Copula函数

一、 C o p u l a 函数理论

Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。

Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。

Copula 函数的性质

定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得

111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ???=???

(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。不然，Copula 函数C 只在各边缘累

积分布函数值域内是唯一确定的。

对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=???u

(2)

在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。

Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数

二、 Copula 函数的应用

Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。：

参数估计

Copula 函数的参数估计方法大致可分为三种:

○1关性指标法, 根据上面提到的Kendall 秩相关系数$ 与" 的关系间接求得。②适线法, 即在一定的适线准则下, 求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数。③极大似然法, 对于三维及以上的Copula 函数,相关性指标法显然不再适用, 此时大多采用极大似然法进行参数估计。

肖义在分析前两种方法的基础上,认为相对于单变量分布, Copula 函数的参数估计对资料的长度要求更高, 对于中小样本可能导致估计值抽样误差大, 估计值不稳定, 他采用自助法耦合这两种方法进行参数估计。统计试验表明, 相关性指标法参数估计值的置信区间较窄、结果更稳定, 自助法能够提高相关性指标法的估计能力, 对于适线法效果却不佳, 会造成估计值严重偏大。○4均方差(RMSE)：可以用来评价参数估计的有效性

Copula 函数的假设检验

卡方检验 Kolmogorov- Smirnov( K-S)检验

Copula 函数的拟合优度评价

( 1) 离差平方和准则法。采用离差平方和最小准则(OLS) 来评价Copula 方法的有效性, 并选取OLS 最小的Copula 作为联结函数。OLS

(2)AIC 信息准则法。AIC 信息准则包括两个部分: Copula 函数拟合的偏差和Copula 函数的参数个数导致的不稳定性

( 3)Genest–Rivest 方法。Genest 和Rivest提出了一种比较直观地选择Copula 函数的方法, Copula 函数主要应用方向如下

(1)在分期设计洪水中的应用

分期设计洪水既要满足防洪标准，又能反映洪水的季节性变化特征。现行分期设计洪水模式假定各分期频率均等于防洪标准T 的倒数，使得分期设计洪水值不能满足防洪标准的要求。选择合适的Copula 函数构建汛期分期为三分期、边缘分布为PIII 分布的分期设计洪水的联合分布。在假定分期设计洪水的联合重现期等于防洪标准T 的前提下，推导基于Copula 函数的分期设计洪水频率和防洪标准的关系，进而推求分期洪水设计值，并与现行分期设计洪水模式的计算成果相比较，分析论证了基于Copula 函数分期设计洪水的合理性，从理论和方法上回答和解决现行分期设计洪水中存在的问题，为分期设计洪水研究提供了一种新的途径。

现行方法采用分期最大洪水选样，根据这种洪水系列计算的洪水频率不同于通常根据全年最大洪水系列计算的频率。现行的分期设计洪水模式假定分期设计洪水频率均采用原来的年防洪标准，分期最大洪水系列中的部分（有时候甚至为全部）洪水不是年最大洪水，这些洪水在一年内就可能被超过多次。也就是，在各分期分别取样以后，其分期设计洪水值均小于或等于年最大设计洪水值，不能保证分期设计洪水能够真正达到规定的防洪标准，主汛期设计洪水一般较年最大值取样得到的设计洪水小，这样可能导致主汛期汛限水位较原设计汛限水位抬高这一明显不合理的现象，从

而降低水库的防洪标准。为避免这种现象的发生，规范与设计手册中将主汛期设计洪水值强制等于年最大取样计算的设计洪水值，但这种处理方法只能确保主汛期设计洪水达到指定的防洪标准，并不包含其它分期，因而仍不能够达到指定的年防洪标准。现行方法反映了洪水的季节性规律，却不能满足设计标准。正确计算分期设计洪水的途径应既要反映洪水的季节性规

律，又要使计算的分期设计洪水符合防洪设计标准（以年为单位的重现期表示）。

(2)在径流随机模拟中的应用

CAR(1)模型:基于Copula函数的一阶非平稳时间序列模型

随机模型的核心问题是构建联合分布或条件概率分布。建立了基于Copula函数的一阶非平稳时间序列模型，即季节性CAR(1)模型，并与季节性AR(1)模型进行比较。以宜昌站月径流模拟为例，研究了季节性CAR(1)模型的实用性。结果表明，所建模型能较好的模拟原序列的统计特性，尤其是偏态特性、非线性相关性和概率密度特征的保持上，为水文水资源随机模拟研究提供了一种新的途径。

(3)基于Copula 函数的设计洪水过程线方法

采用Copula 函数构造边缘分布为PIII 分布的联合分布,用以描述年最大洪峰和年最大时段洪量,并介绍两变量情形下的重现期定义,根据建立的联合分布和两变量的重现期提出基于两变量联合分布的设计洪水过程线推求方法. 研究有助于进一步认识设计洪水过程线的推求方法,并为设计洪水过程线推求提供了一种新思路.

(4)分期设计洪水频率与防洪标准关系研究

现行分期设计洪水模式估算的分期设计洪水值均小于或等于年最大设计值,达不到规定的防洪标准。采用Gumbel-Hougaard Copula函数描述两个分期的分期最大洪水之间的相关性结构,并构造边缘分布为P-Ⅲ分布的分期最大洪水联合分布,建立分期最大洪水与年最大洪水的关系式,讨论分期设计洪水频率与防洪标准应满足的关系,探讨能够满足防洪标准的新的分期设计洪水模式。应用示例表明,新模式主汛期设计值相对年最大设计值小幅度增加,而非主汛期设计值则小于年最大设计值,既满足不降低防洪标准的要求又能够起到优化设计洪水的作用,为分期设计洪水研究提供了一条新的思路。

(5)基于Copula 函数的设计洪水过程线方法

采用Copula 函数构造边缘分布为PIII 分布的联合分布,用以描述年最大洪峰和年最大时段洪量,并介绍两变量情形下的重现期定义,根据建立的联合分布和两变量的重现期提出基于两变量联合分布的设计洪水过程线推求方法. 研究有助于进一步认识设计洪水过程线的推求方法,并为设计洪水过程线推求提供了一种新思路.

本文在边缘分布为PIII 型分布的联合分布的基础上,初步探讨了设计洪水过程线推求方法,并与现行的基于单变量分布的同频率设计洪水过程线方法进行了比较. 单变量方法能够分别处理描

述洪水过程线的多个特征量,并控制各个特征量的重现期分别等于设计标准,但重现期的概念仅仅针对特征量,而不是针对整个设计洪水过程. 本文提出的基于峰量两变量联合分布的方法,将描述设计洪

水过程线的变量简化成峰量两个特征量,能够在考虑峰量相关性的前提下描述设计洪水过程的重现期. 所提出的方法适用于峰量均起控制作用情况下设计洪水过程线的推求,为设计洪水过程线研究提供了一条新思路. 本文仅对于两变量情形进行讨论,对于考虑3 个变量以上的设计洪水过程线推求,需要借助于多变量Copula 函数.

(6)基于Copula函数法推求分期设计洪水和汛限水位

采用3-维非对称型Frank Copula函数结构,构建汛期分期为三分期、边缘分布为P-Ⅲ型分布的分期洪水联合分布.在假定分期设计洪水值的联合重现期等于防洪标准T的前提下,推导基于Frank Copula函数的分期设计洪水频率和防洪标准的关系,解决了分期设计洪水达不到防洪标准和分期频率与年频率不一致的问题,为分期设计洪水、分期汛限水位优化设计提供了一条新思路.

采用Copula函数构建分期设计洪水的联合分布进而根据利用防洪标准的等价形式推求分期汛限水位,不仅考虑了各分期之间的相关性,而且在反映分期洪水季节性特征的同时,解决现行分期设计洪水达不到防洪标准的问题,同时用年组合频率作为下游防洪标准的等价形式,避开了现行汛限水位方法中年频率和分期频率含义不一致的问题,因而本文在联合设计分期洪水的基础上,从年组合频率和分期频率的关系出发,初选分期汛限水位,从而为分期设计洪水、分期汛限水位优化设计提供了一条新思路.

其他应用,在洪水频率分析计算中的应用,在降雨频率分析计算中的应用,在干旱特征分析中的应用,在洪水或降雨遭遇问题中的应用,在水文随机模拟中的应用

三、结论与展望

今后的研究将集中于以下三方面：

（1） Copula 函数理论与方法本身的完善：

函数虽早在1959 年就已提出, 但直到上个世纪90 年代才得以迅速发展, 其本身尚处于不断发展完善阶段,与其他理论如Bayes 理论、马尔可夫链等的结合将是该理论的一个发展趋势。2006 年, Huard 等通过Bayes 技术确定Copula 函数的选择, 这也是水文学家提出或改进数学方法理论的一个典型例子。另外, 当考虑到样本的尾部相关特征时, 如何选择与之相适应的Copula 函数也将是今后一个研究热点。

（2）Copula 函数应用范围的拓广。

凡是具有相关性的两个或多个变量, 无论是互相关还是自相关, 理论上都可以用Copula 函数刻画其相依结构, 这就使得Copula 函数将有很大的应用空间。具体到水文分析计算领域, 例如降雨与径流, 水沙关系, 防洪体系的防洪标准问题, 区域水文风险研究等等, 都可以应用该理论

进行研究。

( 3)Copula 函数维数拓展及相关问题。

目前对于Copula 函数的研究和应用多限于二维, 随着计算机技术的进步及研究问题的复杂性, 三维及以上Copula 函数的应用以及伴之而来的参数估计、函数类型选择等问题都需要进一步的研究。