圆的对称性习题(有答案)

2 圆的对称性

一、选择题（共10小题）

1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）

A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，）

2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．4

3．下列说法：

①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2

②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合

③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形

⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，

其中正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

4．（2013?邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（）

A．B．2RsinαC．D．R sinα

5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）

A．3＜r＜5 B．3＜r≤4C．4＜r≤5D．无法确定

6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）

A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm

7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）

A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定

8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）

A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm

9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）

A．B．C．D．

10．（2013?合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（）

A．≤s≤B．＜s≤C．≤s≤D．＜s ＜

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？

12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= _________ cm．

13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为_________ cm．

14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是_________ ．

15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A_________ ．

16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：_________ ．

17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是_________ ．18．以已知点O为圆心，可以画_________ 个圆．

19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=_________ ．

20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=_________ 度．

三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）

21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．

22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．

23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．

24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．

（1）求圆心O到弦AB的距离；

（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？

25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，

求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）

26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；

（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．

27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．

28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．

29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．

30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）

A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，）

考点：圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．

分析：连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．

解答：

解：连接OQ、PO，

则∠POQ=120°﹣60°=60，

∵PO=OQ，

∴△POQ是等边三角形，

∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，

∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，

∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴AQ=OQ=2cm，

∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，

∴A的坐标是（0，），

故选B．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．

2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．4

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由

勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（）2，求出R即可．

解答：

解：连接OA，

∵OC是半径，OC⊥AB，

∴AD=BD=AB=，

设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，

在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，

即R2=（R﹣1）2+（）2，

R=2，

故选B．

点评：本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．

3．下列说法：

①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2

②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合

③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形

⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，

其中正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

考点：垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质．分析：根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤．

解答：解：∵只有在平行线中，同位角才相等，∴①错误；

∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴②错误；

∵对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，∴③错误；

∵等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴④正确；

如图

AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，

AB平分CD，

但AB和CD不垂直，∴⑤错误；

故选B．

点评：本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力．

4．（2013?邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（）

A．B．2RsinαC．D．R sinα

考点：垂径定理；解直角三角形．

分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出

∠AOC=∠BOC=∠AOB=，根据sin∠AOC=求出AC=Rsin，即可求出AB．

解答：

解：过O作OC⊥AB于C，

则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，

∵OA=OB，

∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=，

在△AOC中，sin∠AOC=，

∴AC=Rsin，

∴AB=2AC=2Rsin，

故选A．

点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC的长和得出AB=2AC．

5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）

A．3＜r＜5 B．3＜r≤4C．4＜r≤5D．无法确定

考点：点与圆的位置关系．

分析：四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r＞3，一定是点C在圆外，则半径r＜5，所以3＜r＜5．

解答：解：∵AB=3，AD=4，

∴AC=5，

∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，

∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜r＜5．

故选A．

点评：本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．

6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）

A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：计算题．

分析：连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．

解答：解：连接OA，

∵OC⊥AB，OC过圆心O，

∴AC=BC，

由勾股定理得：AC===3（cm），

∴AB=2AC=6（cm）．

故选B．

点评：本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC和AC的长是解此题的关键．

7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）

A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定

考点：点与圆的位置关系；勾股定理．

专题：计算题．

分析：连接OP，根据勾股定理求出OP，把OP和圆的半径比较即可．

解答：解：连接OP．

∵P（﹣3，4），

由勾股定理得：OP==5，

∵圆的半径5，

∴P在圆O上．

故选B．

点评：本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出OP长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．

8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）

A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm

考点：点与圆的位置关系．

分析：点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．

解答：解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是

6.5cm；

当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是

2.5cm．

故选A．

点评：本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）

A．B．C．D．

考点：动点问题的函数图象；垂径定理．

专题：压轴题；动点型．

分析：连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线

段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．

解答：解：连接OP，

∵OC=OP，

∴∠OCP=∠OPC．

∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，

∴∠OPC=∠DCP．

∴OP∥CD．

∴PO⊥AB．

∵OA=OP=1，

∴AP=y=（0＜x＜1）．

故选A．

点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．

10．（2013?合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（）

A．≤s≤B．＜s≤C．≤s≤D．＜s＜

考点：等边三角形的性质；垂径定理．

专题：压轴题；动点型．

分析：根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．

要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．

解答：解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC 时四边形的面积．

作CH⊥AO于H，

∵△AOC为等边三角形

∴CH=

∴S△AOC=；

当OD⊥OC时面积最大，

∴S△OCD=，则最大面积是+=

∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．

故选B．

点评：此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算．

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？

考点：圆的认识．

分析：根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．

解答：解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线，就是一个圆．

点评：本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．

12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= 2cm．

考点：垂径定理．

分析：根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径OA=5cm，ND=3cm，ON=2cm，利用勾股定理易求得NM=1cm，OM=cm，进一步可求出AM，进而求出AB．

解答：解：根据题意画出图形，如图示，

作O M⊥AB于M，连接OA，

∴AM=BM，

CD=10cm，ND=3cm，

∴ON=2cm，

∵∠ONM=60°，OM⊥AB，

∴MN=1cm，

∴OM=，

在Rt△OMA中，AM===，

∴AB=2AM=2．

点评：本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．

13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为24 cm．

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：计算题．

分析：在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．解答：解：连接OB，

∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．

由勾股定理得：BD2=OB2﹣OD2=132﹣52=144，

∴BD=12，

又OD⊥AB，

∴AB=2BD=2×12=24cm．

故答案是24．

点评：本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．

14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8条．

考点：垂径定理；勾股定理．

专题：推理填空题．

分析：求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．

解答：解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短的弦是垂直于PO的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6条，

1+1+6=8，

故答案为：8条．

点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．

15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A内部．

考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．

分析：首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．

解答：解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），

∴AP==2

∵⊙A的半径为5，

∴5＞2

∴点P在⊙A的内部

故答案为：内部．

点评：本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：②③④⑥．

考点：圆的认识；轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．

解答：解：①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，

故答案为：②③④⑥．

点评：本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．