数列型不等式的证明

数列型不等式证明的常用方法

一．放缩法

数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧，例如归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧，仅供参考.

1 归一技巧

归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或若干项全部转化为同一项，或是将和式的通项中的一部分转化为同一个式子（或数值），既达到放缩的目的，使新的和式容易求和. 归一技巧有整体归一、分段归一。

例如 设n 是正整数，求证121

211121<+++++≤n n n Λ．

【证明】111122n n n +++++L 1

211112222n n

n n n n ≥++??????++14444244443个1

2=.

另外：111122n n n

+++++L 1

1111n n

n n n n <++??????++144424443个

1=. 【说明】在这个证明中，第一次我们把

1

1n +、12n +、

L

1

2n 这些含n 的式子都“归一”为12n ，此时式子同时变小，

顺利把不易求和的111

122n n n

+++++L 变成了n 个

12n 的和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和，这就是“归一”所达到的效果。而不等式右边的证明也类似.

1.1 整体归一

放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一”.

例 1. 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任

意*N n ∈，总有2

,,n n n a S a 成等差数列.

(Ⅰ)求数列

{}n a 的通项公式；

(Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2

ln n

n n a x b =

，求证:对

任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，e ＝2.71828???）和任意正整数n ，总有n T < 2；

（Ⅰ）解：由已知：对于*

N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立

∴2

1112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）②

①--②得2

1122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a

∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列

又n=1时，2

1112S a a =+， 解得1a =1

∴n a n =.(*

N n ∈)

（Ⅱ）证明：∵对任意实数(]

e x ,1∈和任意正整数n ，总有2

ln n

n n a x b =

≤21

n

. （放缩通项，整体归一） ∴()n

n n T n 11

321211112111222-++?+?+<+++≤ΛΛ（放缩通项，裂项求和）

21211131212111<-=--++-+-+=n

n n Λ

例2.已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程

2(32)320k k x k x k -++?=的两个根，且

212(123)k k a a k -=L ≤，，，．

（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；

（Ⅲ）记sin 1()32sin n

f n n ??=+ ???

，

(2)(3)(4)(1)

123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++

…，

求证：15()624

n T n ∈*

N ≤≤

【分析】（1）略. 12a =；34a =；58a =时；712a =． （II ）略. 2n

S 2133222

n n n

++=+-．

（III ）本题应注意到以下三点，

①(){1,2}f n ∈，且()f n 具有周期性. (){1,2}f n ∈，

这就有

()

(1){1,1}f n -∈-，()f n 虽有周期性，可周期为2π. 这就使当n 很大时，和式通项(1)

212(1)f n n n

a a +--的符号增加了不确定

性.

②很显然，当4n ≥时，21

3n a n -=，22

n

n a =；当

3n ≤时，212n

n a -=，23n a n =.纵然没有符号的问题，通

项

1

32n n ?如何求和？也需要解决.

③112116T a a =

=，2123411524T a a a a =+=，本题相当于证

明12

()n T T T n ∈*

N ≤≤． 基于以上三点，我们可以看到：1n T T ≤等价于从第二项开始的项之和为非负数，可否考虑将第三项开始的项缩小，此时可以做两方面的“归一”，一是符号“归一”，二是分母的部分“归一”，两者都是要达到容易求和的目的. 【解答】 当3n ≥时，

(1)

3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++

L ，

345621211116n n a a a a a a -??

+-++ ???

L ≥从第三项起“归一”为负

=)2312431921(641614

3

n

n ?+??+?-?+Λ =)2

1241231(61641611

3

2

-?+?+?-?+n n Λ 2

341111116626222n ??>+-++ ????

L (3,4,5,…,n “归一”为2)

11662n =+

? 16

>， 至于不等式右边原理一样：

(1)

5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++

L

5678212511124n n a a a a a a -??-+++ ???L ≤(从第四项起“归一”

为正34551111

249234235232n n =-++++??????L

3

4511112492922n ??<-+++ ????

L (4,5,…,n “归一”为3)

512492n =-

?

524<

．

又112116T a a ==，21234

11524T a a a a =+=，原结论成立 1.2 分段归一

放缩法中，如果我们把和式分为若干段，每一段中的各个项都转化为同一项而达到放缩并容易求和的目的的，称之为“分段归一”.

例

3 已知数列{}

n a 和{}

n b 满足

112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为

n S .

（1）求数列{}n b 的通项公式；

（2）求证：对任意的n N *

∈有21

122

n n S n +≤≤+成立．

分析：（1）略. 1

n b n

=．

（2）此问可以用数学归纳法证明，也可以用“分段归一”的放缩法解答. 【解答】左边证明

2111

1232n n S =+++??????+

1111111111111()()()()

2345678916212

n n -=+++++++++???++??????++???++

111

2816

2111111111111()()()()

2448888161622n n

n n -≥+++++++++???++??????++???+1424314243

个

个

1

2

111112222n =++++??????+

144424443个

=1+2

n

这里我们以12，21

2，312

，412，……，12n 为界，将

和式111

232

n ++??????+分为n 段，每段1121i -++1

122i -++ (1)

2

i +（1,2,3,,i n =???），每段中的数对缩小归一为1

2i ，这就

使每一段的数缩小后和为1

2

，从而得证.

至于不等号右边，原理类似：

2111

1232

n n S =+++??????+

1111111111111111()()()()2345678915221212

n n n n

--=+++++++++???++??????+++???+++-

11

1111

1288

16

211111*********()()()()()224444881616222n n n n n

----≤++++++++???+++???++??????++???++14424431424314243

个

个16个 1

1

111112n n =++++??????++144424443个 12

n

n =+

12

n ≤+

【说明】本题我们需要关注到不等号两边的性质：一方

面，1

2

111+1222n n =++???+

1

4243个

，接着我们把不等式中间的和式除1外的部分拆分成n 段，每段都不小于1

2

；另一方面，

1111122n n +=++???++14243个1

，接着我们把不等式中间的和式除12n 外的部分拆分成n 段，每段都不大于1；

在归一放缩时，我们需要注意到题设的条件和式子的性质，它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键.

2 抓大放小

在将和式通项中，我们保留式子主要的、数值较大的部分，去掉次要的、数值相对较小的部分，以便达到放缩和容易求和的目的，这种放缩技巧，我们称之为“抓大放小”技巧.

例如求证:

223232221213

2

<++++++++n

n

n

Λ 通项放缩为

n

n

n n

n 2

2<

+， 求和即证。

2.1直接抓大放小

例4设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都

有51n n

a S =+成立，记*

4()1n n n

a b n N a +=∈-. （I ）求数列{}n b 的通项公式；

（II ）记*

221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为

n T ，求证：对任意正整数n 都有3

2

n T <.

【解答】（Ⅰ）略. 14(1)4(1)n n

n n n b ++-=--

（Ⅱ）由（Ⅰ）知5

4(4)1n n b =+--

221n n n c b b -∴=-22155

4141n n -=+-+222254(41)(44)

n n n ?=-+

2422544344n n n ?=+?-242544n

n

?<2516

n =（分母直接抓大放小）

又1211343,,33

b b

c ==∴=

当13

12

n T =<时，

当

234111

225()

3161616n n n T ≥<+?+++K 时，1211[1()]416

162513116

n --=+?-

214162513116

<+?-6948=32< 【说明】这里的分母

424344n n +?-阻碍了式子的求和，式子424344n

n

+?-中，最大的是44

n

，他起到了决定

整个这个式子数值大小的作用，

2344n

?-相比它来说小很多，由此，我们能把44

n

留在，去掉2344n

?-，这里既能起

到放大式子的要求，也能使通项转化为等比数列，使和式容易求和. 就象整棵大树，我们留下了主干，把枝梢末节的地方去掉了。

2.2拆大抵小

“拆”大“抵”小指的是通项中有一两个数值在放缩时无法直接消去，只能从主要的数值中拆出一部分出来与之相抵，达到放缩的效果.

例5 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足121,n n S a n n N *

+=--∈，且1a ，23a +，3a 成等差数列.

（1） 求a 1，a 2，a 3的值； （2） 求数列{}n a 的通项公式；

（3） 证明：对一切正整数n ，有12

11132n a a a +++

（2）略. 1(31)2

n

n a =-

（3）由（2）知1231n n

a =- 如果将通项2

{}31

n -分母中的1-消去，通项将转化为等

比数列2

{}3

n ，可这个转化是一个缩小的放缩，与和式放大

矛盾，因而不能直接去掉1-.

我们可以从通项2{}31

n -分母中的3n 中拆出一部分出来与1-相抵，为了达到放大的目的，拆出来的部分必须比1大.

【解答】

（3）由111112221

312331233n n n n n n

a ----==<=-?+-?，

（拆大抵小）

故有：11211111

133n n

a a a -+++<++??????+L

113113

n

-=

-131223n -=-?32<

【说明】抓大放小的技巧在于留住式子中主要的部分，既保留了式子的数值，也达到了放缩和容易求和的目的. 又例如 求证:

3

5

1211211211213

2

<-++-+-+-n

Λ 如果1

1

1

1

2

12212212

----≥-+=-?=-n n n n n

，

那么

1

2

1

121-≤-n n

，则放大过头！

因为)2(23122312412

2

2

2

2

≥?≥-+?=-?=-----n n n n n n

所以通项放缩为

)2(21

311212

≥?≤--n n n

，求和即证。 如果求证:

21

341211*********

2

<-++-+-+-n

Λ，则上述放大过头！ 可以用

)3(271227128123

3

3

3

≥?≥-+?=-?=-----n n n n n n

所以第一、二项不变，通项从第三项放大为

)3(2

1

711213

≥?≤--n n n

，求和即证。

3 回头追溯技巧

许多的时候，我们在不等式放缩时，往往会因为式子放的过大，步子迈得太开，而得到一个比原题设证明更弱的命题，从而导致对题目的证明失败. 此时我们往往只能回头追溯我们原来的放缩，修改它，或者是保留若干项，这就是回头追溯技巧.

3.1 保留若干项的回溯

例6 已知数列{}n a 满足12a =，2*

112(1)()n n a a n N n

+=+?∈.

（1）求证数列2{}n

a n 是等比数列，并求其通项公式；

（2）设n n

n c a =，求证：123710n c c c c +++??????+<.

分析：（1）略.22n

n a n =?

（2）102n n n

n c a n ==>? 这{n c }的通项，其分母由n 与2n

的乘积组成，不易

求和，能否用归一技巧，将分母部分归一？ 如：12

3n c c c c ++++L

23411111122232422n n =+++++?????L

2111222n <++??????+1

12

n =-1< 这里显然是放得太大了，不合题意。此时我们想能否回头追溯我们原来的放缩，修改它，或者是保留若干项，这就是回头追溯技巧，这道题我们可以保留若干项：

【解答】（3）设123n n T c c c c =++++L ，

则1234T T T T <<< 当n ≥4时，

23411111122232422

n n T n =+++++?????L 45111111128244222n ??

<+++?+++????

L （从第四项开始放缩）

3211212173433233010

2<+?=+<+= 综上：123710n c c c c ++++

例7．已知数列{n a }满足：112cos()

n n n n a a a a n π--+=

且114a =

（1）求数列{n a }的通项公式； *（2）设2

)12(sin

π

-=n a b n n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N *有T n <47

成立．

解：（1）由11

12cos()(1)n

n n n n n n a a a a n a a π---+==- 所以121(1)n n n a a -+=-， 1

12(1)n

n n a a -=-+-， 11

11(1)2[(1)]n

n n n a a --+-=-+- 11

(1)3a +-= 所以1{(1)}n n

a +-是以3为首项，以-2为公比的等比数列

11(1)3(2)n n n a -+-=-， 所以n n n a )1()2(311---?=-

（2）1

)1(2

)12(sin --=-n n πΘ，

111(1)1

3(2)(1)321n n n n

n b ----∴==---?+．

当3≥n 时，则

12311231123113112

+?+++?++?++=-n n T Λ

<

2

1

2

2112

11321])(1[28

112312312317141--+=?++?+?++--n n Λ（从第三项开始放大，分母减去1）

7

484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=-n ．

321T T T <<Θ，

∴对任意的N n *∈，7

4

T ．

3.2 修改放缩的回溯

刚刚我们提到修改我们的放缩，那我们看看以下这道题： 例8.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ *()n N ∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）证明：*

1223

11...()232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈. 分析（I ）略. *

21().n n a n N =-∈

（II ）证明：Q 1121211

,1,2,...,,

12122(2)

2

k k k k k

k a k n a ++--==<=-- ∴12231

....2n n a a a n

a a a ++++<

在不等号左边的证明中，可能有部分人利用抓大放小，这样证明：

∵1111

212111

,1,2,...,,21222k k k k k k k a k n a ++++--=≥=-=-

∴122

31...n n a a a a a a ++++21111

(...)22222n n ≥-+++ 11

(1)222

n n =--122n >-.

这里在放缩的过程中想当然的就将分母中的-1去掉，使分母变大，通项变小，但这样的放缩放得太大了，我们不得不放弃，必须回头去，看看原来的放缩能不能修改，能不能让放缩脚步迈得小一些，不要放得那么多. 以下是修改后的放缩： 【解答】（2）

111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 122231

1111111

...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-

*122311...()232

n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈. 回溯技巧的使用更多的是在山穷水尽之时，弥补原有失误的技巧，其中保留若干项的方法最常见.

4. 利用函数的性质放缩

例9.已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+,

*n N ∈.求证: （Ⅰ）1

01;n n a a +<<<

（Ⅱ）2

1;2n n a a +<

（Ⅲ）若12

a =

则当n≥2时,!n n b a n >?.

分析：可以考虑用：若x x x x

x ≤+≤+->)1ln(1

,1来证明。 解析：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n

a <<,*

n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.

则当n=k+1时,

因为0

x f x x x '=-

=>++, 所以f(x)在(0,1)上是增函数.（函数性质）

又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)

故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.

又由01n a <<, 得

()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,

从而1

n n a a +<.

综上可知1

0 1.n n a a +<<<

(Ⅱ)要证2

1.2n n a a +<即证()22

n n a f a ->0

构造函数g(x)=2

2

x -f(x)= 2

ln(1)2x x x ++-, 0

()01x g x x '=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.

又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.

因为01n a <<,所以()0n g a >,即()2

2

n n a f a ->0, 从而2

1.2n n a a +<

(Ⅲ) 因为 1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+,所以

0n b >,1n n

b b +1

2n +≥ ,

所以12112

11

!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=??≥?L ————① ,

下面只需证明1

2n >n a （逐步转化）

由(Ⅱ)2

1,2n n a a +<知:12n n n

a a a +<, 所以1n a a =31

212121

222n n n a a a a a a a a a --?

因为12

2

a =, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以

n a 1121222

n a a a a -

n a -<2

1

22n a ?=12n ————② .

由①② 两式可知: !n n b a n >?.

例10.已知等差数列{}n a 满足12a =，且35742a a a ++=．

（Ⅰ）求

{}n a 的通项公式；

*（Ⅱ）设数列

{}

n b 满足1

n n n

a b a +=，并记

123n n T b b b b =????????，

求证：3

32(*)n n

a T n N +<∈． 解：（1）由3575342a a a a ++==，解得514a =， 故公差51142

344

a a d --=

==，得1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-?=-．

（2）证法一： 332n n a T +<即3

213n

n

T a >+（目标不等式变

形）

1331n n n a n b a n +==

-；

从而123632531n n n T b b b n =???????=???????-．故

0n T >，又3320n a n +=+>

因此3

3

236

323253132n

n

T n a n n ??=???????? ?+-+??．