平面向量易错题解析

平面向量易错题解析

1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？

2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2

2

||→→

=a a ；22||y x a +=）

3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算）

4.你弄清“02121=+?⊥→

→

y y x x b a ”与“0//1221=-?→

→

y x y x b a ”了吗？

[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？

（1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→

→b a ，不能推

出→

→=0b .

（2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→

→→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→

→

→

→

→

→

??≠??c b a c b a ，这是因为

左边是与→

c 共线的向量，而右边是与→

a 共线的向量.

5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注

意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r

按向量a r

＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r )；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，

规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直

线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r

、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

如下列命题：（1）若a b =r r

，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r

。（5）若,a b b c ==r r r r ，

则a c =r r 。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r

。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为

(),a xi y j x y =+=r r r

，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在

原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a r

，

有且只有一对实数1λ、2λ，使a =r

1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r ______（答：1322a b -r r

）；（2）下列向量组中，能作为

平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r

D. 1213

(2,3),(,)24

e e =-=-u r u u r （答：B ）；（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且

,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r 可用向量,a b r r 表示为_____（答：2433

a b +r r

）；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，

且?→

??→

?=DB CD 2，?→

??→

??→

?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4.实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=r r

当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当

λ＝0时，0a λ=r r

，注意：λa ≠0。

5.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作

,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π

时，a ，b 垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r

叫做

a 与

b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θr r

。规定：零向量与任一向量的数

量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，

则=?BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4π

，

则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ，则a b +r r

等于____；（4）已知,a b r r 是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r

，则与a a b +r r r 的夹角为____（答：30o ）

（3）在上的投影为||cos b θr

，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512）

（4）a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a r

与b 在a 上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥??=r r r r

；

②当，同向时，?＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =?==r r r r r ；当与反向时，?＝

－a b r r

；当θ为锐角时，?＞0，且 a b r r 、不同向，0a b ?>r r 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b r r 、

不反向，0a b ?

是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ?=r r

r r ；④||||||a b a b ?≤r r r r 。如（1）已知)2,(λλ=→a ，

)2,3(λ=→

b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且1

3

λ≠）；（2）

已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→??→?FQ OF ，若2

3

21<

（答：(,)43

ππ

）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==r r a r 与b r

之间有关系式

3,0ka b a kb k +=->r r r r

其中，

①用k 表示a b ?r r ；②求a b ?r r 的最小值，并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +?=>r r ；②最小值为1

2，60θ=o ）

6.向量的运算： （1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之

外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AC u u u r 叫做a r 与b r

的和，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=u u u r r u u u r r r r u u u r u u u r u u u r

那么，由减向量的终

点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r

___；

②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____（答：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r ）；（2）若正方

形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r

＝_____（答：22）；（3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABC V 的形状为____（答：直角三角形）；（4）

若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||

||

AP PD λ=u u u r

u u u r ，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r

，则ABC △的内角C 为____

（答：120o

）；

（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r

，12)y y ±。如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若

()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12

）；（2）已知

1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =u u u r 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π

或2π-）

；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r ，则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r

的终点坐标是 （答：（9,1））

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r

。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线

段的终点坐标减去起点坐标。如设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB =u u u r

u u u

r ，3AD AB =u u u r u u u r ，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11

(1,

),(7,9)3

-）

； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r

。如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c

＝（－1，0）。（1）若x ＝3

π

，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-

，函数b a x f ?=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2

o

或21--）； ⑤向量的模：22222

2

||,||a x y a a x y =+==+r r r 。如已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r

＝_____（答：13）；

⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()

22

2121||AB x x y y =

-+-。如如图，在平面斜坐

标系xOy 中，60xOy ∠=o

，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐

标是这样定义

的：若12OP xe ye =+u u u r u r u u r ，其中12,e e u r u u r

分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy

中的方程。（答：（1）2；（2）22

10x y xy ++-=）；

7.向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+r r r r ，()

()a a λμλμ=r r

，a b b a ?=?r r r r ；(2)结合律：()(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()()()

a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；（3）分配律：

()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，()

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r

。如下列命题中：①

→→→→→→→

?-?=-?c a b a c b a )(；② →

→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2

()a b →

→

-2||a →

=

22||||||a b b →→→-?+；

④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ?=?r r r r 则a c =r r ；⑥22a a =r r ；⑦2a b b

a

a

?=r r r

r r ；⑧22

2()a b a b ?=?r r

r r ；⑨2

2

2()2a b a a b b -=-?+r r

r r r

r 。其中正确的是______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(?≠?，为什么？

8.向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?=r r r r

22()(||||)a b a b ??=r r r r 1212x y y x ?-＝0。

如(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r

，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同（答：2）；（2）已知

(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r

，则x ＝______（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r

，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）

9.向量垂直的充要条件：

0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r 12120x x y y ?+=.特别地()()AB AC AB AC

AB AC

AB AC

+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r 。如(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = （答：32

）；（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r

，则m u r 的坐标是________ （答：

(,)(,)b a b a --或）

10.线段的定比分点：（教材未有内容，适度补充）

（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使

12PP PP λ=u u u r u u u r

，则λ叫做点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比，P 点叫做有向线段12PP u u u u r 的以定比为λ的定比分点；

（2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2

的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成

的比为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r 所成的比为

1λ

。如若点P 分AB u u u r 所成的比为3

4，则A 分BP u u u r 所成的比为_______（答：7

3-）

（3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP u u u u r

所成的比为λ，则

1212

11x x x y y y λλλλ

+?=??+?+?=?+?

，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式

121222

x x x y y y +?

=???+?=??。在使用定比分点的坐

标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ。如（1）若M （-3，-2），

N （6，-1），且1MP MN 3--→

--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3

--）；（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，

直线1

2

y ax =

与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u r ，则a 等于_______（答：２或－４） 11.向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、

同向或有0r ?||||||a b a b +=+r r r r ≥||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、

反向或有0r ?||||||a b a b -=+r r r r ≥||||||||a b a b -=+r r r r

；当 a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r

(这些和实数比较类似).

（3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为

123123,33x x x y y y G ++++?? ???

。如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）

、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24

(,)33

-）；

②1()3

PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r

为ABC ?的重心；

③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

为ABC ?的垂心；

④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r

u

u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

ABC ?的内心；

（3）若P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ

+=

+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为12P P 的中点122

MP MP

MP +?=

u u u u r u u u u r

u u u r ； （4）向量 PA PB PC u u u r u u u r u u u r

、、中三终点

A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+uu u r uu u r uuu r

且

1αβ+=.如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足

=?→

?OC ?→

??→

?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）

例题1 已知向量??? ??-=??? ??=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a ρρ,且,2,0??

?

???∈πx 求

(1) b a ρρ?及b a ρ

ρ+;

(2)若()b a b a x f ρρρρ+-?=λ2的最小值是2

3

-,求实数λ的值.

错误分析:(1)求出b a ρ

ρ+=x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,人为增加难度;

(2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论.

答案: (1)易求x b a 2cos =?ρρ, b a ρ

ρ+=x cos 2 ;

(2) ()b a b a x f ρρρρ+-?=λ2=x x cos 222cos ?-λ=1cos 4cos 22

--x x λ

=()12cos 22

2

---λλx

??

?

???∈2,

0πx Θ []1,0cos ∈∴x 从而:当0≤λ时,()1min -=x f 与题意矛盾,0≤λ 不合题意; 当10<<λ时,()2

1,23

122

min =

∴-=--=λλx f ; 当1≥λ时,(),2341min -=-=λx f 解得8

5

=

λ,不满足1≥λ; 综合可得: 实数λ的值为

2

1. 例题2 在ABC ?中,已知()()k ,1,3,2==,且ABC ?的一个内角为直角,求实数k 的值.

错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若,90?=∠BAC 即AC ⊥ 故0=?,从而,032=+k 解得3

2-

=k ; (2)若,90?=∠BCA 即AC BC ⊥,也就是0=?AC BC ,而(),

3,1--=-=k AB AC BC 故()031=-+-k k ,解得2

13

3±=

k ; (3)若,90?=∠ABC 即AB BC ⊥,也就是,0=?AB BC 而()3,1--=k BC ,故

()0332=-+-k ,解得.3

11=

k 综合上面讨论可知,32-

=k 或2133±=k 或.3

11=k

例题4 已知向量m=(1,1)，向量n →

与向量m →

夹角为π4

3

，且m →·n →

=-1，

(1)求向量n →

；

(2)若向量n →

与向量q →

=(1,0)的夹角为2π，向量p →=(cosA,2cos 22

c

)，其中A 、C 为?ABC 的内角，且A 、B 、

C 依次成等差数列，试求|n →+p →

|的取值范围。 解：(1)设n →

=(x,y)

则由

,n →

>=π43得：cos=n

m n m →→→

→??=22

222-

=+?+y x y x ①

由m →·n →

=-1得x+y=-1 ②

联立①②两式得?????-==10

y x 或?

????=-=01y x ∴n →=(0,-1)或(-1,0)

(2) ∵

>=

2

π

得n →·q →=0 若n →

=(1,0)则n →·q →=-1≠0故n →≠(-1,0) ∴n →

=(0,-1) ∵2B=A+C ，A+B+C=π ?B=

3π ∴C=A -3

2π

n →

+p →

=(cosA,2cos

2

12

-c

) =(cosA,cosC) ∴|n →

+p →

|=C A 22cos cos +=

22cos 122cos 1C A +++=12

2cos 2cos ++C

A

=12

)234cos(

2cos +-+A A π

=122sin 23

22cos 2cos +--

A A A =12

2sin 23

2cos 21+-A

A =

12)32cos(++πA ∵0

32π∴0<2A<34π 35323πππ<

+

π

)<21 ∴|n →

+p →

|∈(

2

5

,

22) 例题5 已知函数f(x)=m |x-1|(m ∈R 且m ≠0)设向量θ2cos ,1(=→

a )，)1,2(=→

b ，)1,sin 4(θ=→

c ，)1,sin 2

1(θ=→

d ，

当θ∈(0，

4π

)时，比较f(b a →→?)与f(d c →→?)的大小。 解：b a →

→?=2+cos2θ，d c →

→?=2sin 2

θ+1=2-cos2θ

f(b a →

→?)=m |1+cos2θ|=2mcos 2

θ， f(d c →

→?)=m |1-cos2θ|=2msin 2

θ

于是有f(b a →→?)-f(d c →

→?)=2m(cos 2θ-sin 2

θ)=2mcos2θ

∵θ∈(0,

4π) ∴2θ∈(0, 2

π

) ∴cos2θ>0

∴当m>0时，2mcos2θ>0，即f(b a →

→?)>f(d c →

→?)

当m<0时，2mcos2θ<0，即f(b a →→?)

→?)

例题6 已知∠A 、∠B 、∠C 为?ABC 的内角，且f(A 、B)=sin 22A+cos 2

2B-3sin2A-cos2B+2 (1)当f(A 、B)取最小值时，求∠C (2)当A+B=

2

π

时，将函数f(A 、B)按向量p →平移后得到函数f(A)=2cos2A 求p → 解：(1) f(A 、B)=(sin 2

2A-3sin2A+43)+(cos 2

2B-cos2B+4

1)+1 =(sin2A-2

3)2

+(sin2B-21)2+1

当sin2A=

2

3

,sin2B=21时取得最小值，

∴A=30?或60?，2B=60?或120? C=180?-B-A=120?或90?

(2) f(A 、B)=sin 2

2A+cos 2

2(

A -2π)-2)2

(2cos 2sin 3+--A A π

=22cos 2sin 32cos 2sin 22++-+A A A A

=3)3

3

2cos(23)32cos(2++=++A A π

p →=)3,23(ππk +

例题7 已知向量),1

1

(

),1,(2

x mx mx -=-=（m 为常数）

，且,不共线，若向量,的夹角落< , >为锐角，求实数x 的取值范围.

解：要满足为锐角 只须b a ?>0且b a λ≠（R ∈λ）

b a ?=x mx mx --12 = 122-+-mx x mx mx =01

>-mx x

即 x (mx-1) >0

1°当 m > 0时x<0 或m

x 1

>

2°m<0时，x ( -mx+1) <0 ， 01

>

x 或

3°m=0时 只要x<0

综上所述：x > 0时，),1

()0,(+∞-∞∈m

x Y

x = 0时，)0,(-∞∈x

x < 0时，),0()1

,

(+∞-∞∈Y m

x

例题8 已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0，

（1）用k 表示a ·b ;

（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。

解 （1）要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得 |k a +b |2

=(3|a －k b |)2

k 2a 2+b 2+2k a ·b =3(a 2+k 2b 2－2k a ·b ) ∴8k ·a ·b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2

a ·

b =k

k k 8)13()3(2

222b a -+-

∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)，∴a 2

=1, b 2

=1,

∴a ·b =k k k 813322-+-=k

k 41

2+

（2）∵k 2

+1≥2k ，即k k 412+≥k k 42=21，∴a ·b 的最小值为2

1

，

又∵a ·b =| a |·|b |·cos γ，|a|=|b|=1 ∴2

1

=1×1×cos γ。 ∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°。

错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有

|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a ·b 或|a |2+|b |2

+2a ·b 。

例题9 已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r

，a b -=r r ．

（Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02

π

α<<

，02

π

β-

<<，且5

sin 13

β=-

，求sin α的值． 解（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==v v

Q ，，，,

()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--v v

，.

a b -=v v Q =

, 即 ()422cos 5αβ--=. ()3cos 5

αβ∴-=. （Ⅱ）0,0,0.2

2

π

π

αβαβπ<<

-

<<∴<-

()3cos 5αβ-=

Q ，()4sin .5αβ∴-= 5sin 13β=-Q ，12

cos .13

β∴=

()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ∴=-+=-+-????

4123533

51351365

??=

?+?-= ???. 例题10 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足

||||AE m EF =u u u r u u u r （1m >），0MN AF =?u u u u r u u u r ，1()2

ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r

，//AM ME u u u u r u u u r ．

（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；

（Ⅱ）点0(,)2

m

P y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=u u u r u u u r ，若12λ≤≤，求实数m

的范围．

解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=u u u u r u u u r ，1()2

ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r

，

∴ MN 垂直平分AF ．

又//AM ME u u u u r u u u r

，∴ 点M 在AE 上，

∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===u u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||MA MF =u u u r u u u r

， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>u u u r u u u r u u u r

，

∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 2

2

2

2

1b a c m =-=-．

∴ 点M 的轨迹W 的方程为22

2211

x y m m +=-（1m >）．

（Ⅱ）设11(,)Q x y

∵ 0(,)2

m

P y ，PF FQ λ=u u u r u u u r ，

∴ 1011(1),2

.m x y y λλ?-=-???-=? ∴ 1101(1),2

1.m x y y λλλ?=+-????=-??

由点P 、Q 均在椭圆W 上，

∴ 2

2

2

202222

11,41

1(1) 1.2(1)y m y m m

m λλλ?+=?-???+-+=?-? 消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-， 由221

121

m m m -+-≤

≤及1m >，解得12m <≤．

基础练习题

1.设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）

A 、),2()2,21(+∞?-

B 、),2(+∞

C 、),21(+∞-

D 、)21,(--∞

答案：A

点评：易误选C ，错因：忽视与反向的情况。

2.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足

),0[|

||

|(

+∞∈+

+=λλAC AB ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B 。 错误原因：对),0[|

||

|(

+∞∈+

+=λλAC AB |

|AB |

|AC +

与∠BAC 的角平分线有关。

3.若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）

A ． 与的夹角等于α-β

B ．∥

C ．(a +b )⊥(a -b )

D ． a ⊥b

正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 4.已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 =t (0≤t ≤1)

则· 的最大值为

（ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，· 即为最大。 5.在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( )

A 20

B 20-

C 320

D 320-

错误分析:?==60C ,从而出错. 答案: B

略解: ?=120,

故?202185-=??

?

??-??=. 6.已知向量 =(2cos ?，2sin ?)，?∈(ππ

,2

)， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )

A ．π3

2

-?

B ．

2

π

+? C ．?-

2

π D ．?

正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π]。

7.如果,0a b a c a ?=?≠r r r r r r

且，那么 （ ）

A ．b c =r r

B ．b c λ=r r

C ． b c ⊥r r

D ．,b c r r 在a r

方向上的投影相等

正确答案：D 。

错误原因：对向量数量积的性质理解不够。

8.已知向量(2,0),(2,2),)OB OC CA a a ===u u u r u u u r u u u r 则向量,OA OB u u u r u u u r

的夹角范围是（ ）

A 、[π/12，5π/12]

B 、[0，π/4]

C 、[π/4，5π/12]

D 、 [5π/12，π/2] 正确答案：A

错因：不注意数形结合在解题中的应用。

9.设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）

① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||； ③

2

1

21y y x x =； ④ (a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 答案：C

点评：①②④正确，易错选D 。

10.以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使ο

90=∠A ，则的坐标为（ ）。 A 、（2，-5） B 、（-2，5）或（2，-5）

C 、（-2，5）

D 、（7，-3）或（3，7）

正解：B

设),(y x =，则由222

2

25||||y x AB OA +=+?= ①

而又由⊥得025=+y x ② 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或。 ）

，（－或52)5,2(-=∴ 误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。

11.设向量),(),,(2211y x y x ==，则

2

121y y

x x =是//的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分

C 、充分不必要

D 、既不充分也不必要 正解：C 若

2

121y y

x x =则b a y x y x //,01221∴=-，若//，有可能2x 或2y 为0，故选C 。 误解：//?01221=-y x y x ?

2

121y y

x x =，此式是否成立，未考虑，选A 。 12.在?OAB 中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==，若5-=?OB OA ，

则OAB S ?=（ ）

A 、3

B 、

23 C 、35 D 、2

35 正解：D 。

∵5-=?∴5cos ||||-=??V （LV 为与的夹角）

()()5cos sin 5)cos 5()sin 2(cos 22

222-=?+?

+V ββαα

∴2

1

cos =

V ∴23sin =V ∴235sin ||||21=??=?V S OAB

误解：C 。将面积公式记错，误记为V S OAB sin ||||??=?

13.设平面向量a )()1,()1,2(R b ∈-=-=λλ，，，若a 与b 的夹角为钝角，则

λ的取值范围是

（A ）

A 、），（），（∞+?-2221

B 、（2，+）∞

C 、（—），∞+21

D 、（-），2

1-∞ 错解：C

错因：忽视使用0

14.设,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：

①()

)(=??-?? ②a b a b +>+r r r r

③()()垂直不与??-?? ④若与则?⊥,不平行

其中正确命题的个数是

（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 正确答案：(B)

错误原因：本题所述问题不能全部搞清。

15.若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.

错误分析：只由b a ?

ρ,的夹角为钝角得到,0

180时也有,0

正确解法:Θ ，的夹角为钝角, ()?+-?=?∴x x x b a 23ρρ04322

<+-=x x

解得0

4

>

x (1) 又由b a ρρ,共线且反向可得3

1

-=x (2)

由(1),(2)得x 的范围是Y ?

????

-∞-31,??

?

??+∞??? ??-

,340,31Y 答案: Y ?

????

-∞-31,??

?

??+∞??? ??-

,340,31Y . 16.已知平面上三点A 、B 、C 满足?+?+?===则,5||,4||,3||的值等于 （ C ）

A ．25

B ．24

C ．－25

D ．－24

17.已知AB 是抛物线)0(22

>=p py x 的任一弦，F 为抛物线的焦点，l 为准线.m 是过点A 且以向量

)1,0(-=为方向向量的直线.

（1）若过点A 的抛物线的切线与y 轴相交于点C ，求证：|AF|=|CF|；

（2）若B A p ,(02=+?异于原点），直线OB 与m 相交于点P ，求点P 的轨迹方程； （3）若AB 过焦点F ，分别过A ，B 的抛物线两切线相交于点T ，求证：,⊥且T 在直线l 上. 解：（1）设A （),11y x ，因为导数p

x k p x

y AC 1,==

'所以，

则直线AC 的方程：).,0(:0),(111

1y C x x x p

x y y -=-=-得令

由抛物线定义知，|AF|=1y +

2p ，又|CF|=2p －（－1y ）=1y +2

p

，故|AF|=|CF|. （2）设),,(),,(),,(2211y x P y x B y x A

由04)(,0,02

2

221212

21212

=++∴=++=+?p p

x x x x p y y x x p

得2

212p x x -=. ①

直线OB 方程：,22

x p

x y =

② 直线m 的方程:1x x =， ③

由①②③得y =－p ，故点P 的轨迹方程为y =－p （x ≠0）.

（3）设).,(),,(),,(002211y x T y x B y x A 则p

x k p x k BT AT 21,== 因为AB 是焦点弦，设AB 的方程为：,22

2py x p

kx y =+

=代入

得.,1,,0222122k k p x x p pkx x BT AT ⊥-=-=∴=--故于是

由（1）知直线AT 方程：.,,0110101011py py x x y x p

x

y y x p x y =--=∴-=

即

同理直线BT 方程：.,,022*******py py x x y x p

x

y y x p x y =--=∴-=

即

所以直线AB 方程：00py py x x =-，

又因为AB 过焦点，2

,2002p

y py p -==∴即，故T 在准线上. 18.如图，已知直线l 与半径为1的⊙D 相切于点C ，动点P 到直线l 的距离为d ，若.||2PD d = （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）若轨迹上的点P 与同一平面上的点G 、M 分别满足

0,3,2=?+?==PM GM PG GM PD MP DC GD ，

求以P 、G 、D 为项点的三角形的面积.

解：（Ⅰ）).1,0(2

2

|||,|2∈=∴

=

d PD PD d Θ ∴点P 的轨迹是D 为焦点，l 为相应准线的椭圆.

由.1.1,2,1,222

====-=

=b c a c c

a a c e 于是解得又 以CD 所在直线为x 轴，以CD 与⊙D 的另一个交点O 为坐标原点建立直角坐标系.

∴所求点P 的轨迹方程为.12

22

=+y x （Ⅱ）∴==,2||,2GD DC GD ΘG 为椭圆的左焦点.

又.0)(,0=+?∴=?+?Θ

由题意，,0≠+≠（否则P 、G 、M 、D 四点共线与已经矛盾） .||3||||.0,0)()(2

2

==∴=-=+?-∴

又∵点P 在椭圆上， .22

3

||,22||,222||||====+∴

PG PD a PD PG 又οΘ90,

,2||=∠?∴=PDG Rt PDG GD 为

.2

2

22221=??=

∴?PDG S 19.已知O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足 (

+

+=λ,),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （D ）

A ．内心

B ．垂心

C ．外心

D ．重心

20.已知向量b a ,是两个不共线的非零向量, 向量c |

||

|b a =

.则向量c 用向量b a ,一定可以表示为

（C ）

A. n m +=且1,,=+∈n m R n m .

B. ????-=λ R ∈λ

C. ?

???+

=c λ R ∈λ D. ????-=||||b a c λ R ∈<λλ,0, 或 ?

???+=||||b a c λ R ∈>λλ,0