椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

1。 椭圆定义:

（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点。

当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ； ； 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在；

当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段

(2）椭圆的第二定义：平面内到定点F 与定直线l （定点F 不在定直线l 上）的距离之比是常数e （10<

(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

3.点),(00y x P 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的位置关系：

当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时，点P 在椭圆内； 当12222=+b

y a x 时，点P 在椭圆上;

4.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0

题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是（-4，0）、（4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离

之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是(0,－2）和（0，2)且过(23-

，2

5） (3)两个焦点坐标分别是（-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5,0）.

（4)两个焦点坐标分别是（0，5)，(0，-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26。 (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0,－10）,P 到它较近的一个焦点的距离等于2。

解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为

122

22=+b

y a x )0(>>b a

9

454

,58

2,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a

所以所求椭圆标准方程为

9

252

2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

122

22=+b

x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，

22)225()23(2++-=a ＋22)22

5

()23(-+-

102

11023+=

102= 10=∴a 又2=c

6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为6

102

2=+x y 另法:∵ 42

222-=-=a c a b

∴可设所求方程142

222=-+a x a y ，后将点（23-，2

5

）的坐标代入可求出a ,从而求出椭圆方程

(3）∵椭圆的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为：

)0(122

22>>=+b a b

y a x

∵100)35(0)35(222=+-+++=

a ,2c =6.

∴3,5==c a

∴16352

2

2

2

2

=-=-=c a b

∴所求椭圆的方程为：

116

252

2=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

)0(122

22>>=+b a b

x a y 。 ∴.1442

2

2

=-=c a b

∴所求椭圆方程为:

1144

1692

2=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：

)0(12

2

22>>=+b a b x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －(－１０）＝２，故c =8. ∴362

2

2

=-=c a b 。

∴所求椭圆的标准方程是

136

1002

2=+x y . 题2。已知B ，C 是两个定点，｜BC|＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程

解:以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐

标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC ｜=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a

所以顶点A 的轨迹方程为

116

252

2=+y x （y ≠0)（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件

题3.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程。 分析：以BC 所在直线为x 轴,BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则｜MB ｜+|MC ｜=

3

2

×39=26.

根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭

圆，故所求椭圆方程为

125

1692

2=+y x (y ≠0) 题4。已知x 轴上的一定点A(1，0)，Q 为椭圆14

22

=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -

因为点Q 为椭圆

14

22

=+y x

上的点， 所以有

1)2(4)12(22

=+-y x ,即14)2

1

(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)2

1

(2

2=+-y x

题5。长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为3

2，求点M 的轨迹方程

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为2

5

,

0(y 因为2||=AB ,

所以有 4)25(

)3

5

(22

=+y x ，即44

2592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是44

259252

2=+y x 题6。已知定圆05562

=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P （-3,0），求圆心M 的轨迹及其方程

分析:由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用

数学符号表示此结论：MP MQ -=8

上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ,所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆

F E

A

M

C

B

x

O

y M A

Q

2-2

x

O

y

M A

B

x

O

y

r ＝8

M P

Q

x

O

y

解 已知圆可化为：()6432

2

=+-y x

圆心Q(3，0），8=r ,所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径 又圆M 和

圆Q 内切,所以MP MQ -=8，

即 8=+MP MQ ,故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ，

72

=b ,故动圆圆心M 的轨迹方程是：17

162

2=+y x 题7。△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6)和C (0，—6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-

9

4

,求顶点A 的轨迹方程。 选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍。

解：设顶点A 的坐标为),(y x 。 依题意得

9

4

66-=+?-x y x y ， ∴顶点A 的轨迹方程为

)6(136

812

2±≠=+y y x 。 说明:方程136

812

2=+y x 对应的椭圆与y 轴有两个交点，而此两交点为（０,－６）与(0，

6）应舍去.

题8．P 为椭圆

19

252

2=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直,求P 解：由题意,得+-

20)545(x 20)545(x +＝64162572

0?=

?x ,16

812=y ?P 的坐标为)49,475(

,)49,475(-,)49,475(--，4

9

,475(- 题9．椭圆

192522=+y x 上不同三点),(),5

9,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4，0）的距离成等差数列，求证21=+x x

证明：由题意,得 ++

)545(1x )545(2x +＝2)45

4

5(?+?821=+x x 题10．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右

P

y

焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为122

22=+b

y a x ,（0>>b a ),

焦半径P F 2是圆1O 的直径，

则由112

22

2

22

OO PF PF a PF a ==

-=

-

知，两圆半径之差等于圆心距，

所以,以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

题11.已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，Ｐ为椭圆上一点，且｜21F F ｜是｜1PF ｜和｜

2PF ｜的等差中项.

(1)求椭圆的方程；

(2）若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F 。

选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题。 解：(1)由题设|1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4 ∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3

∴椭圆的方程为

13

42

2=+y

x 。 (２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ 由正弦定理得：

)

60sin(120sin sin 1221θθ-?=

?

=

PF PF F F

由等比定理得：

)

60sin(120sin sin 2

121θθ

-?+?+=

PF PF F F

)60sin(2

3

4

sin 2

θθ

-?+=∴

整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 5

3cos 1sin =+∴

θθ故23

2tan =θ

题12. 已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ,且OP ⊥OQ ，|PQ ｜=

210

，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2

=1（m >0，n >0）, 设P (x 1,y 1),Q （x 2，y 2)，解方程组

y =x +1, mx 2+ny 2=1.

消去y ，整理得(m +n ）x 2

+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）〉0，即m +n －mn 〉0,OP ⊥OQ ?x 1x 2+y 1y 2=0,

即x 1x 2+(x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0，∴n

m n +-)1(2－n m n

-2+1=0。

m +n =2。 ①

由弦长公式得2·

2

)

()(4n m mn n m +-+=(210)2，将m +n =2代入，得m ·n =43

。 ② m =

21, m =2

3

， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或2

3x 2+22

y =1..

题13。 直线l 过点M （1，1),与椭圆42x +3

2

y =1相交于A 、B 两点,若AB 的中点为M ，

试求直线l 的方程。

解：设A （x 1，y 1)、B (x 2，y 2），

则421x +3

21y =1，

①

422x +3

22

y =1。

②

①－②，得

4))((2121x x x x +-+3

)

)((2121y y y y +-=0.

∴

2121x x y y --=－4

3

·2121y y x x ++.

又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2.

解①②得 或

∴直线l 的斜率为－

4

3. ∴直线l 的方程为y －1=－4

3

（x －1）， 即3x +4y －7=0。

题14.已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程; （2）求m 的取值范围．

【解题思路】通过3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系

得到一个关于m 的不等式

[解析］(1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆,可设22

22:1(0)y x C a b a b

+=>>

由条件知1a =且b c =，又有222

a b c =+，解得 1,2

a b c ===

故椭圆C 的离心率为2

c e a ==，其标准方程为：12

122

=+x y (2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B (x 2，y 2）

错误! 得（k 2

＋2）x 2

＋2kmx ＋（m 2

－1）＝0

Δ＝（2km ）2

－4（k 2

＋2）（m 2

－1）＝4（k 2

－2m 2

＋2）〉0 （*)

x 1＋x 2＝错误!， x 1x 2＝错误!

∵错误!＝3错误! ∴－x 1＝3x 2 ∴错误!

消去x 2，得3（x 1＋x 2）2

＋4x 1x 2＝0，∴3（错误!)2

＋4错误!＝0 整理得4k 2m 2

＋2m 2

－k 2

－2＝0

m 2＝14

时，上式不成立;m 2≠错误!时，k 2＝错误!，

因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2

＝错误!〉0,∴－1

>2m 2

－2成立，所以(＊）成立

即所求m 的取值范围为（－1，－错误!）∪（错误!，1)

题15。设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2)j ，b =x i +(y －2）j ，且|a ｜+|b ｜=8.

（1)求点M （x ,y ）的轨迹C 的方程。

（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设=+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由。

（1)解法一:∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2)j ，且|a ｜+|b ｜=8， ∴点M （x ，y )到两个定点F 1(0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.

∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆,方程为122x +16

2y =1。

解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ， 两边平方,得

x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64，

整理，得222)2(-+y x =8－y ， 两边平方，得4［x 2

+（y －2）2

]=(8－y )2

，

展开，整理得122x +16

2

y =1。

（2）∵l 过y 轴上的点（0，3)，

若直线l 是y 轴,则A 、B 两点是椭圆的顶点。

∵=+=0，

∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾。

∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A (x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，

122x +16

2

y =1， (－21）＞0恒成立,且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－2

3421

k +. ∵=+,∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0.

∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴·=x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2

）x 1x 2+3k (x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－

23421k +）+3k ·（－2

3418k

k +）+9=0，即k 2

=165,得k =±45. ∴存在直线l :y =±

4

5

x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）

椭圆作业

班级：______________姓名：____________ 题16。选择题

1. 已知F 1、F 2是椭圆162x +9

2

y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则

△MNF 2的周长为

A.8 B 。16 C 。25 D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B

2. 椭圆4

2x +y 2

=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交

点为P ，则｜2PF ｜等于

A.

23 B. 3 C.27

D.4 解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P 。

∵4

2x +y 2=1，∴a =2,b =1，c =3。

∴F 1(3,0）。设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =2

1

,

∴P （3,21）,｜PF 1|=2

1

.

又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，

∴|PF 2｜=4－｜PF 1｜=4－21=2

7

.

3. 设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且

与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为 A 。 3－1 B.2－3 C.

22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2

，（a c )2+2（a c ）－2=0，a

c =3－1。

答案：A

4. 已知P 为椭圆22

12516

x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆

22(3)4x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为( ）

A ． 5

B ． 7

C ．13

D ． 15

［解析］B 。 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7

5. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后,反射光线

经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ，焦距为2c,静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2（a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析］按小球的运行路径分三种情况:

(1）A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c)；

（2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2（a+c ）

(3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D

题17、填空题

1. 已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。

［解析］2ABF ?的周长为204=a ，AB ∴=8

2. 如果方程x 2

+ky 2

=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________。

解析:椭圆方程化为2

2x +k y 22=1.

焦点在y 轴上，则k

2

〉2，即k 〈1.

又k 〉0，∴0

3. 椭圆252x +9

2

y =1的离心率是____________，准线方程是____________。

解析：由椭圆方程可得a =5，b =3,c =4,e =54，准线方程为x =±452=±4

25

.

答案：54 x =±425

4. 已知P 是椭圆22

a x ＋22b

y ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，

且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.

解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．