高中数学概念公式大全

高中数学概念公式大全 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

高中数学概念公式大全

一、 三角函数

1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角

坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则

sin α=

r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r

，

csc α=

y

r

。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：

1cos sin 22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；

倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，

1sec cos =?αα；

相除关系是：αααcos sin =

tg ，α

α

αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin(

απαcos -，)2

15(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是

B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是

π

ω

2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的

交点都是该图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是??????

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是??

???

?

++2322

2ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是

[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

tgx y =的递增区间是??? ?

?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的

递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2?

cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=

α2sin 21-

tg2α=

α

α

212tg tg -。

8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43- 9、半角公式是：sin

2α=2

cos 1α

-± cos

2α=2

cos 1α+± tg 2α=α

αcos 1cos 1+-±=αα

sin cos 1-=ααcos 1sin +。 10、升幂公式是：2

cos 2cos 12

α

α=+

2

sin 2cos 12

α

α=-。

11、降幂公式是：2

2cos 1sin 2α

α-=

2

2cos 1cos 2α

α+=

。 12、万能公式：sin α=

2

12

22

α

α

tg tg

+ cos α=

2

1212

2

α

αtg tg +- tg α=

2

12

22α

α

tg

tg

-

13、sin(βα+)sin(βα-)=βα22sin sin -，

cos(βα+)cos(βα-)=βα22sin cos -=αβ22sin cos -。

14、)60sin()60sin(sin 400ααα+-=α3sin ； )60cos()60cos(cos 400ααα+-=α3cos ； )60()60(00ααα+-tg tg tg =α3tg 。 15、ααtg ctg -=α22ctg 。 16、sin180=

4

1

5-。 17、特殊角的三角函数值：

18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式，2b =B ac c a cos 222-+

由余弦定理第二形式，cosB=ac

b c a 22

22-+

20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切

圆半径用r 表示，半周长用p 表示则：

① =?=a h a S 21；② ==A bc S sin 2

1； ③C B A R S sin sin sin 22=；④R

abc

S 4=

； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S = 21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，

A c C a b cos cos ?+?=，…

22、在△ABC 中，B A B A sin sin

-tgC B)+tg(A -cosC B)+cos(A sinC

=B)+sin(A ==

24、积化和差公式：

①)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=?，

②)]sin()[sin(21

sin cos βαβαβα--+=?，

③)]cos()[cos(21

cos cos βαβαβα-++=?，

④)]cos()[cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-=?。

25、和差化积公式：

①2cos

2sin

2sin sin y

x y x y x -?+=+， ②2sin

2cos 2sin sin y

x y x y x -?+=-， ③2cos 2cos 2cos cos y

x y x y x -?+=+， ④2

sin 2sin 2cos cos y

x y x y x -?+-=-。

二、 函数

1、若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的

子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是

a b

x 2-=，顶点坐标是???

? ??--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即

（一般式）c bx ax x f ++=2)(，

（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()(

（顶点式）。

2、幂函数n

m

x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m

其大致图象是

3、函数652+-=x x y 的大致图象是

由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是

)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。

三、 反三角函数

1、x y arcsin =的定义域是[-1，1]，值域是]2

2[π

π，-，奇函

数，增函数；

x y arccos =的定义域是[-1，1]，值域是]0[π，，非奇非偶，减函数；

arctgx y =的定义域是R ，值域是)2

2(π

π，-，奇函数，增

函数；

arcctgx y =的定义域是R ，值域是)0(π，，非奇非偶，减函数。

2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，

； 对任意的R x ∈，有：

当x

arctgx ctg x

arcctgx tg x 1)(1

)(0==≠，时，有：。 3、最简三角方程的解集：

四、 不等式

1、若n 为正奇数，由b a <可推出n n b a <吗 （ 能 ） 若n 为正偶数呢 （b a 、仅当均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗 （不能）

能相加吗 （ 能 ）

能相乘吗 （能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：

ab b

a ≥+2

三个正数的均值不等式是：

3

3

abc c b a ≥++

n 个正数的均值不等式是：

n

n n a a a n

a a a 2121≥+++

4、两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、双向不等式是：b a b a b a +≤±≤-

左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号。

五、 数列

1、等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，前n 项和公式是：2)(1n n a a n S +=

=d n n na )1(2

1

1-+。 2、等比数列的通项公式是11-=n n q a a ，

前n 项和公式是：???

??≠--==)

1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n

3、当等比数列{}n a 的公比q 满足q <1时，

n n S ∞

→lim =S=

q

a -11

。一般地，如果无穷数列{}n a 的前n 项和的极限n n S ∞

→lim 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和

（或所有项的和），用S 表示，即S=n n S ∞

→lim 。

4、若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么：当数列{}n a 是等差数列时，有q p n m a a a a +=+；当数列{}n a 是等比数列时，有q p n m a a a a ?=?。

5、等差数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =60；

6、等比数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =70；

六、 复数

1、n i 怎样计算（先求n 被4除所得的余数，r r k i i =+4）

2、i i 2

3

21232121--=+

-=ωω、是1的两个虚立方根，并且：

3、复数集内的三角形不等式是：

212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对

应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

4、棣莫佛定理是：

[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n

∈+=+θθθθ

5、若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n

个，即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系

都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。

6、若121)3

sin 3(cos 32z i z z ?+==π

π，，复数z 1、z 2对应的点

分别是A 、B ，则△AOB （O 为坐标原点）的面积是

333

sin 6221=???π

。 7、z z ?=2

z 。

8、复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹：

①?=)(arg 为实常数θθz 轨迹为一条射线。

②?=-是实常数）是复常数，θθ00()arg(z z z 轨迹为一条射线。

③?=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆。

④?-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线。 ⑤?=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在。

⑥?=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b) 当

212z z a -=时，轨迹为两条射线；c) 当212z z a ->时，

轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形有什么特点

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：m n P =)1()1(+--m n n n =

！

！

)(m n n -；

排列数与组合数的关系是：m n m n C m P ?=！

组合数公式是：m

n C =

m

m n n n ???+-- 21)

1()1(=！！！)(m n m n -?； 组合数性质：m n C =m n n C - m

n C +1-m n C =m n C 1+

∑=n

r r

n C

=n 2 r n rC =1

1--r n nC

3、二项式定理：

n

n n r r n r n n n n n n n n b

C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =

八、 解析几何

1、沙尔公式：A B x x AB -=

2、数轴上两点间距离公式：A B x x AB -=

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：

22122121)()(y y x x P P -+-=

4、若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ=

2

1PP P

P 5、 若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段

21P P 成定比λ，则：λ=

x x x x --21=y

y y y --21

； 6、 x =

λ

λ++12

1x x y =

λ

λ++12

1y y 若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是??

?

??++++33321321y y y x x x ，。 6、求直线斜率的定义式为k=αtg ，两点式为k=1

21

2x x y y --。 7、直线方程的几种形式：

点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y += 两点式：

1

21121x x x x y y y y --=

--， 截距式：1=+b y

a x 一般式：0=++C By Ax

经过两条直线

0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：和：的交点的直线

系方程是：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ

8、直线222111b x k y l b x k y l +=+=：，：，则从直线1l 到直线2

l 的角θ满足：2

11

21k k k k tg +-=

θ

直线1l 与2l 的夹角θ满足：2

11

21k k k k tg +-=

θ

直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：，则从直线1l 到直线2l 的角θ满足：21211

221B B A A B A B A tg +-=θ

直线1l 与2l 的夹角θ满足：2

1211

221B B A A B A B A tg +-=

θ

9、点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：

10、两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离是

11、圆的标准方程是：222)()(r b y a x =-+-

圆的一般方程是：

)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x

其中，半径是2

422F

E D r -+=

，圆心坐标是

??? ??--22

E D

， 思考：方程022=++++F Ey Dx y x 在0422=-+F E D 和0422<-+F E D 时各表示怎样的图形

12、若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是

经过两个圆

011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x

的交点的圆系方程是：

经过直线0=++C By Ax l ：与圆

022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ

13、圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是 一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：02

20

000=++?++?

-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

例如，抛物线x y 42=的以点)21(，P 为切点的切线方程是：

2

1

42+?

=x y ，即：1+=x y 。 注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即： ①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：，，px y px y 2222-==

16、抛物线px y 22=的焦点坐标是：??

? ??02

，

p

，准线方程是：2

p x -

=。 若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛

物线的焦点的距离（称为焦半径）是：2

0p

x +

，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：p 2。

17、椭圆标准方程的两种形式是：122

22=+b

y a x 和

12

2

22=+b x a y )0(>>b a 。

18、椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线

方程是c a x 2±=，离心率是a

c

e =，通径的长是a b 22。其中

222b a c -=。

19、若点),(00y x P 是椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 上一点，

21F F 、是其左、右焦点，则点P 的焦半径的长是

01ex a PF +=和02ex a PF -=。

20、双曲线标准方程的两种形式是：122

22=-b

y a x 和

122

22=-b

x a y )00(>>b a ，。

21、双曲线122

22=-b

y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是

c a x 2±=，离心率是a

c

e =，通径的长是a b 22，渐近线

方程是022

22=-b

y a x 。其中222b a c +=。

22、与双曲线122

22=-b

y a x 共渐近线的双曲线系方程是

λ=-2222b y a x )0(≠λ。与双曲线122

22=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122

2

2=--+k

b y k a x 。 23、若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，

B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=； 若直线t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，

B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(y y m AB -+=。 24、圆锥曲线的焦参数p 的几何意义是焦点到准线的距

离，对于椭圆和双曲线都有：c

b p 2

=。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点O '在原坐标系下的

坐标是（h ，k ），若点P 在原坐标系下的坐标是