2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.7立体几何中的向量方法(一)__证明平行与垂直理
第八章 立体几何 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与
垂直 理
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法
向量,则求法向量的方程组为?
??
??
n ·a =0,
n ·b =0.
2.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.
(2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ,y ,使v =x v 1+y v 2.
(3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β?u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2=0. (2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2=0. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ,则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )
(6)若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行.( × )
1.已知A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),则下列向量是平面ABC 法向量的是( )
A .(-1,1,1)
B .(1,-1,1)
C .(-
33,-33,-33
) D .(
33,33,-3
3
) 答案 C
解析 设n =(x ,y ,z )为平面ABC 的法向量, 则???
??
n ·AB →=0,
n ·AC →=0,
化简得???
??
-x +y =0,
-x +z =0,
∴x =y =z .故选C.
2.直线l 的方向向量a =(1,-3,5),平面α的法向量n =(-1,3,-5),则有( ) A .l ∥α B .l ⊥α C .l 与α斜交 D .l ?α或l ∥α
答案 B
解析 由a =-n 知,n ∥a ,则有l ⊥α,故选B.
3.平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于( )
A .2
B .-4
C .4
D .-2 答案 C
解析 ∵α∥β,∴两平面法向量平行, ∴
-21=-42=k
-2
,∴k =4. 4.(教材改编)设u ,v 分别是平面α,β的法向量,u =(-2,2,5),当v =(3,-2,2)时,α与β的位置关系为________;当v =(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β
解析 当v =(3,-2,2)时,u ·v =(-2,2,5)·(3,-2,2)=0?α⊥β. 当v =(4,-4,-10)时,v =-2u ?α∥β.
5.(教材改编)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面正方形ABCD 的中心,M 是D 1D 的中点,N 是A 1B 1的中点,则直线ON ,AM 的位置关系是________.
答案 垂直
解析 以A 为原点,分别以AB →,AD →,AA 1→
所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,设正
方体棱长为1,则A (0,0,0),M (0,1,12),O (12,1
2
,0),
N (1
2
,0,1),AM →·ON →
=(0,1,12)·(0,-12
,1)=0,
∴ON 与AM 垂直.
题型一 利用空间向量证明平行问题
例1 (2016·重庆模拟)如图所示,平面PAD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA =AD =2,E ,F ,G 分别是线段PA ,PD ,CD 的中点.求证:PB ∥平面EFG .
证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA =AD ,
∴AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),
B (2,0,0),
C (2,2,0),
D (0,2,0),P (0,0,2),
E (0,0,1),
F (0,1,1),
G (1,2,0).
∴PB →=(2,0,-2),FE →=(0,-1,0),FG →
=(1,1,-1), 设PB →=sFE →+tFG →,
即(2,0,-2)=s (0,-1,0)+t (1,1,-1),
∴????
?
t =2,t -s =0,-t =-2,
解得s =t =2,∴PB →=2FE →+2FG →
,
又∵FE →与FG →不共线,∴PB →,FE →与FG →
共面. ∵PB ?平面EFG ,∴PB ∥平面EFG .
引申探究
本例中条件不变,证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →=(0,1,0),BC →
=(0,2,0), ∴BC →=2EF →
,∴BC ∥EF .
又∵EF ?平面PBC ,BC ?平面PBC , ∴EF ∥平面PBC ,
同理可证GF ∥PC ,从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF =F ,EF ?平面EFG ,GF ?平面EFG , ∴平面EFG ∥平面PBC .
思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.
(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
(2016·北京海淀区模拟)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1C ,B 1C 1的中
点.求证:MN ∥平面A 1BD .
证明 如图所示,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则M (0,1,12),N (1
2,1,1),D (0,0,0),A 1(1,0,1),B (1,1,0),
于是MN →=(12,0,12),DA 1→=(1,0,1),DB →
=(1,1,0).
设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则n ·DA 1→
=0,且n ·DB →
=0,得???
??
x +z =0,x +y =0.
取x =1,得y =-1,z =-1. 所以n =(1,-1,-1).
又MN →
·n =(12,0,12
)·(1,-1,-1)=0,
所以MN →
⊥n .
又MN ?平面A 1BD ,所以MN ∥平面A 1BD . 题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直
例2 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为
CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD .
证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m =λBA 1→+μBD →
.
令BB 1→=a ,BC →=b ,BA →
=c ,显然它们不共面,并且|a |=|b |=|c |=2,a ·b =a·c =0,b·c =2,以它们为空间的一个基底, 则BA 1→=a +c ,BD →=12a +b ,AB 1→
=a -c ,
m =λBA 1→+μBD →=?
?
???
λ+12μ
a +μ
b +λ
c , AB 1→·m =(a -c )·????
???
??
??λ+12
μa +μb +λc =4? ????λ+12μ-2μ-4λ=0.故AB 1→⊥m ,结论得证. 方法二 取BC 的中点O ,连接AO .
因为△ABC 为正三角形, 所以AO ⊥BC .
因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1, 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.
取B 1C 1的中点O 1,以O 为原点,分别以OB →,OO 1→,OA →
所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则B (1,0,0),D (-1,1,0),A 1(0,2,3),
A (0,0,3),
B 1(1,2,0).
设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),BA 1→=(-1,2,3),BD →
=(-2,1,0). 因为n ⊥BA 1→,n ⊥BD →
, 故???
??
n ·BA 1→=0,
n ·BD →=0
???
?
-x +2y +3z =0,
-2x +y =0,
令x =1,则y =2,z =-3,
故n =(1,2,-3)为平面A 1BD 的一个法向量, 而AB 1→=(1,2,-3),所以AB 1→=n ,所以AB 1→
∥n , 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直
例3 (2017·武汉月考)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面
PAD ⊥底面ABCD ,且PA =PD =
2
2
AD ,设E ,F 分别为PC ,BD 的中点.
(1)求证:EF ∥平面PAD ; (2)求证:平面PAB ⊥平面PDC .
证明 (1)如图,取AD 的中点O ,连接OP ,OF .
因为PA =PD ,所以PO ⊥AD .
因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD , 所以PO ⊥平面ABCD .
又O ,F 分别为AD ,BD 的中点,所以OF ∥AB . 又ABCD 是正方形,所以OF ⊥AD . 因为PA =PD =
22AD ,所以PA ⊥PD ,OP =OA =a 2
. 以O 为原点,OA ,OF ,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则A (a 2,0,0),F (0,a 2,0),D (-a 2,0,0),P (0,0,a 2),B (a 2,a,0),C (-a
2
,a,0).
因为E 为PC 的中点,所以E (-a 4,a 2,a
4
).
易知平面PAD 的一个法向量为OF →
=(0,a 2,0),
因为EF →
=(a 4,0,-a 4
),
且OF →·EF →
=(0,a 2,0)·(a 4,0,-a 4
)=0,
所以EF ∥平面PAD .
(2)因为PA →
=(a 2,0,-a 2),CD →=(0,-a,0),
所以PA →·CD →
=(a 2,0,-a 2
)·(0,-a,0)=0,
所以PA →⊥CD →
,所以PA ⊥CD .
又PA ⊥PD ,PD ∩CD =D ,所以PA ⊥平面PDC . 又PA ?平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PDC . 思维升华 证明垂直问题的方法
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)其一证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;其二证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可,当然 ,也可证直线的方向向量与平面的法向量平行;其三证明面面垂直:①证明两平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.
(2016·青岛模拟)如图,在多面体ABC -A 1B 1C 1中,四边形A 1ABB 1是正方形,AB
=AC ,BC =2AB ,B 1C 1綊1
2
BC ,二面角A 1-AB -C 是直二面角.求证:
(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ; (2)AB 1∥平面A 1C 1C .
证明 (1)∵二面角A 1-AB -C 是直二面角,四边形A 1ABB 1为正方形, ∴AA 1⊥平面BAC . 又∵AB =AC ,BC =2AB ,
∴∠CAB =90°,即CA ⊥AB , ∴AB ,AC ,AA 1两两互相垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系,点A 为坐标原点,
设AB =2,则A (0,0,0),B 1(0,2,2),A 1(0,0,2),C (2,0,0),C 1(1,1,2).
A 1
B 1→=(0,2,0),A 1A →=(0,0,-2),A
C →
=(2,0,0),
设平面AA 1C 的一个法向量n =(x ,y ,z ), 则???
??
n ·A 1A →=0,
n ·AC →=0,即?
??
??
-2z =0,
2x =0,
即???
??
x =0,
z =0,
取y =1,则n =(0,1,0).
∴A 1B 1→=2n ,即A 1B 1→
∥n . ∴A 1B 1⊥平面AA 1C .
(2)易知AB 1→=(0,2,2),A 1C 1→=(1,1,0),A 1C →
=(2,0,-2), 设平面A 1C 1C 的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1), 则???
??
m ·A 1C 1→=0,
m ·A 1C →=0,
即?
??
??
x 1+y 1=0,
2x 1-2z 1=0,
令x 1=1,则y 1=-1,z 1=1,即m =(1,-1,1). ∴AB 1→
·m =0×1+2×(-1)+2×1=0, ∴AB 1→
⊥m .
又AB 1?平面A 1C 1C ,∴AB 1∥平面A 1C 1C . 题型三 利用空间向量解决探索性问题
例4 (2016·北京)如图,在四棱锥PABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,PA =PD ,AB ⊥AD ,
AB =1,AD =2,AC =CD = 5.
(1)求证:PD ⊥平面PAB ;
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值;
(3)在棱PA 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ?若存在,求AM
AP
的值;若不存在,说明理由. (1)证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD ,AB ⊥AD ,AB ?平面ABCD , ∴AB ⊥平面PAD .
∵PD ?平面PAD ,∴AB ⊥PD .
又PA ⊥PD ,PA ∩AB =A ,且PA ,PB ?平面PAB , ∴PD ⊥平面PAB .
(2)解 取AD 中点O ,连接CO ,PO ,
∵PA =PD , ∴PO ⊥AD .
又∵PO ?平面PAD , 平面PAD ⊥平面ABCD , ∴PO ⊥平面ABCD , ∵CO ?平面ABCD , ∴PO ⊥CO ,
∵AC =CD ,∴CO ⊥AD .
以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P (0,0,1),B (1,1,0),D (0,-1,0),C (2,0,0). 则PB →=(1,1,-1),PD →=(0,-1,-1),PC →
=(2,0,-1). CD →
=(-2,-1,0).
设n =(x 0,y 0,1)为平面PCD 的一个法向量.
由???
??
n ·PD →=0,
n ·PC →=0
得?
??
??
-y 0-1=0,
2x 0-1=0,解得?
???
?
y 0=-1,x 0=1
2.
即n =? ??
??12,-1,1.
设PB 与平面PCD 的夹角为θ. 则sin θ=|cos 〈n ,PB →
〉|=|n ·PB →
||n ||PB →|=
|1
2
-1-1|1
4
+1+1×3
=33
. (3)解 设M 是棱PA 上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM →=λAP →,因此点M (0,1-λ,λ),BM →
=(-1,-λ,λ),
∵BM ?平面PCD ,∴BM ∥平面PCD ,
∴BM →·n =0,即(-1,-λ,λ)·? ??
??12,-1,1=0,解得λ=14,∴在棱PA 上存在点M 使
得BM ∥平面PCD ,此时AM AP =1
4
.
思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.
(2016·深圳模拟)如图所示,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ,
NB ⊥平面ABCD ,且MD =NB =1,E 为BC 的中点.
(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值;
(2)在线段AN 上是否存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ?若存在,求线段AS 的长;若不存在,请说明理由.
解 (1)如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz ,
依题意得D (0,0,0),A (1,0,0),M (0,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0),N (1,1,1),E (1
2,1,0),
所以NE →=(-12,0,-1),AM →
=(-1,0,1),
因为|cos 〈NE →,AM →
〉|=|NE →·AM →||NE →||AM →|=1
252×2
=1010.
所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为
1010
. (2)假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN . 连接AE ,如图所示.
因为AN →=(0,1,1),可设AS →=λAN →
=(0,λ,λ), 又EA →=(1
2
,-1,0),
所以ES →=EA →+AS →
=(12,λ-1,λ).
由ES ⊥平面AMN , 得???
??
ES →·AM →=0,ES →·AN →=0,
即?????
-12+λ=0,
λ-1 +λ=0,
解得λ=1
2
,
此时AS →=(0,12,12),|AS →
|=22.
经检验,当AS =
2
2
时,ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ,此时AS =22
.
19.利用向量法解决立体几何问题
典例 (12分)(2016·吉林实验中学月考)如图1所示,正△ABC 的边长为4,CD 是AB 边上的高,E ,F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ,如图2所示.
(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角E -DF -C 的余弦值;
(3)在线段BC 上是否存在一点P ,使AP ⊥DE ?证明你的结论. 思想方法指导 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法
(1)用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.
(2)两种思路:①选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.②建立空间直角坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题. 规范解答
解 (1)AB ∥平面DEF ,理由如下:
在△ABC 中,由E ,F 分别是AC ,BC 中点,得EF ∥AB . 又AB ?平面DEF ,EF ?平面DEF , ∴AB ∥平面DEF .[1分]
(2)以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A (0,0,2),B (2,0,0),C (0,23,0),E (0,3,1),F (1,3,0),[3分] 易知平面CDF 的法向量为DA →
=(0,0,2), 设平面EDF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则?????
DF →·n =0,DE →·n =0,
即??
?
x +3y =0,3y +z =0,
取n =(3,-3,3),
cos 〈DA →
,n 〉=DA →·n |DA →||n |=217,
∴二面角E -DF -C 的余弦值为
21
7
.[6分] (3)设P (x ,y,0),则AP →·DE →
=3y -2=0, ∴y =233
.
又BP →=(x -2,y,0),PC →
=(-x,23-y,0), ∵BP →∥PC →
,∴(x -2)(23-y )=-xy , ∴3x +y =2 3.[9分]
把y =233代入上式得x =43,∴P (43,233,0),
∴BP →=13
BC →
,
∴在线段BC 上存在点P (43,23
3
,0),使
AP ⊥DE .[12分]
1.(2016·茂名调研)已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ).若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.65
7 答案 D
解析 由题意得c =t a +μb =(2t -μ,-t +4μ,3t -2μ),
∴????
?
7=2t -μ,
5=-t +4μ,λ=3t -2μ,
∴?????
t =337
,
μ=17
7,
λ=657.
2.(2017·西安质检)若平面α,β的法向量分别是n 1=(2,-3,5),n 2=(-3,1,-4),则( ) A .α∥β
B .α⊥β
C .α,β相交但不垂直
D .以上答案均不正确
答案 C
解析 ∵n 1·n 2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0, ∴n 1与n 2不垂直,且不共线. ∴α与β相交但不垂直.
3.已知平面α内有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则下列点
P 中,在平面α内的是( )
A .P (2,3,3)
B .P (-2,0,1)
C .P (-4,4,0)
D .P (3,-3,4)
答案 A
解析 逐一验证法,对于选项A ,MP →
=(1,4,1),
∴MP →·n =6-12+6=0,∴MP →
⊥n ,∴点P 在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.
4.若AB →=λCD →+μCE →
,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A .相交 B .平行
C .在平面内
D .平行或在平面内 答案 D
解析 ∵AB →=λCD →+μCE →,∴AB →、CD →、CE →
共面, ∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内.
5.设u =(-2,2,t ),v =(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6 答案 C
解析 ∵α⊥β,则u ·v =-2×6+2×(-4)+4t =0,∴t =5.
6.(2016·泰安模拟)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和
AC 上的点,A 1M =AN =
2a
3
,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A .斜交
B .平行
C .垂直
D .MN 在平面BB 1C 1C 内
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,
由于A 1M =AN =
2a 3
, 则M (a ,2a 3,a 3),N (2a 3,2a 3,a ),MN →
=(-a 3,0,2a 3).
又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ,
所以C 1D 1→
=(0,a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→
=0,
所以MN →⊥C 1D 1→
,又MN ?平面BB 1C 1C , 所以MN ∥平面BB 1C 1C .
7.(2017·广州质检)已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β
的位置关系是
__________________________. 答案 α∥β
解析 设平面α的法向量为m =(x ,y ,z ), 由m ·AB →
=0,得x ·0+y -z =0?y =z , 由m ·AC →
=0,得x -z =0?x =z ,取x =1, ∴m =(1,1,1),m =-n , ∴m ∥n ,∴α∥β.
8.(2016·潍坊模拟)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB →
=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).对于结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →
是平面ABCD 的法向量;④AP →∥BD →
.其中正确的是________. 答案 ①②③
解析 ∵AB →·AP →=0,AD →·AP →
=0, ∴AB ⊥AP ,AD ⊥AP ,则①②正确. 又AB →与AD →
不平行,
∴AP →
是平面ABCD 的法向量,则③正确.
∵BD →=AD →-AB →=(2,3,4),AP →
=(-1,2,-1), ∴BD →与AP →
不平行,故④错误.
*9.如图,圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ,则点P 形成的轨迹长度为________.
答案
72
解析 由题意可知,建立空间直角坐标系,如图所示.
则A (0,-1,0),B (0,1,0),S (0,0,3),M (0,0,3
2
),设P (x ,y,0), ∴AM →
=(0,1,32),MP →=(x ,y ,-32),即y =34,
∴点P 的轨迹方程为y =3
4
.
根据圆的弦长公式,可得点P 形成的轨迹长度为2
1- 34 2=72.
10.如图,在三棱锥PABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上.已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2.
(1)证明:AP ⊥BC ;
(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM =3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .
证明 (1)如图所示,以O 为坐标原点,OD ,OP 所在直线为y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz .
则O (0,0,0),A (0,-3,0),
B (4,2,0),
C (-4,2,0),P (0,0,4).
于是AP →
=(0,3,4), BC →
=(-8,0,0),
∴AP →·BC →
=(0,3,4)·(-8,0,0)=0, ∴AP →⊥BC →
,即AP ⊥BC . (2)由(1)知AP =5,
又AM =3,且点M 在线段AP 上, ∴AM →=35AP →=? ??
??0,95,125,
又BC →=(-8,0,0),AC →
=(-4,5,0),
BA →
=(-4,-5,0),
∴BM →=BA →+AM →=? ?
???-4,-165,125,
则AP →·BM →=(0,3,4)·? ????-4,-165,125=0,
∴AP →⊥BM →
,即AP ⊥BM ,
又根据(1)的结论知AP ⊥BC ,且BM ∩BC =B , ∴AP ⊥平面BMC ,于是AM ⊥平面BMC . 又AM ?平面AMC ,故平面AMC ⊥平面BMC .
11.(2016·长沙模拟)如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,
PD =DC ,E 、F 分别是AB 、PB 的中点.
(1)求证:EF ⊥CD ;
(2)在平面PAD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论.
(1)证明 如图,分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
设AD =a ,则D (0,0,0),
A (a,0,0),
B (a ,a,0),
C (0,a,0),E ?
??
??a ,a 2
,0,
P (0,0,a ),F ? ??
??a 2,a 2,a 2.
EF →
=? ??
??-a
2
,0,a 2,DC →=(0,a,0).
∵EF →·DC →=0,∴EF →⊥DC →
,即EF ⊥CD .
(2)解 设G (x,0,z ),则FG →=? ????x -a
2
,-a 2,z -a 2,
若使GF ⊥平面PCB ,则
由FG →·CB →=? ????x -a
2
,-a 2,z -a 2·(a,0,0)
=a ? ?
?
??
x -a 2=0,得x =a
2; 由FG →·CP →=? ????x -a
2
,-a 2,z -a 2·(0,-a ,a )
=a 2
2+a ? ?
?
??
z -a 2=0,得z =0.
∴G 点坐标为? ??
??a
2,0,0,即G 为AD 的中点.
*12.如图所示,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB ,EF ⊥FB ,AB =2EF ,∠BFC =90°,BF =FC ,H 是BC 的中点.
(1)求证:FH ∥平面EDB ; (2)求证:AC ⊥平面EDB .
证明 (1)∵四边形ABCD 为正方形,∴AB ⊥BC .
又EF ∥AB ,∴EF ⊥BC .
又EF ⊥FB ,FB ∩BC =B ,∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ,∴AB ⊥FH .
又BF =FC ,H 为BC 的中点,∴FH ⊥BC . 又AB ∩BC =B ,∴FH ⊥平面ABC .
以H 为坐标原点,HB →为x 轴正方向,HF →
为z 轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.
设BH =1,则A (1,-2,0),B (1,0,0),C (-1,0,0),D (-1,-2,0),E (0,-1,1),F (0,0,1). 设AC 与BD 的交点为G ,连接GE ,GH , 则G (0,-1,0),∴GE →
=(0,0,1), 又HF →=(0,0,1),∴HF →∥GE →. 又GE ?平面EDB ,HF ?平面EDB , ∴FH ∥平面EDB .
(2)∵AC →=(-2,2,0),GE →
=(0,0,1), AC →·GE →
=0, ∴AC ⊥GE .
又AC ⊥BD ,EG ∩BD =G , ∴AC ⊥平面EDB .
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1,l 2的方向向量分别为m 1,m 2,则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ=|cos 〈m 1,m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ=|cos 〈m ,n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①,AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →〉. 2°如图②③,n 1,n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos 〈n 1,n 2〉或-cos 〈n 1,n 2〉. 2. 点面距的求法 如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到 平面α的距离d =|AB → ·n | |n | . 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二面角的 范围是[0,π]. ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α-a -β的两个半平面α、β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α- a -β的大小是π-θ. ( × ) 2. 已知二面角α-l -β的大小是π 3 ,m ,n 是异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m ,n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α,n ⊥β, ∴异面直线m ,n 所成的角的补角与二面角α-l -β互补. 又∵异面直线所成角的范围为(0,π 2], ∴m ,n 所成的角为π 3 . 3. 在空间直角坐标系Oxyz 中,平面OAB 的一个法向量为n =(2,-2,1),已知点P (-1,3,2),
6.2 立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】
专题6.2 立体几何中的向量方法(A 卷基础篇)(浙江专用) 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分) 1.(2020·全国高二课时练习)已知(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,1)C ,则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A .(1,1,1)- B .(1,1,1)- C .? ? ? ??? D .?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量, 则00n AB n AC ??=??=? ,化简得00x y x z -+=??-+=?, ∴x y z ==,故选C. 2.(2020·全国高二课时练习)空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A .平行 B .垂直 C .相交但不垂直 D .无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中, A (1,2,3), B (﹣1,0,5), C (3,0,4), D (4,1,3), ∴AB =(﹣2,﹣2,2),CD =(1,1,﹣1), ∴AB =﹣2CD , ∴直线AB 与CD 平行. 故选A .
3.(2020·全国高二课时练习)已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--,点(,3,0)A x 在平面α内,则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103,则x =( ) A .-1 B .-11 C .-1或-11 D .-21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-,而103n d n PA ?= =, 103=,解得1x =-或-11. 故选:C 4.(2020·全国高二课时练习)已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量,若 1cos ,2 m n =-,则l 与α所成的角为( ) A .030 B .060 C .0120 D .0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ,则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5.(2020·全国高二课时练习)设直线l 与平面α相交,且l 的方向向量为a ,α的法向量为n ,若2,3a n π= ,则l 与α所成的角为( ) A .23π B .3π C .6π D .56 π 【答案】C 【解析】 结合题意,作出图形如下:
-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.