圆的参数方程及应用教案.doc.doc
(完整版)圆的参数方程及应用
圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩。
则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++=1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4πθ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8k πθπ=-（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最小值为22-。
【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
【解】由∠BAC=3π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sinθ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π))，由重心坐标公式并化简，得：Cxy OAB 图122cos()3332sin()33x y πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， 消去θ得：2224()39x y -+= （0≤x ＜1＝。
【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
圆的参数方程及其应用
在计算机图形学中的应用
渲染效果
圆的参数方程在计算机图形学中 常用于制作各种渲染效果，如光 照、阴影、反射等。通过参数的 调整，可以创建出逼真的视觉效
果。
动画制作
在动画制作中，圆的参数方程可 以用来描述物体的运动轨迹，例 如旋转、缩放等。通过参数的变 化，可以轻松地实现各种动态效
果。
游戏开发
在游戏开发中，圆的参数方程常 用于物理引擎和碰撞检测。例如， 物体在碰撞时会产生圆形冲击波， 通过参数方程可以精确地描述这
同样地，也可以将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数$theta$，可以得到 $x^2 + y^2 = r^2$。
参数方程的几何意义
参数方程中，$r$表示圆上点到圆心的 距离，即半径。$theta$表示圆心角， 即从圆心出发沿逆时针方向旋转的角 度。
通过参数方程，可以方便地描述圆上 任意一点的坐标和位置关系。例如， 当$theta = frac{pi}{2}$时，点位于 圆的最高点；当$theta = pi$时，点 位于圆的最低点。
05
结论
参数方程在圆的应用中的重要性
参数方程在描述圆的位置和形状时具有直观性和简洁性，能够清晰地表达圆的参数关系，方便数学和 物理问题的解决。
参数方程在解决与圆相关的实际问题时具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域中， 参数方程可以帮助我们更好地理解和分析问题。
对未来研究的展望
随着数学和物理学的发展，参数方程 在圆的应用中将会得到更深入的研究 和应用，例如在解决更复杂的几何和 物理问题时，参数方程可能会发挥更 大的作用。
种效果。
在机器人路径规划中的应用
1 2 3
导航系统
机器人在移动时需要精确地计算路径，圆的参数 方程可以用来描述机器人周围的环境，帮助机器 人规划出最优路径。
圆的参数方程及应用 说课稿 教案 教学设计
参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点位于A 点处，此时t=0，设动点M （x,y ）对应时刻t,由图可知2cos 602sin {x y t θθθ=π==又，得参数方程为60602cos 2sin (0){x t y t t ππ==≥。
高中数学第二章参数方程一2圆的参数方程教学案人教4
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωty ＝r sin ωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17]求圆的参数方程[例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0) 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
圆的参数方程微课教案
圆的极坐标方程
教学标题：圆的极坐标方程
教学目标：掌握圆的极坐标方程及其应用。
教学手段：ppt 演示
教学重难点：如何根据题目特征画出示意图，根据三角函数关系写出圆的极坐标方程。
教学时长：微课9分钟
授课方式：网络授课（B 站小武数学2021.5.25发布）
教学过程：
【新知导入】：通过极坐标和三角函数的知识推导出圆的极坐标方程，为以下3道例题的求解方法做铺垫。
问题1：在极坐标系中，求：
(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
(2)圆心为C (2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．
【设计意图】第1问是圆的圆心在极点上，第2问是圆经过极点，考察这2种题型圆的极坐标的应用。
问题2：在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹．
【设计意图】第1问是加强圆经过极点这种题型的应用，第2问是考察极坐标的定义理解程度。
旨在让学生深刻理解圆的极坐标的本质，从而能灵活应用。
圆的参数方程 教案
圆的参数方程教案
教案标题：圆的参数方程
教学目标：
1. 理解圆的参数方程的概念和基本原理；
2. 掌握圆的参数方程的推导方法；
3. 能够利用参数方程描述圆的性质和特点；
4. 能够应用参数方程解决与圆相关的问题。
教学步骤：
引入活动：
1. 引导学生回顾直角坐标系中圆的方程及性质，如半径、圆心等。
知识讲解：
2. 介绍参数方程的概念和作用，与直角坐标系中的关系。
3. 讲解圆的参数方程的推导方法，包括参数的选择和代入。
示例演练：
4. 给出一个具体的圆的例子，如圆心为(1, 2)，半径为3，引导学生利用参数方程的方法求解。
练习与巩固：
5. 提供一些练习题，让学生运用参数方程解决与圆相关的问题。
6. 分组讨论和解答，鼓励学生互相交流和分享解题思路。
拓展应用：
7. 引导学生思考参数方程在其他几何图形中的应用，如椭圆、双曲线等。
总结与评价：
8. 总结圆的参数方程的要点和关键步骤。
9. 针对本节课的教学效果，进行评价和反馈。
教学资源：
- PPT或白板
- 圆的参数方程示例题
- 圆的参数方程练习题
- 学生讨论与合作的机会
评估方式：
1. 在课堂上观察学生的参与程度和理解情况；
2. 布置课后作业，检验学生对参数方程的掌握情况；
3. 通过小组讨论和解答，了解学生的合作能力和解题思路。
教学提示：
1. 引导学生理解参数方程与直角坐标系中的关系，帮助他们建立联系；
2. 鼓励学生提出问题和思考，激发他们的学习兴趣；
3. 注重学生的实际操作和应用能力，培养他们解决实际问题的能力。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。
3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。
教学内容：1. 圆的标准方程的定义和意义。
2. 圆的标准方程的推导过程。
3. 圆的标准方程的应用实例。
教学步骤：第一章：圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念：引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念，复习圆的性质和特点。
1.2 圆的标准方程的定义：介绍圆的标准方程的定义，解释圆的标准方程的意义。
1.3 圆的标准方程的意义：引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用，以及它在实际问题中的应用。
第二章：圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程：介绍圆的参数方程的概念，引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。
2.2 圆的标准方程的推导：引导学生通过转化思想，将圆的参数方程转化为标准方程。
2.3 圆的标准方程的简化：引导学生学会简化圆的标准方程，理解圆的标准方程的不同形式。
第三章：圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质：引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质，如半径、直径等。
3.2 圆的方程与圆的位置关系：引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系，如相离、相切等。
3.3 圆的方程与圆的面积：引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积，理解圆的面积与半径的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。
2. 通过课后作业和练习题，评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。
3. 通过小组讨论和问题解答，评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示圆的标准方程的概念和意义，以及推导和应用过程。
2. 练习题库：准备丰富的练习题库，包括不同难度和类型的题目，以供学生课后练习和巩固知识。
3. 教学案例：提供一些与圆的标准方程相关的实际案例，引导学生将理论知识应用于实际问题中。
圆的参数方程及其应用
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
si2n（ θ +
）
4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
3 cos 2 sin 1 4
d
2 sin( )
4
2
2
显然当sin（ θ+ 4）=第27页/1共时32页，d 取最大值，最
小值，分别为 1 2 2 ， 2 2 1 。
,
0);
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上
y cos2
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)B、(1 , 1)，C、(1 , 1), D(1,0)
32
2 2 第3页/共32页
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
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1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
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1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
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1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
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1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
已知曲线C的参数方程是
x 3t
y
2t
2
1
(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
圆参数方程教案人教课标版(教案)
《圆的参数方程》授课方案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．授课内容解析教科书是在学习了曲线的参数方程此后，以匀速圆周运动为引子，此后依照三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。
在介绍了圆的参数方程今后，经过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题 . 在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程此后，由学生研究获得圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完满。
本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。
教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的研究过程比较简单。
本节是我们研究的第一类参数方程，故在授课中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。
别的，参数方程中参数多数都拥有几何意义或物理意义，授课中要让学生领悟怎样依照详尽问题的几何特点或物理意义选择合适的参数比较有益。
在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得简单 . 因为参数方程把曲线上点的坐标经过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点 . 教科书中的例，就是把曲线的一般方程转变成参数方程后加以解决的 . 好多问题能够作这样的转变，自然有时也把给定参数方程的问题转变成一般方程来解决 . 教科书中的例也可以直接用一般方程来解决.二．授课目的（一）知识技术目标. 理解圆心在原点 , 半径为r的圆的参数方程 , 能较熟练地求出圆心原点 , 半径为r的圆的参数方程 .. 明确参数的意义,能说明参数与圆上一点坐标变量x, y 之间的联系. . 理解圆心不在原点的圆的参数方程, 能依照圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程 .. 能将圆的参数方程与一般方程进行相互转变, 会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标. 引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生领悟求参数方程的方法和步骤 .. 经过学生谈论研究圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思想 .．例题的授课中增加变式，增强对问题的理解，获得一般性的结论.（三）感神态度价值观. 经过本节的授课互动 , 进一步培养学生观察、猜想、考据、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．授课重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、考据、证明”能力的培养 .四．授课辅助工具几何画板.五. 授课方法谈论、研究、讲练结合六. 授课过程授课情境设计和学习任务环节回忆曲线的参数方程创立的定义及怎样求曲线情境的参数方程。
圆的参数方程公开课教案（通用6篇）
圆的参数方程公开课教案圆的参数方程公开课教案（通用6篇）圆的参数方程公开课教案1㈠课时目标1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2．待定系数法之应用。
㈡问题导学问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。
—2ax—2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？① ；② 1③ 0；④ —2x+4y+4=0⑤ —2x+4y+5=0；⑥ —2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得—2ax—2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？[探索研究]将①配方得：将方程②与圆的标准方程对照。
⑴当＞0时，方程②表示圆心在（—），半径为的圆。
⑵当 =0时，方程①只表示一个点（—）。
⑶当＜0时，方程①无实数解，因此它不表示任何图形。
结论：当＞0时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的特点：⑴ 和的系数相同，不等于0；⑵没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标。
⑴ —6x=0；⑵ +2by=0（b≠0）[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为+Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
圆的参数方程及应用
例 2 若 x，y 满足 ( x 1) ( y 2) 4 ，求 2x＋y 的最值．
小结 圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式， 将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题． 训练
x＝3＋2sin θ， 1． 求原点到曲线 C： (θ 为参数)的最短距离． y＝－2＋2cos θ
(t 为参数)．其中参数 t 的物理意义是：
（2）若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 (θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 转到 的位置时，OM0 转过的角度． 时针旋
（3）若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为
【考点一】
求圆的的参数方程
2 2 2
例 1 圆 ( x r ) y r (r 0) ，点 M 在圆上，O 为原点，以∠MOx＝φ 为参数，求 圆的参数方程．
小结
1
鸡西市第十九中学题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容
x＝r＋rcos φ， 易把参数方程写成 y＝rsin φ.
2
鸡西市第十九中学高二数学组 x＝cos θ， 2．已知圆 C 与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，求实数 a 的取值范围． y＝－1＋sin θ
3
鸡西市第十九中学高二数学组
鸡西市第十九中学学案
2016 年（ 学习 目标 ）月（ ）日 班级 姓名
圆的参数方程及应用
1．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性 质求最值（数形结合）. 2．能选取适当的参数，求圆的参数方程. 重点 能选取适当的参数，求圆的参数方程. 难点 选择圆的参数方程求最值问题. （1）在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为 角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有 cos ωt＝ 点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 ，sin ωt＝ ，即圆心在原
高中数学《圆参数方程的应用》教案 新人教A版选修4
圆参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：会用圆的参数方程求最值。
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.授课类型：复习课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、最值问题 1.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
（1）求 x y的最小值与最大值（2）求x －y 的最大值与最小值2.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ；2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；3. 过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；4．若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 ；二、参数法求轨迹1)一动点在圆x 2＋y 2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2)已知点A(2,0),P 是x 2+y 2=1上任一点,AOP 的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹.C.参数法 解题思想：将要求点的坐标x,y 分别用同一个参数来表示例题：1)点P(m,n)在圆x 2+y 2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程2)方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0.若该方程表示一个圆,求m 的取值范围和圆心的轨迹方程。
三、小结：本节学习内容要求掌握1．用圆的参数方程求最值；2．用参数法求轨迹方程，消参。
四、作业：。
圆的参数方程
圆的参数方程一、圆的参数方程1、圆的参数方程的定义：说明：注意：即为给出了某个具体的点，我们把这个点和其他所有已知点集合起来组成一个新的一个未知点的坐标系，那么，此点的坐标就是用这个未知点与圆心的距离（两个条件缺一不可），我们把这个距离称之为点到圆的参数。
2、圆的参数方程的求法：步骤： p：设圆心位于原点O上，x轴从O向左引垂线与圆相交，从左向右引垂线与圆相交，使得这些垂线相交于一点C，连接C、 O和C，这样，我们就可以得到圆的方程。
n：如果将a=n， b=0，那么，即为给出了点M的坐标为p，我们可以得到这一点到原点的距离，也就是说，当x=y=0时，这一点到原点的距离等于半径r=1。
3、实例：求圆上的点到原点的距离。
4、圆的参数方程的应用： 1）、计算参数：设A为参数。
2。
计算单位圆上任一点P的坐标P= (x-1)/2，代入圆的参数方程即得。
3、应用：解决有关圆中的动点问题。
4、圆周角的计算公式：说明：在同圆或等圆中，它的两条切线的夹角的正弦值相等；它的两条切线的夹角的余弦值相等。
5、圆周角定理：说明：两个圆周角所对的弧的度数之和等于180度。
6、扇形的概念：说明：当角的顶点与边的端点重合时，它的大小叫做角的弧度，简称为弧度，记作∠A=∠B。
圆的角平分线：说明：它过圆心且垂直于切线。
弧与圆的位置关系：说明：设直线x、 y、z依次经过点A、 B、 C，其中A， B， C三点共线，则ACx=3xy。
7、圆的参数方程：对于非等距性的椭圆，当长半轴长度远大于短半轴长度时，其参数方程为： 8、椭圆的参数方程的几种特殊情况：注意： a、椭圆无参数方程。
b、参数方程两参数取同号，第三参数取异号。
c、参数方程两参数取反号，第三参数取正号。
9、比较两个椭圆的方程的异同：特别要注意：（ 1）、是否含有参数-1。
（ 2）、参数在前还是参数在后。
（ 3）、参数的符号。
10、确定参数方程的根的方法：确定参数方程的根的一般步骤是： a、分别寻找椭圆上三个点与长轴交点的横坐标（关键）。
北师大版数学高二2.2圆的参数方程的应用 教案
圆的参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：会用圆的参数方程求最值。
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.授课类型：复习课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、最值问题1.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
（1）求 xy 的最小值与最大值 （2）求x －y 的最大值与最小值2.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ；2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；3. 过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；4．若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 ；二、参数法求轨迹1)一动点在圆x 2＋y 2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2)已知点A(2,0),P 是x 2+y 2=1上任一点,AOP 的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹.C.参数法解题思想：将要求点的坐标x,y 分别用同一个参数来表示例题：1)点P(m,n)在圆x 2+y 2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程2)方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0.若该方程表示一个圆,求m 的取值范围和圆心的轨迹方程。
三、小结：本节学习内容要求掌握1．用圆的参数方程求最值；2．用参数法求轨迹方程，消参。
四、作业：。
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课题：圆的参数方程及应用
教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
教学方法：启发、诱导发现教学.
课时数：1课时
教学过程：
一、复习引入
1、曲线的参数方程的定义、求法步骤
x y
O
r
M
M0
4
2
-2
-4
-5
5
c 1
A
P
C
2、圆的方程.
3、（一）、圆的参数方程探求
1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
)(sin cos 为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。
（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？
3、若如图取<PAX=θ，AP
的斜率为K ，并阅读课本P33页。
结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例
例1、【课本P33页例3】已知两条曲线的参数方程
⎩⎨⎧==θθ
sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和⎩⎨⎧+=+=0
0245
sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) 为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x
（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。
学生练习，教师准对问题讲评。
（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）
例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值，
（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），
（1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ
θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为。
(2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ
sin （ θ + 4
π
）∴ x+y 的最大值为
，最小
值为。
(3)2
|
)4
sin(24|2
|
1sin 2cos 3|π
θθθ++=
-+++=
d
显然当1)4
sin(±=+
π
θ时，d
取最大值，最小值，分别为1+
1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2
+y 2
-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为
最短的直线方程是__________；
3、若实数x ,y 满足x 2
+y 2
-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。
（三）、课堂练习：学生练习：1、2
（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。
2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
从中体会参数的意义。
3、利用参数方程求最值。
要求大家掌握方法和步骤。
（五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5
1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线
2、已知)(sin cos 2为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。
3cos 2sin x y θθ
=+⎧⎨
=+⎩
8．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθ
θ
⎩⎨⎧+==y x
感谢您的阅读，祝您生活愉快。