定积分换元法与分部积分法习题.doc
1．计算下列定积分：
⑴ sin( x
)dx ； 3
3
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
sin( x
)dx sin( x
)d ( x )
cos( x
)
3
3
3 3 3 3
3
[cos(
) cos( )] [ cos(
cos
)] 0。
3
3
3
3
3
【解法二】应用定积分换元法
令 x
3 u ，则 dx du ，当 x 从 单调变化到 时，u 从
2
单调变化到 4 ，
3
3
3
4
4
4 2
sin( x
)dx
3
sinudu
cosu 23
于是有
2 [cos
cos ]
3
3
3
3
3
3
[ cos
( cos )] 0 。
3 3
⑵
1
dx
；
2
(11 5x)3
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
1
dx 1
1
(11 5x) 3 d (11
5x)
1 1
5x)
2 1
2
(11 5x)3
5
5
(11
2
2
2
1 [
1 2 (11 1 2) 2
] 1(
1
2
1)
51 。
10 (11 5 1)
5
10 16
512
【解法二】应用定积分换元法
令 11 5x u ，则 dx
1
du ，当 x 从 2 单调变化到 1 时， u 从 1 单调变化到
5
16，于是有
1
dx 1
16
u 3
du
1
1
2 16
1 1
1)
51 2
(11 5x)3
5
5
u
1
(
。
1
2
10 162
512
⑶ 2 sin
cos 3 d ；
【解法一】应用牛顿
- 莱布尼兹公式
2 sin 3
d
2
3
1 4
2 1 [cos 4
4
0]
0 cos
0 cos d cos
cos
cos
4
4 2
1
[0 1] 1 。
4
4
【解法二】应用定积分换元法
令 cos
u ，则 sin d
du ，当
从 0 单调变化到 时， u 从 1 单调变化
2
到 0，于是有
2
sin cos
3
d
0 u 3
du
1
u 3
du 1 u 4 01
1
1 0 。
0 4
4
⑷
(1 sin 3 )d ；
【解】被积式为 (1 sin 3
)d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于
1 是
独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对
sin 3 d 的积分，这是正、余弦的奇数
次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：
sin d
d cos ，余下的 sin 2 1 cos 2 ，这样得到的 (1 cos 2 )d cos 便为变
量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种：
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
(1 sin 3 )d
1d
sin 2 sin d
(1 cos 2 )d cos
(cos
1 cos 3 ) 0
3 1
(cos cos0) (cos 3
cos 3 0) 1
( 1 3 4 。
( 1 1) 1)
3 3 【解法二】应用定积分换元法
令 cos u ，则 sin d
du ，当 从 0 单调变化到
时， u 从 1 单调变化
到
1，于是有
(1 sin 3 )d
1d
sin 2 sin d
(1 cos 2 )d cos
1
1
u 3 ) 1
1
(1 u 2 ) du
(u
1 3
1 4 (1
1)
(1 1)
。
3
3
⑸ 2 cos 2 udu ；
6
【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：
cos 2
u
1 cosu ，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数： cos
2 u
1 cos2u ，使之
2 2
2
可以换元成为基本可积形式：
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
2
cos 2 udu
2 1
cos2u du 1 ( 2 du 1 2 cos2ud2u)
6
6
2 2 6
2 6
1
(u 2
2
6
1 (
2 3
【解法二】应用定积分换元法
1
sin 2u 2 )
1
[(
) 1
(sin sin )]
2 6
2
2 6 2
3
3
) 。
4
令 2u
x ，则 du
1
dx ，当 u 从 单调变化到
时， x 从 单调变化到
，
2
6 2 3
于是有
2
cos 2 udu
2 1
cos2u du 1 ( 2 du 1 2 cos2ud2u) 6
6
2 2 6 2 6
1 (u
2
2 6
1 cos xdx) 1
[(
2 6 )
1
sin x ]
2 3
2
2 3
1 [
3 1
(sin
sin )] 1 (
3
3
) 。
2 2
3 2 4
2
2
dx ； ⑹
2 x
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是
2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令
x 2 sin u ，当 x 从 0 单调
变化到 2 时，u从0 单调变化到，且 2 x2 2 2sin 2 u2 cosu ，
2
dx2 cosudu ，使得
2 2 2 2
1
cos2u
2 x dx 2 cosu 2 cosudu 2 du 0 0 0 2
2 du 2 cos2udu u 02 1 2 cos 2ud 2u
0 0 2 0
u 02 1
2 sin 2u 2
1 1 x2
dx
；
⑺ 1
x2
2
1
(sin0)。
2 2 2
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x sin u ，当 x 从1
单调2
变化到 1 时，u从单调变化到，且1 x2 1 sin 2 u cosu
cosudu ，
4 x2 sin 2 u ， dx
2 sin 2 u 使得
1 1 x
2 dx 2 cosu cosudu 2 cot2 udu 2 (csc2 u 1)du
1
2
x2 4 sin2 u 4 4
( cot u u) 2 [(cot cot ) (
4 )]1。
4 2 4 2 4 a
2 a2 x2dx（a 0 ）；
⑻0 x
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令 x a sin u ，当 x 从0单调变化到 a 时， u 从0单调变化到，且x2a2x2a2 sin 2 u a2sin 2 u sin2 u a cosu ，
2
dx a cosudu ，使得
a 4
a 2 x 2 dx
2
a 2 sin 2 u a cosu a cosudu a 2 sin 2 2udu
x 2 0
4
a
4
2 1
cos4u
du a 4
(u 1
sin 4u) 4
2 8
4
2 0
a 4
[
1
(sin 2 0)]
1 a 4 。 8
2 4
16
⑼ 3
dx
；
1
x 2 1 x 2
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是 2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令
x tanu ，当 x 从 1 单调变
化到 3 时， u 从
单调变化到
，且
4
3
dx x 2
sec 2 udu sec 2 udu cosu du 1 d sin u x 2 1 tan 2 u 1 tan 2 u tan 2 u secu sin 2 u sin 2 u
使得
3
dx
3 1
d sin u
x 2 1 x 2 sin 2 u
1
4
这时，再令 sinu
t ，当 u 从 单调变化到 时， t 从 2 单调变化到
3 ，
4 3 2
2
又得 3
1
2
3 1 1
sin 2 u
d sin u
2
2
t 2
dt
t
4
1 2x x 2
dx ；
⑽
3
2 2
2
2 )
2
2 (
2 。
2
3
3
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是
2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，
需要先将其转
化为标准形：
2x x 2 1
(1 2x x 2 ) 1
( x 1)2 ，
现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令
x 1 sin u ，当 x 从 0 单调变化到 1 时， x 1从 1单调变化到 0，从而 u 对应从
单调
2
变化到 0，
而且
2x x 2
1 sin
2 u
cos 2 u cosu ， dx cosudu ，于是
1 2x x
2 0 cosu
0 1 cos2u
du
1 1 0 dx
cosudu
2 (u
sin 2u)
2
2
2
2
1 ( )]
1 )]}
。
{[0
[sin 0 sin(
4
2
2
2
4
dx ；
⑾
1
1
x
0 2
【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等， 应该应用第二类换元
法中的直接变换法：
【解法一】令
x u ，当 x 从 1 单调变化到 4 时， u 从 1 单调变化到 2，且由此得 x u 2 ，
dx
2udu ， 1
1 ，于是
x 1 u
1
4 dx x
2
2udu 2
2
(1 1 )du 2(u ln 1 u ) 12
1
1
1
1 u
1
1 u
2[(2 1) (ln3 ln 2)]
2(1 ln 3
2(1
2
) 。
)
ln
2 3
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令 1
x u ，当 x 从 1 单调
变化到 4 时， u 从 2 单调变化到 3，且由此得 x
(u 1)2 ， dx
2(u 1)du ，
1
1 ，
1 x u
于是
4
dx
3
2(u 1) 2 3
1
2(u ln u )
3
1
1
x
u du
(1
) du
2
2
2
u
2[(3 2) (ln3 ln 2)]
2(1 ln 3
) 。
2 1
dx
⑿ 3
1 x 1 ；
4
【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等，
应该应用第二类换元
法中的直接变换法：
【解法一】令
1 x u ，当 x 从 3
单调变化到
1 时， u 从
1
单调变化到
0，且由此得
4
2
x 1 u 2 ， dx
2udu ，
1 1 ，于是
1 x 1 u 1
1
dx
0 2u
1
1
1
2 2 (1 )du 2(u ln u
1) 02
3
1
du
4
1 x
1
2
u 1 0
u 1
2(
1
ln
1
ln1)
1 2ln
2 。
2
2
u ，当 x 从 3
单
【解法二】 为便于积分， 可使变换后的分母成为简单变量，
即令 1 x
1
1
4
调变化到 1 时， u 从
单调变化到 1 ，且由此得 x 1 (u 1)2 ， dx
2(u 1)du ，
2
1
1
，于是
1 x
1 u
1
dx 1 2(u 1)
1
1 1
2 2 (1
2(u ln u ) 12
3 1 du
)du
4
1 x 1
2
u
1
u
2[(
1
) ( 1) ln 1 ln 1)]
1 2ln
2 。
2
2
1
xdx
；
⒀
1
5 4x
【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等， 应该应用第二类换元
法中的直接变换法：
令 5 4x u ，当 x 从 1
单调变化到
1 时， u 从 3 单调变化到 1，且由此得
x
1 (u
2 5) ， dx
1
udu ，
1 1
，于是
4
2
5 4x
u
1
1
xdx 1
1 1 (u 2
5)
1 1 1
2
5)du
1 1 u 3 5u) 1
5 4x
3
u 4
udu
8
(u
( 3
3
2
3
8
1[1
(1 33 )
5(1 3)] 1 。
8 3
6
1
2
e x
⒁
1
x
2
dx
；
1 1 1
1
e x 1 1
e x
dx ，为含复合函数 e x 的积分，且微分部份 dx 仅与复合函数 e x 【解】由于 x 2 dx x 2 x 2
之中间变量
1
的微分
1
2 dx 相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
x
x
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
1
1
1
1
2
e
x
2
1
1
2
(e 2
e 。
x 2 dx e x d
e x
1
e ) e
1
1
x
【解法二】应用定积分的换元法
令
1
u ，当 x 从 1 单调变化到 2 时， u 从 1 单调变化到 1
，且由此得
1
dx du ，
x 2
x 2 于是
1
1 1
1
1
2
e
x
1
2
u
e
u
(e 2
1
e 。
x 2 dx
e
x
x 2 dx
2
e du
1
2
e ) e
1
1
1
t
2
1
⒂ te 2 dt ；
e
t
2
tdt 与复合函数
t
2
t 2 【解】为含复合函数
2 的积分，且微分部份
e 2 之中间变量
的微分
2
tdt 仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
1
t
2
t
2
t
2
t
2
1 1
1
te 2 dt
1
(e 2
e 2 d( ) e 2
e ) 1
。
2
e
【解法二】应用定积分的换元法
令
t 2 u ，当 x 从 0 单调变化到 1 时，u 从 0 单调变化到
1 ，且由此得
tdt du ，
2
2
1
t
2
1
1
1
te 2
dt
e
2
于是
2
e u du 1 e u due
u 0
1 e
1 。
2
2
e
e
2
dx
⒃
；
1
x 1 ln x
【解】为含复合函数的积分，且微分部份
dx
与复合函数
1 之中间变量 1 ln x 的微 x
1 ln x
分 1
dx 相等，可以应用第一换元积分法：
x
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
e
2
dx e
2
1
x 1 ln x
1
1 d (1 ln x)
2 1 ln x 1e 2 1 ln x
2( 1 ln e 2
1 ln1) 2( 1
2 1 0) 2(
3 1) 。
【解法二】应用定积分的换元法
令 1
ln x u ，当 x 从 1 单调变化到 e 2 时， u 从 1 单调变化到
3，且由此得
1
dx du ，于是
e
2
dx 3
1 2 u
3 2( 3 1)。
1 x 1 ln x
1
du 1
u
(x 2) dx
；
⒄
2x 2
2
x 2
【解】 为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子
比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分：
( x 2) dx 2
x 2 2x 2
1 0 (
2 x 2)
2
2
x 2 2 x dx
2
2
1 0
2x 2 1
2
dx
2 2
x 2
dx
2 2
x 2
2x 2
2x 2
1
1 d ( x
2 2x 2)
0 1
d (x 1) 2
2
x
2
2
( x 1)2
2x 2
1
1
ln( x 2 2x 2) 0 2 arctan( x 1) 0 2
2
1 ln 2) arctan1 arctan( 1)
(ln 2
2
( 4
)
。
4
2
2
dx
⒅
；
x 1 ( x 1)3
【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等，
应该应用第二类换元
法中的直接变换法：
令 x 1 u ，当
x
u
单调变化到
3 ，且由此得 x u
2 1，
从 0单调变化到 2时， 从 1
dx 2udu
1 1
，于是
，
(x 1)3 u u 3
x 1
2
dx
3
1 2udu 2
3
1 du 2arctan u 1
3
x 1 ( x 1)
3
1
u u
3
1
1 u
2
2(arctan 3 arctan1)
2( ) 。
3
4
6
⒆ 2
cosx
3
cos xdx ；
2
【解】由于 cosx cos 3 x
cosx(1 cos 2 x)
cos x sin 2 x
cosx sin x ，
所以
2
3
3
2
3
cosx cos xdx
cos x cos xdx
cos x cos xdx
2 2
2
cos x (
sin x)dx
cos x sin xdx
2
2
cos xd cos x
cos xd cos x
2
于是有
【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
3
1
1 2
cosx
2
2
2
(cos x) d cos x
(cos x) d cos x
cos xdx
2 2
2
3 0 2 3
2
2 2
(cosx)
(cosx) 0
3
2
3
2
(1 0) 2
(0 1) 4 。
3 3 3
【解法二】应用定积分的换元法
令 cos x
u ，当 x 从 单调变化到 0 时， u 从 0 单调变化到 1，当 x 从 0 单
2
调变化到
时， u 从 1 单调变化到 0，且由此得 sin xdx du ，于是
2
2
3
2
cos x ( sin x) dx
cos x sin xdx
cosx cos xdx
0 2 2
1 0 1
1 1
1
udu
udu
u 2 duu 2 du
1
2
3
1 1 2
3 1 2 2
4
u 2
0 du
u 2 0
。
3
0 3
3 3
3
⒇1
cos2xdx 。
【解】由于
1 cos2x
2cos 2 x
2 cos x ，
所以
1 cos2xdx
2 cos x dx
2[ 2 cos x dx
cos x dx]
2
2[ 2 cos xdx
( cos x)dx ]
2[sin x 02 sin x
]
2
2
2[(sin
0) (sin sin )]
2[1 ( 1)]
2 2 。
2
2
2．利用函数的奇偶性计算下列定积分：
⑴
x 4 sin xdx ；
【解】由于函数 y
x 4 sin x 是奇函数，即知
x 4 sin xdx
0 。
⑵ 2 4cos 4 d ；
2
【解】由于函数 f ( )
4cos 4 是偶函数，且有 4cos
4
4(
1
cos2 )2 1 2cos 2
2
3 2cos 2
1
cos4
2
2
即得
2
4cos 4
d
2 2
4cos 4
d
2
2(
3
sin 2
2
cos 2 2
1 2cos 2
1 cos4
2
2 2(
3
2cos 2
1
cos 4 ) d
2
2
1
s in 4 )
2
8
2[ 3
( 0) (sin 0)
1
(sin 2
0)]
2 2
8
3
。
2
12
(arcsin x) 2
⑶ 1
1 x 2
dx ；
2
【解】由于函数
y
(arcsin x)2
是偶函数，所以
1 x 2
1 (arcsin x) 2
1
(arcsin x) 2
1
2
2
2
2 2
2
d arcsin x
1 1 x 2
dx 0
1 x 2
dx 0 (arcsin x)
2
2
3 1 2
1 3
2
3
3
2
)
0]
(
)
。
(arcsin x)
[(arcsin 2
3
3
3
6
324
2
1
x arcsin x
dx 。
⑷ 1
1 x
2 2
【解】由于函数 y x arcsin x 是偶函数，所以
1 x 2
1
x arcsin x 1
xarcsin x
1
2
2 dx
2 2
2
2
arcsin xd 1 x
1
1 x
2 1 x 2 dx
2 0
1
1
2[ 1 x 2 arcsin x 02
2 1 x 2 d arcsin x]
1
arcsin
1
1
3
1
3
2[ 1
2
dx] 2[ x 02 ] 1 。
4
2
2 6 6
3．证明：
1 dt
x
1
dt
（ x 0 ）。
x
1 t 2
1
1 t 2
【证明】作倒数变换 t
1 ，当 t 从 x 单调变化到 1 时， u 从 1
单调变化到 1，
u x
且有 1
1
u
2
， dt
1
du
1 t
2 1 ( 1 2 u
2
1
u
2
)
u
于是有
1 dt
1
u 2
1
du
1
1 du
1
1 du
1 1
x
1 t 2
x 1 u 2 u 2
x 1 u 2
1
1 u 2
1
x
1
2 dt ，
1
1 t
证毕。
4．证明：
sin n xdx 2 2 sin n xdx 。
【证明】由于sin n xdx 2 sin n xdx sin n xdx ，
0 0
2
其中，对于sin n xdx ，作如下的处理：
2
作变换 x u ，当 x 从单调变化到时， u 从单调变化到0，
2 2
且有 sin n x sin n ( u) sin n u ，dx du ，
sin n xdx 0 sin n udu 2 sin n xdx ，于是，sin n udu 2
2 2
0 0
从而得sin n xdx 2 sin n xdx sin n xdx 22sin n xdx。证毕。
0 0 0
2
5．设f (t)为连续函数，证明：
⑴当 f (t ) 是偶函数时，( x)
x
f (t)dt 为奇函数；0
【证明】当 f (t) 是偶函数时，有 f ( t) f (t) ，
x x x
使得( x) 0 f (t )dt t u 0 f ( u)d ( u) 0 f (u)du (x) ，
可知此时 ( x)
x
f (t)dt 为奇函数，证毕。0
⑵当 f (t ) 是奇函数时，
x
( x) 0 f (t)dt
为偶函数。
【证明】当 f (t) 是奇函数时，有 f ( t) f (t ) ，
x x x
使得( x) 0 f (t )dt t u 0 f ( u)d ( u) 0 f (u) du ( x) ，
可知此时 ( x)
x
f (t)dt 为偶函数，证毕。0
6．设f ( x)是以T为周期的连续函数，证明：对任意的常数 a ，有
a T
f ( x)dx
T a f (x)dx
。
【证明】题设 f ( x) 是以T为周期的连续函数，可知成立 f (x T ) f ( x) ，
a T 0
f ( x)dx T f ( x)dx a T f (x)dx
由于 f (x)dx
0 T
a a
a
f ( x)dx T f ( x)dx a T f (x)dx
00T
a T 其中，对于
T
f ( x)dx ，作如下的处理：
令 x u
T ，当 x 从 T 单调变化到 a T 时， u 从 0 单调变化到 a ，
使得
a T f ( x)dx
a f (u T )d (u T )
T
x u T
a
f (u) du
a
f (x)dx ，
a T
a
( x) dx
T
a
f (x)dx
T
于是有 a f (x)dx
f 0 f ( x)dx
f ( x)dx ，
证毕。
7．计算下列定积分：
⑴ 1
x
0 xe dx ；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选 e x 为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，
1
x
1
x
x
1 1
x
1
1
x
0 xe dx 0 xd ( e )
xe ( e )dx
e 0
e
dx
00
e 1
e x 1
e 1
(e 1
1
e ) 1 2e
。
【解法二】应用列表法
符号
求导 积分
x e x 1 e x
e x
1
x
dx ( xe x e x ) 10 ( 1e 1 e 1 ) ( 0e 0
e 0 ) 1 2e 1 。
可得
0 xe
e
x ln xdx
；
⑵ 1
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选
x 为先积分部份，
e e
1 2 1 2
ln x
e e
1 2 d ln x
x ln xdx
ln xd x
x 1
x 1
1
2
2
1
2
1 2
） e 1
x 2
1 1
2 e
1
2 (e ln e 0
1
2
dx
2 e
xdx
x
1
2
1 e
2 1 x 2 1e
1 e 2
1 (e
2 1) 1 (e 2 1) 。
2
4
2
4
4
（含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法）
1
x arctan xdx ；
⑶
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选
x 为先积分部份，
1 1 arctan xd 1
x
2
1 x 2
arctan x
1
0 1 1 x 2d arctan x x arctan xdx
2
2
0 2
1
arctan1 1
1
2
1 dx 1 1 (1 1
2 0
2
x
2 8 2 2 )dx
1 x 0 1 x
8
1
( x arctan x)
1
8 1
(1
)
4
1 。 2
2
4 2
⑷ 2 x sin 2xdx ；
【解】被积函数属分部积分第一类，应选
sin 2x 为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，
2
x sin2xdx
2
xd ( 1
cos2x)
1
xcos2x 0 0
2 2
2 2 ( 1 0
0 cos2x)dx
2
1 ( cos 0)
1 2
cos2xdx
( 1) 1
sin 2x 02 2 2
2 0
4 4
4 1
(sin
0)
4 。
4
【解法二】应用列表法
符号
求导
积分
可得
2
x sin 2xdx ( 1 x cos2x
1
sin 2x) 0
2
2
4
1 ( ) 1
(0 0)
。
2
2 4
4
⑸
4
ln x
dx ；
1
x
x sin 2 x 1
1
cos2x
2 0
1
sin2 x
4
1 ( cos
0)
1
(sin
sin 0)
2 2
4
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，应选
1
为先积分部份，
x
4
ln x 4 4
4 xd ln x
1
dx
ln xd 2 x
2 x ln x 1
2
x
1
1
2 x ln x
4 4
2 x 1
dx 2 x ln x 4
2
4
1
1
1 x 1
1
dx
x
2 x ln x 14
4 x 14
2 x (ln x 2) 14
2[ 4(ln 4
2)
1(ln1 2)]
4[ln 4 1] 4(2ln 2 1) 。
⑹ 3 x dx ；
sin 2
4
x
【解】被积函数属分部积分第一类，应选 1
为先积分部份，
sin 2
x
【解法一】套用分部积分公式，
x
3
xd( cot x) x cot x
3
( cot x)dx
3
dx
3
4
sin 2
x 4
4
4
xcot x 3
3 cos x
dx
x cot x 3
3
1 d sin x
4
4
sin x
4
4 sin x
xcot x 3
ln sin x 3
( x cot x ln sin x )
4
4
( cot
ln sin ) ( 4 cot
ln sin )
3
3 3 4
4
3 4
( 3
1 ln 3 ) ( 4 ln
2 )
3 2 2
(
1
1 )
3
(
1
1 )
1 ln 3
。
3
ln
2
3 4 3
2
4 3
2
2
2
【解法二】应用列表法
符号
求导
积分
x
1
sin 2 x 1 cot x
ln sin x
可得3
x dx ( x cot x
ln sin x ) 3
4 sin 2
x
4
(
cot ln sin ) ( 4 cot
ln sin )
3
3 3 4
4
(
1 ln
3
(
ln
2
3
3
)
4 2 )
2
(
1
1 )
3
(
1
1
1
ln 3
。
3 ln
2
3 )
4 3
2
4 3
2
2
2
⑺ 2 e 2x cosxdx ；
【解】被积函数属分部积分第一类， e 2 x 与 cos x 均可选为先积分部份，
【解法一】套用分部积分公式，选
e 2 x 为先积分部份，
2
e 2 x
cosxdx
2
cos xd 1
e
2x
1 e
2 x cosx 0
2
2 1 e 2 x
d cosx
2
2
2
1 (e cos e 0 cos0)
2 1
e 2 x sin xdx
2 2 0
2
1
(0 1) 2 1
sin xd 1
e
2 x
1 1
e
2 x
sin x 02
2 1
e 2 x d sin x
2
2
2
2 4
4
1 1
(e sin e 0 sin 0) 1 2
e 2 x cos xdx
2 4
2 4 0
即得2 e 2 x cos xdx
1 e
1 2 e 2x cos xdx ，
2
4 4 0
移项，整理得
2
e 2x cos xdx 1 (e
2) 。
5
【解法二】套用分部积分公式，选
cos x 为先积分部份，
2
e 2 x cosxdx
2
e 2x d sin x
e 2x sin x 02
2
sin xde 2x
(e sin
0) 2
2e 2 x sin xdx e
2
2e 2x d ( cosx)
2
e [2 e 2 x ( cosx) 02
2
( cos x) d2e 2x ]
e
2e 2 x cos x
e
2(e cos 2
2
2 2 x
cosxdx
0 0
4e
e 0 cos0) 4
2 e
2 x
cos xdx
即得2 e 2 x cosxdx e 2
4 2 e 2 x cosxdx ，
移项，整理得
2
e 2x
cos xdx
1
(e 2) 。
5
2
⑻ 1 x log 2 xdx ；
【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选
x 为先积分部份，
2
2
1 2 1
2
2
2
1 2
x log 2 xdx
xd x log 2
d log 2 x
log 2
x x 1
x
1
1
2
2
1
2
1 (4log
2 2 0)
2
1 x 2
1
dx 2
1
2
xdx
2 1
2
x ln 2 2ln 2
1
2
1 1 x
2 12 2
1 (41)2
3 。
2ln 2 2 4ln 2
4ln 2
2 xcos 2
xdx ；
⑼
【解】将三角函数降次后求解，
2 2
x cos 2
xdx
1 cos 2x
1 2 x
dx
( x xcos 2x)dx
2
2
1 ( 1 x
2 0
2
2 x cos2xdx )
2 2
2
2
1 2
2 x cos2xdx
其中，积分
x cos2xdx 中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选
cos2x 为先积分部份，得
2 2 xd
1
sin 2x
1 xsin 2x
02
2
1 s in 2xdx
x cos 2xdx
2
2
2
sin 4
1
cos2x 0
2
1
(cos4 cos0)
1
(1
4 4
1) 0 ，
4
2 2 xdx
2 1 2 2 1 2
从而得
x cos
2
x cos2xdx
0 。
2
e
sin(ln x)dx ；
⑽
1
【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有
udv 的结构，直接套用分部积分公式得
e
x sin(ln x) 1e e
x)
sin(ln x)dx
xd sin(ln
1
1
esin(ln e) 0
e cos(ln x)
1
dx x
1
x
esin1
e
cos(ln x) dx
1
esin1
e
xd cos(ln x)]
[ x cos(ln x) 1e
1
esin1 [ ecos(lne) cos(ln1)]
e sin(ln x)]
1
dx x[
1
x
esin1 ecos1 1
e
sin(ln x)dx
1
e
sin(ln x)dx
e(sin1
cos1) 1 e
即得
1
sin(ln x)dx ，
1
e
1
[ e(sin1 cos1) 1] 。
移项、整理得
sin(ln x) dx
1
2
e ⑾
1 ln x dx
；
e
e
1
e
1 ln x)dx
e 【解】 1 ln x dx
1 ln x dx
ln x dx 1
( ln xdx
e
e
1
e
1
1
e
[ xln x 11
1
e 1 ln xdx
ln xdx
1 xd ln x] x ln x 1
e
xd ln x
e
1
e
e
1
1 1
1
1 e (0
ln )
1
x
dx
eln e 0
e e
e
x
1
1 1
1
e x dx
1
dx e
dx
x e e
1
1 e
⑿
ln2 x 3e x 2
dx 。
x
1
1 e x 1
e
1 1
1
e (e 1) 2
2 。 e
e
e
e
【解】这是含复合函数的积分，可用第一换元积分法，
令 x 2 u ，当 x 从 0 单调变化到
ln 2 时， u 从 0 单调变化到 ln 2 ，
得
ln2 x 3 e x
2
dx
1
ln 2 x 2e x
2 dx
2 1 ln 2 ue u
du 1 ln2
ude u
2
2 0
2
1 (ue u 0ln
2 ln2
1 (ln
2 e ln2 0) 1 e u 0ln 2
0 e u
du)
2
2
2
ln 2 1 (e ln 2 e 0 ) ln 2 1 (2 1) ln 2 1 。
x 2
sin t
2 2 2 8．设 f ( x)
，求
1
1
t
dt xf ( x)dx 。
【解】
sint
dt 是著名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，
因此，无法通过确定 f (x)
t
1
的表达式来求解积分
xf ( x) dx
，
0 但明显可见，易于求出
f '( x) ：
f '( x)
d x 2
sin t dt sin x 2 (x 2 )' sin x
2 2 x 2
sin x 2 ，
dx
1
t
x 2
x 2
x
于是，可以通过分部积分法，由
1 xf ( x)dx 转化出 f '(x) 从而解决问题：
1
1
1
x 2 f ( x) 1
0 1
1
x 2
df ( x)
xf ( x)dx
f ( x)d 1
x 2
0 0
2 2 0 2 1 2 f (1) 0] 1 1 2 f '(x)dx 1 f (1) 1 1 2
f '(x)dx
2 [1 0 2 x 2 0 2 x
1 f (1) 1 1
2 2 2 dx 1 f (1) 1
2 dx
x sin x 0 xsin x
2 0 2 x 2
1 1
1 f (1) 1 1
2 dx 2 f (1) cosx 2 1
2 2 sin x
2 2 0 0
1 f (1) 1 (cos1 1) 1 cos1 1]
2 2 [ f (1)
2 由题设 f ( x) x 2
sin t 1 sin t 0 ，
1
t dt ，可得
f (1) 1 t dt
1 (cos1
1 1)。 最终得到 xf ( x) dx
2
9．设 f ( x)
x
0 f ( x)cos xdx ，求 f ( x) 。
【解】由于
f (x) cos xdx 为常数，可知 f '( x) 1 ，
由此得
f (x) cos xdx
f ( x)d sin x
f (x)sin x 0
0 sin xdf (x)
f ( )sin
f (0)sin 0
0 sin xf '( x)dx
0 0
sin xdx cosx 0 cos cos0
2 ，
于是， f ( x) x
f ( x)cos xdx x ( 2)
x 2 。