《一元二次方程的根与系数的关系》优秀教学设计

5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

教学目标

1．理解和掌握根与系数的关系，会利用根与系数的关系解决有关问题．

2．在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中，培养学生的观察、思考、归纳概括能力．

3．通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．

教学重点、难点

重点

理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系．

难点

一元二次方程的根与系数关系的理解及应用．

教学设计

一、复习导入

1．请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)．

2．解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？

(1)x2－2x＝0；

(2)x2＋3x－4＝0；

(3)x2－5x＋6＝0.

学生独立完成，教师巡视指导．

二、探究新知

1．探究一元二次方程的根与系数的关系

课件出示：

解出下列方程的根x1和x2，并计算x1＋x2和x1·x2的值.

教师：观察表中x1＋x2与x1·x2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

师生共同总结规律，教师板书．(学生的语言表达可能不是很到位，教师可以进行适当地引导和点拨，但不能代替学生表达) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－a b，x1·x2＝a c.

2．证明一元二次方程的根与系数的关系

教师：刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关

系，那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢？

学生先独立解决，再分组交流讨论发表看法． (教师板书) 证明：∵当Δ≥0时，由求根公式得 x 1＝2a b2－4ac

，x 2＝2a b2－4ac

， ∴x 1＋x 2＝2a b2－4ac

＝－a b

， x 1·x 2＝

4a2（－b ）2－（b2－4ac ）＝4a24ac ＝a c

.

三、举例分析

例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x 2－7x ＋1＝0； (2)x 2＋14x －21＝0； (3)2x 2＋x －3＝0； (4)x 2－nx ＋n －5＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝7，x 1·x 2＝1. (2)x 1＋x 2＝－14，x 1·x 2＝－21. (3)x 1＋x 2＝－21，x 1·x 2＝－23

. (4)x 1＋x 2＝n ，x 1·x 2＝n －5.

例2 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值．

解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有

（－3）2－p ×（－3）＋q ＝0.02－p ×0＋q ＝0，

解这个方程组得

p＝－3，

q＝0.

所以p＝－3，q＝0.

解法二：由x1＋x2＝p，x1·x2＝q，

方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，可得

0＋(－3)＝p，

0×(－3)＝q.

即得p＝－3，q＝0.

四、练习巩固

教材第50页“随堂练习”第1～3题．

五、小结

1．通过这节课的学习，你有什么收获？

2．一元二次方程的根与系数有什么关系？

六、课外作业

教材第51页习题2.8第1～4题．

教学反思

观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．本节课在研究方程的根与系数的关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 经历了本节课的教学，学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握，但在寻求转化为两根之和与两根之积的过

程中不要操之过急，例2可以在练习一定的习题后再给出来．在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式，培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识，并应该坚持下去。