第一讲--认识三角形-七年级下-北师大版-复习课教案-分类经典必考题目

三角形（一）

知识网络：

一、三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。

判断三线段能否构成三角形方法：较短两段之和是否大于最长线段。

二、三角形中的角的关系：

(1)三角形的三个内角的和等于180°；

（2）三角形的外角和等于3600；

（3）三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和；

（4）三角形的一个外角大于不相邻的内角.

三、三角形三线：

（1）有三条角平分线，交于一点，在三角形的内部；

（2）有三条中线，交于一点，在三角形内部；

（3）有三条高线，交于一点，在锐角三角形的内部、在直角三角形的直角顶点处、在钝角三角形的外部.

四、三角形分类：

1、按角分类：（1）锐角三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形.

2、按边分类：（1）不等边三角形；（2）等腰三角形；（3）等边三角形.

？

五、全等图形：能够重合的两个图形称为全等图形.（全等图形的形状和大小都相同）

【典型例题】

一．边的大小关系，范围讨论

例1下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗为什么（单位：cm）

（1）1，3， 3 （）

（2）3，4，7 （）

（3）5，9，13 （）

（4）11，12，22 （）

（5）14，15，30 （）

例2下列命题：

（1）只有两个三角形才能完全重合；

（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；

（3）两个正方形一定是全等形；

（4）边数相同的图形一定能互相重合.

其中错误命题的个数是（）

个个个个

例3已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是；若X 是奇数，则X的值是，这样的三角形有个；若X是偶数，则X的值

是；这样的三角形又有个。

例4一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少

例5如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，

求AC 的长．

过手变式练习：

1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________

2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______

3 已知△ABC 有两边长分别为2,7，另一边长是关于x 的方程（3x-m ）+2=2（x+1）的解，求m 的取值范围

4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a

5 从长度分别为2,34,5的四条线段中，任选三条，能组成三角形的概率是___________________

6 在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点，求证AB+BC+AC ＞2AD

7 三角形的三边长都为自然数，其中一边是4（但不是最短边），这样的三角形共有几个

(

8 已知在△ABC 中，0106162

22=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+

二．角的关系

例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数.

例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB ＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE 的度数．

例3（1）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= （）

°°°°

D E

例4.一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°

）

过手变式练习：

∠A=120°，∠B=45°，∠E=33°，∠F=108°，求∠COD的度数

2、如图，已知∠E＋∠F＝∠H，求：∠A＋∠B＋∠ACD＋∠CDG的度数．

3、如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于

M、N．解答下列问题：(1)若∠D＝40，∠B＝36，求∠P的度数；

(2)如果图中的∠D和∠B为任意角时，其它条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在

着怎样的数量关系（直接写出结论即可）

】

4、如图，BD是△ABC中∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，它与

BD的延长线交于点D，我们将会得到∠A＝2∠D这一结论，试想一想为什么并加以说明．

5（1）在△ＡＢＣ中，∠A-∠B=20°，∠B-∠C=20°，求∠A 和∠C 的度数。

（2）在△ＡＢＣ中，C B A ∠=∠=

∠3

21，试判断△ABC 的形状。（3）在△ＡＢＣ中，C B A ∠=∠=∠32，试判断△ABC 的形状。三．角平分线和中线注意：

1 三角形角平分线和角的平分线的区别：

2 在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于O ，则∠BOC=90°+1/2∠A

例1 已知D 是△ABC 的边BC 的中点，且ADC S ?=10，求ABC S ?

例2 如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，根据下列条件，求∠BIC 的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC= ；

（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=

（3）若∠A=50°，则∠BIC=

（4）若∠A=110°则∠BIC=

（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A ，求∠BIC 的公式是：∠BIC=

《

（6）如图，若BP ，CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线，交于点P ，若已知∠A ，则求∠BPC 的公式是：∠BPC=．

过手变式练习：

1 在一个钝角三角形，已知一个锐角是30°，则另一个锐角α的取值范围是：

2 在△ABC 中，已知∠C=90°，∠BAD=1/3∠BAE, ∠ABD=1/3∠ABF,则∠D

3—

4在△ABC中，已知∠C=90°，AD平分∠BAC，且∠B=3∠ＢＡＤ，求∠ＡＤＣ的度数

４在△ABC中，已知CE⊥AB于E点，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线

，

求证EDF与＝∠BDF

5（2011?怀化）如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系

6 如图，D是△ABC的BC边上的一点，且AD=BD=CA，∠BAC=63°．求∠DAC的度数．

高线，面积

例1如图，AD,AE分别是△ABC的高和中线,已知AD=5cm,EC=2cm

（１）求△ＡＢＥ和△ＡＥＣ有面积；

（２）它们面积之间存在什么结论？

（３）由此你有什么猜想

过手变式练习：

１在三角形ABC中,已知三条高AD、BF、CE相交于点O,求∠1+∠2+∠3的度数

】

２在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC（∠C＞∠B）

试研究（1）∠EAD与∠C，∠B的关系；

（2）若F是AE上一动点，①若F移动到AE之间的位置时，FD⊥BD，此时∠EAD与∠C，∠B的关系如何②若F继续移动到AE的延长线上时，FD⊥BD，①中的结论是否还成立说明理由

3 (2005 聊城) D，E分别是BC，AD的中点，F为CE的三等分点,S△ABC=4，则S△BEF=

4 在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为

是等边三角形ABC内任意一点,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC高AM⊥BC,求证OD+OE+OF=AM

6.分别以2 cm、3 cm、4 cm、5 cm的线段为边可构成________个三角形.

【

课后练习：

1.在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B=________.

2.两根木棒的长分别是7cm和9 cm，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为________cm.

3.有三个三角形,它们的两个内角的度数分别是：①30°和50°②70°和20°；③82°和23°,其中属于锐角三角形的是________.

4.在△ABC中，若∠C=

∠B=

∠A，则△ABC是________三角形(按角分类).

5.如图1所示，CD是△ABC的高，且CD＝5，S△ABC＝25，则AB＝________.

6.如图2所示, BE、CD是角平分线，∠A＝80°,则∠1＋∠2＝________.

7.如图3所示,在△ABC中，CD⊥AB，∠ACB＝86°,∠B=20°,则∠ACD＝______.

A B

B C

D E

12A B

图1 图2 图3

8.如图所示，其中∠1＝________.

65o

100o

9．一定在△ABC内部的线段是（）

A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线

C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高

D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

10．下列说法中，正确的是（）

A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形

B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形

C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形

D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形

[

11．下列说法正确的个数为（）

（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形

（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形

（3）所有的正六边形是全等形

（4）面积相等的两个正方形是全等形

个个个个

12.在三角形的角平分线、中线、高线中，属于直线的有(每种线只有一条)

条条条条

…

13.现有两根木棒分别长40 cm和50 cm，要从下列长度的木棒中选出一条，与前面两根木棒钉成一个三角架(木棒不能余)，则可选出( )

①5 cm ②10 cm ③40 cm ④45 cm ⑤80 cm ⑥90 cm

条条条条

14.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是( )

A.至少有一个直角

B.至少有一个钝角

C.至多有两个锐角

D.至少有两个锐角

15.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于( )

°°°°

16.如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD是△ABC的( )

1 2 3 4

B C

A.高

B.角平分线

C.中线

D.以上都不是

17.若三角形的三边分别为x－1、x、x+1(x＞1),则x的取值范围是（）

＞1 ＜x＜2 ＞2 ≥2

18.一个三角形中最小角不能大于( )

°°°°

19.小明说：有这样一个三角形，它两条边上的高的交点正好是该三角形的一个顶点.你认为小明说的这个三角形一定( )

（

A.是钝角三角形

B.是直角三角形

C.是锐角三角形

D.不存在

20.在△ABC

中，∠A ＝

31∠B ＝5

∠C ，则△ABC 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对

21.如图所示，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD 为 ( )

A.边AC 上的高

B.边BC 上的高

C.边AB 上的高

D.不是△ABC 的高

22.如图所示，CE 平分∠ACD ,F 为CA 延长线上一点，FG ∥CE 交AB 于点G ，∠ACD ＝100°,∠AGF =20°,你能求出∠B 的度数吗若能求，请写出求解过程；若不能求，请说明理由.

C D E

23．一个三角形的周长为36cm

，三边之比为a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 、b 、c ．

24．如图，豫东有四个村庄A 、B 、C 、D ．现在要建造一个水塔P ．请回答水塔P 应建在何位置，才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和

理由．

》

【家庭作业】

1.有两条线段的长分别为a =8 cm,b =6 cm,要选一条线段c ，使a 、b 、c 构成一个三角形，则c 的取值范围应是________.

2．已知△ABC 的周长为48cm ，最大边与最小边之差为14cm ，另一边与最小边之和为25cm ，求△ABC 各边的长．

3．三角形所有外角的和是（） A ．180° B ．360° C ．720° D ．540°

4．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）

A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜180°

）

C．60°＜α＜90°D．60°≤α＜90

5．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（）

A．锐角或直角三角形B．钝角或锐角三角形

C．直角三角形D．钝角或直角三角形

6．已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（）

A．小于直角B．等于直角C．大于直角D．大于或等于直角

7．如图，∠ABC＝∠ADC＝∠FEC＝90°．

（1）在△ABC中，BC边上的高是________；

（

（2）在△AEC中，AE边上的高是________；

（3）在△FEC中，EC边上的高是________；

（4）若AB＝CD＝3，AE＝5，则△AEC的面积为_____.

8．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的

三角形有（）

A．4对B．5对C．6对D．7对

9．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定

10．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（）

A．a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）B．三条线段的比为4∶6∶10

C．3cm，8cm，10cm D．3a，5a，2a＋1（a＞0）

11．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（）

A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定

12．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4cm，2

S，求△ABD中AB边上的高。

12cm

?ABC

13 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

14 在△ABC中，已知C是ＢＤ上的一点，A是ＢＦ延长线上的一点，连接ＡＣ于点Ｅ，且∠Ｂ＝４２°，∠Ｄ＝５９°，∠ＤＥＣ＝４７°，求∠Ｆ的度数

15 如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，则∠3度数等于（）

，

16 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=（）

17 如图1，有一个五角星ABCDE，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗如图2、图3，如果点B向右移到AC上，或AC的另一侧时，上述结论仍然成立吗请分别说明理由．

18 在三角形ABC中,已知三条高AD、BF、CE相交于点O,求∠1+∠2+∠3的度数。

19 如图所示，△ABC中，AB＝AC，BE、CD是△ABC的中线，下列结论不正确的有（）

=S△BDC △ABE=S△CBE△BDF=S△CEF △ADE=S△BDC △ADC

B C