八年级数学下册预科辅导全册资料

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新人教版八年级数学培训资料Word版上下册(全年级全章节培优)

新人教版八年级数学培训资料Word版上下册目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图BF AC E NMPDD A CB FE21ABCPQE F D。

八年级数学预科资料

前言本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。

重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。

另外，在本次培训中，我们适当安排了实数、整式、函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。

具体计划如下，以供参考：第一讲全等三角形（一）第二讲全等三角形（二）第三讲轴对称等腰三角形第四讲实数第五讲一次函数第六讲函数的综合应用第七讲不定方程与应用题第八讲整式的运算第九讲因式分解第十讲图论问题第十一讲整除的基本知识第十二讲归纳与枚举第十三讲复习考试第十四讲试卷讲评推理问题第一、二讲全等三角形一、课标要求全等形、能够完全重合的两个图形。

全等三角形、能够完全重合的两个三角形。

1. 全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”2. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。

（2）全等三角形的周长、面积相等。

3. 构造三角形全等常用的基本方法有：“翻折”、“旋转”、“截取”、“倍长中线”，等等。

基础练习：1、如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，求证：BD=CE．2、如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：AC=DF．3、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．4、如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．5、如图，已知PB⊥BA，PC⊥CA，且PB=PC，D是PA上的一点，求证：BD=CD．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．基础过关：1、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（）A、∠B=∠CB、AD=AEC、∠ADC=∠AEBD、DC=BE3、如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组二、典例精讲【例1】下列说法：（1）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等。

(完整word版)八年级数学下册培优资料(新人教版全册)

八年级数学下册辅导资料(01)姓名： __________得分: _________一、知识点梳理：1、二次根式的定义.一般地，式子_a ( a >0)叫做二次根式，a叫做被开方数。

两个非负数：(1) a > 0 ； (2)a > 02、二次根式的性质：(1). >0 是一个 ________ 数；(2)(掐)= _______________(a>0)[ ______ (a 心(3) *"a2= a = «_________ (a = 0 )k ______ (a〈0)3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：•. ab —. a • .、b(a _ 0,b _ 0),二次根式乘法法则：Q a 尿=____________ (a>0,b > 0)商的算术平方根的性质：、a=2i a(a _0,b 0).二次根式除法法则：二a = , a(a_0,b 0)li b V b <b V b1 r •被开方数不含分母；4、最简二次根式彳2 .分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的.二、典型例题：例1:当x是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？0 ______________________________________________________⑴、x_2(2)(X—1)⑶、..3 — x，.x—1 ⑷x2 1 (5) X 2占-x xT小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：(1)二次根式的被开方数为非负数(2)分式的分母不为0. (3)零指数幕、负整数指数幕的底数不能为0(1) .. ( 2 一2)2门 _ ...2| “、 3 2 2 4 2 ⑵.(5一3)'Vs'例3:⑴已知y= ..、3_x + .、2x_6+5，求-的值. y⑵已知y2- 4y • 4 •「X • y -1 =0，求xy 的值.小结：（1）常见的非负数有：a2,a,、a（2）几个非负数之和等于0,则这几个非负数都为0.例4:化简：(1) 、32；( 2)2 a'b' ；( 3)0.48例5:计算：（1）3J2 5、32(2)例6:化去下列各式分母中的二次根式:(1) (3) (4) J十(x)0, y)0)例2:化简:、强化训练:1使式子上彳有意义的x 的取值范围是（） 2+xA 、x < 1;B 、x < 1 且 x=—2 ;C 、x= 一2 ;D 、x ：： 1 且x=—2 .2、已知0<xv1时，化简|x _J （x _1 2的结果是（）A 2X-1B 1-2XC -1D 13、已知直角三角形的一条直角边为 9,斜边长为10,则别一条直角边长为（）A 、1；B 、.19 ；C 、19；D 、、一 29 .4、 . 24n 是整数，则正整数n 的最小值是（）A 、 4;B 、 5;C 、 6;D 、 7.5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A 、Vi6aB 、<3bC 、J bD 、屁\a6、下列计算正确的是（） A , -4-9 --4- 9 - -6 BC .16 4 = 16 ..4 =4 2 =6 DA x 工 3B x > 0C x> 0 且 x 工 3 D x>3&已知 Jx_2y _3 + 2x_3y _5 =0 贝 W x_8y 的值为 ____________9、_■/=与*3 + （2的关系是 _________ 。

初二数学下册全册复习资料

初二数学下册全册复习资料初二数学下册全册复习资料数学是一门需要不断复习和巩固的学科，特别是在初中阶段。

为了帮助同学们更好地复习数学下册的知识，我整理了一份全册复习资料，希望能够对大家有所帮助。

一、代数与函数代数与函数是数学中的重要内容，也是初中数学的基础。

在下册中，我们学习了一些与代数和函数相关的知识。

1. 代数式的计算：在代数式的计算中，我们需要掌握各种基本运算法则，如加法、减法、乘法、除法等。

此外，还需要掌握整式的合并同类项和提取公因式等技巧。

2. 一元一次方程：一元一次方程是初中阶段的重点内容。

我们需要学会如何解一元一次方程，包括通过移项、合并同类项和消元等方法来求解方程。

3. 函数与图像：函数与图像是数学中的重要概念。

我们需要了解函数的定义、函数的性质以及函数图像的绘制方法等。

二、几何与测量几何与测量是数学中的另一个重要内容，也是初中数学的核心。

在下册中，我们学习了一些与几何和测量相关的知识。

1. 平面图形的性质：在几何中，我们需要了解各种平面图形的定义、性质和判定方法。

例如，正方形的性质、矩形的性质、等边三角形的性质等。

2. 空间图形的性质：除了平面图形，我们还需要了解一些空间图形的性质。

例如，立方体的性质、圆柱的性质、圆锥的性质等。

3. 测量的应用：测量是数学中的重要应用领域。

我们需要学会使用尺子、量角器、计算器等工具进行测量，并能够解决与测量相关的实际问题。

三、统计与概率统计与概率是数学中的实用内容，也是初中数学的重点。

在下册中，我们学习了一些与统计和概率相关的知识。

1. 统计图表的应用：统计图表是用来展示数据的重要工具。

我们需要学会读取和分析各种统计图表，如条形图、折线图、饼图等。

2. 数据的处理与分析：在统计中，我们需要学会对数据进行整理、分类和分析。

例如，求平均数、中位数、众数等。

3. 概率的计算：概率是数学中的重要概念。

我们需要学会计算概率，并能够解决与概率相关的实际问题。

八年级预科班数学

八年级预科班数学预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制八年级数学暑假预科资料学习目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：a大小的估算及如何理解a是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时一.创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）二.合作交流，归纳概念：讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数的平方吗？一般地，如果一个正数x的平方为a，即2x a=，那么正数x叫做a a，读作根号a，其中a叫做被开方数(a≥0)另外：0的算术平方根是0注意：被开方数为非负数.探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。

设大正方形的边长为x，则22x=由算术平方根的意义，2x=22在哪两个整数之间？思考：你能举些象2这样的无限不循环小数吗？三.应用迁移，巩固提高例1.求下列各数的算术平方根⑴100 ⑵4964⑶0.0001 ⑷0 ⑸124点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗？例2.2x-x的取值范围是（）A. 2x≠ B. 2x≥ C. 2x> D. 2例3.若()2130x y x y z-++++=，求,,x y z的值。

拓展：已知21a-的算术平方根是3，31a b+-的算术平方根是4，c13的整数部分，求2a b c+-的算术平方根四.课堂跟踪反馈1、非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____1612181____,_____2581===2、16_____, 0.64-的算术平方根____3、若x是49的算术平方根，则x=（）A. 7B. －7C. 49D.－494、若47x-=，则x的算术平方根是（）53.5、若()2x y x y z-+++++=，求,,x y z的值。

北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第六章平行四边形(提高)

第六章平行四边形（提高）平行四边形及其性质（提高）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。

“夹在两条平行线间的垂线段相等”．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图，平行四边形ABCD 的周长为60，对角线交于O ，△AOB 的周长比△BOC•的周长大8，求AB ，BC 的长．【答案与解析】解： ∵四边形ABCD 是平行四边形．∴ AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ，∵ □ABCD 的周长是60． ∴2AB ＋2BC ＝60，即AB ＋BC ＝30，①又∵△ AOB 的周长比△BOC 的周长大8．即（AO ＋OB ＋AB ）－（BO ＋OC ＋BC ）＝AB －BC ＝8， ②由①②有解得∴AB ，BC 的长分别是19和11．【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC＝4.求AE ：EF ：FB 的值.cmcm cm cm【答案】解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB∵CE为∠DCB的角平分线，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2∴AE：EF：FB＝2：1：3.2、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD 的周长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×40=80（cm）．∴平行四边形ABCD的周长为80cm．【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】（2019•本溪）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O 且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE=OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO=∠EBO ，在△FDO 和△EBO 中∵∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OE=OF ；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，∵EF ⊥AC ，∴AE=CE ，∵△BEC 的周长是10∴BC+BE+CE=BC+AB=10，∴平行四边形ABCD 的周长=2（BC+AB ）=20．3、（2019春•白云区期末）如图，口ABCD 的周长为52cm ，AB 边的垂直平分线经过点D ，垂足为E ，口ABCD 的周长比△ABD 的周长多10cm ．∠BDE=35°．（1）求∠C 的度数；（2）求AB 和AD 的长．OD OB FOD EO FDO EB B O ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩＝【思路点拨】（1）由于DE是AB边的垂直平分线，得到∠ADE=∠BDE=35°，于是推出∠A ═55°，根据平行四边形的性质得到∠C=55°；（2）由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比△ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16（cm），于是求出结论．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB边的垂直平分线，∴∠ADE=∠BDE=35°，∴∠A=90°﹣∠ADE=55°，∵口ABCD，∴∠C=∠A=55°；（2）∵DE是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，∵口ABCD的周长为52，∴AB+AD=26，∵口ABCD的周长比△ABD的周长多10，∴52﹣（AB+AD+BD）=10，∴BD=16，∴AD=16（cm），∴AB=26﹣16=10（cm）．【总结升华】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键．4、如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB 的中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．（1）请你猜想与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；（2）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【思路点拨】（1）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；（2）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可．【答案与解析】（1） DE ∥BC ，DE=BC ，DE ⊥AC ，证明：连接BE ，∵M 为AB 中点，∴AM=MB ，在△PMA 和△EMB 中∵，∴△PMA ≌△EMB （SAS ），∴PA=BE ，∠MPA=∠MEB ，∴PA ∥BE ．∵四边形PADC 是平行四边形，∴PA ∥DC ，PA=DC ，∴BE ∥DC ，BE=DC ，∴四边形DEBC 是平行四边形，∴DE ∥BC ，DE=BC ．∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ，∴DE ⊥AC ．（2）解：DE ∥BC ，DE=BC ．【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．举一反三：【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∠DAB 的平分线交DE 于点M ，交DF 于点N ，交DC 于点P ．（1）求证：∠ADE=∠CDF ；（2）如果∠B=120°，求证：△DMN 是等边三角形．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠C ，DC ∥AB ，∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴∠ADE=90°-∠DAB ，∠CDF=90°-∠C ，∴∠ADE=∠CDF ．（2）证明：∵∠DAB 的平分线交DE 于点M ，交DF 于点N ，交DC 于点P ，∴∠DAP=∠BAP ，∵DC ∥AB ，∴∠DPA=∠BAP ，∴∠DAP=∠DPA ，＝＝＝PM ME PMA EMB AM BM ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴DA=DP，∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，∴△DAM≌△DPN，∴DM=DN，∵∠B=120°，∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，∴△DMN是等边三角形．类型二、平行线性质定理及其推论5、如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：__________________；（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有__________与△ABC的面积相等；（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．【思路点拨】（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC 与△PAB的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．【答案与解析】解：（1）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；（2）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离是相等的，∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）连接EC ，过点D 作直线DM ∥EC 交BC 延长线于点M ，连接EM ，线段EM 所在的直线即为所求的直线．【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键．【巩固练习】一.选择题1．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是( )．A.8和16B.10和16C.8和14D.8和122．以不共线的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．A.5B.6C.8D.124. 国家级历史文化名城--金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是（）A ．红花，绿花种植面积一定相等B ．紫花，橙花种植面积一定相等C ．红花，蓝花种植面积一定相等D ．蓝花，黄花种植面积一定相等5.（2019•应城市二模）如图，口ABCD 的周长为20cm ，AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△CDE 的周长为（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm6．（2019春·无锡期末）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，依次连接EB 、EC 、FC 、FD ，图中阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，已知S 1=2、S 2=12、S 3=3，则S 4的值是（）A.4B.5C.6D.7cm cm cm cm cm cm cm cmcm二.填空题7.（2019春•监利县期末）已知直线a ∥b ，点M 到直线a 的距离是5cm ，到直线b 的距离是3cm ，那么直线a 和直线b 之间的距离为．8. 如图，在ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，AB ＝AE ，连结EC 交AD 于点F ，若CF 平分∠BCD ，AB ＝3，则BC 的长为．9. 在ABCD 中, ∠A 的平分线分BC 成4和3的两条线段, 则ABCD 的周长为_______________. 10.（2019·甘肃模拟）如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB =5，S △PAD =2，则阴影部分的面积为_________.11. 如图，在周长为20的ABCD 中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为________.12．如图，在ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，AF ＝5，，则△CEF 的周长为______．三.解答题13.（2019•老河口市模拟）如图，已知▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，分别交CD ，AB 于E ，F ．（1）作∠BCD 的角平分线CF （尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）求证：AE=CF ．cmcmcm 24BG14.如图，过平行四边形ABCD 内任一点P 作各边的平行线分别交AB 、BC 、CD 、DA 于E 、F 、G 、H ．求证：S 平行四边形ABCD -S 平行四边形AEPH =2S △AFG ．15. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，△A′BD 与△ABD 关于BD 所在的直线对称，A′B 与DC 相交于点E ，连接AA′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：A′E=CE ．【答案与解析】一.选择题1．【答案】B ；【解析】设对角线长为，需满足，只有B 选项符合题意. 2．【答案】C ；【解析】分别以AB ，BC ，AC 为对角线作平行四边形.3．【答案】D ；【解析】过C 点作CF 垂直于BD 的延长线，CF 就是两短边间的距离，如图所示，∠C ＝30°，CF ＝.4.【答案】C ；【解析】∵AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD∴GH 、BD 、EF 把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，22a b ，12a b +>11241222CD =⨯=∴一条对角线可以把一个平行四变形的面积一分为二，据此可从图中获得S 黄=S 蓝，S 绿=S 红，S （紫+黄+绿）=S （橙+红+蓝），根据等量相减原理知S 紫=S 橙，∴A 、B 、D 说法正确，再考查S 红与S 蓝显然不相等．故选C ．．5.【答案】C ；【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AD=BC ，OA=OC ，∵口ABCD 的周长为20cm ，∴AD+DC=10cm ，又∵OE ⊥AC ，∴AE=CE ，∴△CDE 的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm ；故选：C ．6.【答案】D ；二.填空题7.【答案】2cm 或8cm ；【解析】解：当M 在b 下方时，距离为5﹣3=2cm ；当M 在a 、b 之间时，距离为5+3=8cm ．故答案为：2cm 或8cm.8.【答案】6；【解析】易证△AEF ≌△DCF ，所以AF ＝DF ，由CF 平分∠BCD ，AD ∥BC 可证AB ＝DC ＝DF＝3，所以BC ＝AD ＝6.9.【答案】20或22；【解析】由题意，AB 可能是4，也可能是3，故周长为20或22.10.【答案】3；【解析】，，则=5-2=3.11.【答案】10；【解析】因为BO ＝DO ，OE⊥BD，所以BE ＝DE ，△ABE 的周长为AB ＋AE ＋DE ＝. 12．【答案】7；【解析】可证△ABE 与△CEF 均为等腰三角形，AB ＝BE ＝6，CE ＝CF ＝9－6＝3，由勾股定理算得AG ＝EG ＝2，所以EF ＝AF －AE ＝5－4＝1，△CEF 的周长为7.cm cm cm cm 12PAB PCD ABCD ACD S S S S ∆+==△△ACD PCD PAB S S S ∆-=△△PAC ACD PCD PAD PAB PAD S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=-△cm 120102⨯=二.解答题13.【解析】解：（1）如图；①以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，②分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，③作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求.（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴，，∴∠DAE=∠BCF，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE=CF．14.【解析】15.【解析】（1）解：等腰三角形有△DA′A，△A′BA，△EDB．（2）证明：∵平行四边形ABCD，∴∠C=∠DAB，AD=BC，∵A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，∴△A′DB≌△ADB，∴AD=A′D，∠DA′B=∠DAB，∴A′D=BC，∠C=∠DA′B，在△A′DE和△CEB中，∴△A′DE≌△CEB ，∴A′E=CE．平行四边形的判定定理（提高）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点A 、B 、C 在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）．（1）在图中确定格点D ，并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形．（2）若以C 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则你确定的点D 的坐标是________________.【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC 为对角线时、以AB 为对角线时、以BC 为对角线时，画出图形，根据A 、B 、C 的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y 轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可．【答案与解析】＝＝＝C DA E CEB A ED A D BC ∠∠'∠∠''⎧⎪⎨⎪⎩（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD1，D1的坐标是（-6，2），以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的坐标是（0，2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的坐标是（-2，-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论．举一反三【变式】（2019•呼伦贝尔）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD 及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．②证明四边形OABC是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可．【答案与解析】【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势．举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为5+（-2）=3．若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．【答案】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；①如图所示：②D（0，3）．（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B 至点A ，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P 的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．3、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ，∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ，∴在△FDO 和△EBO 中，∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OF=OE ，∴四边形AECF 是平行四边形．【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、（2019•河南模拟）如图，△ABC 中AB=AC ，点D 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已点知D 、E 移动的速度相同，DE 与直线BC 相交于点F ．,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．5、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA 和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD ，AB ∥CD ，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF ．再由SAS 可证△GBE ≌△HDF ，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE ，从而得GE ∥HF ，又GE=HF ，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ．又∵AG=CH ，∴BG=DH ．又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ，∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．举一反三【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中,∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ，∴BO-BE=DO-DF ，,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩即：EO=FO ，同理：△ABG ≌△CDH ，∴AG=CH ，∴AO-AG=CO-CH ，即：GO=OH ，∴四边形GEHF 是平行四边形．【巩固练习】一.选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，以O （0，0）、A （1，-1）、B （2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A ．（3，-1）B ．（-1，-1）C ．（1，1）D ．（-2，-1）2．以不共线的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数3．A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（）A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种4. （2019春•海南校级月考）如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD ）的个数共有（）A ．9个B ．8个C ．6个D ．4个5. 如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE ＝CFB.DE ＝BFC. D.CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠6．（杭州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二.填空题7.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB，从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有____________组．8.在▱ABCD中，对角线相交于点O，给出下列条件：①AB=CD，AD=BC，②AD=AB，AD∥BC，③AB∥CD，AD∥BC，④AO=CO，BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有____________.9.如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出______个平行四边形．10.如图，已知AB=CD，AD=CB，则∠ABC+∠BAD=___________度．11.（2019春•太原期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，若要使四边形是平行四边形，则需要添加的一个条件是．（只写出一种情况即可）12．（2019春•成都校级期末）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为．三.解答题13. 在ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.14.（2019•镇江二模）如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．15. 如图所示，已知△ABC是等边三角形，D、F两点分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD．【答案与解析】一.选择题1．【答案】D；【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2，∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（1，1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴C3O=BC3=，同理可得出AO=AB=，进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，22当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC2AB是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形；故此选项错误．故选：D．2．【答案】C；【解析】分别以AB，BC，AC为对角线作平行四边形.3．【答案】C；【解析】根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C．4.【答案】B；【解析】设EF与NH交于点O，∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，则图中的四边AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC和ABCD都是平行四边形，共9个．故选B．5.【答案】B；【解析】C选项和D选项均可证明△ADE≌△CBF，从而得到AE＝CF，EO＝FO，BO＝DO，所以可证四边形DEBF是平行四边形.6.【答案】A；【解析】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③正确；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．二.填空题7.【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①和④，②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组．故答案为：4．8.【答案】①②③④；【解析】∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴①正确；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴②正确；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴③正确；∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴④正确；即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④，故答案为：①②③④．9.【答案】15;【解析】两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．10.【答案】180°；【解析】依题意得ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°．11.【答案】AD=BC；【解析】∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD=BC．12．【答案】6；【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，。

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复习部分一元一次方程的应用思维训练学习目标：1、巩固一元一次方程的解法2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：导入新课：前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。

例题讲解：例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。

例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。

思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。

设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29.例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。

三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15.2、展示例3、例4例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。

新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)

新人教版八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数；（2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32；（2）2ba 33；（3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算：（1）351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式：（1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练：1、使式子有意义的x 的取值范围是（） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（）A 、1；B 、C 、19；D ．4、n 的最小值是（）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7． 5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x x x x成立的条件是（）A x ≠3B x ≥0C x ≥0且x ≠3D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是。

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例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。

思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。

北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：全册资料(基础)

全册资料（基础）第一章三角形的证明（基础）等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC 为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B ＝∠C ；(3)BD ＝CD ，AD 为底边上的中线.(4)∠ADB ＝∠ADC ＝90°，AD 为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

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(3)
x 1 y 1z 1
5 4 9
2
2 3
例 7.计算 (1) 3a b

2 3
2a b
3 2
6 3 (2) 2a 3a

2a
2
2 3
题型四利用幂运算求值
例 8 .(1)若 a 0 ，且a 2，则a a 3，
例 2 计算 (1) m m
5 11
C. a 6 C. x 3 x m1
(3) (b) (b) (b)
2 3 5
D. a 5 D. x 3m x 3
(4) (b 2)
n 1
(2) a a a
2
5
(2 b) 2 n（ n 为正整数）
例 3.(1) 2 2015 2 2014 的值(
68
51
16
200
3300 的解,则 n 取最小整数的值为_____
版块二
课堂笔记Байду номын сангаас
整式乘法
单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式乘多项式;多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式每一项，再把所得的积相加.
胡说数学系列之初二上预科大智工作室数学教材研发中心胡路忠１５１１６１５６９４４
第一讲
版块一
课堂笔记
m n
整式乘法
幂运算
同底数幂的乘法:一般地，我们有： a a =_____________（ m、n 为正整数）即:同底数幂相乘，底数不变当幂的底数为 1 和 a 时，有以下变形:
n a （n为奇数） a n a （n为偶数） m n mn 幂的乘方:根据乘方的意义和同底数幂的乘法，我们有: (a ) a ( m、n 为正整数)
)
A. 22014 B. 2 C. 2 2 8 6 (2)已知 a 16, a 8 ，求 a 的值是( ) 1 A. 2 B. C. 128 2
(3) 3 的值为( )
0
D. 1 D. 无法确定 D. 无法确定
A. 3
B. 3
C. 1
题型二幂的乘方
例 4 计算 (1) (11 )
0
mn
即:同底数幂相除，底数不变，注意: a ___________ a 0
( m、n 都是正整数且 m n ).
题型一同底数幂的乘除法
例 1.计算 a a 正确的结果是
2 3
A. 2a 6 B. 2a 5 3m 3 2. x 可以写成（） m 1 A. 3x B. x 3m x 3

2
(3)
3 2 2 21 mn m n n 2 m 7 3 n
(4)
4 2 2 2 xy x y 4 xy 2 3 3 3
y
例 12.计算 (1) 3x 22 x 1
(2) 3x 2 2 x 1 2 x 5
56
3x y
题型五利用幂运算比较大小
例 10 (1) 若 a 255 , b 344 , c 433 ，则 a、 b、 c 的大小关系 _____________ (3 比较 2 和 8 的大小关系是_____________(4)若 n 为不等式 n
49
(2) 比较 6 和 4 的大小关系是
2 3
例 5. (2)
(11 )
3 2
(1) (
)3 a12
( x 4 )(
)
x 24
题型三积的乘方
例 6. (1)计算 3a

3 2
的结果
C. ab a 2b 2
2
(2) (
5 2015 3 ) (2 ) 2015 的值是 13 5
3
(3)下列各式中正确的是( )
A. a a a 2
B. a a 3 a 4
D. a 2 a 6
大智工作室雅礼中学旁瑞龙阁３０２－３０３１
胡说数学系列之初二上预科大智工作室数学教材研发中心胡路忠１５１１６１５６９４４
(4)下列各式中正确的是( )
3 2
A. a 2 a 3 a 2 B. x y y x x y C. x 4 x x 6 D. 3a 2b 3 2a 3b 4 6a13b18
1 （n为奇数） 1 1 （n为偶数）
n
n
即:幂的乘方，底数不变，指数相乘，
n
积的乘方:一般地，我们有: ab a b ( n 是正整数). 即:积的乘方，等于把积的每一项因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
n n
同底数幂的除法:一般的，我们有 a a a
m n

m n
b mb 2 n

2
a 8b16 ，则 m、n 的值是_______
例 9.(1)若 3 3
m
2n
81 ，则 m 2n ___________(2)已知 a n 3 ， 6n 12 ，则 6a 的值是_______
n
(3)若 78 m,87 n ，则 56 =____________(4)已知 2 x y 1 0 ，则 25 125 的值是_______
大智工作室雅礼中学旁瑞龙阁３０２－３０３２
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题型一整式乘法基本运算
例 11.计算 (1) xy 2
1 2 x yz 2
(2)
1 2 p q 2 pq 6 pq 3 4
x
y
x y
的值为______(2)已知 x 3 ，则x x 2，
m n
3m 2 n
的值是_______
(3)已知 3 5 ， 9 10 ，则 3
a b
a 2b
的值是_______(4)已知 a 4 ， b 5 ，则 ab 的值是_______
x x
2x
(5)如果 a

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