立体几何空间直角坐标系解法典型例题
立体几何坐标解法典型例题 1、如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 2、如图,在Rt AOB △中, π6 OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --的直二面角.D 是AB 的中点. (1)求证:平面COD ⊥平面AOB ; (2)求异面直线AO 与CD 所成角的大小. A B C D
3.(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC =AA 1=2,∠BAC =90°,E ,F 依次为C 1C ,BC 的中点. (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值; (2)求点B 1到平面AEF 的距离. 4.四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =o ∠, 2AB = ,BC = SA SB == (Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. D B C A S
5.如图,点P 是单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点,则AP →·AB → 的值为( ) A .0 B .1 C .0或1 D .任意实数 5.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25 <二>选择题辨析 [注]: ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线a 、b 异面,a 平行于平面,b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×) ⑦是夹在两平行平面间的线段,若,则的位置关系为相交或平行或异面. [注]: ①直线与平面内一条直线平行,则∥. (×) ②直线与平面内一条直线相交,则与平面相交. (×) ③若直线与平面平行,则内必存在无数条直线与平行. (√) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×) ⑦直线与平面、所成角相等,则∥.(×) [注]: ①垂直于同一平面....的两个平面平行.(×) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ
高考数学专题复习立体几何专题空间角
立体几何专题:空间角 第一节:异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义: 直线a 、b 是异面直线,经过空间一交o ,分别a ?//a ,b ?//b ,相交直线a ?b ?所成的锐角(或直 角)叫做 。 2.范围: ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法: 平移法、问量法、三线角公式 (1)平移法:在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作a 、b 的平行线,构造一个三角形,并解三角形求角。 (2)向量法: 可适当选取异面直线上的方向向量,利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1:利用向量计算。选取一组基向量,分别算出 b a ? 代入上式 方法2:利用向量坐标计算,建系,确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ (3)三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即:θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、(2007年全国高考)如图,正四棱柱 1111ABCD A B C D -中, 12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB=a ,BC=)(b a b >,AA 1= c ,求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一:过B 点作 AC 的平行线(补形平移法) A B 1 B 1 A 1D 1 C C D
立体几何空间角习题
立体几何空间角习题 【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是:0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 一、选择填空题 1.(1)已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,A 1B ⊥CB 1,则 A 1 B 与A C 1所成的角为( ) (A )450 (B )600 (C )900 (D )1200 (2)已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( ) A . 1 3 B C D . 23 (3)Rt ABC ?的斜边在平面α内,顶点A 在α外,BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠,则 BA C '∠的范围是________________。 (4)从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线,A 为垂足,B 为斜足,射线BC α?,这时 PBC ∠为钝角,设,PBC x ABC y ∠=∠=,则( ) A.x y > B.x y = C.x y < D.,x y 的大小关系不确定 (5)相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°,那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° (6)一条与平面相交的线段,其长度为10cm ,两端点到平面的距离分别是2cm ,3cm ,这条线 段与平面α所成的角是 ;若一条线段与平面不相交,两端点到平面的距离分别是2cm ,3cm ,则线段所在直线与平面α所成的角是 。 (7)PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都是60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是( ) A B A 1 1
立体几何复习专题(空间角)(学生卷)
专题一:空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围:(0, ]2 π 。 (2)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥。 (3)求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有:平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2.直线和平面所成的角(简称“线面角”) (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为0?角。 直线和平面所成角范围:[0, 2 π]。 (2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 (3)公式:已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角, 且a 上的射影c 与b 相交成?2角, 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3.二面角 (1)二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ,两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 (2)二面角的平面角: 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内...... 作棱的两条垂线,OA OB ,则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明:①二面角的平面角范围是[]0,π,因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角, 组成直二面角的两个平面互相垂直。 (3)二面角的求法:(一)直接法:作二面角的平面角的作法:①定义法;②棱的垂面法;③三垂线定理或逆定理法;(注意一些常见模型的二面角的平面角的作法) (二)间接法:面积射影定理的方法。 (4)面积射影定理: 面积射影定理:已知ABC ?的边BC 在平面α内,顶点A α?。设ABC ?的面积为S ,它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα
届高三文科数学立体几何空间角专题复习
届高三文科数学立体几何空间角专题复习 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1:两异面直线所成的角 例1.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 例2.(2010全国卷1文数)直三棱柱111ABC A B C -中,若 90BAC ∠=?,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的 角等于( C ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 变式训练: 1.(2009全国卷Ⅱ文)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA =2AB ,E 为1AA 中点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) (A ) 1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 35 2.如图,直三棱柱111ABC A B C -,90BCA ?∠=,点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点, 1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是( ) A . 1030 B .21 C .15 30 D . 10 15 3.(2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 ( ) A . 55 B . 53 C . 5 5 D .35 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2007全国Ⅰ·文)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线 1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )
立体几何之空间夹角
第26练“空间角”攻略 [题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成得角,线面角以及二面角,在高考中频繁出现,也就是高考立体几何题目中得难点所在.掌握好本节内容,首先要理解这些角得概念,其次要弄清这些角得范围,最后再求解这些角.在未来得高考中,空间角将就是高考考查得重点,借助向量求空间角,将就是解决这类题目得主要方法. 体验高考 1.(2015·浙江)如图,已知△ABC,D就是AB得中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′—CD—B得平面角为α,则() A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α 2.(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A1B1C1D1得顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角得正弦值为() A、B、\f(2) 2 C、 3 3D、 3.(2016·课标全国丙)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC得中点. (1)证明MN∥平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角得正弦值. 高考必会题型 题型一异面直线所成得角 例1在棱长为a得正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成得角. 变式训练1(2015·浙江)如图,三棱锥A—BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N 分别就是AD,BC得中点,则异面直线AN,CM所成得角得余弦值就是________. 题型二直线与平面所成得角 例2 如图,已知四棱锥P-ABCD得底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH就是四棱锥得高,E为AD得中点.(1)证明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线P A与平面PEH所成角得正弦值. 变式训练2 如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC就是等腰直角三角形,AB=BC=4,四边形ABDE就是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=错误!AE=2,点O、M分别为CE、AB得中点. (1)求证:OD∥平面ABC;(2)求直线CD与平面ODM所成角得正弦值;
立体几何专题复习空间角的求法(三)
立体几何专题复习-----空间角的求法(三) (一)异面直线所成的角: 定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0作直线a //a,b //b, a ,b■所成的角的大小与点0的选择无关,把a,b?所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所成的角(或夹角)?为了简便,点0通常取在异面直线的一条上? (1)平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。 (2)异面直线所成的角的范围:(0,—]. 2 (3)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直?两条异面直线a,b垂直,记作a_b. (4)求异面直线所成的角的方法: 法1:通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; 法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求+ (二)直线和平面所成的角 1.线面角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 2.记作:二;3 、范围:0,】1; 当一条直线垂直于平面时,所成的角二 2 即直线与平面垂直; 2 当一条直线平行于平面或在平面内,所成角为二二0。 3.求线面角的一般步骤: (1)经过斜线上一点作面的垂线;(2)找出斜线在平面内的射影,从而找出线 I 面角;(3)解直角三角形。cos^=L,sin日 l l (三)二面角 1.二面角的平面角: (1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB,则AOB叫做二面角〉-丨- 一:的平面角. (2)一个平面垂直于二面角〉-丨- 1的棱丨,且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足,则.A0B也是〉-丨- 1的平面角* 说明:(1)二面角的平面角范围是[0:,180打; (2)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平
立体几何-空间角题型
立体几何-空间角求法题型 空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现,也是历年来高考命题者的热点,几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是:0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 空间角的计算思想主要是转化:即把空间角转化为平面角,把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是:一找、二证、三求解,手段上可采用:几何法(正余弦定理)和向量法。下面针对几何法举例说明。 一、异面直线所成的角: 【例】如右下图,在长方体1111ABCD A B C D -中,已知4AB =,3AD =, 12AA =。E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点,且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。 解:延长BA 至点E 1,使AE 1=1,连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF , 有D 1C 1//E 1E , D 1C 1=E 1E ,则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。 在Rt △BE 1F 中, 2222115126E F E F BF = += += 。 在Rt △D 1DE 1中, 222221111112 2 2 13214 D E DE DD AE AD DD =+=++=++= 在Rt △D 1DF 中,22 11222222124224 FD FD DD CF CD DD =+=++=++= 在△E 1FD 1中,由余弦定理得:
222111111111cos 2D E FD E F E D F D E FD +-∠==?? ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为 14 。 可见,“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法,或化为向量的夹角。 一般地,异面直线l 1、l 2的夹角的余弦为: cos AC BD AC BD β?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。 二、线面角 【例】已知直三棱柱111,,ABC A B C AB AC F -=为1BB 上一点, 12,BF BC a FB a ===。 (1)若D 为BC 的中点,E 为AD 上不同于A D 、的任意一点,证明:1EF FC ⊥; (2)若113A B a =,求1FC 与平面11AA B B 所成角的正弦值。 提示:(1)转证线面垂直;证明FC1与面ADF 垂直(2)sin θ=。 三、二面角的求法: 几何法:二面角转化为其平面角,要掌握以下三种基本做法: ①直接利用定义,图(1)。 ②利用三垂线定理及其逆定理,图(2)最常用。 ③作棱的垂面,图(3)。 A B F C E 1 A 1 B 1 C D
最新高考数学专题复习立体几何重点题型空间距离空间角(师)
立体几何题型 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足, 当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证: 1AB ⊥ 平面 1A BD ; (Ⅱ)求二面角 1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 A B C D 1 A 1 C 1 B
立体几何空间直角坐标系
空间直角坐标系080617 好题选析: 例1、在空间直角坐标系中,给定点)3,2,1(-M 。求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。 例2、已知两点)1,0,1(P 与)1,3,4(-Q 。(1)求Q P ,两点的距离;(2)求z 轴上点M ,使||||MQ MP =。 例3、如图,在河的一侧有一塔m CD 5=,河宽m BC 3=,另 一侧有点A ,BC AB m AB ⊥=,4。求点A 与塔顶D 的距离AD 。 好题精练: (一)选择题: 1、关于空间直角坐标系,叙述正确的是( ) A 、),,(z y x P 中z y x ,,的位置可以互换; B 、空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应关系; C 、空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分; D 、某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同。 2、已知点)4,1,3(--A ,则点A 关于原点的对称点的坐标为( ) A 、)4,3,1(-- B 、)3,1,4(-- C 、)4,1,3(- D 、)3,1,4(- 3、已知点)2,1,0(),1,2,1(B A -,则向量坐标为( ) A 、)3,1,1(- B 、)3,1,1(-- C 、)1,1,1(-- D 、)0,1,0( 4、设点B 是点)5,3,2(-A 关于面xoy 的对称点,则||AB 等于( ) A 、10 B 、10 C 、38 D 、38 (二)填空题: 5、已知ABC D 为平行四边形,且)5,7,3(),1,5,2(),3,1,4(--C B A ,则顶点D 的坐标为 。 (三)解答题: 6、在坐标面yoz 内求与三个已知点)1,5,0(),2,2,4(),2,1,3(C B A --等距离的点D 的坐标。 7、已知ABC ?的顶点)1,3,1(),2,6,5(),2,1,1(---C B A 。试求AC 边上的高BD 的长。
立体几何复习专题(空间角)
专题:空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围:(0, ]2 π 。 (2)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥。 (3)求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有:平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1:三棱柱111B A O OAB -,平面11O OBB ⊥平面OAB , 90,601=∠=∠AOB OB O ,且12,OB OO == 3OA =,求异面直线B A 1与1AO 所成角的余弦。 2.直线和平面所成的角(简称“线面角”) (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为0角。 直线和平面所成角范围:0, 2 π 。 (2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 A B O 1A 1B 1O
经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 (3)公式:已知平面的斜线a 与内一直线b 且a 与相交成 1 角,a 在上的射影c 与b 相交成2 角, 则有θ??cos cos cos 21= 。 由(3)中的公式同样可以得到:平面的斜线和它在平面 内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 考点二:直线和平面所成的角 例2. 如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,四 边形A ABB ''是菱形,四边形BCC B ''是矩形, C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=, 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。 3:(1)在0 120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、,已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ,且线段10AB cm =。求: ①直线AB 和棱a 所成角的正弦值;②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。 A B C A ' B ' C ' ?2 ?1c b a θP α O A B
向量法求空间角(高二数学-立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1.(本小题满分10分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD 为正方形,四边形ADPQ 是直角梯形,DP AD ⊥,⊥CD 平面ADPQ , DP AQ AB 2 1 ==. (1)求证:⊥PQ 平面DCQ ; (2)求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小. 2.(满分13分)如图所示,正四棱锥P -ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6 . (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小; (2)若E 是PB 的中点,求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (3)问在棱AD 上是否存在一点F ,使EF ⊥侧面PBC ,若存在,试确定点F 的位置;若不存在,说明理由. 3.(本小题只理科做,满分14分)如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE//AB ,△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB ,且F 是CD 的中点. (1)求证:AF//平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE ; (3)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小. 4.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为正方形,G F E PD AD ,,,2==分别为CB PD PC ,,的中点. (1)求证://AP 平面EFG ; (2)求平面GEF 和平面DEF 的夹角. 5.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. (Ⅰ)求证:AB BC ⊥; (Ⅱ)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为 6 π ,求锐二面角 B C O E P
第2讲 立体几何中的空间角问题
第2讲 立体几何中的空间角问题 高考定位 以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为空间角的求解,常以解答题的形式进行考查,高考注重以传统方法解决空间角问题,但也可利用空间向量来求解. 真 题 感 悟 (2017·浙江卷)如图,已知四棱锥P -ABCD ,△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,BC ∥AD ,CD ⊥AD ,PC =AD =2DC =2CB ,E 为PD 的中点. (1)证明:CE ∥平面P AB ; (2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. 法一 (1)证明 如图, 设P A 中点为F ,连接EF ,FB . 因为E ,F 分别为PD ,P A 中点, 所以EF ∥AD 且EF =1 2AD , 又因为BC ∥AD ,BC =1 2AD , 所以EF ∥BC 且EF =BC , 即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE ∥BF . 又因为CE ?平面P AB ,BF ?平面P AB , 因此CE ∥平面P AB . (2)解 分别取BC ,AD 的中点为M ,N , 连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ . 因为E ,F ,N 分别是PD ,P A ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,
在平行四边形BCEF 中,MQ ∥CE . 由△P AD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD . 由DC ⊥AD ,N 是AD 的中点得BN ⊥AD . 因为PN ∩BN =N ,所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN , 因为BC ?平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,则QH ⊥平面PBC .连接MH ,则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角.设CD =1. 在△PCD 中,由PC =2,CD =1,PD =2得CE =2, 在△PBN 中,由PN =BN =1,PB =3得QH =1 4, 在Rt △MQH 中,QH =1 4,MQ =2, 所以sin ∠QMH =2 8, 所以,直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是2 8. 法二 过P 作PH ⊥CD ,交CD 的延长线于点H .不妨设AD =2,∵BC ∥AD ,CD ⊥AD ,则易求DH =1 2,过P 作底面的垂线,垂足为O ,连接OB ,OH ,易得OH ∥BC ,且OP ,OB ,OH 两两垂直.故可以O 为原点,以OH ,OB ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. (1)证明 由PC =AD =2DC =2CB ,E 为PD 的中点,则可得: D ? ????-1,12,0,C ? ????-1,32,0,P ? ????0,0,32,A ? ????1,12,0,B ? ? ???0,32,0,E ? ?? ??-12,14,34,