差分方程模型应用
第七章 差分方程模型
差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。
7.1个人住房抵押贷款
随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列:
表7.1 中国人民银行贷款利率表
贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.12
6.39
6.66
7.20
7.56
当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。
表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表
贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.255 6.390
6.525
6.660
表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元）
贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年
月还款 一次还清 本息总和 10612.0 444.36 10664.54 305.99 11015.63 237.26 11388.71 196.41 11784.71
一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？
我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。
设贷款后第k 个月时欠款余额为k A 元，月还款m 元,则由k A 变化到1k A +,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r ,从而得到
1k k k A A rA m +-=-
或者
1(1)k k A r A m +=+- (7.1)
初时条件
010000A = (7.2)
这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率0.06255R =平均。即
r =0.06255/12=0.00512125 (7.3) 若m 是已知的,则由(7.1)式可以求出k A 中的每一项,我们称(7.1)式为一阶差分方程。
模型解法与讨论
（1）月还款额
二年期的贷款在24个月时还清,即
24A =0 (7.4)
为求m 的值,设
1--=k k k A A B ， k =1,2,… （7.5) 易见
k k B r B )1(1+=+
于是导出k B 的表达式
11(1),1,2,k k B r B k -=+= (7.6)
由(7.5)式与(7.6)式得
01
k
k k j A A B =-=∑ =[
1(1)1
k r B r +-] =[ [
0(1)1
()k r rA m r
+--] 从而得到差分方程(7.1)的解为
0(1)[(1)1]/,
1,2,k k k A A r m r r k =+-+-= (7.7)
将024,,A A r 的值和k =24代入得到m =444.36(元),与表7.3中的数据完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法。
当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表7.2商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表7.1中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12﹪是一年期,而在表7.1中是上一档半年期,6.66﹪是五年期而在表7.1中是上一档三年期。其次再考察表7.2商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。
依据这两个结论,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。
(2)还款周期
我们看到个人住房贷款是采用逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(7.7)式中的利率r 代之以年利率R =0.06255,那么由k =2, 2A =0, 0A =10000,则可以求出年还款额应为
m
~=5473.87(元) 这样本息和总额为
2m
~=10947.73(元) 远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。
（3）平衡点
回到差分方程(7.1),若令1k k A A A +==,可解出
/A m r = (7.8) 称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当初值0/A m r =时,将恒有
/,1,2,k A m r k == 。
在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率r 和月还款额m 是固定的,则当初贷款额稍大于或小于/A m r =时,从方程(7.1)的解的表达式(7.7)中容易看出，欠款额k A 随着k 的增加越来越远离/m r ,这种情况下的平衡点称为不稳定的,对一般的差分方程
1()k k x f x +=, k =0,1,2，… (7.9)
称满足方程
()x f x =
的点*x 为（7.9）的平衡点。若（7.9）的解
lim *k k x x ->∞
= (7.10)则称*x 为
稳定的平衡点,否则称*x 为不稳定的平衡点。判别平衡点*x 是否稳定的一个方法是考察导数'(*)f x :
（1）当'(*)f x <1时, *x 是稳定的; （2）当'(*)f x >1时, *x 是不稳定的。
在金融乃至经济等其他领域中,还有许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。下面再介绍几个典型例子。
7.2养老保险
养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出:在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下,男子若25岁起投保,届时月养老金2282元;若35岁起投保,月养老金1056元;若45岁起投保,月养老金420元。我们来考察三种情况下所交保险费获得的利率。
设投保人在投保后第k 个月所交保险费及利息累计总额为k F ,那么很容易得到数学模型
??
?++=-+==++=++M N N k q r F F N
k p r F F k k k k ,,2,1,)1(,,2,1,)1(1
1 (7.11)
其中,,p q 分别是60岁前所交的月保险费和60岁起每月领的养老金数(单位: 元),r 是所交保险金获得的利率,,N M 分别是投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(单位:月).显然M 依赖于投保人的寿命,我们取该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值75
岁,以25岁投保为例,则有
p =200,q =2282，N =420,M =600
而初始值0F =0,据此不难得到
?????++=-+-+==-+++=--M
N N k r r q r F F N k r r p r F F N k N k N k k
k k ,,2,1,/]1)1[()1(,,1,0,/]1)1[()1(0
(7.12)
由此可得到关于r 的方程如下
(1)(1/)(1)(1/)0M M N r q p r q p -+-++++= (7.13)
记1x r =+,且将已知数据代入,则只需求解方程
60018012.4111.410x x -+= (7.14)
由方程(7.14)求得x =1.00485, r =0.00485（非线性方程求近似解）。
对于35岁起投保和45岁起投保的情况,求得保险金所获得的月利率分别为0.00461和0.00413。
7.3金融公司支付基金的流动
金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额5400万的基金,分开放置在位于A 城和B 城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而A 城公司有10%支付基金流动到B 城公司, B 城公司则有12%支付基金流动到A 城公司。其初A 城公司基金为2600万, B 城公司基金为2800万。按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万,那么是
否需要在必要时调动基金?
设第1k +周末结算时, A 城公司B 城公司的支付基金数分别为1k a +，1k b +(单位:万元),那么有 ??
?+=+=++k
k k k
k k b a b b a a 88.01.012.09.011 ,2,1,0=k (7.15)
这是一个差分方程组,初始条件为
0a =2600,0b =2800 (7.16)
通过迭代,可以求出第k 周末时的k a 和k b 的数额,下面的表7.4列出了几种情况下1至12周末两公司的基金数。
00k k
k k
1 2 3 4 5 6 2676.0 2724.0 2735.3 2664.7 27815 2618.5 2817.6 2582.4 2845.7 2554.3 2847.7 2532.3 7 8 9 10 11 12
2884.8 2515.2
2898.1 2501.9 2908..5 2491.5 2916.7 2483.3 2923.0 2477.0 2927.9 2472.1
表7.4（b ） ,2800
00==b a 的两城支付基金表 k
k a k b
k k a k b
1 2 3 4 5 6 2832.0 2568.0 2857.0 2543.0 2876.4 2523.6 2891.6 2508.4 2903.5 2496.5 2912.7 2487.3 7 8 9 10 11 12
2919.9 2480.1 2925.5 2474.5 2929.9 2470.1 2933.3 2466.7 2936.0 2464.0 2938.1 2461.9
表7.4（c ） 2400,3000
00==b a 的两城支付基金表 k
k a k b
k
k a k b
1 2 3 4 5 6 2988.0 2412 2978.6 2421.4 2971.3 2428.7 2965.6 2434.4 2961.2 2438.8 2957.7 2442.3 7 8 9 10 11 12 2955.0 2445.0
2952.9 2447.1 2951.3 2448.7 2950.0 2450.0 2949.0 2451.0 2948.2 2451.8
从表7.4（a ）中可以看出A 城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步减小; B 城公司的基金变化正好相反。然而, k a 是否有上界, k b 是否有下界? k b 是否会小于2200万元呢？我们还是不能断言。
解决这个问题有许多方法,下面我们借助线性代数知识来处理这个问题,将(7.15)式写成矩阵形式
????
?????? ?
?=????
??++k k k k b a b a 88.012.01.09.011 (7.17)
那么我们就可以得到
???
?
??????
?
?=???? ??+++001
1188.012.01.09.0b a b a k k k (7.18) 利用正交变换（也可以利用矩阵迭代）,便可以圆满地回答前面的问题。对于本例，当k
充分大A 城公司的支付基金为2945.8万元，B 城公司的支付基金为2454.2万元。均满足2200万元的最低保证金要求（请读者自己完成）。
类似于差分方程平衡点的讨论，对于一般的一阶常系数差分方程组
1k k X AX += （7.19） 称满足方程组
X AX =
的解向量*
X 为（7.19）式的平衡点。如果 lim *k k X X →∞
=
称平衡点是稳定的。记
{}
()||0A I A σλλ=-=
可以通过分析矩阵A 的特征值来判断（7.19）式平衡点的稳定性：
（1） 当任意的(),||1,A λσλ∈<或者1λ=，平衡点*
X 是稳定的；
（2） 当任意(),||1,A λσλ∈≥且1λ≠，平衡点是不稳定的。
对于本模型，通过求1λ=的特征向量，得到*[2945.8,2454.2]T
X =。也
可以用迭代法求近似解。矩阵A 的两个特征值分别为1，0.78，因此，该平衡点是稳定的。
7.4选举问题
西方国家的政治生活中,选举是一件大事。随着选民人数的变化，选举的趋势会是怎样的？一直是各个政党十分关心的问题。本节我们介绍用差分方程建立一个由三个政党参加的选举问题。
考虑有C B A ,,三个政党参加每次的选举，每次参加投票的选民人数保持不变。通常情况下，由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响，原来投某党票的选民可能改投其他政党。为此，我们作如下假设：
(1) 每次投A 党票的选民，下次投票时，分
政党的票，每别有321,,r r r 比例的选民投C B A ,,次投B 党票的选民，下次投票时，
分别有
党的票，每次
321,,s s s 比例的选民投C B A ,,各政投C 党票的选民，下次投票时，分别有3
21,,t t t 比例的选民投C B A ,,各政党的票；
（2）,,k k k x y z 表示第k
次选举时
分别投
C B A ,
,各党的选民人数。
每次投票的选民数变动情况见流程
图7.1。 根据假设,可以得到如下差分方程组
1r
111112221333k k k k k k k k k k k k
x r x s y t z y r x s y t z z r x s y t z +++=++??
=++??=++? （7.20）
其中, 1,1,1321321321=++=++=++t t t s s s r r r 令
1112
223
3
3,k k k k x r s t A r s t X y r s t z ??
?? ? ?
== ? ? ? ?????
上式可以表示为矩阵形式
1k k X AX += （7.21）
如果给出问题的初始值，就可以利用递推方法，求出任一次选举时的选民投票情况。
通过求（7.21）式的平衡点满足的方程组
111222333x r x s y t z
y r x s y t z
z r x s y t z
=++??
=++??=++?
解得，*[22222,7778,10000]T X =
以下是几个实例模拟，模型各参数均取相同值（初值出外），其中，0.75r =，
231231230.05,0.2,0.6,0.2,0.2,0.4,0.2,0.4r r s s s t t t ========。我们将结果放在表
7.5中，供大家参考。
（1）T T z y x ]10000,7800,22200[],,[000=
表7.5（a ）
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C 22200 22210 22216 22219 22220 22221 22222 22222 22222 7800 7790 7784 7781 7780 7779 7778 7778 7778
10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
(2) T T z y x ]13333,13333,13333[],,[000=。
表7.5（b ）
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C 13333 18000 20033 21045 21580 21870 22029 22116 22164 13333 11333 9833 8928 8415 8129 7971 7884 7836
13333 10667 10133 10027 10005 10001 10000 10000 10000
(3) T T z y x ]10000,20000,10000[],,[000= 表7.5（c ）
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B
C
10000 15500 18525 20189 21104 21607 21884 22036 22120 20000 14500 11475 9811 8896 8393 8116 7964 7880 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
(4) T T z y x ]0,20000,20000[],,[000=
表7.5（d ）
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B
C
20000 19000 20050 20947 21505 21825 22003 22101 22156 20000 13000 10350 9133 8511 8179 7998 7899 7844 0 8000 9600 9920 9984 9997 9999 10000 10000
可以验证，当16=n 时，四组初值条件下，三个政党的选票数将分别稳定在22222、7778、10000。进一步借助矩阵还可以证明，当2.0,05.0,75.0321===r r r ， 2.0,6.0,2.0321===s s s ，4.0,2.0,4.0321===t t t ，如果总选民数为40000，最终三个政党的选票数将分别稳定在22222、7778、10000。我们还可以借助这个模型,分析选民数有变化的情况。
7.5简单的种群增长模型
假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何?下面将建立一个简单的鹿群增长模型。
假设:
（1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等,所以本模型仅考虑母鹿的增长情况； （2）鹿群中母鹿的数量足够大,因而可近似地用实数表示；
（3）将母鹿分成两组:一岁以下的称为幼鹿组,其余的称为成年组；
（4）将时间离散化,每年观察一次,分别用,k k x y 表示第k 年的幼鹿数及成年鹿数，且假设各年的环境因素都是不变的;
（5）分别用12,b b 表示两个年龄组鹿的雌性生育率,用12,d d 表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记11221,1s d s d =-=-;
（6）鹿的数量不受自然资源的影响;
（7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s ，设1122,t sb t sb ==。 根据以上假设,建立模型如下
112112k k k
k k k
x t x t y y s x s y ++=+??
=+? k =0,1,… (7.22)
或写成矩阵形式
121112k k k k x t t x y s s y ++??
????= ?
? ???????
(7.23) 令
k u =k k x y ?? ???
, A =????
??2211s t s t 则(7.23)式可表示为
1
k k u Au += (7.24)
于是可得到
0k k u A u =
也即
012120k
k k x t t x y s s y ??
????= ?
? ???????
(7.25) 其中00,x y 分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。
关于,k k x y 的解法
假如A 可以对角化,先将A 对角化,如不能对角化,则将其化成约当标准型。对于本例,
可作如下处理,令
0=-I A λ
得到特征方程
0)(1221212=-++-s t s t s t λλ (7.26)
判别式122214)(s t s t +-=?>0
特征方程(7.26)有两个相异的实根21,λλ)(21λλ>,因此A 可以对角化。对应的特征向量分别为
T s s ),(1211-=λα, T s s ),(1222-=λα。
由此得到
A =???? ??--1221
2
1s s s
s λλ???? ??2100λλ1
1
2212
1-?
??
? ??--s s s s λλ (7.27)
因而
k
A =???? ??--1221
21s s s
s λλ???
?
??n n
2100
λλ1
1
221
21-???
? ??--s s s s λλ
代入(7.25)式得
k k x y ??= ??????? ??--1221
21s s s s λλ1200k k λλ?? ???????
??21c c =12122211
12
()()k k k k s s s s λλλλλλ
??--
? ???
????
??21c c 也即
11212222111212
()()k k
k k k
k x c s c s y c s c s λλλλλλ?=-+-?=+? （k 0≥ ） (7.28) 其中
?
??
? ?????? ??--=????
??-001
1
221
2
121y x s s s s c c λλ (7.29) 故解为
{}{
}
{}
{}{
}
{
}
???+=-+-=
,,,1,,,1,,,,,,,,1)(,,,1)(;,,,,2
221221111432102222222
1121143210λλλλλλλλλλs c s c y y y y y s c s c x x x x x (7.30) 最后,我们利用(7.30)式对下面一组数据进行验证，取
001212800,1000,0.24, 1.2,0.62,0.75x y t t s s ======
经计算得
??
?-==40446
.039446.121λλ 将这组数据代入（7.29）得 ??
?==4789.113311
.02
1c c
由（7.30）式得
{}12,,x x ={1.392, 1.829, 2.596, 3.602, 5.03, 7.011,…} {}12,,y y ={1.246, 1.798, 2.482, 3.471, 4.837, 6.746,…}
模型分析
该模型没有考虑资源的限制，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，模型需要修正。读者可以作进一步考虑。
7.6 Leslie 人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设
(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性 人口的发展变化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段（不妨假设S 为
m 的整数倍）
，每隔/S m 年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。 (2) 记()i n k 为第i 个年龄组第k 时段的女性总人数，。第i 年龄组女性生育
率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，假设,i i b d 不随时间变化，记
12()[(),(),,()],1,1,2,,T m i i n k n k n k n k s d i m ==-= 。
(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响。
模型建立与求解
根据以上假设，可得到方程
1()n k =
1
()m
i i i b n k =∑
1(1)()i i i n k s n k ++= i =1,2，…,m -1
写成矩阵形式为
(1)()n k Ln k += （7.31）
其中，
L =?????
??
? ??--000000000121121m m m s s s b b b b 记
12(0)[(0),(0),,(0)]T m n n n n = （7.32） 假设(0)n 和矩阵L 已经由统计资料给出，则
()(0)k n k L n = k =1，2，…
为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：
(i) 0,1,2,,1i s i m >=-
(ii) 0,1,2,,i b i m ≥= ，且i b 不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的：
定理7.1 L 矩阵的正特征根是唯一的、单重的，若记之为0λ，则其对应的一个特征向量为
2
1101201210*[1,/,/,,/]m T m n s s s s s s λλλ--= （7.33）定理7.2
若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ≤。 定理7.3 若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ，则 （i ）若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ<。 （ii ）
0lim ()/k k n k λ->+∞
=*cn ， （7.34）
其中c 是与(0)n 有关的常数。
定理7.1至定理7.3的证明这里省去。由定理7.3的结论知道，当k 充分大时，有
0()*k n k c n λ≈ (7.35)
定理7.4 记121i i i b s s s β-= ，()q λ）=1β/λ+2β/λ2
+…+m β/λm
，则λ是L 的非零
特征根的充分必要条件为
()1q λ= （7.36） 所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。由（7.35）式可得到如下结论：
(i) 当1λ>时，人口数最终是递增的； (ii) 当1λ<时，人口数最终是递减的； (iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。 根据（7.36）式，如果λ=1，则有
1213121211m m b b s b s s b s s s -++++=
记
121312121m m R b b s b s s b s s s -=++++ （7.37）
R 的实际含义是平均每个妇女一生中所生女孩数。当1R >时，人口递增；当1R <时，人口
递减。
Leslie 模型有着广泛的应用，这里我们给出几个应用的例子，供读者参考。
动物种群管理
随着种群数量的增长,由于受食物、生存空间等自然资源的制约,种群的总量不能无限制地增长,增长比例会逐渐减小。而且让动物群体自然地增长,而不去捕获它,也会造成一种资源的浪费,但是过度的捕获会导致动物种群趋于灭绝。那么我们应该采取怎样的捕获策略呢?
现在我们来考虑一个牧场或饲养场的一个动物种群的饲养,从经济的角度出发，我们总是希望尽可能多的饲养动物，但是，如果饲养的动物太多的话，牧场的条件又不许可。我们不妨假设动物的数量在牧场规模许可的范围内时，其食物、生存空间等自然因素对动物群体的增长不构成较大的制约。下面我们将给出一个持续稳定的屠宰方案,进行周期的屠宰。假设每次屠宰都在生育期和哺乳期之后进行,每次屠宰数量相同,屠宰后的动物数量与上一次屠宰后的数量相同。类似于Leslie 模型,我们仅考虑雌性动物数量的变化。
仍然采用前面的一些记号,且假设第i 个年龄组的动物按i h 的比例屠宰,称其为第i 组的屠宰率,并称矩阵 H =diag(m h h h ,,,21 )为屠宰矩阵。则各组的动物屠宰数量可用向量
()HLn k 表示。根据持续屠宰策略的要求得到方程
()()()Ln k HLn k n k -= (7.38)
上式表明()n k 是矩阵L -HL 的特征值为1所对应的特征向量。 容易算出
L -HL =?????
??
?
?
?---------0)1(0
)1(000)1()1()1()1()1(1
231
211
12
111m m m m s h s h s h b h b h b h b h
(7.39) 从上式可以看出,矩阵L -HL 也是Leslie 矩阵,因此该矩阵有正特征根1的充要条件为
1121231223121221(1)[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]1
m m m h b b s h b s s h h b s s s h h h ---+-+--++---=
(7.40)
该式表明,如果12,,,m h h h 满足(7.40)式,就能保证种群数量的稳定，此时对应的一个特征向量为
121223121231(1)(1)(1)(1)(1)(1)m m s h s s h h s s s h h h -??
??-????--??????---??
（7.41）
下面考虑在任给一个初始年龄分布向量12(0)[(0),(0),,(0)]T m n n n n = 后,怎样确定
,1,2,,i h i m = ，才能获得持续稳定的收获策略。根据(7.40)式，令
*(0)an n =
解得
111(0)(1)(0)(0),2,3,,i i i i a n h s n n i m
--=?
?
-==? (7.42) 因此
111111(0)/(0)1(0)/(0),2,3,,m
i i i i i i i h n b n h n s n i m
=--?-=?
?
?-==?∑ (7.43) 要使解出的i h 满足01i h ≤≤,根据(7.43)式,只要初始年龄分布向量满足
111
(0)(0)
(0)(0),2,3,,m
i i i
i i i b n n s n n i m
--?≥???≥=?∑ 据此得到
定理7.5 设12(0)[(0),(0),,(0)]T m n n n n = 是一个初始年龄分布向量,如果(0)n 的分量满足
111
(0)(0)
(0)(0),2,3,,m
i i i i i i b n n s n n i m
--?≥???≥=?∑ (7.44)
则可以唯一确定一组i h ,m i ,,2,1 =,其中
111111(0)/(0)1(0)/(0),2,3,,,
m
i i i i
i i i h n b n h n s n i m =--?
=-?
??=-=?∑ (7.45) 满足方程
()(0)(0)L HL n n -=
其中,L 是Leslie 矩阵,H 为屠宰矩阵。
最优年龄分布向量的确定
从定理7.5可知,任意给定一组初始年龄分布向量,可以唯一确定一组i h 。(7.不同的初始年龄向量分布所确定的屠宰矩阵是不一样的。下面考虑怎样的初始年龄分布向量,可使屠宰数量最大。也就是说,当动物总数控制在某一范围内时,使每年的屠宰的数量为最大。
假设动物群体的规模为N ,即当动物总数不超过N 时,动物群体的增长几乎不受环境因素的制约。设初始年龄分布向量12(0)[(0),(0),,(0)]T m n n n n = ,则在下一次屠宰前,年龄分布向量为
(0)Ln =[1122111
(0),(0),(0),(0)m
i i m m i b n s n s n s n --=∑ ]T
由于动物的总数不能超过N ,即
1
1
(0)(0)m m
i i
i i
i i b n s n N ==+≤∑∑
这里取0m s =,各组动物的屠宰量可以由向量(0)(0)Ln n -唯一确定,即
(0)(0)(0)HLn Ln n =-
屠宰总数M 为
1
1
1
(0)(0)(0)m m m
i i i i i i i i M b n s n n ====+-∑∑∑ （7.46）
最优年龄分布向量问题归结为如下线性规划问题
1
11
11
1max (1)(0)
(0)(0)(0)(0),2,3,,()(0)m
i i i i m
i i i i i i
m
i i i i b s n b n n s n n i m
b s n N ==--=?
+-??
?
≥???≥=??
+≤?
?
∑∑∑ (7.47) 此处我们不打算介绍线性规划问题的解法,有兴趣的读者可以参阅文献
[15]
。
7.7 差分形式阻滞增长模型
我们在前面介绍的都是线性差分方程模型,对这类方程的求解与稳定性分析是比较容易的。下面介绍的模型涉及非线性差分方程，对于一般的非线性差分方程，求解与稳定性分析都是比较困难的，通常需要借助计算机给出数值解。本节我们通过一个例子说明，非线性差分方程具有线性差分方程所没有的一些有趣的性质，比如，周期分支，混沌现象等。
在第六章中，我们曾用微分方程形式的Logistic 模型来描述种群增长，即
)1(m
N y ry dt dy -= （7.48） 但是，我们在处理实际问题时，通常用离散化的时间来研究会觉得更加方便，也能更好地利
用观测资料。例如有些生物每年在固定的时间繁殖，通常人们对动物种群的观测也是定期进行的。于是需要阻滞增长的离散模型。将方程（7.48）离散化得到
1(1)1,2,k
k k k m
y y y ry n N +-=-
=
（7.49）
记
1,/(1),()(1)k k m b r x ry r N f x bx x =+=+=- （7.50） 则（7.49）式可以简化为
1(1)()1,2,k k k k x bx x f x k +=-== （7.51）
上式是一阶非线性差分方程。在实际应用中通常没有必要找出该方程的一般解，因为给定初值后利用计算机就可以方便地递推出k x 。
事实上，在应用差分形式的阻滞增长模型（7.49）或者（7.51）时，人们最关心的是k →∞时k y 或者k x 的收敛情况，即差分方程平衡点的稳定性问题。
方程(7.48)有两个平衡点,m N y y ==*,00。00=y 是不稳定的平衡点，m N y =*是稳定的平衡点，即不论)0(>r 和)0(>m N 取什么值都有：当k →∞时，方程的解()m y k N →。那么该方程的差分形式的方程（7.51）是否也有同样的性质呢？下面的分析将会看到，情况并不完全一样。
对于差分方程（7.51），因为0>r ，所以1>b 。为了求（7.51）式的平衡点，令 )1()(x bx x f x -==
容易得到其平衡点为b x x /11*,00-==，非零平衡点*x 所对应的就是（7.48）式的非零平衡点*N 。为了分析*x 的稳定性，我们考虑（7.51）的局部线性化方程
1'(*)(*)(*)k k x f x x x f x +=-+ （7.52） 关于*x 的局部稳定性有如下结论：
定理7.6 若1|*)('|
因此1|*)('|=x f 在分析方程稳定性的过程中具有重要作用。 由1|*)('|=x f ，容易得到3=b 。
根据定理7.6，我们有：
当31<b 时，（7.51）式给出的平衡点是不稳定的，而（7.48）式 给出的平衡点仍然是稳定的，两者的稳定性并不相同。
虽然31<
图7.2 31<
对于21<
32<
围绕着*x 呈衰退状的上下振动。图7.3给出了非零平衡点不稳定的情况，即3>b 的情况。
图7.3 3>b 方程（7.51）平衡点不稳定
虽然3>b 时，方程（7.51）的非零平衡点是不稳定的，但是方程（7.51）仍然可以求解，进一步计算k x 的值还是有一定规律的，对于某些b 值，k x 具有某类周期性，即k x 包含收敛到不同值的收敛子序列。下面我们通过几个例子来加以说明。
倍周期收敛
利用差分方程（7.51），可以得到
21()(())()k k k k x f x f f x g x ++=== （7.53）
其中，)1)(1())(()(22bx bx x x b x f f x g +--==。
类似于（7.51）式的分析，可以得到（7.53）式的非零平衡点为
b
b b b x x x 2321*,23
,21--+== （7.54）
不难验证，当3>b 时，1*32<< 1|*)('|>x g ，*1x x =是（7.53）式的不稳定的平衡点。事实上，令 (),*(*)*u f x u f x x === 则 '()'()dg du dg g x f x du dx du = ?=? '(*)|'(*)|g x f x = 进一步分析可以得到，|)(')('||)('||)('|3232x f x f x g x g ==，即32,x x 的稳定性相同。 此时 )21)(21()(')('32232x x b x g x g --== （7.55） 类似于定理7.6，我们有 当1|)(')('||)('||)('|3232<==x f x f x g x g 时，32,x x 是稳定的平衡点； 当1|)(')('||)('||)('|3232>==x f x f x g x g 时，32,x x 是不稳定的平衡点。 据此，可以得到 32,x x 的稳定条件为 613+< 图7.4 613+< 当61+>b 时,3,2x 不再是(7.53)的稳定平衡点。令 4(())k k x g g x += （7.57） 进一步分析还可以得到4周期解，8周期解等形式的周期解。图7.5是一个4周期解的例子，迭代方程为（7.57）式，从图中我们可以看出，方程（7.57）共有7个非零平衡点，其中3个为方程（7.53）的平衡点，对于61+>b ，这3个平衡点是不稳定的。类似与方程（7.53）的分析，可以得到另外4个平衡点的稳定性是相同的。其稳定条件为 <<+b 61 3.544 (7.58) 图7.5 544.361<<+b 方程(7.51)存在4周期稳定解 按照这样的增长规律，我们可以讨论序列{}k x 的n 2周期的收敛情况。收敛性完全由参 数b 确定。如果记n b 为n 2周期收敛的上限，则上面的结果给出：61,310+==b b ， 544.32=b 。更深入的分析，可以得到，}{n b 单调递增，且 57.3lim =∞ >-n n b （7.59） 当57.3>b 时{}k x 就不再有任何n 2周期收敛情况的发生，{}k x 的趋势呈现一片混乱，这就是所谓的混沌现象。图7.6就是其中的一个例子。 图7.6 57.3>b 混 沌情形 差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。 二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则 人口预测模型 摘要 一、 问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、 问题分析 人口问题关乎众多，影响国家的发展，如何做到对人口的准确预测和趋势的分析对于指导国家政策的制定，指导国民经济的发展至关重要。数学建模就是利用现有的有限的统计数据，提取其中的有效数据，对我国人口作出预测。并分析模型的优点和缺点，做出相应的修正，并提出相应的优化和改进模型。 三、 模型建立与模型求解 1、 模型一： 1.1、 模型假设： 本题解答中假设有以下条件成立： （1）.人口在考察的时间内不发生迁移，或是迁移数量很少，不影响结果的总体趋势。 （2）.人口出生率农村城镇城市的在考察时间内基本保持不变。 1.2、 模型建立： 考虑到市，镇，乡村的人口性别比例，妇女生育率以及人口的死亡率都有所差别，我们分别建立市，镇，乡村的差分方程模型。市，镇，乡村合起来即可得到全国人口增长的差分方程模型。 （1）首先，在不考虑人口迁移的情况下（以人口的户籍变动为准），以乡村为例，建立人口增长的LESLIE 模型。 记乡村第t 年i 岁的人口数为1()i x t （用上标1表示乡村，上标2表示镇，上标3表示市），乡村第t 年i 岁人口的死亡率为1()i d t ，乡村第t 年i 岁人口的存活率为 1()i s t 。则11()1()i i s t d t =-。这里我们假设1()i b t 和1()i d t （从而 1()i s t ）不随时间t 变化，在稳定的情况下这个假设是合理的。 于是第(1)t +年(1)i +岁人口数为： 111111(1)()()(1())()i i i i i x t s t x t d t x t ++==- （1） 假设生育率与年龄和时间有关，记t 年i 岁乡村女性生育率（每位女性平均生育的婴儿数）为1()i b t ，育龄区间为[]12,i i （根据题目附录二数据取15到49岁为育龄区间）. 进一步将1()i b t 分解为 111()()()i i b t t h t β=， 2 1 1()1i i i i h t ==∑； （2） 其中：1()i h t 是生育模式，而1()t β满足 分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学 咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性 差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability 一、问题重述 人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国实行计划生育政策，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但该政策实施30多年来，其负面影响也开始显现。如临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应进行了大量的研究和评论。 党的十八届三中全会《决定》提出，启动实施单独两孩政策。这是新时期我国生育政策的重大调整完善，备受社会关注。 请解决以下问题： （1）针对国家卫生计生委副主任王培安单独二孩不会导致人口大增的人口预测，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对单独二孩会不会导致人口大增进行分析，并发表自己的独立见解。 （2）建立数学模型，针对深圳市讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 二、问题分析 问题1、启动实施单独二胎政策，是经过充分的论证和评估的。对于我国目前为什么要放开二胎政策这个问题，以及为什么单独二孩不会导致人口大增是有以下情况决定的。 进入本世纪以来，我国人口形势发生了重大变化。一是生育水平稳中趋降，我国目前总和生育率为1.5-1.6，如果不实行单独二胎新政策，总和生育率将继续下降。二是人口结构性问题，劳动年龄人口开始减少，人口老龄化速度加快，出生人口性别比长期偏高。三是家庭规模持续缩减。四是城乡居民生育意愿发生很大变化，少生优生、优育优教的生育观念正在形成。 通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化来验证单独二孩政策的必要性以及单独二孩不会导致人口大增的预测。 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易 第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记 )](,),(),([)(21t n t n t n t n m = 第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记 1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n =∑=m i i i t n b 1 )( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 )()1(t Ln t n =+ 其中，L =?????? ? ? ??--000000000121121m m m s s s b b b b （1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2） 假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则 t 1 +t 1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为 中国人口增长预测模型 摘要 人口发展战略是国民经济和社会发展的基础性战略。以人为本的科学发展观强调，在以经济建设为中心的同时，更好地促进人的全面发展。优先投资于人的全面发展是科学发展观在人口发展战略中的具体体现。优先投资于人能够在人的发展与物资财富的增长之间建立有机联系，符合社会发展趋势，体现了历史合理性。 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。因此，就需要对人口增长问题进行研究。 在考虑人口变化的数学模型中，传统的数学模型主要是微分方程模型，其主要缺点是数值计算较困难。本文结合中国的实际情况，考虑到人口的巨大迁移数，将LESLIE 差分方程模型做了进一步推广，得到了某地区（主要考虑市，镇，乡）人口发展的差分方程模型，以男性为例： 其中00(),(),(),i i i X t U t g t 分别是该 地区第t 年i 岁男性人口的数量，死 亡率，迁入率。 0()t φ是第t 年出生的男婴总数，由方程 ()()()()49 015 ()[1]1[11]i i i i i t t k t X t Y t φαα==---+-∑决定，其中i α是第()1t -年平 均每个妇女所生的孩子；()1i k t -是第()1t -年女性人数的比例；()1i Y t -是第()1t -年女性人数；()t α表示t 年女婴的比重；类似的可以得到了 ()()()()()()()()() 0010010i i i i i o i X t X t U t X t g t X t t X P i φ+?+=-+? =?? =? 女性的差分方程模型。 利用SPSS软件的自回归模型对()t α及各个参数进行了估计。对出生率和死亡率通过随机变量期望法可以估计。其它的参数也可以通过相应的办法得到估计。 利用所建立的差分方程，利用MATLAB和SPSS软件，我们获得了各地区各年龄段男，女人口的详细数据，在此基础上我们对数据进行了详细的分析和预测，研究了全国人口和各地区人口数量、性别比、老龄化、总和生育率、稳定性以及抚养比的分析和预测得到以下结论： 全国人口数量开始持续增长，大约在年，达到最大值，然后持续下降，在年降到，在年里降到；全国人口男女性别比到年基本上保持在正常水平，但以后有显著性的变化；在年达到。我国现在已经进入老年化社会，抚养比在年达到最大，约为，然后趋于平稳，其值约为；由人口的稳定性分析可知：从长远角度来说，如果现有政策不改变，人口结构趋于稳定。通过对总和生育率的分析，农村的总和生育率为；城镇的总和生育率为；城市的总和生育率为；所以我国现阶段的总和生育率是偏低的。 关键字：差分方程、自回归、参数估计、加权平均、生育率、死亡率。 问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和 1. 人口总量预测 (1)人口总量趋势外推模型 图 1 永康市1985年以来历年的人口变化 (2)人口增长率预测模型 人口增长率预测模型是根据计划生育有关指标而进行的一种人口预测方法。数学公式表示为： + 1( =) + P P n? k P （3-2）0 式中: P表示规划期总人口(人)，P0表示规划基期总人口(人)，ΔP表示规划期间人口机械增长数(人)，n表示规划年期，k表示规划期间人口自然增长率。人口自然增长率k可用出生率b和死亡率d表示： =（3-3） k- d b 图 2 永康市1989年以来历年的人口出生率、死亡率和自然增长率 图3 永康市1989年以来历年的户籍人口迁移数量 (3)人口离散预测模型 人口离散预测模型也即人口差分方程预测模型，又称“宋健模型”，是我国自行提出的比较成功的人口发展预测模型，能较好的运用人口普查资料对未来人口进行预测。该模型是根据分年龄的人口结构递推公式进行预测，模型的数学表达如下： 1 ,...,2,1,0) ()()](1[)1()()()()()](1[)(10002 1-=+?-=+????-=+∑m i t f t X t t X t X t k t h t t t X i i i i r r i i i μβμ （3-6） 式中：X 0(t)为t 年代0岁出生婴儿数，X i (t)为t 年代之年龄组人口数，μ00(t)为t 年出生婴儿当年死亡率，β(t)为妇女总和生育率，即社会人中平均意义下一个妇女在整个育龄时期的生育总数（r 2，r 1即为生育年龄的上下限），h i (t)为生育模式，反映某一地区某一个育龄妇女生育状态分布，k i (t)为t 年代之年龄组女性性别比，μi (t)为t 年代之年龄组人口死亡率，f i (t)为t 年代之年龄组净迁移数。 在模型的具体应用中，课题组工作的重点是如何确定公式3-6中的各种参数。①第五次人口普查资料中的数据是2000年11月1日的数据，而规划所需的数据是年末的数据，课题组将普查的户籍人口分龄人口数按比例修正到2000年底的统计人口总数作为X i (t)；②从普查资料来看45岁以下的性别比比较稳定，为了简化模型，t 年代之年龄组女性性别比k i (t)用常量 k 表示，即采用普查资料中的45岁以下的男女性别比=104.85(女性=100)推算，故k= 0.488326；③根据普查资料，妇女总和生育率取2000年的数据β(t)= 0.8795；④模型中出生婴儿当年死亡率μ00(t)假定与2000年出生婴儿当年死亡率的80%，即采用μ00=3.88‰。⑤从第五次人口普查资料看来，2000年分龄死亡率的数据波动较大，课题组结合1990第四次人口普查资料，对2000年分龄死亡率的数据进行移动平均处理，并采用死亡修正80%后作为死亡模式μi (t)1；⑥以第五次人口普查资料分龄生育率为生育模式h i (t)；⑦第五次人口普查统计2000年迁入人口2 032人，迁出人口5 777人，当年人口机械增长呈负增长，而根据统计年鉴数据（图6），2000年人口机械增长接近于零，故在本模型预测中先按封闭模型进行预测。 将上述确定的参数代入模型3-6，进行计算机模拟预测，得到如下结果：2007年人口总数为212 648人，2020年为200 600人。另人口机械按增长率预测模型取2000~2007年间的人口机械增长数为ΔP =1 000 7=7 000，取2008~2020年间为ΔP=2 000 13=26 000。则有2007年人口总数为219 648人，2020年为233 600人。 1 移动平均采用公式：μi =0.25μi-1+0.5μi +0.25μi+1 1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活 费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问 60 岁时应存入多少钱？ 分析： (1) 假设 k 个月后尚有 A k 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： A k 1 aA k b ，其中 a = 1 + r 每岁末尚有多少钱 ,即用差分方程给出 A k 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 A k 0 由（ 1）可得： A A a k b a k 1 k 0 r n 若 A n 0 ， b A 0 ra n a1 (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝ (80-60)*12=240 时， A 240 0 ， b A 0 ra 240 (1) 240 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2) 用 MATLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 a 1 思考与深入： (2)结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完 (3)A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80 岁， 60 岁时应存入15.409 万元。 2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立 10 年还清，每月需还多差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 少？ 分析：记第k 个月末他欠银行的钱为 x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2? 在r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。 编写M文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB 计算并作图 : k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。 如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MATLAB 计算如下： >>x0=100000; >>r=0.005; >>n=120; >>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10 年还清，则每年返还1110.2 元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为 我国人口总量和结构的中长期预测模型 摘要 近年来，由于计划生育政策的实施和人民生育观念的改变，我国人口出现了总量减少、老龄化、性别比例失衡等问题，如何适时调整我国的人口政策已成为国家的重要课题。本文运用差分方程的思想，围绕是否及何时全面放开二胎对我国未来人口总量和人口的老龄化水平、性别比例产生的影响建立了按年龄分组的离散人口模型，并由此对国家的人口政策给出了合理化建议。 针对问题一，考虑到人口主要由妇女的生育情况决定，以及不同的年龄结构对未来人口的较大影响，在分析近几年我国人口数据后，将人口按年龄每5岁划分为一个年龄组，相应地，年份的也每5年划分为一个时段，然后根据近几年自然增长率数据，首先对2015年各个年龄组的人口做出预测，之后提出生育模式的概念，表示生育率按年龄的分布情况，并进行曲线拟合，建立了基于Leslie 矩阵的人口预测模型，计算当前总和生育率约 1.22，代入模型，运用迭代法求解。对未来30年我国的人口总量和结构进行了预测。得出保持当前生育情况不变，我国人口总量在未来30年将持续减少，并在2045年减少到10.3亿，人口老龄化加剧，性别比例失衡有所缓解的结论。 针对问题二，通过对我国城镇化水平和国民收入情况的分析，估算出放开二胎后的总和生育率约为1.9，在模型一的基础上，通过改变总和生育率和人口的初始分布，建立了2016年和2020年放开二胎后的按年龄分组的人口模型，并进行对比，发现方案一（2016年放开二胎）到2045年人口总量约11.1亿，方案二（2020年放开二胎）则30年后约为10.5亿，两种方案老龄化水平、性别失衡情况均优于政策未调整时的情况，其中方案一对人口老龄化修复效果更好，方案二对性别比例失衡修复效果较好。 针对问题三，在问题一、二的基础上对未来我国的劳动力数量进行预测，并提出国家综合考虑经济、人口老龄化、性别比例、社会稳定的影响，尽早逐步放开二胎的建议。 关键词：人口预测，二胎政策，年龄结构，Leslie矩阵，差分方程模型，总和生育率 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 中国人口增长预测 摘要 中国乃泱泱人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，预测人口模型的合理性，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展。因此，建立合理的模型，准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。 对此，本文通过建立适当的模型，预测出了短期和中长期（到2050年）中国人口的变化趋势和走向，并给出了在这段时间内人口结构的具体预测数据和曲线走向，包括总人口数、年龄结构、出生率和死亡率等。 在此模型中，为精确预测，我们用到了人口密度、生育率、死亡率、人口总数以及迁出率等影响人口的因数，并将我国人口整合为一个由城市男性、城市女性、城镇男性、城镇女性、乡村男性、乡村女性组成的1x6的矩阵。同时用人口密度、生育率、死亡率及迁出率作为参数并结合人口发展偏微分方程，再通过完善和改进，建立了一个一阶偏微分方程的模型。最后以此模型作为基础，进行人口数据的相关预测。 对于求解一阶偏微分方程模型中的相关参数，我们首先用MATLAB和EXCEL等软件对题目所给的2001年到2005年的数据进行处理和适当筛选。在求解生育率时，通过用MATLAB的曲线拟合工具箱，经处理和比较，最后选取 差分方程模型 一、引言 数学模型按照离散的方法与连续的方法, 可以分为离散模型与连续模型。 1、确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型), 如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型),如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型),如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模(动态优化模型),如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2、确定性离散模型 1) 逻辑方法建模,如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模,如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3)图的方法建模,如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4)差分方程建模,如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展,人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题,差分方程就就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下,动态连续模型用微分方程方法建立,与此相适应,当时间变量离散化以后,可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型,又可建立离散模型,究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如,人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型),又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。 二、 差分方程简介 在实际中,许多问题所研究的变量都就是离散的形式,所建立的数学模型也就是离散的,譬如,像政治、经济与社会等领域中的实际问题。有些时候,即使所建立的数学模型就是连续形式,例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但就是,往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化,从而将连续型模型转化为离散型模型。因此,最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论与求解方法在数学建模与解决实际问题的过程中起着重要作用。 1、 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程,则称这个方程为差分方程。 2、 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ, (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数,其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数,且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2、1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要就是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根与复根的情况给出方程解的形式。 2、1、1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ,则 1 差分方程人口预测模型 一、名词和符号说明 名词解释： （1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica 做曲线拟合。 （2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。 （3）迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r 是f(x)=0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（0x ,f(0x )）做曲线y=f(x)的切线L ，L 的方程为))(()(000x x x f x f y -'+=,求出L 与x 轴交点的横坐标 ) () (0001x f x f x x '- =,称1x 为r 的一次近似值，过点（1x ,f(1x )）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x 轴的横坐标) () (1112x f x f x x '- =称2x 为r 的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列{Xn},其中) () (11n n n n X f X f X X '-=++, 称为r 的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 符号说明： )(k x i 第 k 年i 岁的女性总人数 )(k x 女性人口的（按年龄）分布向量 )(k b i 第k 年i 岁的女性生育率 i d 第k 年i 岁的女性死亡率 i s 第 k 年i 岁的女性存活率 i 岁女性的生育模式 )β(k k 年总和生育率（控制人口数量的主要参数） i h -192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y ?=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +?=Δ?Δ=ΔΔ=Δ+++1212 2)(为t y 的二阶差分。类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+?++t t t y y y 。 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++?++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。其对应的齐次方程为 0110=+++?++t n t n t n y a y a y a L （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则)2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的 解，其中21,c c 为任意常数。若) 1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则 )2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程 001 10=+++?a a a n n L λ λ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为 t n n t c c λλ++L 11 （n c c ,,1L 为任意常数） （ii ）若λ是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ的项为t k k t c c λ)(1 1?++L ， ),,1(k i c i L =为任意常数。 （iii ）若特征方程（3）有单重复根 i βαλ±=，通解中对应它们的项为 t c t c t t ?ρ?ρsin cos 21+，其中22βαρ+=为λ的模，α β ?arctg =为λ的幅角。 （iv ）若i βαλ±=是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 t t c c t t c c t k k k t k k ?ρ?ρsin )(cos )(12111?+?+++++L L(完整版)差分方程模型(讲义)
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