人教a高中数学必修四教案全

学 必 修

4教

45°

/I

x

60

B 1

B 3

1任意角

教学目标

（一） 知识与技能目标

理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念? （二） 过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角 的集合的书写. （三） 情感与态度目标

1 .提高学生的推理能力；

2 ?培养学生应用意识.

教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写. 教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入：

1 ?回顾角的定义

① 角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角

② 角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形. 二、新课：

1. 角的有关概念:

① 角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ② 角的名称:

-正角：按逆时针方向旋转形成的角

零角：射线没有任何旋转形成的角

-负角：按顺时针方向旋转形成的角 ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，

"角a ”或"/a ”可以简化成“a

⑵零角的终边与始边重合，如果a 是零角a =0

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角. ⑤练习：请说出角a 、B 、丫各是多少度

2 ?象限角的概念：

③角的分类:

始边

① 定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例1 ?如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ x 轴的非负半轴重合，那么角的终边

（端点除

例2.在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.

⑴ 60 ° ;⑵ 120 ° ;⑶ 240 ° ;⑷ 300 ° ;⑸ 420 ° ;⑹ 480 ° ;

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角.

3 .探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

所有与角a终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合S= { 3 I 3 = a +

k ? 360 °,

k€ Z}，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.

⑴k € Z

⑵a是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们

相差

360 °的整数倍；

⑷角a + k ? 720 °与角a终边相同，但不能表示与角a终边相同的所有角.

例3.在0。到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角.

⑴—120°;⑵ 640 °;⑶—950° 12 /.

答：⑴240° ,第三象限角；⑵280° ,第四象限角；⑶129° 48/ ,第二象限角；

例4.写出终边在y轴上的角的集合(用0 °到360°的角表示).

解:{ a I a = 90 ° + n ? 180 ° ,n € Z}.

例5.写出终边在y x上的角的集合S,并把S中适合不等式一360°<3< 720 °的元素3 写出来.

4. 课堂小结

①角的定义；

②角的分类：

一正角：按逆时针方向旋转形成的角

T零角：射线没有任何旋转形成的角

L负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法.

5. 课后作业：

①阅读教材P2-P5；②教材F5练习第1-5题；③教材习题第1、2、3题

思考题：已知a角是第三象限角，贝U 2 a, 一各是第几象限角？

2

解：角属于第三象限，

k ? 360°+180°

又k ? 180° +90°< — < k ? 180° +135° (k € Z).

2

当k 为偶数时，令k=2n(n € Z)，贝U n ? 360 ° +90°< — < n ? 360 ° +135° (n € Z),

2

此时，一属于第二象限角

2

当k 为奇数时，令k=2n+1 (n € Z)，贝U n ? 360° +270 °< 一 < n ? 360° +315° (n € Z),

2

此时，—属于第四象限角

2

因此—属于第二或第四象限角.

2

弧度制（一）

教学目标

（四）知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特

殊角的弧度数.

（五）过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，

并能运用公式解决一些实际问题

（六）情感与态度目标

通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.

教学重点

弧度的概念?弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系.

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？

1

规定把周角的作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制.

360

二、新课：

1. 弓I入：

由角度制的定义我们知道，角度是用来度量角的，角度制的度量是60进制的，运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度一弧度制，它是如何定义呢？

2. 定义

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制

叫做弧度制.在弧度制下，1弧度记做1rad .在实际运算中，常常将rad单位省略.

3. 思考:

（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关

吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳:

弧度制的性质：

r ①半圆所对的圆心角为—

r ③正角的弧度数是一个正数.

⑤零角的弧度数是零.

4. 角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

2 r

②整圆所对的圆心角为21 2 .

r

④负角的弧度数是一个负数.

⑥角a的弧度数的绝对值| a |=-.

r

,n R 1 n R l , ? S -

180

2 180

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化, 简洁得多.

360 2 ； 180

②将弧度化为角度：

面 0.01745rad ； n

rad . 180

180

2p = 360?；

p= 180?； 1rad =(竺)盎 57.30? 57?18@ n=(

P

180n P

角 度

0 O

30 O

45

O

60

O

90

O

120

O

135

O

150

O

180

O

270

O

360

O

弧

0 2

3

5

3 2

度

6

4

3

2

4

~6

2

7 .弧长公式

l

a 二一？丨 r ?a

r

(1) sin ; (2) tan1.5 .

4

例4.将下列各角化成 0到2 n 的角加上2k n( k € Z )的形式:

19 (1)旦;(2)

315 . 3 例5.将下列各角化成 2k n + a (k € Z,0

19

(1) ；⑵

3 19

解：(1)

3

31

6

而—是第三象限的角， 宜是第三象限角.

6 3

/c 、

31p

5p

⑵ Q -

= - 6p + , 6 6

空是第二象限角?

6

例6.利用弧度制证明扇形面

1

积公式S 丄IR,其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径.

2

证法一 ：?圆的面积为 R 2

, ?圆心角为1rad 的扇形面积为

1 2 R 2,又扇形弧长为I,半径为 2

R,

丨 ' 1 2 ???扇形的圆心角大小为 -rad, ???扇形面积s 丄丄R 2

R

丄

IR 2 证法二：设圆心角的度数为

n , 则在角度制下的扇形面积公式为

S

n R 2

話，又此时弧长

而弧度制下的扇形面积公式显然要

5?常规写法：

① 用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少n 的形式，不必写成小数.

② 弧度与角度不能混用.

6.特殊角的弧度

弧长等于弧所对应的圆心角 (的弧度数)的绝对值与半径的积. 例1.把

67° 30/化成弧度.

3

例2 .把—rad 化成度.

5

例3.计算：