高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧

关键词：数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法

合并法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

自然数方幂和公式：

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项当x 2＝1 即x ＝±1时和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本

题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+

2-?+n ），……的前顶和为

，则

的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在

已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S （

1≠x ）………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2

a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。

（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例] 求证：n

n n n n n C n C C C 2)1()12(532

+=++???+++

证明：设n

n n n n n C n C C C S )12(532

++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得

113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）又由m

n n

m n C C -=可得

n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）

∴ n n n S 2)1(?+=

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列 16

4,813,412,211的前n 项和；

分析：数列的通项公式为n n n a 21+=，而数列{}?

?????n n 21,分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；

[解] ：因为n

n n a 21

=，所以 )2

()813()412()211(n n n s ++++++++=

814121()321(n n +++++++++= （

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

12122

11)

1(212)1(2+-+=--++=n n n n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n

（5）])2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

[例] 求数列

???++???++,1

,321,

n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项）

则 1

212

11+++???+++

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{a n }中，11211++???++++=n n n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++

＝10

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好

几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+?两边除以1

n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2

n n a 是以122

2a 1

1==为首项，以2

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解

：

由

123

n n a a +=+?

+得

1231

n n n a a +-=?+则

11232211

122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n n n a a +-=?+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：13231n n n a a +=+?+两边除以1

3n +，得

111

3333n n n n n a a +++=++，则

111

3333

n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此1

1(13)

2(1)2113133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--?，则211

33.322

n n n a n =

??+?-

评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+?+转化为

111

3333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********(

)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+ ，即得数列3n n a ??????

的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

2(1)5n n n

a n a +=+，故13211221

12211(1)(2)21(1)

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?????=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出13211221

n n n n a a a a a a a a a ---????? ，即得数列{}n a 的通项公式。例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???= ③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则

21a =，代入③得!

13452

n n a n =?????=

。所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出132122

n n n n a a a a a a a ---???? ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。四、待定系数法

例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：设1152(5)n n n n a x a x +++?=+?

④

将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得

135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则11525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则1

n n a --=，故1

5n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1

152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列

{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：设1

3(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+

⑥

将13524n n n a a +=+?+代入⑥式，得

1352423(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+

整理得(52)24323n n x y x y +?++=?+。

令52343x x y y +=??+=?，则52x y =??=?

，代入⑥式得

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+

⑦

由11522112130a +?+=+=≠及⑦式，

得5220n

n a +?+≠，则115223522

n n n

n a a +++?+=+?+，故数列{522}n n a +?+是以1

152211213

a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+?+=?，则1133522n n n a -=?-?-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：设2

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧ 将2

12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得

2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++

等式两边消去2n a ，得2

(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，

解方程组3224252x x x y y x y z z +=??++=??+++=?，则31018x y z =??

=??=?

，代入⑧式，得

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨

由213110118131320a +?+?+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠

则212

3(1)10(1)18231018

n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2

{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。

评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数

列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。五、对数变换法

例10 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5123n n n

a a +=??式两边取常用对数得1lg 5lg lg 3lg 2n n a a n +=++

⑩

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++

○

11 将⑩式代入○11式，得5lg lg3lg2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得

(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则

lg35lg 25x x x y y +=??

++=?，故lg 34lg 3lg 2164x y ?

=????=+??

代入○11式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (1)5(lg )41644164

n n a n a n ++

+++=+++ ○12

由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg 1lg 71041644164a +?++=+?++≠及○12式，得lg 3lg 3lg 2lg 04164

n a n +

++≠，则

1lg3lg3lg 2

lg (1)41645lg 4164

n n a n a n ++

+++=+++

，所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +

++是以lg 3lg 3lg 2

lg 74164

+++为首项，以5为公比的等比数列，则1

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164

n n a n -+++=+++，因此

111111

1116

164

111111

11111116

55514

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (lg 7)54164464

(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2

[lg(7332)]5

lg(332)

lg(7332)5lg(332)lg(733

n n n n n n n n n n n n a n ---------=+

++---=+++---=???-??=???-??=??1115116

541515116

lg(73

)

n n n n n -------?=??

则11

54151516

n n n n n a -----=??。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++

+++=+++，从而可知数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2

{lg }4164n a n +++的通项公式，最后再

求出数列{}n a 的通项公式。六、迭代法

例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115n

n n n

a a

a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n

n n n a a ++=，所以1

3(1)2

3212

[]n n n n n n n n n a a a ---?-??--==

(2)(1)

32(2)(1)

(3)(2)(1)

12(3)(2)(1)

(1)

3(1)22

3(2)23(1)233(2)(1)23

323(2)(1)213

!21[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a -+---+--+-+--+++-+-+----??--?-??---?-??-?-????======

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

n n n n n a --??=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2

n n n a a ++=两边取常用对

数得1l g 3(1)2l g n

n n a n a +=

?，即1lg 3(1)2lg n n n

n a +=+，再由累乘法可推知

(1)12

3!2

132

11221

lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=?????= ，从而1(1)

3!2

n n n n n a --??=。

七、数学归纳法

例12 已知数列{}n a 满足1122

8(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。解：由122

8(1)

(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及1

89a =，得 2122322243228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=

?+?+?+?=+=+=

?+?+? 由此可猜测22

(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n =时，212(211)18

(211)9

a ?+-==?+，所以等式成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)

k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

8(1)

(21)(23)

k k k a a k k ++=+

++ 22222222

222222

222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=

++++-+++=

++++-+=

+++-=

++2

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法

例13 已知数列{}n a

满足111

(14116n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=

，代入11

(1416

n n a a +=++得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2

14(3)n n b b +=+

因为0n b =≥

，故10n b +=≥ 则123n n b b +=+，即113

n n b b +=+，可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，

所以{3}n b -

是以13332b -===为首项，以

为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+

()32n -+，得

2111()()3423

n n n a =

++。

n b ，使得所给递推关系式转化113

n n b b +=

+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=+，得2

420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=+的两个不动点。

因为

112124

24121242(41)13262

132124321243(41)92793341

n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??

是以112422343a a --==--为首项，以913

为公比的等比数列，故12132()39

n n n a a --=-，则11313

2()19

n n a -=

+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=

+的不动点，即方程2124

x x x -=+的两个根

1223x x ==，，进而可推出

1122

13393n n n n a a a a ++--=?--，从而可知数列23n n a a ??-??-??

为等比数列，再求出数列

23n n a a ??

-??-??

的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。例15 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47

x f x x -=+的不动点。因为17255

112323

n n

n n n a a a a a +---=

-=++，所以

2111()()3423

n n n a =

++。

n b ，使得所给递推关系式转化113

n n b b +=

+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=+，得2

420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=+的两个不动点。

因为

112124

24121242(41)13262

132124321243(41)927

93341

n n n n n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??

是以112422343a a --==--为首项，以913

为公比的等比数列，故12132()39

n n n a a --=-，则11313

2()19

n n a -=

+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=

+的不动点，即方程2124

x x x -=+的两个根

1223x x ==，，进而可推出1122

13393n n n n a a a a ++--=?--，从而可知数列23n n a a ??-??-??为等比数列，再求出数列

23n n a a ??

-??-??

的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。例15 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47

x f x x -=+的不动点。因为17255

112323

n n n n n a a a a a +---=

-=++，所以

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示题型1 数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式，可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和（1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法（1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+，求数列{}n a 的通项公式。类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ）解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。类型七：（公式法2）（n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法：例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

数列求通项公式及求和9种方法

【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对任意的正整数n 满足2\金如1 ,求数列｛a n ｝的通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『，求数列｛a n ｝的通项公式【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )

型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+，求数列{}n a 的通项公式。类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列 {} n a 满足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通项公式。类型七：（公式法2）（n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法：例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ，又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________；（2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.

1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列｛an ｝满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛｝ 2 十2十2+…十2 等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习

练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求｛a n ｝ , ｛ b n ｝的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列求通项公式及求和9种方法

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数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式．（二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式．

（二）.累加、累乘型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式的十种求法｛a n ｝的通项公式。二、累加法例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2，得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公式。求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。（2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。（2）已知101n n S =-，求n a 。类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ；（2）已知3 32 n n S a =-，求n a ；（3）已知22n n S a +=，求n a 。类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ；（2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ；（3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ；（2）11a =，12n n S a +=，求n a ；（3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。（2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。（3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?，求n a 的通项公式。（2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。（3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。五、构造法例1、（1）14a = 2=，求n a ；（2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ；（3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ；（4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ；（5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ；（6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解：类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解：变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解

数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧关键词：数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项当x 2＝1 即x ＝±1时和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方

求数列通项公式累乘和累加法

全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。（1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的１1种方法方法总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法(少用) 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ －--－------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，,求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=++ +++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故