人教版数学必修2模块综合检测题

数学必修2模块综合检测题

一、选择题

1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）．

A ．平面α内所有的直线都与a 异面

B ．平面α内不存在与a 平行的直线

C ．平面α内所有的直线都与a 相交

D ．直线a 与平面α有公共点 2．若棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为（ ）． A ．26 B ．28 C ．30 D ．32

3．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）． Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=

Ｄ．230x y +-=

4．已知两个平面垂直，现有下列命题：

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面． 其中正确的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 5．圆252

2

=+y x 截直线2034=-y x 所得弦的垂直平分线方程是（ ）．

A ．x y 43=

B ．x y 43-=

C ．x y 34-=

D ．x y 3

4

= 6．点P 为ABC ?所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==， 则点O 是ABC ?的（ ）． A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 7．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及

体积为（ ）．

A ． 224cm π，2

12cm π B ． 2

15cm π，212cm π

C ． 2

24cm π，2

36cm π D ． 以上都不正确

8．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为

(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）

．A ．23 B ．3

2 C ．32-

D ． 2

3

- 9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）．

A ．3:1

B ．3:2

C ．2:3

D ．3:3

10．当θ变化时，直线cos sin 6x y θθ+=所具有的性质是（ ）． A ．斜率不变 B ．恒过定点 C ．与定圆相切 D ．不能确定

11．已知点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上，且90ACB ∠=o ，则满足条件的点

C 的个数是（ ）．A ．1 B ．2 C ．3

D ． 4

12．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，则圆柱的体积为（ ）． A ．

2S S B ．2S S π C ．4

S

S D ．4S S π 二、填空题

13．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________． 14．直线012=--y x 被圆0122

2

=--+y y x 所截得的弦长为 ． 15．一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的 全面积是 ．

16．将边长为2，锐角为60o

的菱形ABCD 沿较短对角线BD 折成四面体ABCD ，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全

填上）． ①//EF AB ；②EF 是异面直线AC 与BD 的公垂线； ③当四面体ABCD 的体积最大时，6AC =

；④AC 垂直于截面BDE

三、解答题

17．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2

1=上，求2

2PB PA +取得最小值 时P 点的坐标．

18．如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=o ，135ADC ∠=o

，5AB =，22CD =，

2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．

19．在ABC ?中，BC 边上的高所在的直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．

20．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M N 、分

别是AB PC 、的中点，PA AO a ==． （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．

21．已知圆的方程是2

2

2

()()x a y b r -+-=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程． 22．已知BCD ?中，90BCD ∠=o

，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，

60ADB ∠=o

，E F 、分别是AC AD 、上的动点，且

(01)AE AF

AC AD

λλ==<<： （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？

答案与解析 一、选择题

1．D 根据直线与平面的位置关系分直线在平面内和直线在平面外两种情况． 2．B

'11

()(416)32833

V S S h =

+=?+?=． 3．Ｄ 设所求直线上任一点(,)x y ，则它关于1x =对称点为(2,)x y -，

在直线210x y -+=上, 2210x y --+=化简得230x y +-=．

4．C ①③错误，比如两面交线，就不满足条件；④错误，所作的直线不在其中任一个平

F

E

D

B

A

C

面内时，②是正确的．

5．B 弦的垂直平分线过圆心(0,0)，且斜率为3

4

-，即方程为x y 43-=．

6．B 由勾定理知，OA OB OC ==．

7．A 此几何体是个圆锥，23,5,4,33524r l h S πππ====?+??=表面，

21

34123

V ππ=??=．

8．D (2,1),(4,3)A B --．

9．D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a ， 323232a a

a r r a r r r r ==

===内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：： 10．C 原点(0,0)到直线cos sin 6x y θθ+=的距离为6，即与定圆2

2

36x y +=相切． 11．C 点C 在坐标轴上，可有两种情况，即在x 轴或y 轴上，点C 的坐标可设为(,0)x 或

(,0)y ．由题意，90ACB ∠=o ，直线AC 与直线BC 垂直，其斜率乘积为1-，可分别

求得0x =或2， 0y =或4，所以满足条件的点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,4)．

12．D 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高2h r =， 而2

244S S rh r r πππ==?=

，2

444S S S S V r h πππππ

==??=

二、填空题

13．724700x y ++=，或724800x y +-=，

设直线为2

2

57240,3,70,80247

c x y c

d c +++==

==-+或．

14．

305 圆心为(0,1)，则圆心到直线012=--y x 5

2 得弦长的一半为

305，即弦长为30

5

． 15．

10

9

Q 22223,3Q S R R R Q R ππππ=+===全， 32222221010

,,2233339

V R R h h R S R R R R Q πππππ=

=?==+?==． 16．②③④ ；

①错误，取AD 的中点G ，连结GF ，则GF ∥AB ，

过F 有且只有一条直线和AB 平行； ②连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴BD ⊥面ACF ，EF ?面ACF ∴BD ⊥EF ，

又E 为AC 的中点，AF=CF ， ∴EF ⊥AC

∴EF 是异面直线AC 与BD 的公垂线； ③设AC x =,则23EF x =-

13V S ACF BD =V g =2113324x x =?-g g 22

31144322x x +-

≤?=， 当且仅当21

32

x x =-，即6x =时，V 最大． ④由②知，BD ⊥面ACF ，AC ?面ACF ，∴AC ⊥BD ，AC ⊥EF ， ∴AC 垂直于截面BDE ．

三、解答题

17．解：设(2,)P t t ，

则2

2

2

2

2

2

2

(21)(1)(22)(2)101410PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+， 当710

t =

时，2

2PB PA +取得最小值，即77(,)510P ．

18．解：S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面

25(25)32222πππ=?+?+?+??

25(21)π=+，

V V V =-圆台圆锥

，

222112211

()33r r r r h r h ππ=

++- 1483

π=． 19．解：解直线210x y -+=和直线0y =的交点得(1,0)-，即 的坐标为 (1,0)-，

∴ 20

111

AB k -=

=+ ，又∵ x 轴为 BAC ∠的平分线， ∴ 1AC AB k k =-=- ，又∵直线210x y -+=为BC 边上的高，由垂直得，

P N

C

B

M

A

D E 2BC k =- ，设C 的坐标为(,)a b ，则

21,211

b b a a -=-=-+-， 解得 5,6a b ==- ，即 C 的坐标为 (5,6)-．

20．证明：如答图所示，⑴设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，

由N 为PD 的中点知EN =

//1

2

DC ， 又ABCD 是矩形，∴DC =//AB ，∴EN =//12

AB 又M 是AB 的中点，∴EN =

//AN ， ∴AMNE 是平行四边形，

∴//MN AE ，而AE ?平面PAD ，NM ?平面PAD ∴//MN 平面PAD ．

⑵∵PA AD =，∴AE PD ⊥，

又∵PA ABCD ⊥平面，CD ABCD ?平面， ∴CD PA ⊥，而CD AD ⊥，∴ CD PAD ⊥平面， ∴CD AE ⊥， ∵PD CD D =I ，∴AE PCD ⊥平面， ∵//MN AE ，∴ MN PCD ⊥平面， 又MN PMC ?平面， ∴平面PMC ⊥平面PCD ．

21．解：设C 为圆心，切线的斜率为k ，半径CM 的斜率为1k ，

因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是1

1k k =-

， ∵010y b k x a -=

-，∴00x a k y b -=--，经过点M 的切线方程是0

000()x a

y y x x y b

--=---， 整理得22

0000()()()()()()x a x a y b y b x a y b --+--=-+-，

∵00(,)M x y 在圆上，

∴222

00()()x a y b r -+-=，

所求切线方程

2

00()()()()x a x a y b y b r --+--= ． 当MC 与坐标轴平行时，可以验证上面的方程同样适用．

22、证明：（1）∵AB ⊥平面BCD ，