北师大版数学九年级上册同步练习：1.2矩形的性质与判定

北师大版数学九年级上册同步练习：1.2矩形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm2

2．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点,过点P 作EF//BC,分别交AB，CD 于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8.则图中阴影部分的面积为( )

A．10 B．12 C．16 D．18

3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE的周长为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为

E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）

A．6 B．5 C．D．

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，

cm，则OD=（）

A ．1cm

B ．1.5cm

C ．2cm

D ．3cm

6．下列说法中，正确的是（）

A ．对角线相等的四边形是矩形

B ．对角线互相垂直的四边形是菱形

C ．对角线相等的平行四边形是矩形

D ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形

7．如图，在ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线，下列条件中能判断这个平行四边形是矩形的是（）

A ．BAC AC

B ∠=∠

B ．BA

C AC

D ∠=∠

C ．BAC AB

D ∠=∠

D ．BAC DAC =∠∠

8．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）

A ．AO =OC

B ．A

C =B

D C ．AC ⊥BD D ．BD 平分∠ABC 9．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）

A ．A

B ＝CD ，AD ＝B

C ，AC ＝BD

B ．A

C ＝B

D ，∠B ＝∠C ＝90° C ．AB ＝CD ，∠B ＝∠C ＝90° D ．AB ＝CD ，AC ＝BD

10．如图，在Rt △ABC 中，

AC=3，BC=4，D 为斜边AB 上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则线段EF 的最小值为（）

A．4

B．

C．

D．

11．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（）

A．3 B．C D．4

12．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF 是矩形的是（）

A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC 13．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）

A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形

B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形

C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形

D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形

二、填空题

14．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=_____，矩形的面积为_____．

15．如图，在?ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），?ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）

16．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1_____S2．

17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=_____ cm．

18．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．

三、解答题

19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．

20．如图，DB∥AC，且DB=1

AC，E是AC的中点．

（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，CA．

（1）求证：四边形AEFC为矩形；

（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．

22．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD 边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）求BF的长；

（3）求折痕AF长．

23．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD 理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．

∵S△PBC+S△PAD=1

BC?PF+

AD?PE=

BC（PF+PE）=

BC?EF=

S矩形ABCD．

（1）请补全以上证明过程．

（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

根据矩形的性质，两对边相等，可以求出相邻两边的和，进而求出各边的长度，根据面积公式求解即可．

【详解】

设长为xcm，宽为ycm．

∵一矩形的周长是24cm，

∴2（x+y）=24，

∴x+y=12，

∵相邻两边之比是1：2，

∴x=8cm、y=4cm，

∴面积S=xy=8×4=32cm2．

故选B．

【点睛】

本题考查矩形的性质，由很多个小的知识点组合而成，求解长宽即可求得面积．

2．C

【解析】

【分析】

想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可．

【详解】

作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，

∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，

∴S△DFP=S△PBE=1

×2×8=8，

∴S阴=8+8=16，

故选C．

【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．

3．D

【解析】

【分析】

由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=3，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．

【详解】

∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=6，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC=1

AC=3，

∴四边形CODE是菱形，

∴四边形CODE的周长为=4OC=4×3=12．

故选D．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．

4．C

【解析】

【分析】

由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB 的长．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，

∴OA=OB ，

∵BE ：ED=1：3，

∴BE ：OB=1：2，

∵AE ⊥BD ，

∴AB=OA ，

∴OA=AB=OB ，

即△OAB 是等边三角形，

∴∠ABD=60°

， ∵AE ⊥BD ，AE=3，

∴AB=30AE cos

故选C ．

【点睛】

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB 是等边三角形是解题关键．

5．C

【解析】

【分析】

由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB ，由勾股定理求出OB 即可．

【详解】

∵四边形ABCD 是矩形，

∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，

∴OA=OB ，

∵AE 垂直平分OB ，

∴AB=AO ，

∴OA=AB=OB ，

∵，

∴OB=2=OD ；

故选C ．

【点睛】

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

6．C

【分析】

根据菱形和矩形的判定定理即可得出答案.

【详解】

解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，所以A错误；

B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B错误；

C. 对角线相等的平行四边形是矩形，所以C正确；

D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D错误；

故选C.

【点睛】

本题考查特殊平行四边形中菱形与矩形的判定，注意区分特殊平行四边形的判定方法是解题关键.

7．C

【解析】

【分析】

由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．

【详解】

解：A、∠BAC=∠ACB，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；

B、∠BAC=∠ACD，不能判断四边形ABCD是矩形；

C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；

D、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；

故选：C．

【点睛】

本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解题关键．8．B

【解析】

分析：根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．

详解：添加的条件是AC =BD ．理由是：

∵AC =BD ，四边形ABCD 是平行四边形，∴平行四边形ABCD 是矩形．

故选B ．

点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 9．D

【解析】

试题分析：A 、∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，

∵AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，

故能判定门框合格；

B 、在Rt △AB

C 和Rt △DCB 中，

AC BD BC CB

=??=?， ∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），

∴AB ＝CD ，

∵∠B ＝∠C ＝90°

，∴AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，

∴四边形ABCD 是矩形，

故能判定门框合格；

C 、∵∠B ＝∠C ＝90°，∴AB ∥C

D ，

∵AB ＝CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形，

∵∠B ＝∠C ＝90°

， ∴四边形ABCD 是矩形，

故能判定门框合格；

D 、当四边形ABCD 是等腰梯形时，也满足AB ＝CD ，AC ＝BD ，故不能判定门框合格．故选D ．

点睛：本题考查了矩形判定的实际应用，熟记矩形的判定方法是解决此题的关键． 10．D

【分析】

连接CD ，判断出四边形CEDF 是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，然后根据垂

线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，进而解答即可．【详解】

解：如图，连接CD，

∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，

∴四边形CEDF是矩形，

∴EF=CD，

由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，

∵AC=3，BC=4，

∴5，

∵四边形CEDF是矩形，

∴CD=EF=

?12

5 AC BC

＝.

故选D．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键．

11．C

【分析】

根据勾股定理求得OD=CE OD

==．

【详解】

解：∵四边形COED是矩形，

∴CE＝OD，

∵点D的坐标是（1，3），

∴OD=

∴CE

故选：C．

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，两点间的距离公式，掌握矩形的对角线的性质是解题的关键．12．D

【分析】

首先证出四边形ADEF是平行四边形，再根据矩形和菱形的判定，即可得出结论．

【详解】

∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形，

若∠BAC=90°，或BC=2AE，或DE平分∠AEB，

则四边形ADEF是矩形；

若AE⊥BC，则AB=AC，

∴四边形ADEF是菱形，

故选D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ADEF是平行四边形是解此题的关键．

13．A

【分析】

根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案．

【详解】

解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定是矩形也就不一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意；

B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD 是矩形，故B选项正确，不符合题意；

C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD 是菱形，故C选项正确，不符合题意；

D、如果AD∥BC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，不符合题意，

故选A．

【点睛】

本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键．

14．5 12．

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AC，利用面积公式计算求解．

【详解】

如图：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

由勾股定理得；

矩形的面积为AB?BC=3×4=12．

故答案为5，12．

【点睛】

此题较简单，根据勾股定理及矩形的面积公式解答．

15．AC=BD

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．

【详解】

添加的条件是AC=BD，

理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：AC=BD

【点睛】

本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．

16．=．

【解析】

【分析】

由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．

【详解】

矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=1

S矩形AEFC，即S1=S2，

故答案为=．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．

17．13

．

【解析】

【分析】

先由勾股定理求出BD，再得出OD，证明EF是△AOD的中位线，即可得出结果．【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，OD=1

BD，AD=BC=12，

∴，

∴OD=13

，

∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，

∴EF=1

OD=

；

故答案为：13

．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．

18．1.2

【解析】

【分析】

根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

则AM=1

EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩

形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．

【详解】

∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

即∠BAC=90°.

又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，

∴四边形AEPF是矩形，

∴EF=AP.

∵M是EF的中点，

∴AM=1

EF=

AP.

因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，

∴AM的最小值是1.2.

【点睛】

本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键.

19．矩形ABCD的面积是

【解析】

【分析】

首先根据矩形的性质可得AO=DO，然后再计算出∠ADB的度数，再根据直角三角形的性质

可得AD的长，再利用勾股定理计算出AD长，然后再根据矩形的面积公式可得矩形ABCD 的面积．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=1

AC，OD=

BD，

∴OA=OD，

∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°

∴AB=1

2 BD．

在直角三角形ABD中，由勾股定理，得

∴S矩形ABCD

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，以及矩形的性质和直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

20．（1）证明见解析（2）证明见解析．

【解析】

分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．

详解：（1）∵E是AC中点，∴EC=1

2 AC．

∵DB=1

AC，∴DB=EC．

又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE．（2）连接AD、BE．

∵DB∥AE，DB=AE，

∴四边形DBEA是平行四边形．

∵∠BAC=∠C，∴BA=BC．

∵BC=DE，∴AB=DE，∴?DBEA是矩形．

点睛：本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

21．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可；

（2）连接DB，根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答即可．

【详解】

（1）证明：∵BF=BA，BE=BC，

∴四边形AEFC为平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BA=BC，

∴BE=BF，

∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，

∴四边形AEFC为矩形；

（2）连接DB，

由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，

∴四边形AEBD为平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴四边形AEBD为菱形，

∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，

∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，

∴AG=2，AE=4，

∴在Rt△AEG中，

∴

【点睛】

此题考查了矩形的性质与判定、菱形的性质等知识．根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答是关键．

22．（1）见解析；（2）5cm；（3）cm．

【解析】

分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；

（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；

（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．

详解：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，

∴AE=AB=10，AE2=102=100，

又∵AD2+DE2=82+62=100，

∴AD2+DE2=AE2，

∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即42+（8-x）2=x2，

解得x=5，

故BF=5cm；

（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，

∵AB=10cm，BF=5cm，

∴．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．

23．（1）证明见解析；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论

S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，证明见解析.

【解析】

【分析】

分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式

可知，经过化简，等量代换，可以得到S△PBC=S△PAD+1

S矩形ABCD，而S△PAC+S△PCD=S△PAD+

S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．【详解】

（1）证明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=1

S矩形ABCD,

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；

（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．

∵S△PBC=1

BC?PF=

BC?PE+

BC?EF

AD?PE+

BC?EF=S△PAD+

S矩形ABCD