线性系统理论论文 ——永磁同步电机的全维状态观测器设计

永磁同步电机的全维状态观测器设计在环境污染和能源危机日益严重的今天，节能减排是大势所趋，而永磁同步电机高启动转矩、高效率、高功率因数和低惯性的优点正好可以满足节能减排的需求，因而有关永磁同步电机的研究越来越多，同时稀土永磁材料和微电子技术的快速发展，也使得永磁同步电机的飞速发展成为现实，它的使用范围也逐渐扩展至交通运输，航空，军事和民用等重要领域。

不同的电机控制策略对应着不同的控制效果，所以采用何种控制策略来使永磁同步电机具有高效、高节能、高稳定性的性能就成为了学者们的研究热点。目前常见的电机控制方式为矢量控制(FOC)和直接转矩控制(DTC)。

对于永磁同步电机 DTC 来说，理想状况下转矩在全速范围内应该是稳定不变的。然而受时滞现象和不同速度区域内工作状态的影响，实际中电机转矩并不是稳定的。因此如何减小转矩脉动、提高全速范围内转矩的稳定性能是永磁电机DTC 研究的重点。本文拟用降维状态观测器构建基于状态观测器的永磁同步电机直接转矩控制系统，并验证其准确性。

1. 永磁同步电机的分类和结构特点

永磁同步电机与其他电机一样都是由定子和转子组成，其中定子是三相对称的绕组并且通常接成 Y 型，转子为永磁体结构。当定子绕组中通以三相正弦交流电时会产生均匀旋转的磁场，这个磁场和转子永磁体磁场相互作用就会产生一个转矩来推动转子不断地旋转。目前转子上的永磁体有三种安放方式,每一种安放方式都对应各自的电机制造工艺、适用场所、运行性能、控制方法，因此根据永磁体的安放方式可将电机分为以下三类：

图 1 三种电机的内部结构

其中a为插入式，b为表面式，c为内置式图1(a)描述的是插入式永磁同步电机。插入式永磁同步电机，即永磁体插入或部分插入转子中，故而它的结构要比表面式永磁电机稳定。从电磁性能上来说，其属于凸极式永磁电机，转子磁路不对称，有磁阻转矩且其交、直轴电感不同。由于其磁通密度大，所产生的转矩也较大，比较适合有高转速需求的场合。

图1(b)描述的是表面式永磁电机。表面式永磁电机，即永磁体位于转子的表面，结构不太稳定。从电磁性能上来说，其属于隐极式永磁电机，转子磁路对称，交、直轴电感值是相同的，且没有磁阻转矩，这些特性都是插入式电机不具有的。由于这种电机结构和工艺都很简单，成本也低，故而在中小功率伺服电机中使用较多。本文主要研究的就是这类隐极式电机的转矩控制。

图1(c)描述的是内置式永磁同步电机，顾名思义即永磁体位于转子内的电机。这种电机具有高的机械强度，磁路气隙小，因而在弱磁控制中使用较多。从电磁性能上来说，其与插入式电机同属于凸极式电机，交、直轴电感不同，而且其交直轴电感之差要比插入式电机大很多，凸极性最强，因而比较有利于无传感器的控制，但是还需要注意的一点，它的结构是三种电机中最复杂的，因此价格较为昂贵。

2. 永磁同步电机的数学模型

数学模型是对被研究系统的一种近似模拟，它能够反应出实际控制系统中所有物理变量之间的因果关系和性能，因而可以通过分析永磁同步电机的数学模型来近似的分析永磁同步电机的性能。

实际控制中，永磁同步电动机并不是简单的线性时不变系统，它是一个随时间变化的高阶非线性系统，具有很多的控制变量，且变量之间耦合性极强。

因而为了使电机的分析过程简单化，通常情况下，可以作如下假设：

1）忽略电机涡流效应，不考虑磁路饱和，不计磁滞损耗等；

2）定子三相绕组的结构、参数完全一样，且任意相邻两相绕组中心轴线之间的夹角均为 120 度，定子电流在气隙中产生正弦分布的感应电动势；

3）转子上无阻尼绕组，且转子上电阻率很大，近似为无穷，转子永磁体产

生的磁场为正弦形；

4）电机运行环境是理想的，电机参数不受环境影响。

两相静止坐标系下的电压方程为：

(1)

其中T s s u u αβ????为α，β轴电压矢量分量，T s s i i α

β????为α，β轴电流矢量分量，T s s αβψψ????为α，β轴定子磁链矢量分量，p 为微分算子。

定子磁链方程为

(2)

对于本文的研究电机来说，交直轴电感相同，即d q s L L L ==，则定子磁链方程可

以简化为

(3)

电机电磁转矩方程为

(4)

将定子磁链方式3代入电压方程1中，整理后可以得到αβ-坐标系下的定子电流方程：

(5)

将式3中等号左右交换后得到：

(6)

将式5右端中含有转子电角度信号的一项用式6代替后可以得到：

(7)

此时若将电流方程7和电压方程1联立，则可以得到永磁同步电机的状态空间表达式：

(8) 其中：

(9)

(10)

由上式可以知道，永磁同步电机系统是一个以定子电流和定子磁链为状态变量，电机瞬时电压为输入量，定子电流为输出量的时变系统。考虑到永磁电机的电磁时间常数和机械时间常数之间差很多数量级，并且一个周期内电机的定子电阻和电感的变化非常缓慢，因此可以把永磁电机系统8看成是一个线性时不变系统。由现代控制理论可知，要想实现系统的状态反馈就必须能够实时提供状态量的瞬态值。而对于方程8所描述的永磁同步电动机来说，其状态量是定子电流和定子磁链，这就意味着需要实时提供定子电压和定子电流的瞬时值来反馈给系

统。然而在实际控制中，永磁同步电机状态量中的定子磁链的瞬态值是不能够直接测量的，因此需要引入定子电流和定子磁链的状态重构来估计其瞬态值。状态重构不需要直接测量定子电流和定子磁链的瞬态值，只需要提供与它们有关的其他量，输入给状态观测器，由状态观测器构造出定子电流和定子磁链瞬态值，从而代替实际值。所以要想实现状态重构首先需要构造一个状态观测器。

对 4 维连续时间线性时不变永磁同步电机系统8来说，

(11)

(12)

根据能观测性秩判据可以判断，系统完全能观测。因此可以构造一个与系统8具有相同表达形式的重构系统：

(13)

其中

(14)

根据状态观测器的原理可以构造出一个如图2所示的全维状态观测器。从图 2可以看出，状态观测器实际上有两个输入，即实际的电压矢量分量s u α,s u β和电流矢量分量s i α,s i β，输出量为重构的状态变量s αψ，s β

ψ，s i α，s i β。L 为输出反馈增益矩阵，它把()w t 反馈给 ()^x t ，然后通过4 个积分器重构这 4 个状态

变量，使这四个状态量尽快的跟踪上实际的状态量。

图 2 全维状态观测器结构图

用方程形式描述图2所示的全维状态观测器，则有：

(15)

由被观测系统的状态方程8和全维观测器状态方程15可以得到观测器的观测误差~

x 的状态方程为：

(16)

如果预先给定状态观测器的4个期望特征值*1

,2,3,4i i λ=（），此时令*()(1,2,3,4)i i A LC i λλ-==就可以确定一个反馈增益矩阵L ，最终使观测误差能够快速的稳定的收敛至0。

为了便于计算，可以将矩阵形式的永磁电机的状态方程8和状态观测器方程15转换为矢量形式：

(17)

(18) 其中：

(19) 同样假设矢量形式的状态观测器反馈增益矩阵 L 为：

(20) 将其带入式18所表示的全维状态观测器模型中，整理后可得到

(21) 设计观测器时，为了使观测误差能够快速的稳定的收敛至 0，通常情况下系统极点应该位于复平面 S 的左半部分，且观测器的极点和电机的极点是 k 倍(k>1)的正比关系。由极点配置要求得到下式：

(22) 整理后可以得到如下对应关系：

(23)

则可以得到全阶定子磁链观测器的4阶系数矩阵A-LC为：

(24) 则有

(25) 3. 全维状态观测器的仿真分析

电机的具体设置如下:

额定电压300V；额定转速为1000r/m；给定的定子磁链幅值为1.4Wb；转子磁链幅值为0.1717Wb，定子电阻为28欧姆，定子电感为0.0085H，转动惯量为0.0000226(Kg*m2)，极对数为2，仿真时间0.4s。

仿真后可以得到定子磁链和定子电流的跟踪曲线，定子磁链定子电流的观测误差曲线的仿真结果如下：

图3 定子磁链跟踪曲线

图4 定子磁链误差曲线

图5 定子电流跟踪曲线

图6 定子电流误差曲线

从图3可以看出定子磁链幅值的重构状态曲线在0.05s 左右就大致和实际的定子磁链幅值曲线重合。从图4可以进一步看出定子磁链幅值的观测误差在0.05s 左右就趋近于稳定状态，并一直在0.02到-0.02间波动，说明定子磁链的重构状态的跟随效果很好，可以用它来代替实际的定子磁链状态。同理由图5

和6可知定子电流的重构状态也大致是在0.05s 跟踪上实际电流状态。由此可知所设计的全维状态观测器是正确的并且具有很高的实用价值。

4. 小结

本文将定子电流和定子磁链方程式联立，得到了以定子电流和定子磁链为状态变量，电机电压为输入变量，定子电流为输出变量的系统状态空间方程。然后在此状态空间方程的基础上构建了全维状态观测器，通过极点配置方法求得了观测器的反馈增益矩阵，然后利用Simulink 仿真验证了观测器的磁链观测性能，且磁链误差的收敛速度较快。