【精选】北师大版七年级上册数学 有理数易错题(Word版 含答案)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，
数轴上表示?2和?5的两点之间的距离是________，
数轴上表示1和?3的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和?1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；
（3）当代数式|x+1|+|x?2|取最小值时，相应x的取值范围是________.
【答案】（1）3；3；4
（2）1；-3
（3）?1?x?2
【解析】【解答】解：(1)、|2?5|=|?3|=3；
|?2?(?5)|=|?2+5|=3；
|1?(?3)|=|4|=4；
( 2 )、|x?(?1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=?2，
所以x=1或x=?3；
( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x?2|取最小值，那么表示x的点在?1和2之间的线段上，
所以?1?x?2.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；
（3）|x+1|+|x?2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x?2|有最小值，从而得出x的取值范围.
2．认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离。因此，一般地，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，那么A,B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a-b|。
因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求的最小值；
即数轴上x与1对应的点之间的距离，即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.
设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.
当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时；
当x＞2时，即P点在B点右侧，此时＝ PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；
当x ＜1时，即P点在A点左侧，此时＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；
综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），取得最小值为1.
请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：
（1）满足的x的取值范围是________。
（2）求的最小值为________，最大值为________。
备用图：
【答案】（1）当x<-3或x＞4
（2）-3；3
【解析】【解答】解：（1）由，在数轴上表示-3和4两点，
当x<-3时， >7;
当-3≤x≤4时， .
当x＞4时， .
故当x<-3或x＞4时 .
（ 2 ）
当x＜-1，
当-1≤x≤2，，此时当x=2时，取得最大值3，当x=-1时，取得最小值-3；
当x＞2时， .
故的最小值为-3，最大值为3.
【分析】（1）此题实质就是求表示x的点与-3的对应点的距离及表示x的点与4的对应点的距离和大于7时，x的取值范围，从而分当x<-3时、当-3≤x≤4时、当x＞4时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号后一一判断即可得出答案；
（2）此题实质就是求表示x的点与-1的对应点的距离及表示x的点与2的对应点的距离差最小值与最大值，从而分当x＜-1、当-1≤x≤2、当x＞2时三种情况根据绝对值的意义分
别去绝对值符号考虑即可得出答案.
3．阅读材料，并回答问题
如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．
（单位：cm）
由此可得，木棒长为__________cm．
借助上述方法解决问题：
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？
（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．
（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。灰太狼计划为全家抓5只羊，综合考虑口感和生长周期等因素，决定所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁。请问灰太狼有几种抓羊方案？
【答案】（1）解：如图：
点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．
由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为-40，当点M移动到点B时，点N 所对应的数为116．
可求MN=52．
所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．
即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．
（2）解：设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，依题意得：
解得：，则x=4,或x=5,
即抓四只小羊一只老羊或抓五只小羊
【解析】【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm；（2）在求村长爷爷年龄时，借助数轴，把美羊羊与村长爷爷的年龄差看做木棒MN，类似村长爷爷比美羊羊大时看做当N点移动到A点时，此时M点所对应的数为-40，美羊羊比村长爷爷大时看做当M点移动到B点时，此时N点所对应的数为116，所以可知爷爷比美
羊羊大[116-（-40）]÷3=52，可知爷爷的年龄.
（3）设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，根据“ 所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁”列不等式组，求解.
4．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足与互为相反数.
（1） ________， ________， ________.
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；
（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 .
①请问：的值是否随着时间变化而改变？若变化，说明理由；若不变，请求其值.
②探究：在(3)的情况下，若点、向右运动，点向左运动，速度保持不变，
值是否随着时间的变化而改变，若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）解：-3；-1；5；(2)3；
（2）3
（3）解：① ，
，
.
故的值不随着时间的变化而改变；
② ，
，
.
当时，
原式，的值随着时间的变化而改变；
当时，
原式，的值不随着时间的变化而改变.
【解析】【解答】（1）∵，∴，，解得，，∵是最大的负整数，∴ .故答案为：-3，-1，5.
(2) ，对称点为， .故答案为：3.
【分析】（1）由非负数的性质可求出a、c，最大的负整数是-1，故b=-1；
（2）折叠后AC重合，A、C的中点即为对称点，再根据对称点求出跟B重合的数；（3）①用速度乘以时间表示出运动路程，可得到和的表达式，再判断
的值是否与t相关即可；②同理求出和的表达式，再计算，分情况讨论
得出结果.
5．已知数轴上顺次有A、B、C三点分别表示数a、b、c，并且满足(a+12)2+|b+5|=0，b与c互为相反数。一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，速度为2个单位/秒。
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，那么点P所表示的数是________。
【答案】（1）解：由题意得：a+12=0, b+5=0,
则a=-12, b=-5,
c=-b=5，
∴A、B、C分别表示的数为-12，-5和5.
（2）解：设小蜗牛到点B的距离为1个单位长度时表示的数为x,
则 ,
解得：x=-4或-6，
∴小蜗牛运动的距离为：-4-(-12)=8, 或-6-(-12)=6.
∴小蜗牛运动6秒或8秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度.
（3）8或2
【解析】【解答】解：（3）设P点表示的数为x, 则
1)当P在AB之间时，即-12≤x＜-5时，
PA+PB+PC=x-(-12)+(-5)-x+5-x=20,
解得x=-8.
2)当P在BC之间时，即-5≤x＜5时，
PA+PB+PC=x-(-12)+x-(-5)+5-x=20,
解得x=-2.
3)当P在C的右边时，即x≥5时，
PA+PB+PC=x-(-12)+x-(-5)+x-5=20,
解得x=(舍去).
【分析】（1）根据非负数之和等于0，列式求得a、b值，再根据互为相反数的定义求得c；
（2）设小蜗牛到点B的距离为1个单位长度时表示的数为x, 根据数轴上两点间距离公式列式去绝对值求得x即可；
（3）设P点表示的数为x, 分三种情况，1)当P在AB之间时，即-12≤x＜-5时; 2)当P在BC 之间时，即-5≤x＜5时; 3)当P在C的右边时，即x≥5时，根据数轴上两点间距离公式分别列式求出x, 再检验即可.
6．如图1，在一条可以折叠的数轴上，点A，B分别表示数-9和4.
（1）A，B两点之间的距离为________.
（2）如图2，如果以点C为折点，将这条数轴向右对折，此时点A落在点B的右边1个单位长度处，则点C表示的数是________.
（3）如图1，若点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度也沿数轴向右运动，那么经过多少时间，A、B两点相距4个单位长度?
【答案】（1）13
（2）-2
（3）解：设运动t秒后，点A与点B相距4个单位，
由题意可知点A表示的数为-9+3t，点B表示的数为4+2t，
∴，
∴或
解得t=17或9.
答：运动9秒或17秒后，点A与点B 相距4个单位．
【解析】【解答】解：（1）AB=4-（-9）=13（2）设点C表示的数是x，
则AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，
∵A落在点B的右边1个单位，
∴AC-BC=1,
即AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，
解得：x=-2，
∴点C表示的数是-2．
故答案为：-2．
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解；（2）设点C表示的数是x，分别表示出AC、BC，再根据AC-BC=1列出方程解答即可；（3）运动t秒后，可知点A表示的数为-9+3t，点B表示的数为4+2t，再根据AB的距离为4，可得方程，解方程即可．
7．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时。
（1）如果甲、乙、丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？
（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时。那么要多少小时完成？
（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需要说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）
【答案】（1）解：设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时，则甲、乙、丙三个教师
的阅卷速度分别为；如果甲、乙、丙三人同时改卷，令需要x时间完成，那么
，整理得，解得x=
（2）解：设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时，则甲、乙、丙三个教师的阅卷速
度分别为；如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每
人各阅卷1小时，共3个小时，则一轮甲、乙、丙三人可阅卷，
三轮共9小时，一共阅卷，还剩下，接下来该轮到甲阅卷，因
为，所以甲阅卷1小时后，阅卷还没完，还剩下的任务，因此乙
还要进行阅卷，因为，所以乙在一小时之内能阅完试卷，所用时间为=
小时，即35分钟，所以完成阅卷任务的时间=9小时+1小时+35分钟=10小时35分钟
（3）解：能，可以按丙甲乙的顺序，根据（2）可得设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需
要8小时，则丙、甲、乙三个教师的阅卷速度分别为；如果按照丙、甲、乙、丙、甲、乙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，共3个小时，则一轮丙、
甲、乙三人可阅卷，三轮共9小时，一共阅卷，还
剩下，接下来该轮到丙阅卷，因为，所以丙阅卷1小时，阅卷即可完成，所以完成阅卷任务的时间=9小时+1小时=10小时，它比（2）中所花时间少35分钟，提前了半个多小时，所以可按丙甲乙的顺序
【解析】【分析】（1）设需要x时间完成，由工作效率×工作时间=工作总量，利用甲工作量+乙工作量+丙工作量=1，列出一元一次方程，解之即可；
（2）根据每轮完成的工作量，分析经过几轮在谁手中完成的改卷任务，再将各段时间相加即可求出结论；
（3）按丙甲乙的顺序，3轮后丙再做1个小时的任务，正好完成，求出完成阅卷的时间，与（2）中的结论进行比较即可.
8．阅读下列材料:对于排好顺序的三个数: 称为数列 .将这个数列如下式进行计算: ，，，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列的“关联数值”.
例如：对于数列因为
所以数列的“关联数值”为6.进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列的“关联数值”为0；数列的“关联数值”为 3...而对于“ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.
（1）数列的“关联数值”为________；
（2）将“ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是________，取得“关联数值”的最大值的数列是________ （3）将“” 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列.
【答案】（1）-4
（2）7；-3、4、2
（3）解：∵-3=-3，-3+(-6)=-9，-3+(-6)-a=-9-a，a>0，
∴-9-a<-9<-3，
∴数列3、-6、a的“关联数值”为-3，
∵-3=-3，-3+a=a-3，-3+a-(-6)=a+3，a>0，
∴-3<-3+a ∴数列3、a、-6的“关联数值”为a+3， ∵-(-6)=6，-(-6)+a=a+6，-(-6)+a-3=a+3，a>0， ∴a+6>6，a+6>a+3， ∴数列-6、a、3的“关联数值”为a+6， ∵-(-6)=6，-(-6)+3=9，-(-6)+3-a=9-a，a>0， ∴9>9-a，9>6， ∴数列-6、3、a的“关联数值”为9， ∵-a=-a，-a+(-6)=-a-6，-a+(-6)-3=-a-9，a>0， ∴-a-9<-a-6<-a， ∴数列a、-6、3的“关联数值”为-a， ∵-a=-a，-a+3=3-a，-a+3-(-6)=9-a，a>0， ∴-a<3-a<9-a， ∴数列a、3、-6的“关联数值”为9-a， ∵a>0，这些数列的“关联数值”的最大值为10， ∴-3、9、-a、9-a不符合题意， ∵a+6>a+3， ∴a+6=10， 解得：a=4. 取得“关联数值”最大值的数列为-6，4、3. 【解析】【解答】（1）∵-4=-4，-4+(-3)=-7，-4+(-3)-2=-9， ∴数列的“关联数值”为-4. 故答案为-4（2）“4、-3、2”这三个数按照不同的顺序排列有4、-3、2；4、2、-3；-3、4、2；-3、2、4；2、4、-3；2、-3、4共6种排列顺序， 由（1）得数列的“关联数值”为-4. ∵-4=-4，-4+2=-2，-4+2-(-3)=1， ∴数列4，2，-3的“关联数值”为1， ∵-(-3)=3，-(-3)+4=7，-（-3）+4-2=5， ∴数列-3、4、2的“关联数值”为7， ∵-(-3)=3，-(-3)+2=5，-(-3)+2-4=1， ∴数列-3、2、4的“关联数值”为5， ∵-2=-2，-2+4=2，-2+4-(-3)=5， ∴数列2、4、-3的“关联数值”为5， ∵-2=-2，-2+(-3)=-5，-2+(-3)-4=-9， ∴数列2、-3、4的“关联数值”为-2， ∴这些数列的“关联数值”的最大值是7，取得“关联数值”的最大值的数列是-3、4、2 故答案为7；-3、4、2 【分析】（1）根据材料所给计算方法计算即可；（2）按不同顺序计算出“关联数值”即可；（3）按不同顺序计算出“ ” 这三个数的“关联数值”，根据a>0，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求出a值即可. 9．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为点的运动速度为，运动时间为 . （1）点对应的数为________，点对应的数为________； （2）若，试求为多少时，两点的距离为； （3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11 （2）解：∵，且 , ∴， ① 即 解得： ② 即 解得： , （3）解：①当点H在点B的左侧时，如图： 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当点H在点B的右侧时，如图： ∵， 而 ∴ ∴， 故答案为：或 【解析】【解答】（1）∵，∴，， ∴，， 故答案为：；； 【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可； 10．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2。动线段CD=4（点D在点C的右侧），从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒。 （1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数； ②用含有t的代数式表示点D表示的数。 （2）当AC=2BD时，求t的值。 （3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD-BC的值始终保持不变?请求出它的值并说明此时线段CD的位置。 【答案】（1）解：①∵点C表示的数是-6，CD=4且点C在点A的右边 ∴点D表示的数为-6+4=-2； ②∵从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒。∴点C表示的数为-8+2t， ∵CD=4 ∴点D表示的数为：-8+2t+4=-4+2t; （2）解：∵运动t秒后，点C表示的数为-8+2t，点D对应的数为-4+2t， ∵AC=2BD，点B表示的数为2，点A表示的数为-8 ∴-8+2t-（-8）=2|-4+2t-2| ∴t=-6+2t或t=6-2t 解之：t=6或2； （3）解：①当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2) AD+BC的值保持不变，且AD+BC=AB+CD=14 ②当线段CD在点B的右侧时(图3) ADBC的值保持不变，且ADBC=AC+CDBC=AB+CD=14 【解析】【分析】（1）①由点C表示的数及CD的长及点C在点A的右边，就可求出点D 表示的数；②根据线段的运动方向及运动速度，可得到点C表示的数为-8+2t，再由CD的长，就可用含t的代数式表示出点D表示的数。 （2）求出运动t秒后点C和点D表示的数，再根据AC=2BD，建立关于t的方程，解方程求出t的值。 （3）分情况讨论：当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2) ；当线段CD在点B的右侧时(图3)，分别利用绝对值的性质及两点间的距离公式就可求出AB+CD的 值。 11．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒 （1）数轴上点B表示的数是________；点P表示的数是________(用含t的代数式表示) （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ （3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长。 【答案】（1）﹣14；8﹣5t （2）解：分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5； ②点P、Q相遇之后， 由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3． 答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2 （3）解：线段MN的长度不发生变化，其值为11， 理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×22=11； ②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP﹣NP= AP﹣ BP= （AP﹣BP）= AB=11 ∴线段MN的长度不发生变化，其值为11． 【解析】【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝22， ∴点B表示的数是8?22＝?14， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒， ∴点P表示的数是8?5t． 故答案为：-14、8-5t； 【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8?22；点P表示的数为8?5t； （2）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后两种情况，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可； （3）线段MN的长度不发生变化，其值为11，理由如下：分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可. 12．在数轴上，点A,B分别表示数a,b，则线段AB的长表示为|a-b|，例如：在数轴上，点A表示5.点B表示2，则线段AB的长表示为|5-2|=3：回答下列问题： （1）数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________： （2）若AB=8，|b|=3|a|，求a,b的值. （3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x?a|+|x?b|的最小值为4，若a=3，求b的值 【答案】（1）4 （2）解：∵|b|=3|a| ∴b=±3a ∵AB=8 ∴|a-b|=8 当b=3a时，|a-b|=|-2a|=8 ∴a=4,b=12或a=-4,b=-12 当b=-3a时，|a-b|=|4a|=8 ∴a=2,b=-6或a=-2,b=6 综上所述：a=4,b=12或a=-4,b=-12或a=2,b=-6或a=-2,b=6. （3）解：由线段上的点到线段两端点的距离的和最小， ①当点b在a的右侧时， 得P在3点与b点的线段上，|x?3|+|x?b|的值最小为4， |x?3|+|x?b|最小=x?3+b?x=4， 解得：b=7； ②当点b在a的左侧时， 得P在3点与b点的线段上，|x?3|+|x?b|的值最小为4， |x?3|+|x?b|最小=3?x+x?b=4， 解得：b=?1； 故答案为：7或?1. 【解析】【解答】解：(1)1和-3两点之间的距离为|1-(-3)|=4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解；（2）根据|b|=3|a|，分类讨论b=3a和b=-3a时的情况，分别求解a、b即可；（3）根据|x?a|+|x?b|的最小值为4可知， a、b对应点在数轴上距离为4，再根据a的取值可解得b.