泰勒定律与导数的应用
泰勒公式与导数的应用
巩固练习
★1.按)1(-x
的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导
数在0x x
=处的值，然后带代入公式即可。
解：3
()46f x x x '=+，(1)10f '=；2
()126f x x ''=+，f (1)18''=；
()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ；
将以上结果代入泰勒公式，得
(4)23
4
(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。
★★2.求函数
x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。 思路：同1。 解
：()f x '=
，
1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1
(4)32
f ''=-；
523()8f x x -'''=，3(4)256
f '''=；27
41615)(--=x x f
)(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23
4(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+-
42
7
32)4(1285)4(512
1
)4(641)4(412---+---+
=x ξ
x x x ，（ξ介于x 与4之间）。
★★★3.把
2
2
11)(x x x x x f +-++=
在0=x
点展开到含4x 项，并求)0()3(f 。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论)(111
2n n x o x x x x
+++++=- 。
解：
3
2222211)
1(2112112111)(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-+=+-++-=+-++=
)(2221))(1)(1(2144233x o x x x x o x x x +-++=+-++=；
又由泰勒公式知3
x 前的系数
(0)
03!
f '''=，从而(0)0f '''=。 ★★4.求函数
x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为对数函数时，通常利用已知的结论
x x =+)1ln()(1
)1(3211
32++++-+-+-n n n x o n x x x 。 方法一：（直接展开）1()f x x '=
，1(2)2f '=；21()f x x ''=-，1(2)4f ''=-； 3
2()f x x '''=
，
1(2)4f '''=；n n n x n x ,f )!1()1()(1)(--=- ，n
n n n f 2)!1()1()2(1)(--=-； 将以上结果代入泰勒公式，得
(4)23
4(2)(2)(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!
f f f f x f x x x x !''''''=+-+-+-+-+
n (n)x
n f )2(!)2(-+))2((n x o -+=23)2(21)2(212ln ---+x x --?+3
3
)2(2
31x ))2(()2(2
1)1(1
n
n n
n x o x n -+-?-+-。 方法二：2
)2
2(21222ln )221ln(2ln )22ln(ln )(---+=-++=-+==x x x x x x f 2313)2(21)2(212ln ))22(()22(1)1()22(31---+=-+--+--+-x x x o x n x n n n ))2(()2(2
1)1()2(231133n n n n x o x n x -+-?-+--?+- 。 ★★5.求函数x
x f 1
)(=按)1(+x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论
212
1
111(1)n n n x x x x x
ξ++=+++++
--。
方法一：2
1()f x x '=-
，
(1)1f '-=-；3
2()f x x ''=
，
(1)2f ''-=-；4
6()f x x '''=-
，
(1)6f '''-=-1
)(!)1()(+-=n n
n x
n x ,f ，!)1(!)1()1(1)(n n f n n
n -=--=-+； 将以上结果代入泰勒公式，得
231(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)1!2!3!
f f f f x x x x ''''''---=-+++++++
n
n x n f
)1(!
)1()
(+-+1)1()1()!1()(+++++
n n x n ξf
=n
x x x x )1()1()1()1(13
2
+--+-+-+-- 121
)1()1(++++-+n n n x ξ
（ξ介于x 与1-之间）。
方法二：
n x x x x x x )1()1()1()1(1[)
1(11132+++++++++-=+--= ])1()1(121++++-+n n n x ξ=n
32)1()1()1()1(1+--+-+-+--x x x x 121)1()1(++++-+n n n x ξ
（ξ介于x 与1-之间）。
★★6.求函数
x xe y =的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。
知识点：麦克劳林公式。
思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。)(x f 中含有x
e 时，通常利用已知结论
)(212n n x
x o n!
x !x x e +++++= 。
方法一：(1)x
y x e '=+，(0)1y '=；(2)x
y x e ''=+，(0)2y ''=；x (n)
e n x ,y
)(+= ，
n y n =)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得
23
(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!
!
(n)x n
n f f f f xe f x x x x o x n ''''''=+++++
++
+++=!
232
x x x )!1(-+n x n )(n
x o +。
方法二： +++=+-++++=--!
2))()!1(!21(32
112x x x x o n x x x x xe n n x
)!
1(-+n x n )(n
x o +。 ★★7.验证当2
1
0≤
213 2x x x e x +++≈计算x e 的近似值时，所产生的误差小于 010.，并求e 的近似值，使误差小于010.。 知识点：泰勒公式的应用。 思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。 解：010192 121!42!4!4)(4 42 1 43.x e x e x R ξ <=≤≤= ；6460481 81211.e ≈+++≈。 ★★8.用泰勒公式取5=n ，求21ln .的近似值，并估计其误差。 知识点：泰勒公式的应用。 解：设)1ln()(x x f +=，则 (5)2 5 (0)(0)(0)()(0)1!2!5! f f f f x f x x x '''≈+++ + 2 2 x x -=55x + + ，从而182305 2042032022020)20(21ln 5 432.......f .≈+-+-≈=；其 误差为： 00001070620) 1(61)(66 6 5..x ξx R ≈≤+-=。 ★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限： （1） )3(lim 233x x x x x --++∞→； （2）2 22 sin )(cos 1211lim 2 x e x x x x x -+-+ → 。 知识点：泰勒展开式的应用。 思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。 解：（1）])1 1()31([lim )3(lim 21 3122 3 3 x x x x x x x x x x --+=--++∞→+∞→ ))] 1(12) 121(21)1(211())]1(o 3311([lim 2222x o x x x x x x x +?-+-?+-+?+=+∞→21))1(8921(lim =++=+∞→x o x x 。 （2）2 2 1 220 2220)(cos )1(21 1lim sin )cos (1211lim 22 x e x x x x e x x x x x x x -+-+=-+-+→→ 121) (2 3)(81lim )))(1()(21() (2) 12 1 (21211(211lim 444402222244220-=+-+=++-+-+-++-+=→→x o x x o x x x o x x o x x o )x x x x x 。 ★★10.设0>x ，证明：)1ln(2 2 x x x +<-。 知识点：泰勒公式。 思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展 开的一部分时，可考虑用泰勒公式。 解：3 3 2)1(32)1ln(ξx x x x ++ -=+（ξ介于0与x 之间），∵ 0>x ，∴0) 1(33 3 >+ξx ， 从而2 )1(32)1ln(2 332x x ξx x x x - >++-=+，结论成立。 （也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之） ★★11.证明函数 )(x f 是n 次多项式的充要条件是0)()1(≡+x f n 。 知识点：麦克劳林公式。 思路：将)(x f 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。 解：必要性。易知，若)(x f 是n 次多项式，则有0)() 1(≡+x f n 。 充分性。∵0)() 1(≡+x f n ，∴)(x f 的n 阶麦克劳林公式为： 2 (0)()(0)(0)2! f x f x f f x '''=++ 3()(1)1(0)(0)()3!!(1)!n n n n f x f x f ξx n n ++'''++ ++=+2(0)(0)(0)2! f x f f x '''++ 3 (0)3! f x '''+! )0() (n x f n n + + ，即)(x f 是n 次多项式，结论成立。 ★★★12.若 )(x f 在][a,b 上有n 阶导数，且(1)()()()()()0n f a f b f b f b f b -'''==== == 证明在)(a,b 内至少存在一点ξ，使 )(0)()(b ξa ξf n <<=。 知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。 思路：证明)(0)() (b ξa ξf n <<=，可连续使用拉格朗日中值定理，验证)() 1(x f n -在][a,b 上满足 罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据 )(x f 在b x =处的泰勒展开式及已知条件得结论。 方法一：∵ )(x f 在][a,b 上可导，且)()(b f a f =， ∴由罗尔中值定理知，在)(a,b 内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=； ∵ ()f x '在][][1a,b ,b ξ?上可导，且()0f b '=， ∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b ,b ξ?内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ''=； 依次类推可知， )() 1(x f n -在][1,b ξn - ][a,b ?上可导，且0)()() 1(1) 1(==---b f ξf n n n ， ∴由罗尔中值定理知，在)() (1a,b ,b ξn ?-内至少存在一点ξ，使得0)()(=ξf n 。 方法二：根据已知条件，)(x f 在b x =处的泰勒展开式为： (1)()21() ()()()()()()()()()2!(1)!! n n n n f b f b f ξf x f b f b x b x b x b x b n n --'''=+-+-+ +-+--n n b x n ξf )(! ) ()(-=)(b ξx <<， ∴ )(a f 0)(! ) ()(=-= n n b a n ξf ，从而得0)()(=ξf n ，结论成立。 内容概要 巩固练习 ★1.证明函数 )1ln(2x x y +-=单调增加。 知识点：导数的应用。 思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I 上，()0f x '>（()0f x '<）， 则 )(x f 在I 单调增加（减少）。 证明：∵2 22 2(1)1011x x y x x -'=-=≥++（仅在1=x 处0y '=）， ∴ )1ln(2x x y +-=在)(∞+-∞,内是单调增加的。 ★2.判定函数 )20(sin )(πx x x x f ≤≤+=的单调性。 解：∵()1cos 0f x x '=+≥（仅在πx =处()0f x '=）， ∴ )20(sin )(πx x x x f ≤≤+=是单调增加的。 ★★3.求下列函数的单调区间： （1） 133123+--= x x x y ； （2）)0(82>+=x x x y ； （3）323 2 x x y -=； （4） )1ln(2x x y ++=； （5）x x y )1(+=； （6）x x y ln 22-=。 知识点：导数的应用。 思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域 划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。 解：（1） 133 123 +--= x x x y 的定义域为)(∞+-∞,；令2230y x x '=--=， 得11 -=x ，32=x 。列表讨论如下： 由上表可知，133 23 +--= x x x y 在)1(--∞,、)3(∞+,内严格单增，而在)31(,-内严格单减。 （2） 在)0(∞+,内，令28 20y x '=-=，得2=x ； 当 )20(,x ∈时，有0y '<；当 )2(∞+∈,x 时，有0y '>； ∴ )0(8 2>+ =x x x y 在)20(,内严格单增，在)2(∞+,内严格单减。 （3）3 2 3 2x x y -=的定义域为)(∞+-∞,；令13 22033y x -'=-==， 得1=x ；0=x 为不可导点。列表讨论如下： 由上表可知，323 x x y -= 在)0(,-∞、)1(∞+,内严格单增，而在)10(,内严格单减。 （4） )1ln(2x x y ++=的定义域为)(∞+-∞,， y '== 0>， ∴ )1ln(2x x y ++=在)(∞+-∞,内严格单增。 （5） x x y )1(+=的定义域为)0[∞+, ，∵32 ()10y x x ''=+=>， ∴ x x y )1(+=在)0[∞+,上严格单增。 （6）x x y ln 22 -=的定义域为)0(∞+,，令214140x y x x x -'=-= =，得2 1 =x ； 当)210(, x ∈时，0y '<；当)2 1 (∞+∈,x 时，0y '>； ∴x x y ln 22 -=在)210(,内严格单增，在)2 1(∞+,内严格单减。 ★★4.证明下列不等式： （1） 当0>x 时，x x +>+ 12 1 1； （2）当4>x 时，22x x >； （3）当0≥x 时，x x x arctan )1ln()1(≥++； （4）20πx <<时，3 3 1tan x x x +>。 知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。 思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的 方法。 解：（1）方法一：令x x x f +-+ =12 1 1)(， 则当0>x 时，1()2f x '= -)111(21x +-=0>， ∴ x x x f +-+ =12 1 1)(在)0[∞+,上严格单增；从而0)0()(=>f x f ， 即x x +>+ 12 1 1，结论成立。 方法二：由泰勒公式，得 2 322 3 2) 1(8)) 1(82 1 1(2111211)(ξx ξx x x x x x f += +- +-+=+-+=（x ξ<<0）， ∴ 0) 1(8)(2 3 2>+= ξx x f ，从而得x x +>+ 12 1 1，结论成立。 （2）方法一：令22)(x x f x -=，则当4>x 时，()2ln 22x f x x '=-， 222222()2ln 22(4)16ln 22(ln 4)2(ln )20x f x f e ''''=->=-=->->， ∴ ()2ln 22x f x x '=-在)4(∞+,内严格单增， 从而()2ln 22(4)16ln 244(ln161)0x f x x f ''=->=-=->， ∴ 22)(x x f x -=在)4(∞+,内严格单增，在)4(∞+,内08)4(2)(2>=>-=f x x f x ， ∴22 x x >，结论成立。 注：利用()f x ''的符号判断()f x '的单调性，利用()f x '的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出 )(x f 在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。 方法二：令x x x f ln 22ln )(-=， 当4>x 时，02 1 4ln 21212ln 22ln )(/>-=->- =x x f ， ∴ x x x f ln 22ln )(-=在)4(∞+,内严格单增， ∴04ln 22ln 4)4(ln 22ln )(=-=>-=f x x x f ，从而有，x x ln 22ln >， ∴x x e e ln 22 ln >，即22x x >，结论成立。 （3）令x x x x f arctan )1ln()1()(-++=， 则当0≥x 时有2 1 ()ln(1)101f x x x '=++- ≥+（仅在0=x 时，()0f x '=）， ∴ )(x f 在)0[∞+,上严格单增，从而有0)0()(=≥f x f ， 即x x x arctan )1ln()1(≥++ ，结论成立。 （4）令x x x g -=tan ) (，则当2 0πx < <时，有22 ()sec 1tan 0g x x x '=-=> 从而x x x g -=tan )(在)20(π,内严格单增，∴0)0()(=>g x g ，即在)20(π ,内x x >tan ； 再令3 3 1tan )(x x x x f --=， 则当2 0πx <<时，2222 ()sec 1tan 0f x x x x x '=--=->， 从而331tan )(x x x x f --=在)2 0(π ,内严格单增，∴0)0()(=>f x f ， 即在)20(π,内3 3 1tan x x x +>，结论成立。 ★★★5.试证方程x x =sin 只有一个实根。 知识点：导数的应用。 思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。 解：易知，00sin =，即0=x 是方程的一个根； 令x x x f sin )(-=，则()1cos 0f x x '=-≥（仅在)(2Z k k πx ∈=处()0f x '=） ， ∴ x x x f sin )(-=在)(∞+-∞,内严格单增，从而)(x f 只有一个零点， 即方程x x =sin 只有一个实根。 ★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子： x x x f sin )(+=。 知识点：导数的应用。 思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。 解：单调函数的导函数不一定为单调函数。 ∵()1cos 0f x x '=+≥（仅在)()12(Z k πk x ∈+=处()0f x '=） ， ∴x x x f sin )(+=在)(∞+-∞,内严格单增； 而 ()1cos f x x '=+在))12(,2(πk k π+内严格单减，在)2,)12((k ππk -内严格单增，从而在 )(∞+-∞,上不单调。 ★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间： （1）)0(1>+ =x x x y ； （2）1 2 -+=x x x y ； （3） x x y arctan =； （4） x e x y ++=4)1(； （5） )1ln(2+=x y ； （6）x e y arctan = 。 知识点：导数的应用。 思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将 定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。 解：（1）211y x '=- ，2 2 y x ''=，∵当0>x 时，0y ''>， ∴ x x y 1 + =在)0[∞+,上为凹函数，没有拐点。 （2）12-+=x x x y 的定义域为)1()11()1(∞+---∞,, , ； 22211(1)x y x +'=--，223 2(3) (1) x x y x +''=-，令0y ''=，得0=x ； 当1- ∴ 1 2 -+ =x x x y 的凹区间为)01(,-、)1(∞+,，凸区间为1),(--∞、1),0(；∴拐点为)00(,。 （3） x x y arctan =的定义域为)(∞+-∞,，2 arctan 1x y x x '=+ +， 2220(1)y x ''=>+， ∴ x x y arctan =在整个定义域上为凹函数，没有拐点。 （4） x e x y ++=4)1(的定义域为)(∞+-∞,，34(1)x y x e '=++， 212(1)x y x e ''=++0>，∴x e x y ++=4)1(在整个定义域上为凹函数，没有拐点。 （5） )1ln(2 +=x y 的定义域为)(∞+-∞,，2 21x y x '=+，2222(1)(1)x y x -''=+， 令0y ''=，得121±=,x ；列表讨论如下： 由上表可知，)1ln(2+=x y 的凸区间为)1(--∞,、)1(∞+,，凹区间为)11(,-，拐点为) 2ln 1(,-及)2ln 1(,。 （6）x e y arctan =的定义域为)(∞+-∞,，arctan 2 1x e y x '=+，22(12)(1)arcanx e x y x -''=+， 令0y ''=，得21= x ；当21 1 >x 时，0y ''<； ∴x e y arctan =的凹区间为]21(,-∞，凸区间为)2 1 [∞+,，拐点为)21(21 arctan ,e 。 ★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式： （1） )(2 2 y x e e e y x y x ≠>++； （2）)2 2(2cos cos 2cos π ,πx,y ,y x y x -∈?+>+。 知识点：函数凹凸性的概念。 思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线 性组合时可考虑利用函数的凹凸性。 证明：（1）令x e y =，∵0x y e ''=>，∴x e y =在)(∞+-∞,内是凹的。 利用凹函数的定义，)(∞+-∞∈?,x,y )(y x ≠，有 2 2 y x y x e e e +>+，结论成立。 （2）令 x y cos =，∵在)22(π,π-内，cos 0y x ''=-<，∴x y cos =在)22(π ,π-内是凸的。利 用凸函数的定义，)22(π,πx,y -∈?)(y x ≠，有2 cos cos 2cos y x y x +> +，结论成立。 ★★★9.求曲线1 1 2 +-=x x y 的拐点。 知识点：导数的应用。 思路：同7。 解：1 1 2+-=x x y 的定义域为)(∞+-∞,，222 12(1)x x y x +-'=+， 222222423 (22)(1)(12)4(1)2(1)(41) (1)(1)x x x x x x x x x y x x -+-+-?++-+''==++ 令0y ''=，得11-=x ，3232±=,x ；现列表讨论如下： 由上表可知，拐点为)11(--,、)3 483132(--- , 、)3 483132(+++, 。 ★★10.问a 及b 为何值时，点)31(,为曲线23bx ax y +=的拐点？ 知识点：导数的应用。 思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。 解：2 3bx ax y +=的定义域为)(∞+-∞,，2 32y ax bx '=+，62y ax b ''=+； 将)31(,代入 23bx ax y +=中，得：b a +=3①； 将)31(,代入62y ax b ''=+中，得：b a 260+=②； 由①②得，23- =a ，2 9=b 。 ★★★11.试确定曲线 d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得在2-=x 处曲线有水平切线， )101(-,为拐点，且点)442(,-在曲线上。 知识点：导数的几何意义及导数的应用。 思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知 条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。 解：232y ax bx c '=++，62y ax b ''=+； 将)442(,-代入d cx bx ax y +++=2 3，得 d c b a +-+-=24844 ① 将)101(-,分别代入 d cx bx ax y +++=23与62y ax b ''=+中，得 d c b a +++=-10 ②； b a 260+= ③ 将2-=x 代入232y ax bx c '=++中，得 c b a +-=4120④ 由①②③④得，1=a ，3-=b ，24-=c ，16=d 。 ★★★12.试确定 22)3(-=x k y 中k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 知识点：导数的应用。 思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出k 值。 解：2 2 )3(-=x k y 的定义域为)(∞+-∞,；2 4(3)y kx x '=-，2 12(1)y k x ''=-； 令 0y ''=，得121±=,x 。易知，当x 的取值通过121±=,x 的两侧时，212(1)y k x ''=-会变号， ∴)41(k ,与)41(k ,-均为 22)3(-=x k y 的拐点；∵1 8x y k =' =-，1 8x y k =-' =， ∴两拐点处法线方程分别为：)1(814-= -x k k y ，)1(81 4+-=-x k k y ； 又两法线过原点，将)00(,代入法线方程，得1322 =k ，解得8 2 ± =k 。 ★★★★13.设函数 )(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶导数，如果0()0f x ''=， 而 0()0f x '''≠，试问))((00x ,f x 是否为拐点，为什么？ 知识点：导数的应用。 思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。 方法一：0()0f x ''=，0()0f x '''≠不妨设0()0f x '''>，即 00000 ()()() ()lim lim x x x f x f x f x f x x x x x →→''''''-'''==--0>； 由极限的保号性知，必存在0>δ ，使得)(0,δx x ∈?，均有 () 0f x x x ''>-； 从而当00x x δx <<-时，有()0f x ''<，当δx x x +<<00时，有()0f x ''>； ∴))((00x ,f x 为拐点。 内容概要 五、练习五 ★★1.求下列函数的极值： （1） x x x x f 33 1)(2 3--=； （2）)1ln(x x y +-=； （3） x x y 2ln = ； （4） x x y -+=1； （5） x e y x cos =； （6）32 )1()(x x x f ?-=。 知识点：极值的充分条件。 思路：求0y '=的点或者y '不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极 值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。 解：（1）方法一： x x x x f 33 1)(23 --= 的定义域为)(∞+-∞,， 令 2()230f x x x '=--=，得31=x ，12-=x ；现列表讨论如下： 由上表知， x x x x f 33)(23--= 在1-=x 处取得极大值为3 )1(=-f ，在3=x 处取得极小值为9)3(-=f 。 方法二：令2 ()230f x x x '=--=，得31=x ，12-=x ； 由 ()22f x x ''=-得，(1)40f ''-=-<， (3)40f ''=>， ∴由极值的第二充分条件知，x x x x f 331)(23--= 在1-=x 处取得极大值为3 5)1(=-f ， 在3=x 处取得极小值为9)3(-=f 。 （2）方法一：)1ln(x x y +-=的定义域为)1(∞+-,，令11011x y x x '=- ==++，得0=x ； 当01<< -x 时，有0y '<；当0>x 时，有0y '>， ∴由极值的第一充分条件知， )1ln(x x y +-=在0=x 处取得极小值为0)0(=f 。 方法二：)1ln(x x y +-=的定义域为)1(∞+-,，令11011x y x x '=- ==++，得0=x ； 又由 2 1(1)y x ''= +，得 (0)10y ''=>， ∴由极值的第二充分条件知， )1ln(x x y +-=在0=x 处取得极小值为0)0(=f 。 （3） 方法一：x x y 2ln = 的定义域为)0(∞+,，令22 2ln ln 0x x y x -'==，得11=x ，2 2e x =； 由上表知，x x y 2ln = 在1=x 处取得极小值为0)1(=y ，在2e x =处取得极大值为2 24)(e e f = 。 方法二：x x y 2ln = 的定义域为)0(∞+,，令22 2ln ln 0x x y x -'==，得11=x ，22e x =； 由2326ln 2ln x x y x -+''=，得(1)20y ''=>，2 6 2()0y e e ''=-<； ∴由极值的第二充分条件知，x x y 2ln = 在1=x 处取得极小值为0)1(=y ，在2e x =处取得极大值为 2 24)(e e f = 。 （4） x x y -+=1的定义域为]1(,-∞，令0y '= =，得43=x ； 当43< x 时，有0y '>；当14 3 < 5 )43(=f 。 注：此题中y ''的表达式比较繁琐，所以优先考虑第一充分条件。 （5） x e y x cos =的定义域为)(∞+-∞,， 令 (cos sin )0x y e x x '=-=，得4 πk πx + =，)(Z k ∈；由 2sin x y e x ''=-，得 2 4(2)04πk ππy k π+''+=<， (21)4 ((21))04 πk ππy k π++''++=>， Z k ∈； ∴由极值的第二充分条件知， x e y x cos =在4 2πk πx +=处取得极大值为4222)42(π k πe πk πy +=+， 在4 )12(π πk x ++=处取得极小值为4)12(22)4)12((π πk e ππk y ++-=++，Z k ∈。 注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件。 （6） 32 )1()(x x x f ?-=的定义域为)(∞+-∞,，令 ()0f x '= =，得52 1=x ； 02=x 为不可导点；现列表讨论如下： 由上表知， 32 )1()(x x x f ?-=在0=x 处取得极大值为0)0(=f ，在5 = x 处取得极小值为 2()5f = 注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件。 ★★★2.试证：当01> ++b a 时， 1 )(2-++=x b ax x x f 取得极值。 知识点：函数取得极值的条件。 思路：在定义区间内求()0f x '=的点，然后利用极值的充分条件进行判断。 证明： 1 )(2-++=x b ax x x f 的定义域为)1()1(∞+-∞,, ，令222()0(1)x x a b f x x ---'= =-， ∵方程2 20x x a b ---=根的判别式：44()4(1)a b a b ?=++=++ ∴当01>++b a 时，得驻点为b a x ,++±=112 1；由3 2(1)()(1)a b f x x ++''= -，得 (10f ''+= =>， (10f ''= =<， ∴ 1 )(2-++=x b ax x x f 在b a x +++=11处取得极小值，在b a x ++-=11处取得极大值。 ★★3.试问a 为何值时，函数 x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π x =处取得极值，并求出极值。 知识点：取得极值的条件。 思路：利用极值的必要条件，确定a 的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值。 解：根据题意，得3 3 () (cos cos3) cos cos 03 π πx x π f x a x x a π= = '=+=+=， 即012 =-a ，2=a ； 由 ()2sin 3sin3f x x x ''=--，得()03 f π ''=<， ∴)(x f 在3πx =处取得极大值3)3 (=π f 。 本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制 泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative. 导数的四则运算法则 §4 导数的四则运算法则 主讲：陈晓林时间：2012-2-23 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处附近有定义，如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫函数的平均变化率）有极限即?Skip Record If...?无限趋近于某个常 数，我们把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的导数，记作?Skip Record If...?，即?Skip Record If...? 2. 导数的几何意义：是曲线?Skip Record If...?上点（?Skip Record If...?）处的切线的斜率因此，如果?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?可导，则曲线 ?Skip Record If...?在点（?Skip Record If...?）处的切线方程为?Skip Record If...?3. 导函数(导数):如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每点处都有导数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导数 ?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?, 称这个函数 ?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数?Skip Record If...?的导数的一般方法： （1）求函数的改变量?Skip Record If...?2）求平均变化率?Skip Record If...?（3）取极限，得导数?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?5.常见函数的导数公式：?Skip Record If...?；?Skip Record If...? （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 ?Skip Record If...? 证明：令?Skip Record If...?， ?Skip Record If...??Skip Record If...?， ∴?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?． 例1：求下列函数的导数： 泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函 课题：导数的运算法则 1、 求下列函数的导数 （1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。 例1 求下列函数的导数 （1） )11)(1(x x y +- = ； （2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ； 例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。 例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0 《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极 限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日） 泰勒公式与导数的应用 巩固练习 ★1.按)1(-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。 知识点：泰勒公式。 思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导 数在0x x =处的值，然后带代入公式即可。 解：3()46f x x x '=+，(1)10f '=；2 ()126f x x ''=+，f (1)18''=； ()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ； 将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23 4 (1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。 ★★2.求函数 x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。 思路：同1。 解 ：()f x '= ， 1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1 (4)32 f ''=-； 52 3()8f x x -'''=，3(4)256 f '''=；27 41615)(--=x x f )(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23 4(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+- 42 7 32)4(1285)4(512 1 )4(641)4(412-- -+---+=x ξ x x x ，（ξ介于x 与4之间）。 ★★★3.把 2 2 11)(x x x x x f +-++= 在0=x 点展开到含4x 项，并求)0() 3(f 。 知识点：麦克劳林公式。 思路：间接展开法。)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论 )(111 2n n x o x x x x +++++=-Λ。 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， §4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率 x x y ?= ?? （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 证明：令)()()(x v x u x f y ±==， )] ()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([， ∴ x v x u x y ??±??=??，x v x u x v x u x y x x x x ??±??=? ?? ????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim 即 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数： （1）x x y 22 +=； （2）x x y ln -= ； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4） 2 2 1x x x y +-= 。 解：（1）2ln 22)2()()2(2 2 x x x x x x y +='+'='+='。 （2）x x x x x x y 121)(ln )()ln (- = '-'='-='。 （3） [] 123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-=' -+='x x x x x x x x x x y 。 例2：求曲线x x y 1 3- =上点（1，0）处的切线方程。 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得 1.2.2 导数的运算法则（一） 知识要点 1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ， 即()()'u x v x ±=???? 2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ， 即()()'u x v x ?=???? 。特别地，()'cu x =???? （其中c 为常数）。 3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。即 知识点一，直接求导 例1，求下列函数的导数 （1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导 例2，求下列函数的导数 （1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用 例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。 变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v 水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ??? 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1< (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点泰勒公式及其在解题中的应用
最新导数的四则运算法则
泰勒公式及其应用
导数的运算法则
《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc
泰勒公式与导数的应用
微分中值定理与导数的应用总结
导数的四则运算法则
泰勒公式的应用
中值定理与导数的应用(包括题)
泰勒公式及其应用
1.2.2 导数的运算法则(一)
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)
第三章中值定理与导数的应用答案