小学数学《定义新运算》练习题(含答案)(1)

小学数学《定义新运算》练习题（含答案）

（一） 直接运算型

【例1】 （★★奥数网题库）定义运算“⊕”如下：2a b a b +⊕=． （1） 计算2006⊕2008

（2） 计算3⊕7⊕11，3⊕（7⊕11）

（3） a b b a ⊕=⊕是否成立？

（4） ()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕是否成立？

分析：（教师先告诉学生

2

a b +表示（a+b ）÷2） （1）2006⊕2008＝200620082

+＝2007； （2）3⊕7⊕11＝372

+⊕11＝5⊕11＝5112+＝8 3⊕（7⊕11）＝3⊕7112

+＝3⊕9＝392+＝6； （3）因为2a b a b +⊕=，2b a b a +⊕=，又因为22a b b a ++=，所以a b b a ⊕=⊕成立； （4）由（2）的结论，3⊕7⊕11＝8，3⊕（7⊕11）＝6，因为8≠6，所以，()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕不成立.（强调“举反例”时只要有一个就能说明证明不成立）

[拓展]两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a

b.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(26

9) 4等于多少？ （2）108

（200819）

分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0

（2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……4，所以 108

（200819）=10813=4

【例2】 （★★奥数网题库）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].

分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25

[拓展]定义符号“\”表示求两个自然数相除所得的商的运算，例如：9\2=4，10\3\=3

（1） 求：29\8，2008\4，（1320×500）\250；

（2） 适用符号“\”和已经学过的运算符号来表示“求两个自然数相除所得余数”的运算.

分析：（1）因为29÷8＝3…5，所以29\8=3，同理，2008\4=502，（1320×500）\250=2640

（2）因为被除数÷除数=商…余数，所以余数=被除数-除数×商，所以，a 除以b 的余数为a-b ×（a\b ）

【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14

＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求

45 610的值．

分析：45 6

10＝4×10－5×6＝40－30＝10

[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|

分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1

（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1

【例4】 （★★★奥数网题库）定义新的运算a b a b a b ⊕=?++，求：

（1）62⊕，26⊕

（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕

（3）这个运算有交换律吗？

分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20

（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23；

1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23

（3）由于a b a b a b ⊕=?++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律）

，所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.

[拓展]定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），

（1） 求5※7，7※5；

（2） 求12※（3※4），（12※3）※4；

（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？

分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.

（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.

对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.

（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.

【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b 2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12

+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；

(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．

分析:（先告诉学生

a b 2+是一种运算，表示（a+b ）÷2，a b 12

+-就表示（a+b-1）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992

+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012

+-=，1999＋2001＝4000是偶数， 所以1999☆2001＝1999200120002

+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （2）因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012

+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992

+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001．

[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝

a b 3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝a b-23

+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）

分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891

【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）

×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．

分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，5

5P ＝5×4×3×2×1＝120

（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，6

6P ＝6×5×4×3×2×1＝720．

[前铺]定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1．

求3！，4！，5！；证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！

分析：（1）3！＝3×2×1＝6；

4！＝4×3×2×1＝24；

5！＝5×4×3×2×1＝120；

（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）

＝3×（6！）＋4×（6！）

＝7×（6！）

＝7！

[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.

（二）反求未知数

【例7】 （★★★★奥数网题库）如果a △b 表示(a-2)×b ，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △

2)△3=12时， a 等于几？

分析：（a △2）△3=［（a －2）×2］△3＝（2a －4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，

由6a-18=12，解得a=5

[前铺]对于两个数a 、b ，a △b 表示a ＋b －1．

计算：（1）（7△8）△6

（2）（6△A ）△A ＝84，求A ．

分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；

（2）6△A ＝6＋A －1＝5＋A ，（5＋A ）△A ＝5＋A ＋A －1＝2×A ＋4＝84，所以A ＝40．

【例8】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.

分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）

【例9】 （★★★★奥数网题库）规定：a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b-1），其中a 、b 表示自然数.

（1）求1△100的值；

（2）已知x △10=75，求x.

分析：（1）1△100=1＋2＋3＋……＋100=5050

（2）x △10=x ＋x ＋1＋x ＋2＋……＋x ＋9=10×x ＋45=75，10×x=30，所以x=3

[拓展] 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=y mx y x 26+?? (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?

分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=

6121221224

m m ??==?+?+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以 6295429==222911

???+?

[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.

（三）计算机程序语言

【例10】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．

分析：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C ＝501．

【例11】 （★★★★奥数网题库）有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数．装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3．这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出

3．那么输入9，经过A·B·C·D，输出几？

分析：输入9经过A 装置以后结果是9＋5＝14，再经过B 装置以后结果是14÷2＝7，经过C 装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D 装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．

[拓展]有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A ·B ，输入1后，经过A ·B ，输出3.

经过B ·D ·A ·C ，输出的是100，输入的是几？

分析：（方法一）假设输入的是w，那么经过B·D·A·C，变为：w÷2×3+5-4=100，w=66 （方法二）将100反过来经过C之前为：100+4=104，经过C·A之前为104-5=99，经过C·A·D 之前为：99÷3=33，经过C·A·D·B之前为：33×2=66

（四）其他常见类型

【例12】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）印第安人的古老部落里有这样一些式子：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．

这些算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按印第安人的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．

分析: 由印第安人的算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．

[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？

分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11

1．（例2）规定：a▽b＝（a＋b）÷2+2×a，则3▽（6▽8）是多少？.

分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.

2．（例6）如果 3*2=3＋33=36

2*3=2＋22＋222=246

1*4=1＋11＋111＋1111=1234

那么4*5=( ).

分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380

3．（例7）对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d.已知〈1，3，5，x〉=7，求x 的值.

分析：＜1，3， 5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x=7，x=6

4．（例9）如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？

分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，

由6a-18=12，解得a=5

5．（例10）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入

A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算

器输出的C值是_____．

分析：通过观察，10÷5=2，48÷8=6，121÷11=11，5=2+3，9=6+3，14=11+3，所以（A-3）×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=（A-3）×B=2005×4=8020