=|AB |2|AC |2sin 2θ=|AB |2|AC |2sin 2∠CAB =4S 2△ABC ,因为|b |=3,|c |=2,b ·c =3,所以b ,c 的夹角为60°,设B (3,0),C (1,3),则|BC |=7,所以S △OBC =12×3×2×sin 60°=332, 设O 到BC 的距离为h ,则12·BC ·h =S △OBC =332,所以h =3217, 因为|a |=4,所以A 点落在以O 为圆心,以4为半径的圆上,所以A 到BC 的距离最大值为4+h =4+3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4+3217=27+332, 所以(a -b )2(a -c )2-[(a -b )·(a -c )]2的最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27+3322=(47+33)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A (1,0)和点B (-1,0),|OC →|=1,且∠AOC =θ,其中O 为坐标原点.(1)若θ=34π,设点D 为线段OA 上的动点,求|OC →+OD →|的最小值; (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,向量m =BC →,n =(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m ·n 的最小值及对应的θ值.解:(1)设D (t ,0)(0≤t ≤1),由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22, 所以OC →+OD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22+t ,22, 所以|OC →+OD →|2=12-2t +t 2+12=t 2-2t +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫t -222+12, 所以当t =22时,|OC →+OD →|最小,为22. (2)由题意得C (cos θ,sin θ),m =BC →=(cos θ+1,sin θ),则m ·n =1-cos 2θ+sin 2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π4, 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2, 所以π4≤2θ+π4≤5π4, 所以当2θ+π4=π2, 即θ=π8时,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ+π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1-2,此时θ=π8.。

高三数学周期函数知识点

高三数学周期函数知识点

高三数学周期函数知识点数学是一门需要不断学习和理解的学科,而高三数学是中学阶段最后一年的内容,对于学生们来说尤为重要。

其中,周期函数是数学中的重要知识点之一。

本文将详细介绍高三数学中周期函数的相关知识。

一、什么是周期函数周期函数是指具有周期性的函数。

所谓周期性,即函数在一定的区间内具有重复的特征。

具体说,对于函数f(x),如果存在一个正数T,使得对于任意的x,有f(x+T)=f(x),那么我们称f(x)为周期函数,T为它的周期。

二、常见的周期函数1. 正弦函数正弦函数是最常见的周期函数之一。

它的函数图像是一条在坐标系上波浪形状的曲线。

常见的正弦函数表示为y =A*sin(Bx+C)+D,其中A、B、C、D为常数。

2. 余弦函数余弦函数与正弦函数非常类似,也是一种周期函数。

它的函数图像同样是在坐标系上呈波浪形状的曲线。

常见的余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C)+D,其中A、B、C、D为常数。

3. 正切函数正切函数是另一种常见的周期函数。

它的函数图像呈现出波浪形状的周期性变化。

常见的正切函数表示为y = A*tan(Bx+C)+D,其中A、B、C、D为常数。

三、周期函数的性质周期函数具有许多重要的性质,下面介绍其中几个常见的性质。

1. 周期的性质周期函数的最显著特点就是它具有周期性。

函数图像在一个周期内呈现出相同的特点和变化规律。

周期可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。

2. 奇偶性周期函数可以是奇函数或偶函数。

奇函数的特点是在函数图像上关于坐标原点对称,即满足f(-x)=-f(x)。

偶函数的特点是在函数图像上关于y轴对称,即满足f(-x) = f(x)。

3. 对称轴周期函数的对称轴是指函数图像中的一条直线,使得将图像分为两部分后,对称轴上的对应点在函数图像上关于对称轴对称。

对称轴可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。

四、应用举例周期函数广泛应用于实际生活和工程领域中,下面以几个具体的例子来说明。

高考数学一轮复习3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

高考数学一轮复习3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问题,平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点,题型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理1.向量的夹角(1)条件:平移两个非零向量a和b至同一起点,结论:∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角.(2)范围:0°≤θ≤180°.特殊情况:当θ=0°时,a与b共线同向.当θ=180°时,a与b共线反向.当θ=90°时,a与b互相垂直.2.向量的数量积(1)条件:两个向量a与b,夹角θ,结论:数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos_θ.(2)数量积的几何意义条件:a的长度|a|,b在a方向上的投影|b|cos_θ(或b的长度|b|,a在b方向上的投影|a|cos_θ),结论:数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积).3.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=a,b.结论几何表示坐标表示向量的模|a|=a·a |a|=x21+y21夹角余弦cos θ=a·b|a||b|cos θ=x1x2+y1y2x21+y21x2+y2a⊥b充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x21+y21x22+y2常用结论1.求平面向量的模的公式(1)a2=a·a=|a|2或|a|=a·a=a2;(2)|a±b|=(a±b)2=a2±2a·b+b2;(3)若a=(x,y),则|a|=x2+y2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为夹角为π时不成立).常见误区1.投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.2.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念,要加以区别.3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(3)由a ·b =0可得a =0或b =0.( ) (4)(a ·b )·c =a ·(b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.( )(6)若a ·b >0,则a 和b 的夹角为锐角;若a ·b <0,则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×2.已知a ·b =-122,|a |=4,a 和b 的夹角为135°,则|b |为( ) A .12 B .6 C .33D .3解析:选B.a ·b =|a ||b |cos 135°=-122,所以|b |=-1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=6.3.(多选)已知向量a =(1,-2),b =(-2,4),则( ) A .a ∥b B .(a +b )·a =-5 C .b ⊥(a -b )D .2|a |=|b |解析:选ABD.因为1×4=-2×(-2),所以a ∥b ,又a +b =(-1,2),所以(a +b )·a =-5.a -b =(3,-6),b ·(a -b )≠0,所以C 错误,|a |=5,|b |=25,2|a |=|b |,故选ABD.4.已知|a |=2,|b |=6,a ·b =-63,则a 与b 的夹角θ=________. 解析:cos θ=a·b |a||b|=-632×6=-32,又因为0≤θ≤π,所以θ=5π6. 答案:5π65.已知向量a 与b 的夹角为π3,|a |=|b |=1,且a ⊥(a -λb ),则实数λ=________.解析:由题意,得a ·b =|a ||b |cos π3=12,因为a ⊥(a -λb ),所以a ·(a -λb )=|a |2-λa ·b =1-λ2=0,所以λ=2.答案:2平面向量数量积的运算(1)(2021·内蒙古赤峰二中、呼市二中月考)已知向量a ,b 的夹角为π3,若c =a |a|,d =b |b|,则c ·d =( ) A.14B .12 C.32 D .34(2)(多选)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为2,OA →+AB →+AC →=0,且|OA →|=|AB→|,下列结论正确的是( ) A.CA→在CB →方向上的投影长为- 3 B.OA →·AB →=OA →·AC →C.CA→在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →=OC →·AC→ 【解析】 (1)c ·d =a |a|·b |b|=|a||b|cos a ,b |a||b|=cos π3=12.故选B.(2)由OA→+AB →+AC →=0得OB →=-AC →=CA →,所以四边形OBAC 为平行四边形.又O 为△ABC 外接圆的圆心,所以|OB→|=|OA →|,又|OA →|=|AB →|,所以△OAB 为正三角形.因为△ABC 的外接圆半径为2,所以四边形OBAC 是边长为2的菱形,所以∠ACB =π6,所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6=2×32=3,故C 正确.因为OA →·AB→=OA →·AC →=-2,OB →·AB →=OC →·AC→=2,故B ,D 正确.【答案】 (1)B (2)BCD计算向量数量积的三个角度(1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即a ·b =|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角).(2)基向量法:计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.(3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.1.已知向量a ,b 满足a ·(b +a )=2,且a =(1,2),则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55 B .-55 C .-255D .-355解析:选D.由a =(1,2),可得|a |=5,由a ·(b +a )=2,可得a ·b +a 2=2,所以a ·b =-3,所以向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|=-355.故选D.2.(2020·重庆第一中学月考)已知非零向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,a ,b 的夹角为120°,且|b |=2|a |,则向量a ,c 的数量积为( )A .0B .-2a 2C .2a 2D .-a 2解析:选A.由非零向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,可得c =-(a +b ),所以a ·c =a ·[-(a +b )]=-a 2-a ·b =-a 2-|a |·|b |·cosa ,b.由于a ,b 的夹角为120°,且|b |=2|a |,所以a ·c =-a 2-|a |·|b |cos 120°=-|a |2-2|a |2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=0.故选A.3.(一题多解)(2020·武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =π2,AC =BC =2,点P 是斜边AB 上一点,且BP =2P A ,那么CP →·CA →+CP →·CB→=( ) A .-4 B .-2 C .2D .4解析:选D.通解:由已知得|CA →|=|CB →|=2,CA →·CB→=0,AP →=13(CB →-CA →),所以CP →·CA →+CP →·CB →=(CA →+AP →)·CA →+(CA →+AP →)·CB →=|CA →|2+AP →·CA →+CA →·CB →+AP →·CB →=|CA →|2+13(CB →-CA →)·(CB→+CA →)=|CA →|2+13|CB →|2-13|CA →|2=22+13×22-13×22=4. 优解:由已知,建立如图所示的平面直角坐标系,则C (0,0),A (2,0),B (0,2),设P (x ,y ).因为BP =2P A ,所以BP →=2P A →,所以(x ,y -2)=2(2-x ,-y ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x =43y =23,所以CP →·CA →+CP →·CB →=(43,23)·(2,0)+(43,23)·(0,2)=4.故选D.平面向量数量积的应用角度一 求两平面向量的夹角(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos〈a ,a +b 〉=( )A .-3135B .-1935 C.1735D .1935(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知单位向量a ,b 满足a ·b =0,若向量c =7a +2b ,则sin 〈a ,c 〉=( )A.73 B .23 C.79D .29【解析】 (1)由题意,得a ·(a +b )=a 2+a ·b =25-6=19,|a +b |=a2+2a·b +b2=25-12+36=7,所以cosa ,a +b=a·(a +b )|a||a +b|=195×7=1935,故选D.(2)因为a ,b 是单位向量,所以|a |=|b |=1.又因为a ·b =0,c =7a +2b ,所以|c |=(7a +2b )2=3,a ·c =a ·(7a +2b )=7, 所以cos 〈a ,c 〉=a·c |a||c|=73.因为〈a ,c 〉∈[0,π],所以sin 〈a ,c 〉=23.故选B. 【答案】 (1)D (2)B求向量夹角问题的方法(1)当a ,b 是非坐标形式时,求a 与b 的夹角θ,需求出a ·b 及|a |,|b |或得出它们之间的关系.(2)若已知a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),则cos 〈a ,b 〉=x1x2+y1y2x21+y 21·x 2+y 2.角度二 求平面向量的模(2020·四川双流中学诊断)如图,在△ABC 中,M 为BC 的中点,若AB =1,AC =3,AB →与AC →的夹角为60°,则|MA→|=________.【解析】 因为M 为BC 的中点,所以AM→=12(AB →+AC →),所以|MA→|2=14(AB →+AC →)2 =14(|AB →|2+|AC →|2+2AB →·AC →) =14(1+9+2×1×3cos 60°)=134, 所以|MA→|=132. 【答案】 132求向量的模或其范围的方法(1)定义法:|a |=a2=a·a ,|a ±b |=(a±b )2=a2±2a·b +b2. (2)坐标法:设a =(x ,y ),则|a |=x2+y2.(3)几何法:利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用解三角形的相关知识求解.[提醒] (1)求形如m a +n b 的向量的模,可通过平方,转化为数量的运算. (2)用定义法和坐标法求模的范围时,一般把它表示成某个变量的函数,再利用函数的有关知识求解;用几何法求模的范围时,注意数形结合的思想,常用三角不等式进行最值的求解.角度三 两平面向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°,且|AB→|=3,|AC →|=2.若AP →=λAB →+AC →,且AP→⊥BC →,则实数λ的值为________.【解析】 因为AP →⊥BC →,所以AP →·BC →=0.又AP→=λAB →+AC →,BC →=AC →-AB →, 所以(λAB →+AC →)·(AC →-AB →)=0, 即(λ-1)AC →·AB →-λAB →2+AC →2=0, 所以(λ-1)|AC →||AB →|cos 120°-9λ+4=0.所以(λ-1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-9λ+4=0.解得λ=712.【答案】 712有关平面向量垂直的两类题型根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.1.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a -b =(3,2),则|a +2b |=( ) A .22 B .25 C.17D .15解析:选 C.因为a -b =(3,2),所以|a -b |=5,所以|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2=5-2a ·b =5,则a ·b =0,所以|a +2b |2=|a |2+4a ·b +4|b |2=17,所以|a +2b |=17.故选C.2.(多选)设a ,b 是两个非零向量,则下列命题为假命题的是( ) A .若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b B .若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C .若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λaD .若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b | 解析:选ABD.对于A ,若|a +b |=|a |-|b |, 则|a |2+|b |2+2a ·b =|a |2+|b |2-2|a ||b |,得a ·b =-|a ||b |≠0,a 与b 不垂直,所以A 为假命题;对于B ,由A 解析可知,若a ⊥b ,则|a +b |≠|a |-|b |,所以B 为假命题; 对于C ,若|a +b |=|a |-|b |, 则|a |2+|b |2+2a ·b =|a |2+|b |2-2|a ||b |, 得a ·b =-|a ||b |,则cos θ=-1,则a 与b 反向,因此存在实数λ,使得b =λa ,所以C 为真命题. 对于D ,若存在实数λ,使得b =λa ,则a ·b =λ|a |2,-|a ||b |=λ|a |2,由于λ不能等于0, 因此a ·b ≠-|a ||b |,则|a +b |≠|a |-|b |, 所以D 不正确. 故选ABD.3.(一题多解)已知正方形ABCD ,点E 在边BC 上,且满足2BE →=BC →,设向量AE→,BD →的夹角为θ,则cos θ=________. 解析:方法一:因为2BE→=BC →,所以E 为BC 的中点.设正方形的边长为2,则|AE →|=5,|BD →|=22,AE →·BD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →+12AD →·(AD →-AB →)=12|AD →|2-|AB →|2+12AD →·AB →=12×22-22=-2,所以cos θ=AE →·BD →|AE →||BD →|=-25×22=-1010.方法二:因为2BE→=BC →,所以E 为BC 的中点.设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系xAy ,则点A (0,0),B (2,0),D (0,2),E (2,1),所以AE →=(2,1),BD →=(-2,2),所以AE →·BD →=2×(-2)+1×2=-2,故cos θ=AE →·BD →|AE →||BD →|=-25×22=-1010.答案:-1010向量数量积的综合应用在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(cos(A -B ),sin(A -B )),n =(cos B ,-sin B ),且m·n =-35.(1)求sin A 的值;(2)若a =42,b =5,求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.【解】 (1)由m·n =-35,得cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-35, 所以cos A =-35.因为0<A <π, 所以sin A =1-cos2A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=45. (2)由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin B =bsin A a =5×4542=22,因为a >b ,所以A >B ,则B =π4,由余弦定理得()422=52+c 2-2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,解得c =1.故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B =c cos B =1×22=22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. K在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos B ,2cos 2 C2-1),n =(c ,b -2a ),且m·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD →=DB →,|CD →|=7,c =23,求△ABC 的面积.解:(1)因为m =(cos B ,cos C ),n =(c ,b -2a ),m ·n =0,所以c cos B +(b -2a )cos C =0,在△ABC 中,由正弦定理得sin C cos B +(sin B -2sin A )cos C =0,sin A =2sin A cos C ,又sin A ≠0,所以cos C =12,而∠C ∈(0,π),所以∠C =π3. (2)由AD→=DB →知,CD →-CA →=CB →-CD →, 所以2CD→=CA →+CB →, 两边平方得4|CD→|2=b 2+a 2+2ba cos ∠ACB =b 2+a 2+ba =28.①又c 2=a 2+b 2-2ab cos ∠ACB , 所以a 2+b 2-ab =12.②由①②得ab =8,所以S △ABC =12ab sin ∠ACB =23.核心素养系列4 逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”三角形的“四心”:设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|=|OB →|=|OC →|=a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA→+OB →+OC →=0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔a OA→+b OB →+c OC →=0. 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 为坐标原点,动点P 满足OP→=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)·OC→],λ∈R ,则点P 的轨迹一定经过( )A .△ABC 的内心B .△ABC 的垂心 C .△ABC 的重心D .AB 边的中点【解析】 取AB 的中点D ,则2OD→=OA →+OB →, 因为OP →=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)OC →], 所以OP→=13[2(1-λ)OD →+(1+2λ)OC →] =2(1-λ)3OD →+1+2λ3OC →,而2(1-λ)3+1+2λ3=1,所以P ,C ,D 三点共线,所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 【答案】 C类型二 平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中,AB =5,AC =6,cos A =15,O 是△ABC 的内心,若OP→=xOB →+yOC→,其中x ,y ∈[0,1],则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B .1463 C .43D .62【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P 的轨迹是以OB ,OC 为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC 面积的2倍.在△ABC 中,设内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a =7.设△ABC 的内切圆的半径为r ,则12bc sin A =12(a +b +c )r ,解得r =263, 所以S △BOC =12×a ×r =12×7×263=763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC =1463. 【答案】 B类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P满足OP →=OA →+λ(AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A .重心B .垂心C .外心D .内心【解析】 因为OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ,所以AP →=OP →-OA →=λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C , 所以BC →·AP →=BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C =λ(-|BC→|+|BC →|)=0,所以BC →⊥AP →,所以点P 在BC 的高线上,即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.【答案】 B类型四 平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中,AB =1,BC =6,AC =2,点O 为△ABC 的外心,若AO→=xAB →+yAC →,则有序实数对(x ,y )为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫45,35 B .⎝⎛⎭⎪⎫35,45C.⎝⎛⎭⎪⎫-45,35 D .⎝⎛⎭⎪⎫-35,45【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ,连接OM ,ON ,则OM →⊥AB →,ON →⊥AC→, OM →=AM →-AO →=12AB →-(xAB →+yAC →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x AB →-yAC →,ON →=AN →-AO →=12AC →-(xAB →+yAC →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-y AC →-xAB→. 由OM →⊥AB →,得⎝⎛⎭⎪⎫12-x AB →2-yAC →·AB→=0,①由ON →⊥AC →,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-y AC →2-xAC →·AB→=0,② 又因为BC →2=(AC →-AB →)2=AC →2-2AC →·AB →+AB2→, 所以AC →·AB →=AC →2+AB →2-BC →22=-12,③把③代入①,②得⎩⎪⎨⎪⎧1-2x +y =0,4+x -8y =0,解得x =45,y =35.故实数对(x ,y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45,35.【答案】 A[A 级 基础练]1.设a =(1,2),b =(1,1),c =a +k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( ) A .-32 B .-53 C.53D .32解析:选A.c =a +k b =(1,2)+k (1,1)=(1+k ,2+k ),因为b ⊥c ,所以b ·c =0,b ·c =(1,1)·(1+k ,2+k )=1+k +2+k =3+2k =0,所以k =-32.2.若向量OF1→=(1,1),OF2→=(-3,-2)分别表示两个力F 1,F 2,则|F 1+F 2|为( )A.10 B .25 C.5D .15解析:选 C.由于F 1+F 2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F 1+F 2|=(-2)2+(-1)2=5.3.(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中,|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,AB =2,AC =1,E ,F 为BC 的三等分点,则AE →·AF→=( ) A.109 B .259 C.269D .89解析:选A.方法一:因为|AB→+AC →|=|AB →-AC →|,所以|AB →+AC →|2=|AB →-AC →|2,所以AB →·AC →=0,即∠BAC =90°.所以AE →·AF →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →+13(AC →-AB →)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →-13(AC →-AB →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB→+13AC →·(23AC →+13AB →)=29AB →2+29AC →2=109,故选A.方法二:因为|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,所以|AB →+AC →|2=|AB →-AC →|2,所以AB →·AC →=0,即AB→⊥AC →,以A 为坐标原点,AB ,AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (0,1),E (23,23),F (43,13),所以AE →·AF →=(23,23)·(43,13)=89+29=109,故选A.4.(多选)在△ABC 中,下列命题正确的是( ) A.AB→-AC →=BC →B.AB→+BC →+CA →=0 C .若(AB →+AC →)·(AB →-AC →)=0,则△ABC 为等腰三角形D .若AC→·AB →>0,则△ABC 为锐角三角形 解析:选BC.由向量的运算法则知AB →-AC →=CB →;AB →+BC →+CA →=0,故A 错,B对;因为(AB →+AC →)·(AB →-AC →)=|AB →|2-|AC →|2=0, 所以|AB→|2=|AC →|2,即AB =AC , 所以△ABC 为等腰三角形,故C 对;因为AC →·AB →>0,所以角A 为锐角,但三角形不一定是锐角三角形.故选BC. 5.(2020·安徽示范高中名校月考)已知a ,b ,c 均为单位向量,a 与b 的夹角为60°,则(c +a )·(c -2b )的最大值为( )A.32 B .3 C .2D .3解析:选B.设c 与a -2b 的夹角为θ.因为|a -2b |2=a 2-4a ·b +4b 2=3,所以|a -2b |=3,所以(c +a )·(c -2b )=c 2+c ·(a -2b )-2a ·b =1+|c ||a -2b |cos θ-1=3cos θ,所以(c +a )·(c -2b )的最大值为3,此时cos θ=1.故选B.6.(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a ,b 满足|a |=3|b |,cos a ,b=13,a ·(a -b )=16,则|b |=________. 解析:因为|a |=3|b |,cos a ,b=13,所以a ·(a -b )=9|b |2-|b |2=8|b |2=16,所以|b |=2.答案:27.若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a 与b 夹角的余弦值为________. 解析:因为|a |=|a +2b |, 所以|a |2=|a |2+4a ·b +4|b |2, 所以a ·b =-|b |2, 令a 与b 的夹角为θ.所以cos θ=a·b |a||b|=-|b|23|b||b|=-13. 答案:-138.(2020·新高考卷改编)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB→的取值范围是________. 解析:AP →·AB →=|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB =2|AP →|·cos ∠P AB ,又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影,所以结合图形可知,当P 与C 重合时投影最大,当P 与F 重合时投影最小.又AC →·AB →=23×2×cos 30°=6,AF →·AB →=2×2×cos 120°=-2,故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时,AP →·AB→∈(-2,6).答案:(-2,6)9.已知向量a =(2,-1),b =(1,x ). (1)若a ⊥(a +b ),求|b |的值;(2)若a +2b =(4,-7),求向量a 与b 夹角的大小. 解:(1)由题意得a +b =(3,-1+x ). 由a ⊥(a +b ),可得6+1-x =0, 解得x =7,即b =(1,7), 所以|b |=50=52.(2)由题意得,a +2b =(4,2x -1)=(4,-7), 故x =-3,所以b =(1,-3),所以cos 〈a ,b 〉=a·b |a||b|=(2,-1)·(1,-3)5×10=22,因为〈a ,b 〉∈[0,π], 所以a 与b 的夹角是π4.10.在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1). (1)求以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t 满足(AB →-tOC →)·OC→=0,求t 的值.解:(1)由题设知,AB →=(3,5),AC →=(-1,1),则AB →+AC →=(2,6),AB →-AC →=(4,4).所以|AB→+AC →|=210,|AB →-AC →|=42. 故所求的两条对角线的长分别为42,210.(2)方法一:由题设知,OC→=(-2,-1),AB →-tOC →=(3+2t ,5+t ).由(AB →-tOC →)·OC →=0,得 (3+2t ,5+t )·(-2,-1)=0, 从而5t =-11, 所以t =-115.方法二:AB →·OC →=tOC →2,AB →=(3,5),t =AB →·OC →|OC →|2=-115. [B 级 综合练]11.(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且AE →=EB →,AD →=2DC →,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →=-1B.OE→+OC →=0 C .|OA→+OB →+OC →|=32 D.ED→在BC →方向上的投影为76 解析:选BCD.由题意知E 为AB 的中点,则CE ⊥AB ,以E 为原点,EA ,EC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,所以E (0,0),A (1,0),B (-1,0),C (0,3),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233, 设O (0,y ),y ∈(0,3),则BO→=(1,y ),DO →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,y -233,因为BO →∥DO →,所以y -233=-13y , 解得y =32,即O 是CE 的中点,则OE→+OC →=0,所以选项B 正确;|OA→+OB →+OC →|=|2OE →+OC →|=|OE →|=32,所以选项C 正确; 因为CE ⊥AB ,所以AB →·CE →=0,所以选项A 错误;ED→=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233,BC →=(1,3). 故ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|=13+22=76,所以选项D 正确.故选BCD.12.(2020·山东济宁一中月考)如图,在△ABC 中,∠BAC =π3,AD →=2DB →,P 为CD 上一点,且满足AP→=m AC →+12AB →,若△ABC 的面积为23,则|AP →|的最小值为( )A. 2 B .43 C .3D . 3解析:选 D.令CP→=k CD →(0<k <1),则AP →=AC →+CP →=AC →+k CD →=AC →+k (AD →-AC →)=AC →+k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →-AC →=2k 3AB →+(1-k )AC→=m AC →+12AB →,所以1-k =m ,2k 3=12,所以m =14,因为△ABC 的面积为23,所以12|AC →|·|AB →|·32=23,所以|AC →|·|AB→|=8,所以|AP →|=116|AC →|2+14|AB →|2+18|AC →||AB →|=1+116|AC →|2+16|AC →|2≥3,当且仅当|AC→|=4时取“=”,所以|AP →|的最小值为 3.故选D.13.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量a =(-1,2),又点A (8,0),B (n ,t ),C (k sin θ,t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB→⊥a ,且|AB →|=5|OA →|,求向量OB →; (2)若向量AC →与向量a 共线,当k >4,且t sin θ取最大值4时,求OA →·OC →.解:(1)由题设知AB→=(n -8,t ), 因为AB→⊥a ,所以8-n +2t =0. 又因为5|OA →|=|AB →|,所以5×64=(n -8)2+t 2=5t 2,得t =±8. 当t =8时,n =24;当t =-8时,n =-8, 所以OB→=(24,8)或OB →=(-8,-8). (2)由题设知AC→=(k sin θ-8,t ),因为AC→与a 共线,所以t =-2k sin θ+16, t sin θ=(-2k sin θ+16)sin θ=-2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ-4k 2+32k . 因为k >4,所以0<4k <1,所以当sin θ=4k 时,t sin θ取得最大值32k , 由32k =4,得k =8,此时θ=π6,OC →=(4,8), 所以OA →·OC →=(8,0)·(4,8)=32.14.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A (1,0)和点B (-1,0),|OC→|=1,且∠AOC =θ,其中O 为坐标原点.(1)若θ=34π,设点D 为线段OA 上的动点,求|OC→+OD →|的最小值;(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,向量m =BC →,n =(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m ·n 的最小值及对应的θ值.解:(1)设D (t ,0)(0≤t ≤1), 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22, 所以OC→+OD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22+t ,22, 所以|OC →+OD →|2=12-2t +t 2+12=t 2-2t +1=⎝⎛⎭⎪⎫t -222+12(0≤t ≤1),所以当t =22时,|OC→+OD →|有最小值,最小值为22.(2)由题意得C (cos θ,sin θ),m =BC→=(cos θ+1,sin θ),则m ·n =1-cos 2θ+sin 2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π4,因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,所以π4≤2θ+π4≤5π4,所以当2θ+π4=π2,即θ=π8时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π4取得最大值1. 所以当θ=π8时,m ·n 取得最小值,为1-2.[C 级 创新练]15.在Rt △ABC 中,∠C 是直角,CA =4,CB =3,△ABC 的内切圆与CA ,CB分别切于点D ,E ,点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若CP →=xCD →+yCE →,则x +y 的值可以是( )A .1B .2C .4D .8解析:选 B.设△ABC 内切圆的圆心为O ,半径为r ,连接OD ,OE ,则OD ⊥AC ,OE ⊥BC ,所以3-r +4-r =5,解得r =1,故CD =CE =1,连接DE ,则当x +y =1时,P 在线段DE 上,但线段DE 均不在阴影区域内,排除A ;在AC 上取点M ,在CB 上取点N ,使得CM =2CD ,CN =2CE ,连接MN ,所以CP→=x 2CM →+y2CN→,则当点P 在线段MN 上时,x 2+y 2=1,故x +y =2.同理,当x +y =4或x +y =8时,点P 不在△ABC 内部,排除C ,D ,故选B.16.定义两个平面向量的一种运算a ⊗b =|a |·|b |sin a ,b,则关于平面向量上述运算的以下结论中,①a ⊗b =b ⊗a ; ②λ(a ⊗b )=(λa )⊗b ; ③若a =λb ,则a ⊗b =0;④若a =λb 且λ>0,则(a +b )⊗c =(a ⊗c )+(b ⊗c ). 正确的序号是________.解析:①恒成立,②λ(a ⊗b )=λ|a |·|b |sin a ,b,(λa )⊗b =|λa |·|b |sina ,b,当λ<0时,λ(a ⊗b )=(λa )⊗b 不成立,③a =λb ,则sin a ,b=0,故a ⊗b =0恒成立,④a =λb ,且λ>0,则a+b=(1+λ)b,(a+b)⊗c=|1+λ||b|·|c|sin b,c,(a⊗c)+(b⊗c)=|λb|·|c|sin b,c+|b|·|c|sin b,c=|1+λ||b|·|c|sin b,c,故(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)恒成立.答案:①③④。

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测量问题: 1、水平距离的测量
①两点间不能到达, 又不能相互看到。
绿色板斧般的爪子……瘦瘦的银橙色香肠样的八条尾巴极为怪异,深青色白菜般的龙爪豹竹肚子有种野蛮的霸气。亮红色积木模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种绿 宝石色骷髅样的气味,乱叫时会发出褐黄色油饼造型的声音。这个巨魔头上烟橙色谷堆模样的犄角真的十分罕见,脖子上仿佛刀峰模样的铃铛仿佛真是酷野时尚!这时那伙校 霸组成的巨大狐妖峰筋神忽然怪吼一声!只见狐妖峰筋神摆动水红色蝴蝶造型的鼻子,一喊,一道淡橙色的神光轻飘地从如同黄瓜造型的铃铛里面抖出!瞬间在巨狐妖峰筋神 周身形成一片绿宝石色的光云!紧接着巨大的狐妖峰筋神最后狐妖峰筋神旋动修长的怪鳞一声怪吼!只见从天边涌来一片铺天盖地的沙海恶浪……只见铺天盖地的沙海轰鸣翻 滚着快速来到近前,突然间麻密乱窜的大臣在一个个小狐妖峰筋神的指挥下,从轰鸣翻滚的沙海中冒了出来!“好玩好玩!咱俩也玩一个让他们看看!”蘑菇王子一边说着一 边抛出法宝。“就是!就是!”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大瓜子缸肚魔也怪吼一声!只见瓜子缸肚魔晃动威猛的下巴,耍,一道水 红色的亮光飘然从单薄的活似猩猩般的腿里面窜出!瞬间在巨瓜子缸肚魔周身形成一片浓绿色的光霞!紧接着巨大的瓜子缸肚魔忽悠了一个,舞贝金钩滚七百二十度外加凤笑 铅笔转五周半的招数,接着又秀了一个,直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式!最后瓜子缸肚魔耍动嫩黄色彩蛋般的脑袋一声怪吼!只见从天边涌来一片 铺天盖地的海潮巨浪……只见铺天盖地的狂流轰鸣翻滚着快速来到近前,突然间数不清的台长在一个个小瓜子缸肚魔的指挥下,从轰鸣翻滚的狂流中冒了出来!无比壮观的景 象出现了,随着沙海和海潮的高速碰撞!翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空,半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕,双方的斗士一边快速上 升一边猛烈厮杀……战斗结束了,校霸们的队伍全军覆灭,垂死挣扎的狐妖峰筋神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇 书……纷纷从天落下!这时由R.布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的梨核闪爪神!这个巨大的梨核闪爪神,身长八十多米,体重二十多万吨。最奇的 是这个怪物长着十分虚幻的闪爪!这巨神有着墨蓝色香槟造型的身躯和海蓝色细小短棍一样的皮毛,头上是暗青色镜子形态的鬃毛,长着纯灰色野象造型的小路秋影额头,前 半身是深蓝色怪藤造型的怪鳞,后半身是崭新的羽毛。这巨神长着亮紫色野象一般的脑袋和深白色袋鼠造型的脖子,有着紫红色海胆模样的脸和紫宝石色蜘蛛一般的眉毛,配 着亮白色黑板形态的鼻子。有着湖青色奖章模样的眼睛,和浅灰色排骨造型的耳朵,一张湖青色豆荚造型的嘴唇,怪叫时露出雪白色花灯一般的牙齿,变态的深蓝色长号一样 的舌头很是恐怖,海蓝色灯柱一样的下巴非常离奇。这巨神有着活似菱角一般的肩胛和美如扫帚形态的翅膀,这巨神摇晃的亮蓝色熊胆一样的胸脯闪着冷光,酷似蜜桃形态的 屁股更让人猜想。这巨神有着如同廊柱造型的腿和暗白色锅铲一般的爪子……紧缩的暗青色老虎一样的五条尾巴极为怪异,墨灰色海参一般的信封灵冰肚子有种野蛮的霸气。 亮蓝色牙签形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮白色鹿怪一样的气味,乱叫时会发出墨紫色春蚕模样的声音。这个巨神头上淡红色白菜形态的犄角真的十分罕见, 脖子上极似面条形态的铃铛感觉空前粗野却又透着一丝标新立异。蘑菇王子和知知爵士见情况突变,急忙变成了一个巨大的乱草青鳞魔!这个巨大的乱草青鳞魔,身长八十多 米,体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分疯妖般的青鳞!这巨魔有着亮灰色猪肚模样的身躯和深灰色细小长笛般的皮毛,头上是土灰色娃娃一样的鬃毛,长着火橙色 镜子模样的贝壳飘帘额头,前半身是白杏仁色钉子模样的怪鳞,后半身是有飘带的羽毛。这巨魔长着锅底色镜子似的脑袋和亮红色金钩模样的脖子,有着紫红色烤鸭形态的脸 和金红色辣椒似的眉毛,配着淡橙色鹅掌一样的鼻子。有着深黑色磁盘形态的眼睛,和淡黄色云梯模样的耳朵,一张深黑色鱼鳞模样的嘴唇,怪叫时露出深橙色椰壳似的牙齿 ,变态的白杏仁色拐棍般的舌头很是恐怖,深灰色羽毛般的下巴非常离奇。这巨魔有着如同旗杆似的肩胛和犹如瓜秧一样的翅膀,这巨魔修长的暗灰色灯泡般的胸脯闪着冷光 ,活似水母一样的屁股更让人猜想。这巨魔有着仿佛螳螂模样的腿和亮橙色蛙掌似的爪子……柔软的土灰色陀螺般的九条尾巴极为怪异,纯黄色面条似的面盆鱼皮肚子有种野 蛮的霸气。暗灰色油条一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种淡橙色纽扣般的气味,乱叫时会发出粉红色板尺形态的声音。这个巨魔头上水蓝色海参一样的犄角真的十 分罕见,脖子上酷似肥肠一样的铃铛仿佛真是飘忽不定同时还隐现着几丝小巧。这时那伙校霸组成的巨大梨核闪爪神忽然怪吼一声!只见梨核闪爪神扭动凸凹的墨蓝色香槟造 型的身躯,一叫,一道淡白色的玉光狂傲地从平常的眉毛里面跳出!瞬间在巨梨核闪爪神周身形成一片青远山色的光烟!紧接着巨大的梨核闪爪神最后梨核闪爪神转动不大的 湖青色豆荚造型的嘴唇一声怪吼!只见从天边涌来一片一望无边的乱坟恶浪……只见一望无边的乱坟轰鸣翻滚着快速来到近前,突然间多如牛毛的烟妖在一个个小梨核闪爪神 的指挥下,从轰鸣翻滚的乱坟中冒了出来!“这有什么了不起的?!咱俩也玩一个让他们看看!”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是!就是!”知知爵士一边说着一边 念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大乱草青鳞魔也怪吼一声!只见乱草青鳞魔耍动弯曲的身躯,扭,一道暗白色的奇影萧洒地从深黑色鱼鳞模样的嘴唇里面飞出! 瞬间在巨乱草青鳞魔周身形成一片青古磁色的光雾!紧接着巨大的乱草青鳞魔快乐机灵的脑袋骤然旋转紧缩起来……有点委屈的精瘦屁股渗出钢灰色的隐约幽雾……瘦长的灵 活手臂射出亮蓝色的缕缕仙味……最后乱草青鳞魔摇动强壮的腿一声怪吼!只见从天边涌来一片一望无边的荒滩巨浪……只见一望无边的冰海轰鸣翻滚着快速来到近前,突然 间万万亿亿的镇长在一个个小乱草青鳞魔的指挥下,从轰鸣翻滚的冰海中冒了出来!无比壮观的景象出现了,随着乱坟和荒滩的高速碰撞!翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都 被撞向十几万米的高空,半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕,双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了,校霸们的队伍全军覆灭,垂死挣扎的梨核 闪爪神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下!这时由R.布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻 出变成一个巨大的穿山甲兽腮神!这个巨大的穿山甲兽腮神,身长八十多米,体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分帅气的兽腮!这巨神有着浅橙色篦子形态的身躯和 烟橙色细小春蚕一般的皮毛,头上是亮黄色果冻般的鬃毛,长着天青色橘子形态的车轮水晶额头,前半身是暗橙色乌贼形态的怪

数学归纳法及应用列举

数学归纳法及应用列举

1

1 2

1 3

...
..
1 2n
1

n(n

*且n

1)
时,第一步应验证不等式(B)
(A)1
1 2

2


2
(C)1 1 1 3 (D)1 1 1 1 3
23
234
(2)
利用数学归纳法证明
(n 1)(n 2).....(n n) 2n 13...... (2n 1)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是:
(1)证明当 n 取第一个值 n(0 如 n0 1或2等)时结论正确;
(2)假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确,证明
n k 1 时结论也正确.
递推依据
(3)由(1)(2)得最后下结论
练习:
用数学归纳法证明“不等式
说是我们男神老板买下你那栋房子,目前正在重新装修.”周子叶一脸是非,“陆陆,你不打算搬回去吗?你跟他交情辣么好,一定优先租给你.”事关安身之所,婷玉也很关心,“是呀,陆陆,你这么找不是办法,不如考虑一下?”“我跟少华不一样,他hold得住那些人,我不行.”陆羽摇摇 头,“再说,以后有旅行团进村不一定吵成什么样呢.不了,我打算回城郊买栋房子算了.”金梧国际附近有二手小别墅出售,售价两百万左右の也有.她向樊大姐打听过,以自己の经济条件可以挑好一些の,要么月供,要么借钱付全款.这是最后一步.那里好歹离城区近一些,监控集中在金梧国际, 治安还行.以后她想吃什么可以叫外卖,也可以回城里吃,以后学车考个牌,二手车贼便宜.快递还给她送到家门口,特方便.至于办居住,这就要找林师兄帮忙了.等她安定下来,再慢慢考虑别の事情.云非雪见状不再多提,微笑道:“我有同学在宁海,今天中午想来一个直播,大家一起吧?我知道

高三数学导数偏移知识点

高三数学导数偏移知识点

高三数学导数偏移知识点数学是一门需要不断练习和理解的学科,而在高三数学中,导数是一个重要的知识点。

导数偏移,即导数的平移性质,是导数的基本应用之一。

在本文中,我们将深入探讨高三数学导数偏移的相关概念和应用。

一、导数的定义及性质回顾在开始讨论导数偏移之前,我们先回顾一下导数的定义及一些基本性质。

导数是描述函数变化率的工具,它的定义是:$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中,$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$点处的导数。

在导数的性质方面,我们主要关注以下几点:1. 导数存在的条件:函数$f(x)$在$x$点可导的条件是$f(x)$在$x$点可微,即$f(x)$在$x$点处的左导数等于右导数。

2. 导数与函数图像的关系:函数$y=f(x)$在$x$点的导数$f'(x)$,代表了函数图像在该点的切线斜率。

3. 导数的四则运算:若函数$f(x)$和$g(x)$在$x$点可导,则它们的和、差、积、商的导数分别为$(f+g)'$、$(f-g)'$、$(fg)'$、$(\frac{f}{g})'$。

二、导数偏移的概念导数偏移是指在已知一个函数的导数的情况下,通过对函数进行平移操作,来获得新函数的导数。

导数偏移可以应用于多种数学问题中,比如求一阶导数、高阶导数和积分等。

导数偏移的一般形式是:$$h(x)=f(x-c),则h'(x)=f'(x-c)$$其中,$f'(x)$表示函数$f(x)$的导数,$c$为平移的距离。

三、导数偏移的应用举例为了更好地理解导数偏移的应用,我们给出以下几个具体的例子:例1:已知函数$f(x)=2x^3+5x^2-3x+2$,求函数$g(x)=f(x-1)$的导数。

解:根据导数偏移的公式,$g'(x)=f'(x-1)$。

高三数学应用举例

高三数学应用举例

在等腰Rt△ACD中,故
2 2 16 8 2 CD AC 16( 3 1) 2 2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
例3 杆OA、OB所受的 力(精确到0.1)。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测,台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处,并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域,半径为120km。问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到 0.1h)?
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到,但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小, 由三角形的内角和,求出角 A 然后 由正弦定理,
AB BC sin C sin A可求边AB的长。
③两点都不能到达 第一步:在△ACD中,测角∠DAC,
DC sin BDC 100 3 sin 75 BC 200sin 75 sin DBC sin 60
在△ABC中由余弦定理, AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C (100 3) 2 (200sin 75) 2
2 100 3 200sin 75 cos 75 5 1002
解:在△ACD中, ∠DAC=180°-(∠ACD+∠ADC) =180°-(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中, ∠CBD=180°-(∠BCD+∠BDC) =180°-(45°+45°+30°)=60°
BC DC 由正弦定理 sin BDC sin DBC , 得
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间才追赶上该走私船? 北
C B
A
评注:
在求解三角形中,我们可以根据 正弦函数的定义得到两个解,但作为 有关现实生活的应用题,必须检验上 述所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解.
练习:
教材P.16练习.
课堂小结
解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,
依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,
这时需要选择条件足够的三角形优先研究, 再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.16到P.18; 2.2. 《习案》作业六.
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届高三数学应用举例3
讲解范例:
例 2. 在某点 B 处测得建Байду номын сангаас物 AE 的顶端 A 的仰
角为 ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得
顶端 A 的仰角为 2,再继续前进 10 3 mD 点,
测得顶端 A 的仰角为 4 ,求 的大小和建筑物
AE 的高.
A
2
B
C
2
D
4
E
讲解范例:
例3.某巡逻艇在A处发现北偏东45o相距9海里 的C处有一艘走私船,正沿南偏东75o的方向 以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇 立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去, 问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时
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