高数数学极限总结
函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式
δ<<|x -x |00时，对应的函数值 都满足不等式：ε
<-|)(|A x f 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作A
x f x x =→)(lim 0
。[2]
单侧极限：?.左极限：A
x f x x =-
→)(lim 或)()(左→→x A x f ?.右极限：A
x f x x =+→)(lim 或)()(右→→x A x f 定理：
A x f x f A x f x x ==?=+
-→)()()(lim
)
()()()()(000
lim
x f x f x
f x f x f x x ==?=+
-
→
函数)(x f 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等 即
)
()()(lim 0
00x f x f x f x x →+-==。
2. 极限概念
函数极限可以分成0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→以0x x →的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等
式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列{}n x ，{}n y 及{}n z 满足以下条件： （1）从某项起，即+∈?N n 0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤；
（2）a y n x =∞
→lim ；a z n x =∞→lim ， 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n x =∞
→lim 准则Ⅰ＇如果（1）当),(0r x U x
∈（或M x >||）时，)()()(x h x f x g ≤≤
（2）A x g x x x =∞→→)(lim )
(0
，A x h x x x o
=∞→→)(lim )
(，
那么)(lim )
(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
夹逼定理：（1）当),(x 0r x U
?时，有 成立
（2）
,那么，()0x f 极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】
准则Ⅱ： 单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇ ：设函数)(x f 在点0x 的某个左(右)邻域内单调并且有界，则)(x f 在
0x 的左(右)极限)(-x f ()[]
+x f 必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。 柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当
N >n ,N >m 时，有ε<-||m n x x 成立。[2]
极限运算相关法则、定理及推论
计算极限方法总结 （1）直接带入求极限
例1.)138(2
1
lim
+-→x x x 【解】
()
6
1381
381
381
382
11
21
1
1
21
2
1lim lim lim lim lim lim lim =+-???
??=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x
x x x x x x x
（2）约零因子求极限
(5)应用两个重要极限求极限
(6)用等价无穷小两代换求极限
(7)用洛必达法则求极限
四．参考文献
[1]极限理论
https://baike.baidu./item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90%86
%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.24
[2]函数极限https://baike.baidu./item/函数极限/727083?fr=aladdin 2017.11.24
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》高等教育出版社1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理