几何代数和几何计算

穗潺

氏向量空间。由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏

空间的共形变换群的双层覆盖，因而这一模型义被称

为共形模型。

遗憾的是，历史上共形模型长期局限于坐标表示，

它对构造欧氏几何甚至经典儿何的真正几何语言的贡

献长期没有表现出来。

１８６９年，贝尔特拉米（Ｅ．Ｂｅｌｔｍｍｉ）给出罗氏几何的

直观解释．说明罗氏平面可以看作负常数曲率的曲面。，１８７１年．克莱因建立了射影度量和非欧几何的关系。

他指出．欧氏几何和罗氏几何都可用射影方法构造ｍ

来。１８８２年，庞加莱给出了一种模型：取圆的内部作为

罗氏平面．把垂直于已知圆周的圆弧看作罗氏几何的

直线，运动是把圆变为自身的反演。这是现代经常使

用的非欧几何在欧氏平面上等距实现的模型。，

这么多杰出的数学家参与几何代数和几何模型的

研究，关注莱布尼茨宏伟设想的具体实现，充分说明这

?数学课题的重要性。迟缓的进展表明。几何代数和

几何计算的研究面对的道路将是艰难而漫长的。

非欧几何问世的前前后后相继产生＿ｒ多种几何。

各类儿何也出现了相应的几何代数语言。如今．人们

将射影几何、仿射几何、欧氏几何、罗氏几何、球几何等

几何统称为经典几何。对几何代数化而占，自然的问

题是能否建立一种几何代数语言．可用于经典几何的

统一表示，使得此类几何代数语言的运算结果同时在

不同的几何中都具有明确的几何解释．亦即同一个几

何计算的结果，在各类不同的几何之中具有相应的几

何意义，代表着相应的几何结论。这是实现几何计算

代数化必须面对的新挑战。

几何代数语言

对于最常用的经典几何，如何设计统一的几何语

言，如何应用儿何语言进行几何计算呢？应用代数方

法进行几何计算，需要通过三个步骤。

建模给出几何的代数表示。同一个几何问题可

以有各种备样的代数表示。所谓用“真正的几何语

言”直接进行几何计算，就要求代数表示没有任何外

部参照物。

计算建立代数处理的算法。要求给出的代数表

示能够实现几何不变量代数的高效计算。

还原代数结果的几何解释。要求给出的代数表

示在计算过程中和得到的计算结果能够做出明确的几

何解释。

从数学理论的发展来看，经典几何的基本要素包

括几何体、几何量、几何关系、几何变换等．它们的有效

ｏ《科学》（双月刊）表示主要依靠

协变量，即更高

维数几何空间

中的不变量。因

此．几何表示的

核心是构造合

适的协变量代

数，几何计算的

核心是解决不

，堂量代数的符

号计算问题。

刘于经典

几何，有一类以

庞加莱模型：二维双曲空间

在欧氏平面的共形实现

统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法：表示几何变换的旋量或张最；表示几何量的括号。

在此需要对协变量代数、格拉斯曼结构和括号系

统做一简要介绍。

协变量代数包括三个基本成分：基本西变量．协变量之间的乘法．它们之间的代数关系。以平面仿射几何

为例，基本协变量是表示点和方向的向嚣、表示直线的２一向量和表示甲面的３一向量，它们组成格拉斯曼结

构：机变量之问的乘法是格拉斯曼的外积和凯莱的交积：协变量之间的代数关系是由克拉默法则给出的任

意４个向量（或２一向量）之间的线性依赖关系。这个协

变量代数称为２维格拉斯曼一凯莱代数。

格拉斯曼结构是表示基本几何体的一种代数结

构。它具有分层结构，其要与格拉斯曼外积、凯莱交积以及克利福德埘偶运算相容．即这种代数结构在这些

代数运算之下是封闭的。相应的外积、交积和对偶算

子正好对应几何体的扩张、交和对偶。例如，在射影几何、仿射几何和正交几何中，所有的点、线、面等的集台具有格拉斯曼结构：在共形几何代数表示的欧氏、双曲

和椭圆几何中，所有的点、线、圆、而、球等的集合具有格拉斯曼结构。

表示几何量的括号系统，就是应用代数表示进行

几何计算．不变量一般采用抽象符号表示，相应的不变

量系统就是各种括号代数。，

仍以平面仿射几何为例，三角形＾目Ｃ的面积可

以用三个顶点的齐次坐标组成的３×３行列式表示（坐

标多项式），也可以用三个顶点宁母的括号口日ｑ表

示．其中括号算子具有多重线性、结合、反对称性，并满

足以下的仿射格拉斯曼一普吕克火系：对任何平面上

专题三几何证明

专题三几何证明【专题分析】几何证明题重在训练学生运用数学语言合情推理的能力，在数学学习中占有非常重要的地位。此类题目经常出现在解答题的第二题，属于中低难度的题，比较基础；最后两题中也有涉及，属于中高难度的综合题. 【考点解析】考点一：证明线段相等例1．如图，E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，BE ∥DF ．求证：BE ＝DF ．考点二：证明线段平行或垂直例2. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ， ∠A=∠D ，AF=DC ．求证：BC ∥EF ．例3. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．求证：CA 是圆的切线. A B C D E F

A E B C F D 考点三：证明角相等例4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：∠ABD ＝∠CBD ；（2）若∠C ＝2∠E ，求证：AB ＝DC . 考点四：证明三角形全等或特殊四边形例5.在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ． (1)求证：△BEC ≌△DF A ； (2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【基础演练】 1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F 求证：CE=CF ． 2.如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G 。求证：AG ＝C ′G . （第21题）C

如何做几何证明题(方法情况总结)

如何做几何证明题知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。一. 证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二. 证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、

年重庆中考数学几何证明题--(专题练习+答案详解)

2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE (1)求证:BＥ=CＥ；（2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD. 2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点．（1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ；（２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长．

3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ. (1)当CE=1时,求△ＢCE的面积; （２）求证：BD＝EF+CE． 4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF．（1)求证：OＦ∥BC； (２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明．

5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6． (1）求线段CＤ的长；（2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC. 6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°． (１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积; (2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF．

几何证明与计算(解析版)

几何证明与计算考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题 1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D．（1）求证：△OAC≌△ODC；（2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形； ②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°．【解析】（1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC；（2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°．【详解】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵BD∥OC， ∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，

∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OD，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）；（2）①∵四边形BOED是菱形， ∴OB＝D B．又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝D B． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°． ∵CO∥DB， ∴∠AOC＝60°， ∵射线AG为⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ②∵四边形OADC是正方形， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝∠DCO， ∴∠OCA＝45°，故答案30°，45°．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角

七年级数学下册几何证明计算简单型复习题

七年级数学下册几何证明计算简单型复习题 1．（2020春?安陆市期中）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN；（1）判定图中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判定∠P与∠Q的数量关系，并证明． 2．（2020春?邗江区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？什么缘故？（2）假如∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数． 3．（2020春?密云县期末）已知如图：AD∥BC，E、F分别在DC、AB延长线上．∠DCB=∠DAB，AE⊥EF，∠DEA=30°．（1）求证：DC∥AB．（2）求∠AFE的大小． 4．（2020秋?江都市校级期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？什么缘故？（2）假如∠1=∠2，且∠3=105°，求∠ACB的度数．

5．（2020春?沙河市期中）如图，已知直线AB，CD被直线EF，EG，MH所截，直线AB，EG，MH相交于点B，∠EAB=∠BNA，∠FAN=∠FNM，AN∥EG．（1）∠ABE与∠EGF相等吗？（2）试判定∠AFN与∠EBH之间的数量关系，并说明理由． 6．（2020春?高坪区校级期中）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°．（1）请你判定AD与EC的位置关系，并说明理由；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1=70°，试求∠FAB的度数． 7．（2020春?东昌府区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．（1）AD与EF平行吗？什么缘故？（2）假如∠1=∠2，且∠3=115°，求∠BAC的度数． 8．（2020秋?道外区期末）如图（1），直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FG 平分∠CFE，且∠GEF+∠GFE=90°

几何证明专题1

几何证明专题 1、如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD =DC，连结AC,AE,DE . 2、如图，O和e O'相交于A, B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于点，连结DB并延长交eO于点E. 证明：（I）ACeBD二ADUB ；（II）AC=AE C,D两 B

3、选修4 —1几何证明选讲如图，MBC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (I)证明：MBE sA ADC ； "）若MBC的面积S^AD^AE，求Z BAC的大小. 4、如图，D, E分别为MBC的边AB , AC上的点，且不与心ABC的顶点重合.已知AE的长为m, AC的长为n, AD , AB的长是关于x的方程Mx + mn-o的两个根. （I）证明：C, B, D , E四点共圆; (II )若N A=9O。，且m=4, n=6,求C B , D , 所在圆的半径. B

全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）参考答案 1 .【答案】证明：连接AD。 ??? AB是圆O的直径，??? NADB=9O0（直径所对的圆周角是直角）。 ? ?? AD丄BD （垂直的定义）。又??? BD =DC，二AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）。 AB =AC （线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 ? Z B=N C （等腰三角形等边对等角的性质）。又??? D,E为圆上位于AB异侧的两点, ? ?? N B=N E （同弧所对圆周角相等）。 ? ?? N E =N C （等量代换）。 2.【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题. 证明：（1）由AC与eO相切于A，得N CAB二NADB，同理土ACB^DAB ,

几何计算与证明

几何计算与证明学校_______ 5别______ 姓名________ 号__________ 一、选择题：(每题3分，共15分) 1、已知三角形两边a=3, b=7,第三边是c且av bvc,则c的取值范围是( ) (A) 4 v c v 7 (B) 7 v c v 10 (C)4 v c v 10 (D)7 v cv 13 2、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于( ) (A)6 3 cm (B)6cm (C)3 2 (D)3cm 3、在RtAABC 中，/ C=90° 若AB=2AC，贝S cosA 等于() (A)、3 (B)1 (C) 2 2 3 4、已知：等圆O O和O O'外切，过O作O O'的两条切线OA OB A、B是切点，则/ AOB等于( ) -.A 5、如果圆柱的母线长为6cm,侧面积是48n cm2，B 那么这个圆柱的底面直径为( ) (A)4cm (B)4 n cm (C)8cm (D)8 n cm 二、填空题：(每题4分，共24分) 1、三角形三内角的度数之比为1:2:3，最大边约长是8cm

则最小边的长是_______ cm 2、一个n边形的内角和等于外角和的3倍，则n二_________ 。

r 「 2 2 3、 _______________________________________ 若 tan a +cot a =3,贝y tan a +cot a - _______ 4、已知：如图，O O 的弦AB 平分弦CD AB=1Q CD=8 且 PA < PB 贝S PB-PA 二 _____ 如图,在厶 ABC 中,/ BAC=9Q , AB=AC=2 以AB 为直径的圆交BC 于D,则图中阴影部分面积为 6、 AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚梯上点D 距墙1.4米，BD 长Q.55米。则梯子等于 ______ 。三、解答题：（每题7分，共35分） 1、已知：如图，D E 是厶ABC 的边AB 上的点，/ A=35°, / C=85 , / AED=60，求证：ADAB=AEAC 5、 C B O D C

2019年中考数学几何证明、计算题汇编及解析

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A

专题十一—几何证明.docx

辅导讲义基础概念回顾( 一) 全等三角形的判定定理： “SAS"： ________________________________________________________ “ASA"：________________________________________________________ “AAS"：________________________________________________________ “SSS"：________________________________________________________ “HL"：_______________________________________________________ 通过观察和探索发现全等的三角形和全等成立的相关要素 1.(2015?常州)如图,在0ABCD中，ZBCD=120°,分别延长DC、BC到点E, F,使得△ BCE和厶CDF都是正三角形. (1)求证：AE=AF； (2)求ZEAF的度数. 技巧：挖掘隐含条件，构造全等三角形证明线段等几何关系成立

2.（2014*重庆）如图，AABC 中，ZBAC=90°, AB=AC, AD±BC,垂足是D, AE 平分ZBAD,交BC 于点E.在AABC 外有一点F,使FA丄AE, FC丄BC. （1）求证：BE=CF；（2）在AB±.取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME. 求证：①ME丄BC；②DE=DN. 3.（2015*重庆）如图1,在Z^ABC中，ZACB=90°, ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF. （1）如图1,若点H是AC的屮点，AC=2>/E，求AB, BD的长；（2）如图1,求证：HF=EF；（3）如图2,连接CF, CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由. 对全等判定的进一步探究 4 （南京2015）【问题提出】

2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练有答案

2018届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC 的中点． (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长． 2. 如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．

3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

5. 如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由． 6. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于点H ，交CD 于点G. (1)求证：BG ＝DE ； (2)若点G 为CD 的中点，求HG GF 的值．

7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ACD∽△BFD；

中考几何证明专题

一、中考几何证明题的解法 1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形（3）如图3，若AB= ，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． ①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由． 2、（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果）．

3、已知梯形ABCD ，AD ∥BC ， AB ⊥BC ，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P 为AB 边上一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE=PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°．点D 是直线BC 上的一个动点，连接AD ，并以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ．（1）如图①，当点E 恰好在线段BC 上时，请判断线段DE 和BE 的数量关系，并结合图①证明你的结论；（2）当点E 不在直线BC 上时，连接BE ，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；（3）若AC ＝3，点D 在直线BC 上移动的过程中，是否存在以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD 的长度；如果不存在，请说明理由． B D A C E 图① B D A C E 图② B A C 备用图

各种几何图形计算公式.

不四 s = —+ 爲Mu = =￡￡sin B 2 2 边形不四平边行形 a. b. c. d —各边长險、爲rsi s -面积右、必一对角线 [H^hY^bh + cH 2 H, 曰-面枳 € _ a￡K abc % 4」戸（尹_&）〔戸 _&）（尹_亡） P-三边和之半 s-三角形囲积艮-三角形外接圆半径外切角形直角角形尸=匚石一刁 ■S _ 血 P V F P-三边和之半 2 -三角形面积 r -三角形内切圆半径以=胪亠阱弘b -直角边 c = 3十戸? _斜边 1 , "尹占-面积 c -J/ ■n?十2&曰a'b^ -各边长

隅角 0 ]073t a s - 面积 d -短轴D - 长轴匸-短半轴 R -长半轴扇形 ISO* -°01745^ 亠二喫 2 360 半径圆心角= 0.008727r^* 弓-面积

正六 E 体正十 _____ L 面体正多边形 (六个正方形 ) 口 -边数 a - 一边之长 R -外接圆半径 r 内切圆半径 e-巒财之 1D 心角顶用官-面积 D -周良 tzFhj u 〔教目） F=6a 2 棱顶点 12 3 丁 = / C 数目）稜腆点 30 20 正立方体截头直锥（十二个五甬形）爲柱卩二 20.6457^ r= 7.663 la 5 F = 6a 2 C L □ -边长 d-对角线长 = 7^" = 1732^1 。=扌心1 +比）尸=#餉+宀） + s i 十巧衍“2 —两端周围的长￡ L-S 2 —两端的面积 $二gk 十邑+ J 远”叼） C* P -宜截断面周长 F = ^/ + 2s h - 高 V = sh 目-底面积

初二上几何证明题100题专题训练

C A B C D E P 图 ⑴八年级上册几何题专题训练100题 1、已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。 C B 2、已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。 3、已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．

5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。 8. 如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB＝10°，求∠AEC的度数． A B C O M N

几何证明与计算2

2012年寒假九年级数学学案二------几何证明与计算一、基础回顾 1.如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ， 5 4 A cos =，则下列结论中正确的个数为（） ①DE =3cm ；②EB =1cm ；③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 2.．（2011山东菏泽）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 3.（2011山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（）A . 直角三角形 B . 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 等边三角形 4. 2011浙江义乌）如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是（） A ．2cm B ．1.5cm C ．1.2cm D ．1cm 5．（2011浙江绍兴）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（） A.16 B.10 C.8 D.6 6．（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ， AE =2，ED =4， (1)求证：△ABE ∽△ADB ； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接F A ，试判断直线F A 与⊙O 的位置关系，并说明理由． C 30° 45° α E A B C D

二、典例精评例1. （2011广东茂名）如图，在等腰△ABC中,点 D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接A E、BD 相交于点O，∠1＝∠2． (1)求证：OD＝OE； (2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形； (3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形 ABED的面积．例2. （2011浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

培优专题几何证明题(含答案)

如何做几何证明题【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF C F B A E D 图1 例 2. 已知：如图 2 所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠ F D B C F E A 图2 2、证明直线平行或垂直：在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，

立体几何证明题专题(教师版)

立体几何证明题考点1：点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；， ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．【答案】④ ， 2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则() A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B 解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．! 对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．

《挑战中考数学压轴题》之几何证明及通过几何计算进行说理问题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD 的面积； ②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．思路点拨 1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ． 2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 1,421 3.c b =??-++=-? 解得0,1. b c =??=? 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =- 所以点A 1．

2017年中考数学专题复习八：几何证明题

专题八：几何证明题【问题解析】几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位?根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低?但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型. 【热点探究】类型一：关于三角形的综合证明题【例题11(2016 ?四川南充)已知△ ABN和厶ACM位置如图所示，AB=ACAD=AE /仁/ 2. (1) 求证：BD=CE (2) 求证：/ M=/ N. 【分析】(1)由SAS证明△ ABD^A ACE得出对应边相等即可 (2)证出/BAN/ CAM由全等三角形的性质得出/ B=/ C,由AAS证明△ ACI WA ABN 得出对应角相等即可. 【解答】(1)证明：在厶ABD和厶ACE中，’IL* ???△ABD^A ACE( SAS, ??? BD=CE (2)证明：T/ 1=/ 2, ? / 1+/ DAE/ 2+/ DAE 即/ BAN/ CAM 由(1)得：△ ABD^A ACE ? / B=/ C, r zc=z& ?AC=AB 在厶ACM^n^ ABN 中，| Z CM=Z BAN,

???△ ACMmABN( ASA, ???/ M= N. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键. 【同步练】 (2016 ?山东省荷泽市?3 分)如图，△ ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A，D, E在同一直线上，连接BE (1)如图1，若/ CAB M CBA M CDE M CED=50 ①求证：AD=BE ②求/ AEB的度数. (2)如图2,若/ ACB M DCE=120 , CM^^ DCE中DE边上的高，BN%A ABE 中AE边类型二：关于四边形的综合证明题【例题2] (2016 ?山东省滨州市?10分)如图，BD是△ ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB, BD BC于点E，F，G,连接ED DG (1)请判断四边形EBGD勺形状，并说明理由； (2)若/ ABC=30，/ C=45, , 点H是BD上的一个动点，求HG+HC勺最小值.

中考几何证明与计算(5)

专题----<<几何>>证明与计算（5） 30．已知：如图，ABC △中，45 ABC ∠=°，CD AB ⊥于D，BE平分ABC ∠，且B E A C ⊥于E，与CD相交于点F H ，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF AC =；（2）求证： 1 2 CE BF =；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论． 31．如图，ACB △和ECD △都是等腰直角三角形，A C D ，，三点在同一直线上，连结BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：ACE BCD △≌△．（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论． 32，已知；如图，在△ABC中，AB =AC，∠ABC=90°.F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE = CF，连接AE、EF和CF. （1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数. 33，已知：如图所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，点D为BA上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥ AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论． 34，如图所示, 已知∠ABC=90o,AC=BC,CE交AB于F，BE⊥CF于E，AD⊥CF于D。 D A E F C H G B F E C A

（图1）（图2）（1）求证：△CEB≌△ADC （2）若AD=9，DE=6，求BE及EF的长 35如图，已知ABC △是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠60 EFB=°， DC EF =. (1) 求证：四边形EFCD是平行四边形； (2) 若BF EF =,求证AE AD =. 36如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝ 90，AB与CE交于F，ED与 AB、BC分别交于M、H． (1)求证:CF＝CH； (2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE= 45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论． 37，已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上， AB与EF交于点G.∠C＝∠EFB＝90 °，∠E＝∠ ABC ＝30°，AB＝DE＝4．（1）求证：EGB ?是等腰三角形；（2）若纸片DEF不动，问ABC ?绕点F逆时针旋转最小____度时，四边形ACDE成为以ED 为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．