答：可分拓扑空间的商空间必定可分。可分拓扑空
问题三：
1． 可分拓扑空间的子空间不一定是可分的。
答：可分拓扑空间的商空间必定可分。可分拓扑空间的开子空间也一定可分。但是，可分拓扑空间的闭子空间未必可分。证明和反例如下：
（1） 可分拓扑空间的商空间必定可分。
设X 是拓扑空间，～是X 上的等价关系，A 是X 的可数稠密子集，则A X =。令{[]|}B x x A =∈，则B 是可数集，下证X B =～。事实上，[]X x ?∈～，对[]x 的任意一个开邻域U ，有1()p U ?是x 的开邻域，于是1()p U A ?≠?∩。设1()y p U A ?∈∩，则[]y U B ∈∩，故U B ≠?∩，于是[]x B ∈，从而X B =～。所以X ～可分。
（2） 可分拓扑空间的开子空间也一定可分。 设X 是拓扑空间，C 是X 中的非空开集，A 是X 的可数稠密子集，则A X =。令B A C =∩，则B 是可数集，下证B C =。事实上，x C ?∈，对x 的任意一个开邻域U （在C 中），U 也是x 在X 中的开邻域，从而U C ∩是x 在X 中的开邻域。因A X =，故()U C A ≠?∩∩，于是
()U B U C A =≠?∩∩∩，故x B ∈，所以B C =。故C 是可分空间。
（3） 可分拓扑空间的闭子空间未必可分。
反例：设X 为不可数集，p X ∈。命X 的开集为?以及含有点p 的任意子集。易见，单点集{}p 在X 中稠密，从而X 可分。又，{}X p ?是X 的闭子空间，因X 不可数，{}X p ?中的任意一个子集既是开集，又是闭集，故{}X p ?不可分。
2． 设X 是拓扑空间，,A B 为X 的非空闭子集，A B ∪和
A B ∩连通，则A 和B 连通。
证：假设A 不连通，则存在A 的非空闭子集1A 和2A 使得12A A A =∪，12A A =?∩。而
1212()()()A B A A B A B A B ==∩∪∩∩∪∩
因A B ∩连通，1A B ∩和2A B ∩都是A B ∩的闭子集，且12()()A B A B =?∩∩∩，于是1A B ∩和2A B ∩中至少有一个是空集，不妨设1A B =?∩。
1212()()A B A A B A A B ==∪∪∪∪∪，
12121()()()A A B A A A B ==?∩∪∩∪∩
于是A B ∪可以分解成两个互不相交非空闭集的并，
故A B ∪不连通，这与A B ∪连通矛盾。所以A 连通，同理可证B 连通。
3． 设X 是拓扑空间，,A B 为X 的子集，则
（1）d(A B)=d(A)d(B)∪∪；
见熊金城著的点集拓扑讲义（第二版）第61页。
（2）d(A B)=d(A)d(B)∩∩。
该命题错误。
反例1：设X = ，取通常拓扑。
(0,1),(1,2)A B ==，则d(A B)=d()=??∩，
d(A)d(B)=[0,1][1,2]={1}≠?∩∩。
反例2：设X = ，
取通常拓扑。A = ，B =? ，则 d(A B)=d()=??∩，d(A)d(B)=≠?∩ 。
《点集拓扑学》复习题
《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
拓扑空间
算子拓扑空间 1..算子拓扑空间： 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个算子，记Ω={A∈2Χ|A=TA}。 定义1.若ζ?Ω，则称T为X的一个强算子，Ω中元素称为强算子开集，如果T进一步还是一个保并算子（算子运算与并运算可交换次序的算子），则称Ω为X的一个强 算子拓扑。 定义2.若?≠Ω?ζ则称T为X的一个弱算子，Ω中的元素称为弱算子开集，如果T进一步还是一个保并算子，则称Ω为X的一个弱算子拓扑。 强算子开集和弱算子开集统称为算子开集，或称T开集。 强算子拓扑和弱算子拓扑统称为算子拓扑，又称T拓扑。 我们约定：下文讨论的算子开集均指强算子开集，算子拓扑均指强算子拓扑。 由算子开集的定义显然有： （1）{X，?} ?Ω； （2）Ω中任意多个成员的并仍在Ω中； 事实上，设Γ?Ω，因T（? A∈ΓA）=? A∈Γ TA=? A∈Γ A,故? A∈Γ A∈Ω （3）Ω中两个成员的交集不一定在Ω中。 定义 3. 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个保并算子，Ω={A∈2Χ|A=TA}，若ζ?Ω，则称（X，Ω）为一个算子拓扑空间。 一般地，若ζ 1和ζ 2 都是X上的拓扑，则ζ 1 ∩ζ 2 是X上的拓扑。对算子拓扑也有 类似结论： 命题1.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1∩Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）∩T 2 （A），A∈Ω 1 ∩Ω 2 证：令TA= ? A ?Ω1∩Ω2 一方面当A∈Ω 1∩Ω 2 时，TA= T 1 （A）∩T 2 （A）=A∩A=A 所以，A∈Ω；
另一方面当A ?Ω 1∩Ω 2 时，TA≠A，所以，A?Ω； 可见Ω 1∩Ω 2 =Ω是由T诱导的拓扑。 命题2.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1?Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）， A∈Ω 1 证：令TA= T 2（A）， A∈Ω 2 类似地可证Ω 1? Ω 2 =Ω是由T诱导的算子拓扑。 ? A ?Ω1且A ?Ω2 2.算子连续映射： 有了算子拓扑空间，我们可以在这个空间上讨论算子连续映射，就像在拓扑空间中讨论连续映射可以得到一系列连续映射的等价刻划那样，我们将会得到算子连续映射的一系列等价刻划。 参考文献：[1] 尤承业基础拓扑学讲义[M] 北京：北京大学出版社，1997 [2] 钱有华，陈胜敏杨忠道定理在算子开集理论下的推广[J] 浙江科技学院 学报，2004，16（1）：1-3 [3] 钱有华，关于算子紧空间[J] 浙江师范大学学报（自然科学版），2003， 26（4）：333-336
《点集拓扑学》第3章§33商空间
§3.3商空间 本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义． 将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化． 我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了． 定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族． 是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑． 容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集． 定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则 （1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射； （2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑． 证明（1）根据定义自明． （2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明． 定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑． 根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性． 定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续． 证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续． 另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而 所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续． 为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义． 定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑． 证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为 如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．
空间群
目录 1历史 2空间群的要素 2.1元素，固定点 2.2翻译 2.3滑翔飞机 2.4螺旋轴 2.5一般公式 3空间群的符号 4空间群的分类系统 5在其他维度的空间群 5.1比贝尔巴赫的定理 5.2在小尺寸的分类 5.3双组与时间逆转 6在3维空间群表 7参考 8外部链接 历史 在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。 费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Sch?nflies（1891年）和巴洛（1894）列举。这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Sch?nflies通信过程中发现的230种空间群。 元素的空间群 在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。 固定点的元素 空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。 翻译 翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。有14种布拉维晶格可能。空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。 空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。 数。国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。国际符号或赫尔曼Mauguin符号。赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。这些符号是相同的点群，此外滑翔飞机和螺旋轴，上述。例如，石英的空间群为P3121，显示，它表现出原始的图案（即每单位细胞）围绕一个三重螺
《点集拓扑》§2.4 导集,闭集,闭包
§2.4 导集，闭集，闭包 本节重点： 熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念； 区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同； 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件； 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件． 如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理． 定义 2.4.1设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都
有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻 域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A 的一个孤立点． 即:(牢记)
在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心． 某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象． 例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得
《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记
！！！！！！！！！！！！ 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
《点集拓扑讲义》第三章 子空间(有限),积空间,商空间 学习笔记
第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义
第二章 点 集 拓 扑 §2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念 定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，n R y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d n n →?: 为 ∑=-= n 1 2 )()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为n R 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足： 01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =； 03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n ∈x ． 定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →?: 满足： 01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =； 03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ． 称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ?，称)d ,(A 为距离子空间． 0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=． 开集：X A ? ．A x ∈，?球 A x B ?)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集． 开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1) τφ∈X ,； (2) ττ∈?∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈?Λ∈∈Λ ∈ )( G G ． 例：(1) 离散空间． φ≠X ，定义 ) X y x,( y x ,1y x ,0)y ,(∈?? ?≠==x d ． 称X 为离散距离空间． (2) ] ,[b a C 空间． } b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤b t a x d ， d 是距离． (3) 有界函数空间)(X B ． φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈X t x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距 离．称)(X B 为有界函数空间． 取 +=N X ，记} )( )( {)(有界 n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈N n x d ． 定义2.1.3．设 φ≠X ，)(X P ?τ 满足：
点集拓扑学拓扑知识点
(点集拓扑学拓扑)知识点
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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
基本群
同伦和基本群 在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！ 几个概念： 1。道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。 2。同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x), F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。例： 1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。 可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||； 2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的； 可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)； 3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦； 3。空间的同伦 两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射； 如：圆环和圆周就是同伦等价的； 注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价， 因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。但同伦推不出同胚， 如上例。 在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。 在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系： r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。 可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。设B是由 所有的等价类构成的集合，在该集合上定义乘法为：[r1]*[r2]=[r1*r2]。则可以证明 给集合对于这个运算具有群的结构，成为X在点a的基本群，记为Pi[X,a]。 例： 若X为圆盘，任取a属于X,则对于X中的任何以a为基点的环道r，由上面的3）知r与a同伦，从而，B中只含有一个等价类，从而Pi[X,a]={e}； 定理：若X为道路连通，则对于任何两点p,q,有Pi[X,p]=Pi[X,q]。 该定理表明道路连通空间的基本群和基点的选择无关。 对于一般的拓扑空间X，基本群的计算是个很复杂的问题，可以使用棱到群或群在拓扑空间上的作用等来计算。下面，我列举了几种空间的基本群： 空间X 基本群 凸图形{e} S1 Z Sn(n>1) {e} 环面Z*Z 射影平面Z2 定理：若两个（道路连通的）空间X和Y同伦，则Pi[X,p]=Pi[Y,q]。
《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间
第7章 紧致性 §7.1 紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）
点集拓扑学练习题(第二章)(答案)
练习（第二章）参考答案： 一.判断题（每小题2分） 1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ） 2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ） 3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ） 4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ） 5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（V ） 6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ） 7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ） 8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ） 9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ） 10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ） 11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ） 12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ） 二.填空题：（每空格3分） 1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中 乙={n,n+1,n+2, -}, 贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s 包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3 设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_ 3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ . 4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______ 答案：U (A {x}) 5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ； 答案：X ；X 6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ; 答案：X ；X 7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部 为____________ ；_______ 答案：{2}
《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间
第3章子空间（有限）,积空间，商空间 在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间． 我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b）， [a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体:
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
第一章拓扑空间与拓扑不变量 数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域 一、问题的引入 数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离 d(x,y)= 。 无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈n R; 2. d(x,y) = 0 ?x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) ?x,y∈n R; 4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ?x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。 将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间 1.定义 定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ?x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。
拓扑学习题
一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑， 则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）
点集拓扑学的基本概念
点集拓扑学 点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如： ?开集和闭集 ?开核和闭包 ?邻域和邻近性 ?紧致空间 ?连续函数 ?数列的极限，网络，以及滤子 ?分离公理 度量空间 在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。 空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。 度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。 【性质】 度量空间是元组(M,d)，这里的M 是集合而 d 是在M 上的度量(metric)，就是函数 使得 ?d(x, y) ≥ 0 (非负性) ?d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性) ?d(x, y) = d(y, x) (对称性)
?d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。 函数d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略d 而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。 第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0. 它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。某些作者要求集合M 非空。 —作为拓扑空间的度量空间 把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。 对于任何度量空间M 中的点x，我们定义半径r (>0) 的关于x 的开球为集合 。 这些开球生成在M 上的拓扑，使它成为拓扑空间。明显的，M 的子集被称为开集，如果它是(有限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间 因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义(它不提及拓扑)，并可以使用序列的极限直接定义。 开集 在拓扑学和相关的数学领域中，集合U被称为开集，如果在直觉上说，从U中任何一点x开始你可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。换句话说，在U中任何点x与U的边界之间的距离总是大于零。 例如，实数线上的由不等式规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式，或者规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。 开集是指不包含自己边界点的集合。或者说，开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含在其自身之中。开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。
(点集拓扑学拓扑)知识点
第4章连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用?这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间. § 4. 1连通空间 本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？ 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子?在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形. 定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果 （A - B）（B - A）二?一 则称子集A和B是隔离的. 明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点. 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的， 而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的. 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的. 定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间. 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间. 定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价： （1）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集. 证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得 A U B = X，显然A A B= ?_ ,并且这时我们有 B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B 满足条件（2）中的要求. （2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于
拓扑空间中集合的导集
拓扑空间中集合的导集 题目：拓扑空间中集合的导集 摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。 正文： 1、拓扑空间的定义： 设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件：（1）X，∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若∈T，则，则称T是X的一个拓扑。 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。2、导集的定义 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．
即:(牢记) 3、离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得 ，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝． 4、平庸空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论： 第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即 d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠， 点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以 ；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以 d（A）=X-A． 第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X． 定理：设X是一个拓扑空间，A X．则 （l）d（）=； （2）A B蕴涵d（A）d（B）；