大学物理考试复习题
8-6长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地
分布着线密度
荷?试求：(1)在导线的延长线上与导线 直平分线上与导线中点相距 d 2=5.0cm 解：如题8-6图所示
2n 0 J l 2 +4d ；
1 I = 15 cm d 2
2
E Q =E
Qy 二14.96"0 N C-1，方向沿 y 轴正向
8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为’，求环心处O 点的场强. 解：如8-7图在圆上取dl 二Rd :
(1)在带电直线上取线元 dx ,其上电量 dq 在P 点产生场强为
dE P
1
■ dx
2
4 n ；0 (a - x)
1
2
dx
l
E P = dE P =
4 n 0 J (a - x)
4 n
0 I a —— 2 ■I
2 2 n
°(4a -l ) 用 I = 15 cm ，人=5.0 N 10 " C m 」，a = 12.5 cm 代入得 2
E p =6.74 10 N C J 方向水平向右
dE Q 二 1 (2)同理 dx —~?2
x d 2 方向如题8-6图所示
由于对称性I
dE Qx =0
, dE Qy 即E
Q 只有y 分量，
d 2 1 dx
4 n
0 x 2
+d ； /x^d 2
E Qy = ,dE
d 2 ■
Qy
dx
3
2
(x 2 d 2)2
1
=5.0x10 -9C m -1 的正电
B 端相距a i =5.0cm 处P 点的场强;⑵在导线的垂 以? =5.0 10 勻
C cm =5 cm 代入得
dq = ‘dl =R 'd ，,它在O 点产生场强大小为 dE 二亠
4 n o
R
方向沿半径向外
dE x 则
=dE sin =
sin :d
4 n ;0
R
dE y
二 dE cos （二-） cos d
4 n 0
R
JT 丸
E x -0
sin d
积分
4 n 0
R
2 n 0
R
E
=；齐C0『d _。
E = E x
???
2 n 0R
,方向沿x 轴正向.
8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为I ，总电量为q .(i)求这正方形轴线上离中心为 r 处的场强
E ； (2)证明：在r I 处，它相当于点电荷q 产生的场强E .
q
解：如8-8图示，正方形一条边上电荷 4在P 点产生物强dE p 方向如图，大小为
l 2
j r 2 + — f 4
I
COSd 2
二-cost
人
I
dE p 二
1
4 n 2 J 2
J 2 J 2
j 42
dE p 在垂直于平面上的分量 dE ] =dE p cos ：
cost -cos 丁
2
dE P
题8-8图
P 点场强沿OP 方向，大小为
4几lr
12
； 丨2
4n%(r 2 +*)J r 2 +空
4l
解：(1)由高斯定理
立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等
①-q
???各面电通量
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 2a 的立方体，使q 处于边长2a 的立方体中心，则
e
边长2a 的正方形上电通量
6
-
①e
对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则 如果它包含q 所在顶点则=° .
l
2
l 2
dE =
4 n 0, r — ■ r — r
l 2
r
2 J 2
4
1
由于对称性， E P
=4 dE = qr
2)\「2 工一
4 ： 2 方向沿OP
(1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一
(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上
，这时穿过立方体各面
?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为
R 的圆平面.q 在
4 R arcta n
— A 点处，求：通过圆平面的电通量.(
X )
E P
4n ；o (r 2
8-9
个面的电通量； 的电通量是多少
该平面轴线上的
-E dS 」
s
-7
q 24
d￡?
⑶???通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 R
2
x
2的球冠面的电通量，球冠
面积*
2
2
X
S = 2 M R X )[—「2——2
]
IR 2 +x 2
:一虫 _______ S
土
_X_
* — 2 2 —
/~2
2
；0 4 M R X )
2 ；o [ . R x ]
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
a
S = ° 2 n sin 卫 rd ： 2
a
=2 n 0 sin ： d ：
2
=2 n (1 - cos 』)
8-10 均匀带电球壳内半径 6cm ,外半径10cm ,电荷体密度为2 x1^ C m -3求距球心 5cm , 8cm ,12cm
各点的场强.
--二 q 2 ' q
qE dS =——E4町
2 =——
解：高斯定理s ；0 ,
；0
当 r =5 cm 时，二 q = 0, E = 0
4 n r =8 cm 时，' q 一 p 3 (r 3 一「内)
P±(r 3 _r 内)
3
2
4
n
0r
: 3.48 104 N 8-11 半径为R 和R 2(R 2 > R 1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量 ’和 -'試求：(1) r v R 1 ； (2) R 1 v r v R 2 ； (3) r > R 2 处各点的场强.
如题8-9(a)图所示.题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图
方向沿半径向外
r =12 cm 时
(r 外3
4 n ；°r 2
4.10 104
N C‘
沿半径向外
--■ q
qE dS =—-
解：高斯定理s；。
取同轴圆柱形高斯面，侧面积S = 2nl
s
E dS=E2nl
r :: Ri ' q = 0, E = 0
R ::: r ::: R2
E =
2冗；0「沿径向向外
r R2' q =0
E =0
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为'的正电荷，两直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中心O点处的场强和电势.
dl 二Rdh
则dq「Rd二产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
31 JI
sin( )「sin
[ 2 2 :
2 n 0R
⑵AB电荷在O点产生电势，以U ：： = 0
解：（1）由于电荷均匀分布与对称性AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取
2 ■ Rd^
-；4 n；0R2
COST
U1
A■ dx 2R_dx_
R 4 n；0x
ln 2
4 n；0
同理CD产生
半圆环产生
U 2ln 2
4 n 0
U3
T R-
4n；0R 4；
I
题8-17图
E
ax ,放在均匀磁场中.B 与 xOy 平面垂
直，细杆CD 平行于x 轴并以加速度a 从抛物线的底部向开口处作平动 .求 CD 距0点为y 处时回路中产生的感应电动势 .
解：计算抛物线与CD 组成的面积内的磁通量
i.X
2B ~
BdS =2 a B （y -：x 2）dx =2 y 2
U O =U i U 2 U 3
ln 2 -
2 n
；o
4 ；
10-1 一半径r =10cm 的圆形回路放在 B =0.8T 的均匀磁场中.回路平面与 B 垂直.当
d r =80cm s -1收缩时，求回路中感应电动势的大小 .
dt
回路半径以恒定速率 解：回路磁通 2
■7: m
= BS = B n r
感应电动势大小
dr =2（B n r 2） =B2n r 空=0.40
V dt dt dt
10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路 ，半径R =5cm ,如题10-2图所示.均
匀磁场 =80 X 10-3T ,
的方向与两半圆的公共直径 （在Oz 轴上）垂直，且与两个半圆构
成相等的角:-当磁场在5ms 内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向
解：取半圆形cba 法向为i ,
题10-2图
n R 2
B cos:
2
同理，半圆形adc 法向为j ，则
应 Bcos ：
2
??? B 与i 夹角和B 与j 夹角相等，
d ① m Z = ---------------
dt
方向与cbadc 相反，即顺时针方向.
dB dt
-8.89 10 V
*10-3如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状
题 10-3
03v?