(完整word版)特征函数(CharacteristicFunction)地性质
特征函数(Characteristic Function )的性质 1.;1)0(|)(|=≤??t
).0(11|||||)(|??==≤≤=E e E Ee t itX itX
2. )()(t t ??=-.
)()(t Ee e E Ee t itX
itX itX ??====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数,则
).()(at e t X ibt Y
??= 4. 若X 的l 阶矩存在,则
.1,|)(0l k EX i t dt
d k
k t k k ≤≤==?
k
k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt
d t dt d ======000|)(||)(?. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ?
><>?>?M
x dx x p t s M ||)(..,0,0εε
?∞
∞
=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e
t h t
itx
ihx
??
?
∞∞
--≤)(|1|x dF e ihx
??
->-+-=M
M
M
x ihx
ihx
x dF e
x dF e
||)(|1|)(|1|
|||2
sin |2)(||1|2
/2
/2
/hx hx
e
e
e e ihx ihx ihx ihx
≤=-=--
x hx
e
e
e
e
ihx ihx ihx ihx ?≤=-=--,2|2
sin |2)(||1|2
/2
/2
/
?
?
>-+≤-+M
x M
M
x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|??
?-+≤+≤M M
hM x dF hM εε22)(.
取,/M εδ
=则 对
任意实数t ,和),0(δ∈h 有
.3|)()(|ε??≤-+t h t
所以,特征函数是一致连续的. 引理:狄利克雷积分
).
(2
1
21
00
02
1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =???
?
???<-=>==?∞+π 证明:
?
∞
=
sin )(1
)(dt t
t
a sign a I π
以下证明
?
+∞
=0
2
sin π
du u u .
?+∞-=0
1ds e u us ?
??
??-+∞+∞-==T
us T
T us
ududs
e ds e u du u
u 0
00
00sin sin sin ?
∞
+-++-+=0
2
22)cos sin 11(ds e T
s T T T s s s
?
+∞-++-=
22cos sin 2
ds e T
s T T T s s
π
s s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2
222 2
sin lim 0
π
=?
∞→T
T du u u 。
Th 4.1.3(逆转定理)
设F(x)和)(t ?分别为随机变量X 的分布函数和特征函数,则对F 的任意两个连续点x 1 .)(21 lim )()(2 112?---∞→-=-T T itx itx T dt t it e e x F x F ?π 证明:记 ?---= -T T itx itx T dt t it e e J )(212 1?π ’则 ?----=T T itX itx itx T dt e it e e E J 21 21π ?------=T T x X it x X it dt it e e E ) () (2121π ?----+--=T x X it x X it x X it x X it dt it e e e e E 0) () () ()(221121πdt t t x X t x X E T ?---=021)sin()sin(1π )]()([2 1 lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1 ?? ? ??<<==><=---212 12 121210)()(x X x x X or x X x X or x X x X sign x X sign . 2 ) 0()(2)0()()()0()]()([2 1 lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点,则定理得证. Th (唯一性定理)分布函数有特征函数唯一确定。 证明:将分布函数的连续点集记为)(F C ,设)(t ?是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时,由反演公式 .)(21 lim )()(2 112?---→∞-=-T T itx itx T dt t it e e x F x F ?π 令1x 在)(F C 中趋于∞-,则有对)(2F C x ∈?,)(2x F 由)(t ?唯一确定。当)(F C x ?时,可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ,由)(x F 的右连续性可知,)(x F 由)(t ?唯一确定。 Th. 若特征函数)(t ?绝对可积,即 ? ∞ ∞ -∞ 则其对应的分布函数)(x F 为连续型,且密度函数为 .)(21 )(? ∞ ∞ --= dt e t x p itx ?π 证明:对R a ∈?,令a b n ↓,根据反演公式有 ?∞ ∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0?π 由定理条件可知,2 ) 0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0,而根 据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →,故有 ).0()(,02 )0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即 亦即)(x F 处处连续。 对0,≠?∈?x R x ,根据反演公式得 ?∞ ∞-?+--?-= ?-?+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21 )()() (?π 令0→?x 得到 )()()(x p x x F x x F →?-?+; itx x x it itx e x it e e -?+--→?-)( 所以, .)(21 )(? ∞ ∞ --= dt e t x p itx ?π 二.多元特征函数 若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ,则定义 其特征函数为 ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -∑= ==),...,(...)(11 n x t i X it x x dF e Ee t n k k k T ? 其中,.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特 征函数. Th1. 由随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子 向量的边缘特征函数.例如 ).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,112 11 t t t t t t X X X ????== 性质: ;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ???=--=≤ 0,...,011...1`1 11 1 1|),...,(......==+- ???∑==n n n n j j n t t n n k k k k k k n k t t t t i X EX ? 反演公式 n n c c n j j b it a it c c c c n n dt dt t t it e e b X a b X a P j j j j n n n ...),...,(...)2(1 ...),...,(111 2 n 1111 1 1lim lim ?π?∏ ?-=---∞ →∞ →-= ≤<≤< Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为 )()(),(2121,t t t t Y X Y X ???= 三.n 元正态分布 随机向量,),...,(1T n X X =X 定义 ,),...,(1T n EX EX EX = T EX X EX X E X ))(()cov(--= 1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为 n n n n n R x x x x x x x f ∈? ?????++-= ),...,(,)...(21ex p )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成 }21ex p{) 2(1)(2 /Ix x x f T n -=π 称之为标准n 元正态分布。 Def 如果A 是n 阶非奇异阵,μ是n 维实向量,而随机变量X 服从n 元标准正态分布,则将随机变量 μ+=AX Y 所服从的分布成为n 元正态分布. 易证:0)cov(,>==T AA Y EY μ.记 ,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布. TH, n 元正态分布),(∑μN 的概率密度为 )}()(2 1 ex p{| |) 2(1)(12 /12 /μμπ-∑--∑= -x x x f T n . Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为 n T T R t t t t i t ∈?∑-=},2 1exp{)(μ? 证明:首先,对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为 }; 21exp{}21exp{)(}exp{)(121 t t t t X it E t T n j j n j j X T i -=-===∑∏==??根据多元正态分布的定义,存在矩阵A ,使得T AA =∑,故所求特征函数为 }. 2 1exp{} 2 1exp{)() (t t it t AA t e Ee e Ee t T T T T it AX it it AX it T T T ∑-=-===T +μ?μ μ μ Th. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分布,其中n k <≤1. 证明:,),...,,(),,(~21T i i i k n k X X X X N X =∑μ k X 的特征 函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ??=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j X it n X i i j t Ee t t T ??==? . ),...,(,), ()0,...,,...,0,,0(11 T i i X X is i X k k k T k i t t s s Ee t t ===其中?? 又根据}2 1exp{)(t t it t T T X ∑-=μ?,得到 . ,...,,...,,),...,(},2 1exp{)(11*** * 1列形成的矩阵行和第的第是其中 k k T i i T T X i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμ?另外,还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布. Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ,则它们相互独立的充要条件是它们 两两互不相关. 证明:必要性是显然的.下证充分性. 若n X X X ,...,,21两两互不相关,则,,0),cov(j i X X j i ≠?=即 },...,,{2211nn diag σσσ=∑,所以 ∏∏∑=-=-==n k k X n k kk k k k k k kk k T n t t t i t t i t t k ). (} 21 exp{}21exp{),...,(2121?σμσμ? 由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立. Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X X T T T ,对∑和μ作相应 的分块 ??? ? ??∑∑ ∑∑=∑???? ??=2221121121, μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是 和X X Th 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分 布.X C Y N X n m m n ?=∑),,(~μ即若,则 ).,(~T mn C C C N Y ∑μ 推论: . ,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑ ).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵,则 Th ).,(~,),(~1 a a a N X a R a N X T T T n n ∑∈??∑?μμ