泛函分析知识题标准规定答案解析

第二章 度量空间

作业题答案提示

1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-错误!未找到引用源。能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取

则有错误!未找到引用源。,而错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

2、 试证明：（1）()1

2

,x y x y ρ=

-;(2)(),1x y x y x y

ρ-=

+-在R 上都定义

了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

2

11

22x y x z z y x z z y ??

-≤-+-≤-+- ?

??

故有错误!未找到引用源。

（2）仅证明三角不等式 易证函数()1x

x x

?=+错误!未找到引用源。在R +上是单调增加的，

所以有()()a b a b ??+≤+错误!未找到引用源。,从而有

1111a b a b a b

a b a b a b

++≤≤+

++++++

令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=-

即111y x z x y z

y x z x y z

---≤+

+-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1

上，)12.3.2()()(),(?-=b

a

dt t y t x y x ρ

定义了度量。

证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。

[])

,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt

t y t z dt t z t x dt

t y t z dt t z t x dt

t y t x y x b

a

b a

b a

b

a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=????

5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明

∑∑==≤??

?

??n

i i

n

i i x n x 12

2

1

证：∑∑∑∑=====?≤??

? ??n

i i

n i n i i n i i x n x x 12

12

12211

8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积

21R R R ?=上定义了度量

{}2

12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则

{

}

1222

1112

2212

22

2222

111111222222112

2222

2

1111

112222

2211222211(,)[(,)(,)](,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)

n n i i i i i i x y x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρρξηξη===+????≤+++????

????≤+++????????=++≤+ ? ?????∑∑1

221n i =???? ? ? ??? ???

∑

（3）111222(,)max{(,),(,)}x y x y x y ρρρ=

111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)

x z z y x z x z x z z y x z x z x z z y ρρρρρρρρρρ≤++≤+++=+

9、试问在[,]C a b 上的0(;1)B x 是什么？

[,]C a b 上图像以0x 为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑[0,2]C π并确定使得(,)y B x r ∈的最小r ，其中

sin ,cos x t y t ==。

[0,2]

[0,2(,)sup sin cos sup

)4

t t x y t t t πππ

ρ∈∈=-=-=

11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。 设A 是离散度量空间X 的任一子集。

a A ?∈，开球1

(,){}2

B a a A =?，故A 事开集。

同样道理，知C A 是开的，故()C C A A =又是闭集。

12．设0x 是M R ?的聚点，试证明0x 的任何邻域都含有M 的无限多个点。 证：略。

13．（1）若度量空间R 中的序列{}n x 是收敛的，并且有极限x ，试证明{}n x 的每个子序列{}k

n x 都是收敛的，并且有同一极限。

（2）若{}n x 是Cauchy 序列，并且存在收敛的子序列{}k

n x ，

k n x x →，试证明{}n x 也是收敛的，并且有同一极限。

（1） 略

（2） ε?，N ?，当,k

m n N

>时，有

(,)2

kl

m n x x ε

ρ<

，(,)2

kl

n

x x ε

ρ<（{}n x 是Cauchy 序列且k

n

x x →）

因此，当m N >时，(,)(,)(,)2

2

kl

kl m m n

n x x x x x x ε

ε

ρρρε

≤+≤+

=

18.试证明：Cauchy 序列是有界的.

证明：若{}n x 错误!未找到引用源。是Cauchy 序列，则存在,使得对于一切0n n >错误!未找到引用源。,有()0

,1n n x x ρ<错误!未找

到引用源。,因此，对于一切n ，有 ()()(){}0

00

1

1

,max 1,,,...,,n n n n n x x x x x

x ρρρ-≤错误!未找到引用

源。

19.若{}n x 和错误!未找到引用源。都是度量空间x 中的Cauchy 列，试证明：

(),n n n x y ρρ=错误!未找到引用源。是收敛的。

证：根据三角不等式，有

()()()()

()()

,,,,,,n n n n m m m m n n m m m n x y x x x y y y x x y y ρρρρρρρρ=≤++=++

故，()(),,n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+ 同样有：()(),,m n n m m n x x y y ρρρρ-≤+

即：()(),,0n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+→ 而R 是完备的，则{}n ρ是收敛的。

34.若X 是紧度量空间，并且M X ?是闭的，试证明M 也是紧的。

证明：因为X 是紧的，故M 中任一序列{}n x 有一个在n X 中收敛的子序列{}nk x 。不妨设{}nk x x X →∈，则有x M ∈。又因M 是闭的，所以x M ∈，因此M 是紧的。

第三章 线性空间和赋范线性空间

10.试证明下列都是n R 上的范数 （1）错误!未找到引用源。

11n

i

i x x ==∑； (2)

1

2

2

21n i i x x =??= ?

???

∑错

误!未找到引用源。 ; (3) max i i

x x ∞=错误!未找到引用源。; 2

12

1n

i

i x x =?? ?= ??

?

∑错误!未找到引用源。是范数吗？

（1）、（2）和（3）的证明略

错误!未找到引用源。不是范数，不满足三角不等式。 以

为例，令错误!未找到引用源。则1,4x y x y ==+=

13.试证明（1）C 、0C 和0l 都是l ∞错误!未找到引用源。的线性空间，其中C 是收敛数列集；0C 错误!未找到引用源。是收敛数列0的数列集；0l 错误!未找到引用源。是只有有限个元素的数列集。 （2）0C 还是l ∞的闭子空间，从而是完备的。 （3）0l 错误!未找到引用源。不是l ∞的闭子空间。 证明：

（2）设()12,0,...x x x C =∈错误!未找到引用源。，()()

()12

,,...n n n x x x =,使得 ()n n x x →∞→错误!未找到引用源。.则有任意的0ε>，N ?使得对于一

切j ， 当

,时有

,又因为

，所以

当

时

从而有

于是，故

14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。

令，则，且

于是，收敛

但

15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。

证：设{X n }是X 中任一Cauchy 列，则?k ∈N ，?n k ，s.t.当m ，n ≥n k 时，k -<2S -S m n 。

而且对一切的k ，可选取n 1k +>n k ，从而{S nk }是{S n }的一个子列，并且令X 1=S 1n ，X k =S n -S nk ，则{S nk }是级数k X ∑的部分和序列，从而

12X 12

)1(112

1k +=+=+-=∑∑∑∞

=--∞

=-X X X S S k k k k k

于是k X ∑绝对收敛，故k X ∑收敛。

不妨设S nk →S ∈X ，由于{X n }是Cauchy 列，故

0S n →-+-≤-S S S S S nk nk n

又由于{S n }是任意的，故证明X 是完备的。

17.设（X ，1?）和（X ，2?）是赋范线性空间，试证明其Descarts 积X=X 1*X 2在定义范数X =max{11X ，22X }后也成为赋范线性空间。

证：（1）X =0?11X =22X =0?X=（0,0）=Θ

（2）X α=max{11X α，22X α}=αmax{11X ，22X }=αX （3）设X=（X 1，X 2），y=（y 1，y 2），则 }y x y x max{y x 222111++=+，

y

+=+≤++≤x }y ,y max{}x ,x max{}y x ,y x max{2211221122221111

20.（1）若?和?0是X 上任意两个等价范数，试证明（X ，?）和（X ，?0）中的Cauthy 序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价 证：设{X n }是（X ，?）中的任一Cauthy 序列，即 0>?ε，∈?N N ，当n ，m>N 时，ε

由于?和?0是X 上任意两个等价范数，所以存在正数a ，b 使a ?≤?0≤b ? （*） 于是当n ≥m>N 时，有

εb x b x m m <-≤-n 0n x x

即x n 是（X ，?0）中的Cauthy 序列。

反之，若{x n }是（X ，?0）中的Cauthy 序列，则由（*）左边不等式，可证{x n }

是（X ，?）中的Cauthy 序列。

（2）R n 是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。

20 (2)的直接证明：

证明在中，范数1?、2?和∞?等价，其中

11n

i

i x x ==∑；12221

()

n

i

i x x

==∑；max i

x i x ∞=

证 1

2

2

max

i i

x i x ≤，

∴2x x ∞∞≤≤， 故2?和∞?等价。

2 由Cauchy-Schwart 不等式，得， 1112

2

2

2

2

11

1

1

()(1))

n

n

n

n

i

i i i i i i x x x ====≤=∑∑∑∑

故有

12x ≤ 再有

112222

211

1

()[()]n

n

i

i i i x x x x ===≤=∑∑

我们得

1

21x x x ≤≤ 故1?与2?等价

29. 若错误!未找到引用源。：()D T Y →错误!未找到引用源。是可逆的线性算子，x 1,...,x n 是线性无关的，试正明1Tx ,...,n Tx 也是线性无关的.

证：若存在λ1，...，λn ∈Ф且不全为零，使得 11...0n n Tx Tx λλ++=,

则由于1T -存在且为线性的，故

1T -()1111......0n n n n Tx Tx x Tx λλλλ++=++=,

与x 1,...,x n 线性无关矛盾。

32.若T θ≠是有界性算子，试证明对满足1x <的任意()x D T ∈，都有Tx T <.

思路：由Tx T x ≤即证结论。 33.设Τ：

∞→∞使得21,,...2x Tx

x ??

= ??

?，试证明()

,.T B l l ∞∞∈

证：设()12,,...,,...n x x x x =，()12,,...,,...n y y y y =，则

()

()1211211222122211211212221121,,...,,...,,...,,...22,,...,,...22n n n n T x y T x y x y x y x y x y x y n n x y x y αααααααααααααααα+=+++?

?=+++ ?

?????

?=+ ? ?

????

=2211χαχαT +T 从而T 是线性算子.

χ

χχχ=≤=T n n

n

n

n

sup sup

,

所以()1,,≤T B ∈T ∞∞且l l . 进一步可以证明1=T .

37.设[][]1

1

:0,10,1,T C C →使得()()[]0

,0,1.t Tx t x d t ττ=∈?

（1）试求()R T 和()[]11:0,1;T R T C -→ （2）试问()[]()11,0,1T B R T C -∈吗？

（1）()R T 是满足()00y =且在[]0,1上连续可微分的函数构成的

[]10,1C 的子空间，且()[]1',0,1T y y t t -=∈。

（2）1T -是线性的，但是无界的。

事实上，()1'n n t n t -=，蕴含着1T n -≥ 38.在C[0,1]上分别定义1

0()()Sx t t x s ds =?和()()Tx t tx t =

(1)试问S 和T 是可交换的吗? (2)试求Sx ，Tx ，STx 和TSx 修改S ，T ，ST ，TS (1)1

0()(())()ST x S tx t t sx s ds ==?,

1

1

200()(())()TS x T t x s ds t x s ds ==??,

故ST TS ≠，S 和T 不是可交换的。 (2)1

Sx xds x

≤=?,

所以1S ≤ 令1x ≡，[0,1]t ∈ 则1sx s x s =≤= 于是1S = 类似可求：1T =，1

2

ST =

，1TS =。

39.在()X B R =上定义范数

sup ()

t R

x x t ∈=，并设T ：X X →使得

()()Tx t x t τ=-，其中0τ>试证明(,)T B X X ∈。

证： X y x ∈?,，则

T （+x α1y α2）=x α1(t-τ)+α2y(t-τ)=Ty Tx αα21+, 即 T 是线性算子

Tx =sup R

t ∈)(τ-t x =sup R

t ∈)(t x =x ，

∴1=T

40、证明下列在C []b a ,上定义的泛函是有界线性泛函： （1）dt t t x x b

a o y f )()()(1?=，[]

b a C y ,0∈固定；

（2）

固定R b x a x x f

∈+=βαβα,),()()(2

证： （1）线性性略 令B=[]

max

,t b a ∈)(0

t y =y 0

，

则有

dx x B x b a

f

?≤)(1

=B （b-a ）x ，

故有 f 1≤B （b-a ） （2）略

41、设[]11,1C -上的线性泛函f 定义为

??-=-1

1

)()()(dt t x dt t x x f ，试求f

解：错误!未找到引用源。, ()()0

1

1

2f x x

dt dt x -≤+=??，

所以2f ≤错误!未找到引用源。，

取()1

n

x t t =错误!未找到引用源。，n 为正奇数，[]1,1t ∈-错误!未找到引用源。则1x =， ()1110

1

1

1

1222

11

1n

n

n

n

f x t dt t dt t dt f n n

-=

-===

≤++?

??

由于2sup 21

n

n =+错误!未找到引用源。,故2f ≥错误!未找到引用源。.

综上所述，2f =。 44.

（1）在[]11,1C -上定义[]

()[]

()

',,max max t a b t a b x

x t x t ∈∈=+，

试证明?是[]11,1C -中的范数。 （2）试证明()()'2a b f x x c c +??==

??

?

在[]1

,C a b 上定义了有界线性泛函。 （3）试证明视[]1,C a b 为[]1,C a b 的子空间时，上面定义的f 不再是

有界的。

证：（1）仅证三角不等式

''

''≤≤∣x +y ∣=max ∣x(t)+y(t)∣+max ∣x(t)+y(t)∣

max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣+max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣ ∣x ∣+∣y ∣

（2）仅证有界性

''()max max c ≤≤∣f(x)∣=x ∣x(t)∣+∣x(t)∣=∣x ∣,

∣f ∣1

(3)当1[,]c a b 视为[],c a b 的子空间时，（2）中的f 不再是有界的，此时[]1,,sup ().x c a b x x t ?∈=对每个n N ∈，都存在[]1,n x c a b ∈，使得

'()1n x c =且1

max ()n x t n

<

于是，便有

'()()()

sup

max ()

n n n t

x c f x f x n x

x x t ≥=>