《量子力学简明教程》授课教案

《量子力学》电子教案

杨子元编

宝鸡文理学院物理系

一、简单介绍《量子力学》在物理学中的地位与作用

1．物理学课程体系中，分为基础课与专业课

基础课包括力、热、光、电、原子物理

专业课——四大力学：理论、热统、电动、量子力学

2．大学四年中所学所有课程大多为经典物理（即十八、九世纪物理）

只有在量子力学中才涉及近代物理的内容

3．量子力学是从事物理教学及其研究中的一门基础专业学科（讲授意义）

二、学习中应注意的几个问题

1．关于“概念”问题；

量子力学中物理概念距离我们的生活越来越远，因此更加抽象。例“波函数”

概念（与经典概念比较，例“力”概念）

2．克服经典物理思想的束缚，防止用经典物理方法解决量子力学问题。

例：①轨道概念在量子力学已抛弃；②K P E E E +=不再成立，而用

P K E E E +=表示

3．必要的数学知识：偏微分方程，勒让德多项式，贝塞尔函数，矩阵（尤其是矩阵的对角化），厄米多项式，傅里叶变换。

三、教材与参考书

1．张怿慈 《量子力学简明教程》 人民教育出版社

2．曾谨言 《量子力学》上、下册 科学出版社

3．蔡建华 《量子力学》上、下册 人民教育出版社

4．梁昆淼 《物学物理方法》 人民教育出版社

5．[美]玻姆 量子理论 商务印书馆

6．大学物理（93.9—95.4） 《量子力学自学辅导》

第一章 绪 论

量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本核子等）运动规律的基础理论，它是本世纪二十年代总结大量事实和旧量子的基础上建立起来的，它不仅是近代物理学的基础，而且被广泛的应用于化学和电子学等领域。

在介绍量子力学之前，首先回顾一下量子力学产生的历史过程。

§1.1 经典物理学的困难

一、困难

1687年，牛顿的划时代巨著《自然哲学的教学原理》在伦敦出现。当时，自然科学没有完全从哲学分划出来，而用了哲学这个名称。

牛顿经典力学的主要内容是它的三大定律，到了十九世纪末，二十世纪初牛顿建立的力学大厦远远超出了这三条定律，可以说整个经典物理的大厦已竣工。

机械运动——牛顿力学

电磁现象——麦氏方程

光 学——波动理论

热 学——完整热力学和玻耳兹曼和吉布斯建立的统计物理学

当时物理学家非常自豪和得意，因为当时几乎所有的新发现都能很好地套进现有的模子中。然而正当经典物理大厦逐渐升高时，它庞大的躯体却产生了两大裂痕。

其一是迈克尔逊——莫雷关于地球相对于以太漂移速度零的结果。

经典力学相对原理表明，力学规律在不同参照系中应有相同形式

S 系 a m F =

Ｓ/

系 a m F '=' 也就是说对一切力学现象而言，一切惯性系都是等价的。

麦氏电磁理论中，有一光速C （常数），在伽利略变换下，由麦氏方程推出的波动

方程012=??+??t

c A ? 的形式要发生变化。 这就说明麦氏理论只能对一特殊绝对静止参照系成立，因此物理学家提出了以太这个模型，它是绝对透明充满整个空间，物理学家企图证明它的存在。但迈——莫实验却表明地球相对以太的速度是0，也就是说，以太是不存在的，而关于这一问题的成功解决导致了狭义相对论的建立。

其二是黑体辐射、光电效应、原子光谱线系以及固体在低温下的比热问题

这些现象都无法用经典理论得出完满的解释。

关于黑体辐射，光电效应的研究使人们发现了光的波粒二象性。

对原子光谱的研究则经历了一个艰难的过程，1900年普提出了量子假设，玻尔提出了一些新的假设企图将这一现象纳入经典物理的框架内，然而却未成功（它只解决一些氢原子及类氢原子的光谱问题），量子力学就在这样的基础上产生了。科学中没有无源之流，量子力学是经典力学智慧之子。

二、量子力学发展概况

1．旧量子论阶段（1900—1913）：玻尔为解决氢原子光谱的问题而提出氢原子的定态假设以及辐射跃迁假设；（从普朗克提出能量子到玻尔旧量子论阶段）

2．量子力学建立阶段（1924—1927）：从1924年德布罗意提出实物粒子同样具有波粒二象性（德布罗意因此于1946年获诺贝物理学奖）

三、量子力学的几种表示形式

1．薛定谔的波动力学：用偏微分方程来表示：（它源于德布罗意的物质波思想）

2．海森堡的矩阵力学：（在批判旧量子论基础上建立起来的）

3．狄拉克表述（更普遍形式）

§1-2 光的波粒二象性

一、光的波动性

1.光的干涉和衍射现象以及光的电磁理论从理论和实验两个方面证明了光的波动性.

大约在十七世纪发现了光的波动性。

① d D >>

② t E E ωcos 01= 是通过S 1狭缝到达P 点的光波振动

)cos(02?ω+=t E E 是光通过S 2狭缝到达P 点的光波振动。

光线S 2P 与S 1P 的光程差θδsin 2d Q S ==。光程差为一个λ时，位相差为2π，所以

光程差为θsin d 时，位相差为θλπ

sin 2d ，则E 2=)sin 2cos(0θλπωd t E + ③P 点光强度

)sin cos()sin 2cos(

2021θλ

πωθλd t d E E E E +=+= ④P 点的全振动

)sin 2(cos 420θπd I I = 200E I =

⑤讨论

ⅰ）d n λθ=sin 2,1,0=n

光强最强04I

I = ⅱ）d

n λ

θ212sin += 2,1,0=n 光强最弱 0I =

光的波动性已为实验事件和理论所支持，但黑体辐射，光电效应现象却揭示了把光看为波动的局限性。

二、光的粒子性

1．黑体辐射、光电效应、康普顿效应显示了光的粒子性

2．实验

（1）黑体辐射问题

①所谓黑体：若一个物体能全部吸收投射在它上的辐射而无反射，这种物体就称为黑体（这是一理想模型）

例：一个开有小孔的空腔就是一个近似的黑体

②实验结果

当腔壁与空腔内部的辐射在某一绝对温度下达到热平衡时，频率在d υυυ+到之

间的辐射能量密度ννρd )(只与T ν和有关，与空腔的形状和本身的性质无关，即

ννννρd T F d ),()(=

),(T F ν表示一普适函数，当时虽不能写出它的具体解析式，但许多物理学家还是力图从经典物理出发导出了其能谱分布公式，维恩（wien ），瑞利—金斯（Ray leigh —Jeans ），就是其中两个物理学家。

③维恩公式

它由热力学方法和一些假设得到

νννννρd T

C e C d 231)(-= （C 1，C 2为常数） 它在短波区域与实验符合，但在长波区域它与实验相差甚远。

④瑞利——金斯公式

由经典电动力学和统计物理得出

νπνννρKTd C

d 22

8)(= 它在长波区域符合实验，在短波区域与实验相差甚远。

⑤普朗克假设与公式（1900年）（planck ）

a)假设：黑体以υh 为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的辐射，而不是象经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量，（υh 为能量子）341062559.6-?=h 焦〃秒

b)公式

3

381()1

h kT h d d C e ν

πνρννν=??- k 是波尔兹曼常数 k=1.38054×10-23焦〃度-1

它是在假设基础上，由经典统计理论和电磁理论导出：

c)普朗克假设的意义

ⅰ）解决了黑体辐射问题

ⅱ）提出了与经典物理概念相对应的概念能量子

ⅲ）第一次揭示了微观物体与宏观物体有着根本不同性质，为揭示光的粒子性奠定了基础。

普提出假设后本应进一步确认光的性质，但由于形而上学思想的影响，也却徒劳地把能量子假设纳入经典物理范畴，因而后来没有对量子论的发展作出贡献。

（2）光电效应

光电效应最早由赫兹（H.Herts ）1888年发现，但当时对其机制不十分清楚，直到电子由汤姆逊发现后，人们才认识到它是由于紫外线照射在金属表面，而大量电子从金属表面逸出的结果。光电效应现象最终由爱因斯坦解释。

a)实验结果

ⅰ）只有当光频率大于某一定值0υ时，才有光电子从金属表面逸出，若小于某一值时，无论光强多大，照射时间多长，都没有光电子产生。（红限频率0ν存在，当ν＞0ν时，才发生光电效应）

ⅱ）光电子的能量与光频率有关，而与光强无关，光强仅影响光电子的数目，光强愈大，光电子数目愈多。（光电子的能量与光强无关，仅与光频率有关）

ⅲ）当入射光0νν

>时，不管光多弱，只要光一照，即可观测到光电子。（瞬

时性）

光电效应是经典理论无法解释的，光的电磁理论表明，光能量决定于光强度而与频率无关。

b)爱因斯坦假设

爱因斯坦在普朗克假设的基础上第一次肯定了光除了波动性还具有粒子性，他认为：

电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量为νh 的微粒形式出现，而且以这种形式的速度c 在空间运动，这种粒子叫光量子或光子。

c)爱因斯坦方程 2012

m v h W μν=- μ为电子质量，m v 为电子逸出金属表面后的速度。

0W 是电子脱离金属表面所需要的功，叫脱出功。

若0h W ν>，则有电子逸出

0h W ν<，则无电子逸出

d ）光子的能量与动量

ⅰ）能量 νh E =

由相对论知以υ运动的粒子能量2c E μ=

μ=，对光子c υ=，静止光子质量00μ=

由相对论中能量与动量关系

224220E c c P μ=+

E cP =

ⅱ）光子动量

E h P c c

ν== h h P n n c νλ

== （λ为波长，n k λπ2=为波矢） νh E = 与n h P

λ=有机的将光的二重性——波动与粒子性联系起来，E 与P 是描

述粒子性的物理量，而ν与λ是描述波动性的物理量。

1907年爱将能量不连续概念，用到固体原子的振动上去，成功地解释了固体比热

在K O T →时趋于零的现象，这时，普关于能量不连续的概念，才引起人们的极大关注（参曾P 8）

（3）康普顿效应（compton effect ）

光的粒子性在1923年的康普顿的散射实验中直接证实

（参https://www.360docs.net/doc/821887960.html,pton.Phys.Rew,22（1923），409）

a)实验结果

实验表明：

高频的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长随散射角的增加而增加。

按经典电幼力学，电磁波被散射后波长不发生改变，若将这个过程看作光子与电子的碰撞，就能得到完满解释。

b)康普顿公式

①能量守恒

碰前光子：=νh ω ，π2h

=

电子 20C μ（静能） 0μ：电子静止质量。

碰后光子h νω''=

电子 2

22

021c c c υ

μμ-=

∴有

2

2

0+c ωμω'=+

① ②动量守恒 碰前光子=c E c ω

，电子P=0

碰后光子 c ω'

x 方向，c ω

=c ω' θνμθ'-+cos 1cos 2

2

0c c

② y 方向：θνμθω'--'

=sin 1sin 02

2

0c c c

③

①②③联立求解

2

sin 420θμπλλλc =-'=? 这表明光子经电子散射后波长随散射角θ变化

这一结果由康普顿和吴有训实验证实

三个结论：

Ⅰ）普朗克与爱的理论揭示了光的微粒性与波动性；

Ⅱ）光的粒子性由康普顿实验直接证实；

Ⅲ）普——爱理论中关于能量的不连续概念揭示了微观粒子的本质属性。

§1—3原子结构的波尔理论

普——爱的光量子，实物粒子不连续性的概念，为解决物理学重大问题开辟了一条道路，当时正值卢瑟福原子“核模型”提出，而经典物理与原子的稳定性发生了尖锐的矛盾，玻尔把这种量子概念用到原子结构问题上提出了他的量子论（1913）（N.Bohr, Phil, Mag, 26(1913),1）.他的理论最终被量子力学所代替，但他的理论在历史上为量子力学的建立起过重大作用，而且他的核心思想到现在还是正确的。

1．氢原子光谱的巴耳末公式（Balmer ）

)11(22n n c R H -'=ν n n n n '>?

?????==' ,4,3,2,3,2,1 171009677576.1-?=m R H

它表明：①氢原子光谱线是分立的线谱

②若光谱中有,,21νν两光谱，则必有,21νν+，21νν-谱线，这叫并合

原则，这些结果无法用经典理论加以解释。

a ）首先是原子的稳定性问题

b ）线状谱问题

五、玻尔假设

1°原子只能处于一些能量不连续的定态的概念，他提出原子的稳定性状态可能

是某些具有一定分立值（E 1，E 2…）的状态。

他提出原子的量子化条件，电子角动量, n J =， 3,2,1=n n 叫量子数，是整数，只有具有, n J =的电子才能处于稳定状态。

玻尔仅考虑电子的圆轨道，即电子有一个自由度。索末菲（Sommerfeld ）将玻尔的量子化条件推广为,nh pdq =?，q 是电子广义坐标，p 是广义动量。

2°量子跃迁的概念

原子处于定态时不辐射，但由于某种原子可以从一个定态向量一定态跃迁同时吸收（或发射一个光子），光子的频率是h E E m

n mn -=ν （频率条件）

a)量子跃迁概念深刻反映了微观粒子运动的特性

b)而频率条件则揭示了并合原则的实质

3．玻尔理论的局限性

ⅰ）玻尔理论只能解释氢原子及类氢原子的光谱

（即核外只有一个电子的原子或离子）

ⅱ）即使是氢原子也只能求出频率，而不能求出谱线强度

ⅲ）玻尔理论的主要缺陷是把微观粒子（电子，原子等）看作经典力学中的质点，经典力学的质点只有粒子性，而微观粒子有不同于质点的波粒二象性。

§ 1—4 实物粒子的波粒二象性

在前面我们已看到，由于经典物理的困难和玻尔旧量子论的不彻底性，便迫使人们去寻找反映微观世界规律的理论。

旧量子论为新理论的建立创造条件，一方面，在光的本性研究中，人们发现了光的波粒二象性；另一方面玻尔讨论原子中电子的稳定状态时，提出的量子条件实际上是把普朗克的能量子假设从简单的谐振子移植到周围运动的电子上。这些现象便启示了德国物理学家、哲学家、德布罗意（De 〃Broglie ），使他认识到在认识光学理论的缺陷只是考虑了光的波动性而忽视了光的粒子性（电子、原子）的理论是否会产生相反的错误，即实物粒子性而忽视了波动性。

1．德布罗意假设

1924年，英国《哲学杂志》9月份上刊载了物理学家路易〃德布罗意的文章。在文中他提出了自己的假设。

假设：具有确定动量P 和确定能量E 的自由粒子，相当于频率为ν和波长为λ的平面波，二者之间的关系如同光子与光波的关系一样，有

==νh E ω

==n h P λk =341.0545887102h J s π

-=?? 这就是著名德氏关系式，这种表示自由粒子的平面波被称为德布罗意波（物质波）

2．德布罗意平面波方程（自由粒子平面波方程）

自由粒子动量与能量都是常量，由德布罗意关系，与自由粒子联系的波，它的频率（或波长）都是常量，因此它是平面波。

在经典力学中，频率为ν，没X 正方向传播的平面波的波动方程为

??

????-=ψ)(2cos t x A νλπ 在弹性波中?表示质点离开平衡位置大小，在光波中?表示电场或磁场的某一分量。

沿单位向量n 传播的平面波在新坐标系z y x o '''

cos 2()X A vt πλ'??ψ=-????

，P 是从原点指向波面的任一点的矢径，由坐标变换关系： γβαcos cos cos z y x X ++='

在oxyz 中

cos cos cos cos 2x y z A vt αβγπλ?++???ψ=- ??????? {}cos ,cos ,cos n αβλ= {},,r x y z

?????

???? ??-?=ψt r n A υλπ 2cos

波矢：n k λ

π2= []

t r k A ω-?=ψ cos ∵χχsin cos i e ix +=

故写成复数形式)(t r k i Ae ω?-?= （1）

cos A =ψ)(t r k ω-? 是（1）的实部

又∵P = k E= ω ∴)(Et r p h i Ae -?=ψ

该式称为德布罗意波（或自由粒子为平面波）

在量子力学中，自由粒子平面波不用实数形式，而用复数形式。（若用实数形式则无法得到薛定谔方程）在2、3节将解释，这个波方程描述的是能量为E ，动量为P 的自由粒子的平面波方程。

3．德布罗意波长线度

设自由粒子动能为E ，速度远小于光速，则2

2122P E v μμ

== 由E h p h μλ2==

若电子被V 伏的电势加压，E=ev 电子伏特

A λ== 若 A V V A V V 122.0,10000;1,150

====λλ 所以德布罗意波长在数量上相当于晶体原子间距。它比宏观线度要短得多。这也是实物粒子的波动性长期没有被发现的原因之一。

4．德布罗意假设的实验验证

①戴维逊和革未的电子衍射实验

1927年戴一革观察电子束的散射强度与散射角θ之间关系，发现随θ改变散射强

度改变，在某些θ值处强度有最大值，这一现象与X射线的衍射现象相同，充分说明了电子具有波动性。

②双缝衍射实验

将光源当成电子源，与光的双缝衍射结果相同

③电子束穿过金属片式的晶体粉末后产生与χ射线一样的衍射现象。

后来人们又对原子、分子中心等实物粒子作了衍射实验，实验数据分析表明衍射波长与粒子动量之间存在着德布罗意关系。