高斯求积公式-数值分析课程设计2
高斯求积公式
⾼斯求积公式⽬录数值积分考虑带权的积分如下：∫b a f(x)w(x)dx其中w(x)≥0,∫b a w(x)dx>0 称为权。
⼀般的数值积分公式有如下的形式：∫b a w(x)f(x)dx≈n∑i=0w i f(x i)即⽤n+1 个函数值的加权和来近似积分的值。
以x i(i=0,1,⋯,n) 为节点的拉格朗⽇(Langrange)插值多项式为：L n(x)=n∑i=1f(x i)l i(x)l i(x)是拉格朗⽇插值基函数，则：f(x)=L n(x)+R[f],R[f]=1(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)∫b a w(x)f(x)dx=n∑i=0∫b a w(x)l i(x)dx f(x i)+∫b a w(x)R[f]dx⼀般我们取w i=∑n i=0∫b a w(x)l i(x)dx，则数值积分公式的误差就是上式等号右侧的第⼆项，当f(x) 是不超过n次的多项式时，容易看出误差为0。
若数值积分公式对不超过k次的多项式精确成⽴，我们就称它的代数精度为k。
所以上述数值积分公式的代数精度⾄少为n。
数值积分公式中含有n+1 个w i和n+1个x i，共2n+2 个⾃由度，所以可以想象通过适当选取节点x i，它的代数精度最多可以为2n+1 。
我们把具有2n+1 次代数精度的求积公式称为⾼斯求积公(GaussianQuadrature)，其节点x i(i=0,1,⋯,n) 称为⾼斯点。
正交多项式与⾼斯点称多项式p(x),q(x) （带权）正交如果：∫b a w(x)p(x)q(x)dx=0假设以x i(i=0,1,⋯,n) 为零点的多项式p(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n) 与任何不超过n次的多项式正交，由多项式的带余除法可知，对于不超过2n+1次的多项式f(x) ，有不超过n次的多项式q(x),r(x) 使得：f(x)=p(x)q(x)+r(x)那么：∫b a w(x)f(x)dx=∫b a w(x)p(x)q(x)dx+∫b a w(x)r(x)dx=∫b a w(x)r(x)dx=n∑i=0w i r(x i)⼜：()f(x i)=p(x i)q(x i)+r(x i)=r(x i)所以：∫b a w(x)f(x)dx=n∑i=0w i f(x i)通过这种⽅式，我们发现只要选取节点为正交多项式的零点就可以得到⾼斯求积公式。
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
数值分析4-5(高斯公式)
06
所建立的高斯公式为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
07
切比雪夫—高斯公式
08
xk是切比雪夫多项式的零点
构造高斯公式的一般方法是
注意：
待定系数法
01
02
03
04
05
举例
要构造下列形式的高斯公式
解
则其代数精度应为
即
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简约风工作总结
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202X/XX/XX
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定义：高斯公式
机械求积公式
含有2n+2个待定参数
若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代 数精度，则这类公式称为高斯公式。
(4.1)
一、高斯点
01
02
03
04
定义：高斯点
???
请回答:
求出ωn+1(x)的n+1个零点就是高斯点。 [-1，1]上与所有次数不超过0的多项式都 正交的多项式ω1(x)=？
解：设P0(x)=C，ω1(x)= x – x0。由于
即
展开，得
则一个点的高斯公式为
中矩形公式
壹
贰
叁
特殊地若取P1(x) = x 的零点x0 = 0 作节点构造 求积公式
令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2.
即一点高斯公式为
中矩形公式
令它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出A0 ,A1
可得两点高斯—勒让得公式为
再取 的零点 作节点构 造求积公式
注：其它的高阶公式详见书。
即
2n+1
n+1
n
n
数值分析4。4高斯型求积公式
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
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2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
数值积分中的高斯积分-教案
数值积分中的高斯积分-教案一、引言1.1数值积分的重要性1.1.1数值积分在工程和科学计算中的应用1.1.2数值积分相较于解析积分的优势1.1.3高斯积分在数值积分中的地位1.1.4引入高斯积分的背景和意义1.2高斯积分的基本概念1.2.1高斯积分的定义1.2.2高斯积分的数学表达1.2.3高斯积分与高斯求积公式的关系1.2.4高斯积分在数值分析中的重要性1.3教学目标和结构安排1.3.1教学目标1.3.2教学内容的结构安排1.3.3教学方法和策略1.3.4教学评估方式二、知识点讲解2.1高斯积分的理论基础2.1.1高斯积分的数学原理2.1.2高斯积分的误差分析2.1.3高斯积分的收敛性2.1.4高斯积分与勒让德多项式的关系2.2高斯积分的算法实现2.2.1高斯积分的算法步骤2.2.2高斯积分的编程实现2.2.3高斯积分的算法优化2.2.4高斯积分在数值计算软件中的应用2.3高斯积分的应用实例2.3.1高斯积分在物理学中的应用2.3.2高斯积分在金融数学中的应用2.3.3高斯积分在工程问题中的应用2.3.4高斯积分在机器学习中的应用三、教学内容3.1高斯积分的基本方法3.1.1高斯积分的节点选择3.1.2高斯积分的权重计算3.1.3高斯积分的数值实现3.1.4高斯积分的误差控制3.2高斯积分的高级技巧3.2.1高斯积分的多维扩展3.2.2高斯积分的适应性调整3.2.3高斯积分的并行计算3.2.4高斯积分的优化算法3.3高斯积分的教学实践3.3.1高斯积分的教学案例分析3.3.2高斯积分的教学活动设计3.3.3高斯积分的教学资源推荐3.3.4高斯积分的教学效果评估四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解高斯积分的基本概念和原理4.1.2掌握高斯积分的计算方法和步骤4.1.3学会使用高斯积分解决实际问题4.1.4能够分析和评估高斯积分的误差和收敛性4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的数值计算能力4.2.2提高学生的数学建模和问题解决能力4.2.3增强学生的编程和软件应用能力4.2.4培养学生的团队协作和沟通能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学的兴趣和热情4.3.2增强学生对数学应用的认识和重视4.3.3培养学生的创新思维和科学精神4.3.4培养学生的责任感和合作精神五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1高斯积分的数学原理和理论推导5.1.2高斯积分的算法实现和编程技巧5.1.3高斯积分的应用领域和实际问题解决5.2教学重点5.2.1高斯积分的基本概念和计算方法5.2.2高斯积分的误差分析和收敛性评估5.2.3高斯积分的实际应用和案例分析5.3教学难点与重点的关系5.3.1教学难点是教学重点的基础和前提5.3.2教学重点是教学难点的发展和延伸5.3.3教学难点与重点相互依存，相互促进六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1讲义和教材6.1.2多媒体设备和投影仪6.1.3数学软件和编程环境6.1.4实验设备和工具6.2学具准备6.2.1笔记本和计算器6.2.2数学软件和编程环境6.2.3实验设备和工具6.2.4学习资源和参考资料6.3教具与学具的应用6.3.1教具的应用在教学过程中的作用6.3.2学具的应用在学习过程中的作用6.3.3教具与学具的结合使用的效果6.3.4教具与学具的选择和调整的原则七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入高斯积分的背景和意义7.1.2引导学生回顾数值积分的相关知识7.1.3提出教学目标和要求7.1.4激发学生的兴趣和好奇心7.2教学内容讲解7.2.1讲解高斯积分的基本概念和原理7.2.2讲解高斯积分的计算方法和步骤7.2.3讲解高斯积分的误差分析和收敛性评估7.2.4讲解高斯积分的实际应用和案例分析7.3教学活动与练习7.3.1安排学生进行高斯积分的计算练习7.3.2组织学生进行高斯积分的应用案例分析7.3.3开展小组讨论和合作学习活动7.3.4提供反馈和指导，帮助学生解决问题7.4.2对学生学习情况的评估和反馈7.4.3对教学方法和策略的反思和改进八、板书设计8.1高斯积分的基本概念和原理8.1.1高斯积分的定义和数学表达8.1.2高斯积分的节点选择和权重计算8.1.3高斯积分的数值实现和误差控制8.1.4高斯积分的收敛性和误差分析8.2高斯积分的计算方法和步骤8.2.1高斯积分的算法步骤和编程实现8.2.2高斯积分的多维扩展和适应性调整8.2.3高斯积分的并行计算和优化算法8.2.4高斯积分的实际应用和案例分析8.3高斯积分的教学实践和案例分析8.3.1高斯积分的教学案例分析8.3.2高斯积分的教学活动设计8.3.3高斯积分的教学资源推荐8.3.4高斯积分的教学效果评估九、作业设计9.1基础练习题9.1.1高斯积分的基本概念和原理的练习题9.1.2高斯积分的计算方法和步骤的练习题9.1.3高斯积分的误差分析和收敛性评估的练习题9.1.4高斯积分的实际应用和案例分析的练习题9.2综合应用题9.2.1高斯积分在物理学中的应用题9.2.2高斯积分在金融数学中的应用题9.2.3高斯积分在工程问题中的应用题9.2.4高斯积分在机器学习中的应用题9.3探究拓展题9.3.1高斯积分的高级技巧和优化算法的探究题9.3.2高斯积分的教学实践和案例分析的探究题9.3.3高斯积分的研究论文和学术文章的阅读题9.3.4高斯积分的实验设计和数据处理的探究题十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1教学内容的难易程度和学生的接受情况10.1.2教学方法和策略的有效性和改进空间10.1.3教学目标的实现程度和学生的反馈意见10.1.4教学效果的评价和改进方向10.2拓展延伸10.2.1高斯积分的高级技巧和研究方向的介绍10.2.2高斯积分在其他领域的应用案例的分享10.2.3高斯积分的实验设计和数据处理的指导10.2.4高斯积分的相关研究论文和学术文章的推荐重点关注环节的补充和说明：1.教学内容的讲解：应注重高斯积分的基本概念和原理的讲解，确保学生能够理解并掌握高斯积分的定义、数学表达、节点选择、权重计算等关键知识点。
高斯(Gauss)型求积公式
(6.13)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立， 只要 x0 , x1 和 A0 , A1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x02
A0
x03
A 0
解之得
A0 A1 1
定义6.4 一个仅以区间-1,1上的高斯点
xk , (k 0,1,, n) 为零点的n+1次多项式 称为Legendre多项式。
定理6.6 若 xk , (k 0,1,, n) 是高斯点，则以这些点 为根的多项式 (x) 是最高次幂系数为1的勒让得多项
式 L~(n1) (x) ，即
(x) = L~(n1) (x)
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给 出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
可以查用。
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分 值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
数值计算方法
高斯（Gauss）型求积公式*
1.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计
算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后 再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的 精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插 值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要 问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若 有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个 例子：
数值分析8-高斯型求积公式
1 −1
f ( 2 n+ 2) (η ) f ( x ) dx − ∑ ωi f ( xi ) = (2n + 2)! i =0
n
∫
1
−1
( x − xi ) 2 dx ∏
i =0
n
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
1 d n+1 ( x 2 − 1) n+1 Pn+1 ( x ) = n+1 2 ( n + 1)! dx n+1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理 设 f (x) ∈C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i =0
n
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；
高斯点的确定
定理 节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式 w( x) = ∏ ( x − xi ) 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ ∑ Ai f ( x i ) = f ( −1 / 3 ) + f (1 / 3 )
i =0
n
n = 2: Pn+1(x) =
(5x3 -
3x)/2,
两点G-L公式
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ 5 f − 15 5 + 8 f ( 0 ) + 5 f 9 9 9
数值分析10_4。4高斯型求积公式
Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
华长生制作
19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
数值分析课程课件 Gauss求积公式
4.5.2 常用Gauss求积公式
1.Gauss—Legendre求积公式
第三章 数值积分与数值微分
不失一般性，可取a＝-1，b＝1而考察区间[-1，1]
上的高斯公式
1
n
(x) f (x)dx
1
Ak f (xk ).
k 0
在区间[-1，1]上取权函数 x 1, 那么相应的正交多项 式为Legendre多项式。以Legendre多项式的零点为 Gauss点的求积公式为
和 x0 , x1 ,使所得公式的代数精度m>1(最高为n-1=3)。即求
积公式(4.5.2)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立，只要 A0 , A1 和 x0 , x1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x
2 0
A1 x12
得
A0 A1 1
代入（*）得：
1
3
3
f (x)dx f ( ) f ( )
1
3
3
易验证，这是代数精度为m=3的插值型求积公式。
第三章 数值积分与数值微分
由上例可知，在节点数目固定为n 的条件下，可以通过
适当选取求积节点xk的位置以及相应的求积系数Ak，使机
械求积公式
b
a
f
1
1
f
xdx
A0
f
0
令它对f(x)=1准确成立。 即可得出 A0 2 。 这样构造出的一点Gauss-Legendre公式是中矩形公式。
再取
P2
(
x)
1 2
高斯求积公式
(2 5
(2 7
2
3 2
5
x0 ) x1 x0 ) x1
2; 7 2. 9
进一步整理得
2
5 2
7
( x0 ( x0
x1 ) x1 )
2
3 2
5
x0 x1 x0 x1
2; 7 2. 9
由此解出
从而
x0 x1
5, 21
x0
x1
10 9
,
7
x0 0.821162, A0 0.389111,
2
构造求积1公式
3
1
1 f ( x)dx A0 f (
1 3
)
A1
f
(
1 ), 3
18
令它对 f (x) 都1,准x 确成立，有
A0 A0
A1 1 3
2;
A1
1 0. 3
由此解出 A0 A1 1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式
1 f ( x)dx f ( 1 ) f ( 1 ).
当积分区间不是 [，1,而1]是一般的区间 时[a，, b]
只要做变换
22
x bat ab,
2
2
可将 [a,化b]为 [,1,1] 这时
b f (x)dx b a 1 f b a t a b dt. （5.10）
a
2 1 2
2
对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.
23
例6 用4点n( 3)的高斯-勒让德求积公式计算
Ak (k 0,1,, n).
下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.
利用 f在(x节) 点 即 H 2n1,
xk (k 的0埃,1,尔米, n特)插值
数值分析8-高斯型求积公式
G-L求积公式的缺点：
需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。 高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法
例题1
用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算
I = ∫ x 2 cos xdx
2
π
0
解 先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到
x − a ≤ h
步长的选取
再考察舍入误差.按中点公式计算，当 h 很小 时，由于f（a +h）与 f（a -h）很接近，直接相 减会造成有效数字的严重损失.因此从舍入误差 的角度来看，步长是不宜太小的. 综上所述，步长过大，则截断误差显著；但如果 步长太小，又会导致舍入误差的增长，在实际计 算时，我们希望在保证截断误差满足精度要求的 前提下选取尽可能大的步长，然而事先给出一个 合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程 中实现步长的自动选择.
插值型的求导公式
问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值， 如何计算在这些节点处导数的近似值？ 方法：插值型数值微分 先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。
插值型的求导公式的误差
多项式插值余项 两边求导得
n 0 1 2 3 4 5 节点个数 1 2 3 4 5 6 Gauss点 0.0000000 ±0.5773503 ±0.7745967 0.0000000 ±0.8611363 ±0.3399810 ±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 Gauss系数 2.0000000 1.0000000 0.5555556 0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.17132449 0.36076157 0.46791393
数值分析高斯求积课程设计
数值分析高斯求积课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数值分析中数值积分的基本概念，掌握高斯求积公式的原理及其数学背景；2. 掌握高斯-勒让德求积公式及其在数值积分中的应用，能够准确计算出给定函数的数值积分；3. 了解高斯求积的误差分析，掌握误差估计的方法，并能够分析其收敛性。
技能目标：1. 能够运用高斯求积方法解决实际问题中的数值积分问题，提高计算精度和效率；2. 学会使用计算工具（如数学软件）实现高斯求积算法，进行数据分析和处理；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模和数值计算技巧。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析的兴趣，激发其探索数值计算领域的热情；2. 增强学生的团队协作意识，培养在小组讨论和合作中主动分享、倾听他人意见的习惯；3. 培养学生严谨的科学态度，使其认识到数值方法在科学研究和技术应用中的重要性。
本课程设计针对高年级本科生或研究生，学生在具备一定的高等数学和数值分析基础之上，通过本课程的学习，能够深入理解并掌握高斯求积方法。
课程强调理论与实践相结合，注重培养学生的实际操作能力和解决复杂问题的能力。
通过具体案例的分析，让学生在实际应用中感受数值分析的魅力，从而提高其学习的积极性和主动性。
二、教学内容1. 数值积分基本概念：回顾数值积分的定义、特点和分类，重点介绍高斯求积方法；教材章节：第二章 数值积分，第三节 高斯求积方法。
2. 高斯-勒让德求积公式：讲解高斯-勒让德求积公式的推导过程，以及其在数值积分中的应用；教材章节：第二章 数值积分，第四节 高斯-勒让德求积公式。
3. 高斯求积的误差分析：分析高斯求积的误差来源，探讨误差估计方法及其收敛性；教材章节：第二章 数值积分，第五节 高斯求积误差分析。
4. 实际应用案例：结合实际问题，展示高斯求积方法在数值分析中的应用，如求解常微分方程初值问题、计算积分变换等；教材章节：第二章 数值积分，第六节 高斯求积应用实例。
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
数值分析10-4。4高斯型求积公式
华长生制作
5
由插值余项
R[ f ]
b x
a
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)dx
知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方
面，若取
n
f
x
2 n1
x
x xi 2
i0
则有截断误差
R[ f ] 0
说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2,高 斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式。
0
0
3 0.
1
1
由第二式和第四式可得
x2 0
x2 1
，结合第一式和第三式得
x2 0
x2 1
1. 3
取
x0
1 3
,
x1
1 3
得
A0 A1 1
于是得到求积公式
1 f xdx f 1 f 1
1
3 3
华长生制作
3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 1次代数精度。
xn1e x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
e x f xdx 0
n
Ak f xk
k 0
华长生制作
21
其中
Ak
[(n 1)!]2 xk [Ln1(xk )]2
截断误差为
(k 0,1, , n)
R[ f ] [(n 1)!]2 f (2n2) ( ) , (0, )
华长生制作
15
x Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求k 积系数见书上A表k 4-4。
高斯Gauss求积公式.ppt
i0
1
2
ti 0.861136 0.339981 0.339981
Ai 0.347855
0.652145 0.652145
xi 0.069432
0.330009
0.669991
Ai 0.173927
0.326073 0.326073
于是
1
f ( x)dx 0.173927 f (0.069432)
(r+1)
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk)
这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是
次数≤n的多项式。
b
b
b
(x) f (x)dx a
a ( x)q( x)Pn1( x)dx
( x)r( x)dx
a
数值分析
数值分析
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低
k0
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d
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一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
注：由于篇幅有限以及定理三的重要性,故略去定理一、二的证明。
二、 方法描述：2.1、高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式对于任意求积区间],[b a ,通过变换ta b b a x 22-++=可化为区间]1,1[-,这时⎰⎰--++-=11)22(2)(dtt a b b a f a b dx x f ba因此,不失一般性,可取,1,1=-=b a 考查区间]1,1[-上的高斯公式∑⎰=-≈ni i ix f Adx x f 011)()( (2.1)我们知道,勒让德(Legendre)多项式])1[()!1(21)(121111+++++-+=n n n n n x dxdn x L (2.2)是区间]1,1[-上的正交多项式,因此, )(1x L n +的1+n 个零点就是高斯公式(2.1)的1+n 个节点。
特别地,称)(1x L n +的零点为高斯点,形如(2.1)的高斯公式称为高斯-勒让德公式。
利用勒让德多项式的一个性质)]()()[1()()1(112x xL x L n x L x n n n++-+='-可得,高斯-勒让德求积系数i A 为ni x L n x A i n i i ,2,1,0,)]()1[()1(222=+-=(2.3)按(1.5)式,可推得其余项为)(])!22)[(32()]1[(2)()22(3432η+++++=n n fn n n f R (2.4)若取x x L =)(1的零点00=x 为节点,则2)]0([)01(2200=-=L A从而一点高斯-勒让德公式(中矩形公式)为 )0(2)(11f dx x f ≈⎰- (2.5)其余项为)(31)(ηf f R ''=若取)13(21)(22-=x x L 的两个零点31±为节点,则1)]31(2[])31(1[22120=---=L A1)]31(2[])31(1[22121=-=L A从而二点高斯-勒让德公式为)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰- (2.6)其余项为)(1351)(24522)()4()4(345ηηfff R =⋅⋅=同理,三点高斯-勒让德公式为)515(95)0(98)515(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰- (2.7)其余项为)(157501)()6(ηff R =一般地,高斯-勒让德公式(2.1)的节点可以通过勒让德多项式的零点确定,而求积系数通过(2.3)式确定。
表2-1给出了高斯—勒让德公式在节点数为6,5,4,3,2,1时的节点、求积系数及余项。
表2-1例 2.1 用二点高斯-勒让德公式计算积分⎰=2sin πxdxI解 作变量代换),1(4+=t x π则⎰⎰-+==1124)1(sin4sin dtt xdx I πππ记4)1(sin)(+=t t f π,因为节点5773503.0±=i t 得,32589.0)(0=t f 94541.0)(1=t f所以,由二点高斯公式94541.0)94541.032589.0(4)]()([104=+=+≈ππt f t f I计算结果比用复合梯形公式7个节点计算的结果还要好。
2.2、高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式区间为［-1，1］，权函数的Gauss型求积公式，其节点是Chebyshev多项式的零点，即，而，于是得到(2.8)称为Gauss-Chebyshev求积公式，公式的余项为(2.9)这种求积公式可用于计算奇异积分.例2.2用三点和四点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分，并估计误差.解这里，由Gauss-Chebyshev求积公式(5.4.9)可得当n=2时，，求得代入上式得估计误差可用余项表达式(2.8)，因，故当n=3时，，求得误差小结：Gauss型求积公式是上带权的求积公式，它具有最高代数精确度2n+1，实际上由于求积系数及节点都是待定系数，它共有2n+2个，可使（5.4.1）对任何2n+1次多项式精确成立。
具有2n+1次代数精确度的求积公式节点就是Gauss点，实际上它就是在上带权正交多项式的零点。
得到求积节点以后，同样可利用（5.4.1）对精确成立，得到关于的线性方程组解此方程组得到的求积公式系数，它是稳定的，也是收敛的，具有较高的精度。
通常使用的具体公式是Gauss-Legendre求积公式（简称Gauss求积公式），它是区间为，权函数为的公式，当n=1时可得，比n=2（三点）simpson公式好，当n=2时可得比n=4（五点）的Cotes公式好，而计算量却减少。
另一个Gauss型求积公式时Gauss-Chebyshev求积公式，它除了精度高，还可计算反常积分，如例2.2。
三、数值实验为了观察高斯积分公式随着高斯点的增加积分值变化的规律，本试验利用MA TLAB数学软件，选取了27组数据，逐个算出⎰=10sinI xdx的积分值，且依次算出了各个不同节点处的误差。
数据表格如下：由上表可以得出这样的结论：当高斯点数N为奇数是，按照高斯求积公式算出来的结果和真实值相差较大，并且随着N的增加误差逐渐减小，但是收敛效果不明显；当N为偶数时，按照高斯求积公式算出来的结果和真实值相差不大，并且随着N的增加误差逐渐减小，且收敛性明显，如表所示，当N仅仅为8时，误差为610 数量级了。
四、参考文献[1] 李庆杨王能超易大义.数值分析（第4版）.华中科技大学出版社.2006年7月[2] 邓建中主编. 计算方法（第二版）[M]. 交通大学出版社，2001.[3] 刘琼荪编. 数学实验[M]. 北京：高等教育出版社,2004年7月[4] 王建卫曲中水凌滨编著.MATLAB 7.X程序设计.中国水利水电出版社，2007年9月[5] 王沫然编著MATLAB与科学计算（第二版）电子工业大学出版社附录：此课程设计的部分原程序代码：程序部分：function s=guassl(a,b,n)h=(b-a)/n;s=0.0;for m=0:(1*n/2-1)s=s+h*(guassf(a+h*((1-1/sqrt(3))+2*m))+guassf(a+h*((1+1/sqrt(3))+2*m) ));endsI=int('sin(x)',0,1);c=(I-s)/I;d=vpa(c,10)%Îó²î%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%function y=guassf(x)y=sin(x);输出结果：>> guassl(0,1,2)s =0.459587812395265d =.23903042803558660869976310583379e-3ans =0.459587812395265>> guassl(0,1,2)s =0.459587812395265d =.2390303484e-3ans =0.459587812395265>> guassl(0,1,3)s =0.214102809190798d =.5342530277ans =0.214102809190798>> guassl(0,1,4)s =0.459690990276648d =.1458306206e-4ans =0.459690990276648>> guassl(0,1,5)s =0.303291484191192d =.3402370991ans =0.303291484191192>> guassl(0,1,6)s =0.459696375761941d =.2867754215e-5ans =0.459696375761941>> guassl(0,1,7)s =0.345399399138380d =.2486379559ans =0.345399399138380。