示范 公开课教案( 集合的基本运算)

1.1.3 集合的基本运算

整体设计

教学分析

课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.

值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.

三维目标

1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.

2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.

重点难点

教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.

教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合

是否也可以“相加”呢?

教师直接点出课题.

思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?

(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.

引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.

思路3.(1)①如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？

图1-1-3-1

②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.

(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.

②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.

推进新课

新知探究

提出问题

①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？

②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.

③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.

④试用Venn图表示A∪B=C.

⑤请给出集合的并集定义.

⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？

请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？

(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};

(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.

⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.

活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.

讨论结果：

①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并

B.

②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.

③C={x|x∈A,或x∈B}.

④如图1131所示.

⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1131所示.

⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.

⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.

其含义用符号表示为:

A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

用Venn图表示,如图1132所示.

图1-1-3-2

应用示例

思路1

1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.

图1-1-3-3

活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于V enn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.

解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.

点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用V enn图或直接观察得到结果.

本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.

变式训练

1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.

答案：{-1,1,2,3,5,6,7} ?

2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.

-,0.因m=1不合题意,故舍去.

分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,2,2

-,0

答案：-1,2,2

3.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为( )

A.2

B.5

C.7

D.9

分析:∵A∪B={0,2},∴A?{0,2}.则A=?或A={0}或A={2}或A={0,2}.当A=?时,B={0,2};当A={0}时,则集合B={2}或{0,2};当A={2}时,则集合B={0}或{0,2};当A={0,2}时,则集合B=?或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.

答案：D

4.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )

A.1

B.3

C.4

D.8

分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3?A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A={1,2}的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.

答案：C

2.设A={x|-1

活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将A、B分别表示出来,则阴影部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集.

解：将A={x|-1

图1-1-3-4

由图得A∪B={x|-1

A∩B={x|-1

点评：本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,运算时常利用数轴来计算结果.

变式训练

1.设A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求A∪B,A∩B.

答案：A∪B=R,A∩B={x|2

2.设A={x|2x-4=2},B={x|2x-4=0},求A∪B,A∩B.

答案：A∪B={3,2},A∩B=?.

3.2007惠州高三第一次调研考试,文1设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )

A.［0,2］

B.［1,2］

C.［0,4］

D.［1,4］

分析:在同一条数轴上表示出集合A、B,如图1135所示.由图得A∩B=［0,2］.

图1-1-3-5

答案：A

课本P11例6、例7.

思路2

1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?

活动：

学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.

解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图1136所示,所以A∩B={x|00},A∩B∩C=?.

图1-1-3-6

点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.

变式训练

1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.

解：对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,

即对任意m∈A有m∈B,所以A?B.

而10∈B但10?A,即A B,那么A∩B=A,A∪B=B.

2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.

3.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.

解：因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,

a=10或a=±3,

当a=10时,a-5=5,1-a=-9;

当a=3时,a-1=2不合题意.

当a=-3时,a-1=-4不合题意.

故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.

4.2006北京高考,文1设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3

A.{x|-3

B.{x|1

C.{x|x>-3}

D.{x|x<1}

分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},

观察或由数轴得A∩B={x|-3

答案：A

2.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.

活动：

明确集合A 、B 中的元素,教师和学生共同探讨满足A∩B=B 的集合A 、B 的关系.集合A 是方程x 2+4x=0的解组成的集合,可以发现,B ?A,通过分类讨论集合B 是否为空集来求a 的值.利用集合的表示法来认识集合A 、B 均是方程的解集,通过画Venn 图发现集合A 、B 的关系,从数轴上分析求得a 的值.

解：由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B ?A.∴B=?或B≠?.

当B=?时,即关于x 的方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0无实数解,

则Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1.

当B≠?时,若集合B 仅含有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,解得a=-1,

此时,B={x|x 2=0}={0}?A,即a=-1符合题意.

若集合B 含有两个元素,则这两个元素是-4,0,

即关于x 的方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的解是-4,0.

则有???=?+=+ 1.

-a 04-1),-2(a 04-2 解得a=1,则a=1符合题意.

综上所得,a=1或a≤-1.

变式训练

1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a -5},B={x|3≤x≤22},则能使A ?(A∩B)成立的所有a 值的集合是什么？

解：由题意知A ?(A∩B),即A ?B,A 非空,利用数轴得??

???≤-≥+-≤+.2253,312,5312a a a a 解得6≤a≤9,

即所有a 值的集合是{a|6≤a≤9}.

2.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m -1},且A ∪B=A,试求实数m 的取值范围. 分析:由A ∪B=A 得B ?A,则有B=?或B≠?,因此对集合B 分类讨论.

解：∵A ∪B=A,∴B ?A.

又∵A={x|-2≤x≤5}≠?,∴B=?,或B≠?.

当B=?时,有m+1>2m-1,∴m<2.

当B≠?时,观察图

1-1-3-7:

图1-1-3-7

由数轴可得??

???≤-+≤--≤+.512,12,121m m m m 解得-2≤m≤3.

综上所述,实数m 的取值范围是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.

点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.

知能训练

课本P 11练习1、2、3.

【补充练习】

1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},

(1)求A∩B,A∪B.

(2)用适当的符号(?、?)填空:

A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B. 解：(1)因A、B的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,

则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,

故A∪B={3,4,5,6,7,8}.

(2)由文氏图可知

A∩B?A,B?A∩B,A∪B?A,A∪B?B,A∩B?A∪B.

2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.

解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,

故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.

解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分. 所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=?.

4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.

解：在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.

5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.

解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.

6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.

分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.

解：∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2), (2,1)}.

7.2006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )

A.A?C

B.C?A

C.A≠C

D.A=?

分析:思路一:∵(B∩C)?B,(B∩C)?C,A∪B=B∩C,

∴A∪B?B,A∪B?C.∴A?B?C.∴A?C.

思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,

令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,

而此时A=C,排除C.

答案：A

拓展提升

观察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;

(2)当A=?时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;

(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.

由(1)(2)(3)你发现了什么结论？

活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足A?B,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现A∩B,A∪B与集合A,B的关系.

图1-1-3-8

解：A∩B=A?A?B?A∪B=B.

可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:

A∪B=B∪A,A?(A∪B),B?(A∪B);A∪A=A,A∪?=A,A?B?A∪B=B;

A∩B=B∩A;(A∩B)?A,(A∩B)?B;A∩A=A;A∩?=?;A?B?A∩B=A.

课堂小结

本节主要学习了:

1.集合的交集和并集.

2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.

作业

1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？

2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.

3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.

设计感想

由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.

(设计者：尚大志)