函数图像与不等式
二次函数图像与二次不等式图像比较
二次函数图像与二次不等式图像比较二次函数和二次不等式在数学中都是重要的概念，它们在图像方面有一些相似之处，但在表示方式和解析意义上也存在一些差异。
本文将比较二次函数图像和二次不等式图像的特点和用途。
一、二次函数图像二次函数是形如y＝ax^2＋bx＋c的函数，其中a、b和c是实数，且a不等于零。
它的图像通常是一个抛物线，可以打开向上或向下，具体形状取决于a的正负。
1. 抛物线的开口方向二次函数的图像开口方向与a的正负相关。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过求导数或利用顶点公式直接获得。
顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 对称轴抛物线的对称轴是通过顶点，并且垂直于x轴。
4. 零点二次函数与x轴的交点称为零点或根。
二次函数有零，即对应方程ax^2＋bx＋c＝0有实数解。
二、二次不等式图像二次不等式是形如ax^2＋bx＋c＞0 或 ax^2＋bx＋c＜0的不等式，其中a、b和c是实数，且a不等于零。
它的图像也是一个抛物线，但在不等式中，我们关注的是抛物线的上方或下方是否满足不等式。
1. 解集表示二次不等式的解集可以用数轴上的有向区间表示。
大于号表示抛物线的上方，小于号表示抛物线的下方。
2. 判断方法通过判别式Δ=b^2-4ac的正负，可以判断二次函数的图像是否与x 轴有交点，从而确定是否满足不等式。
3. 区间表示如果Δ大于零，抛物线与x轴有两个交点，解集是两个有序实数区间的并集。
如果Δ等于零，抛物线与x轴有一个交点，解集是一个实数区间。
如果Δ小于零，抛物线与x轴没有交点，解集为空集。
二次函数图像与二次不等式图像比较二次函数图像和二次不等式图像在几何特性上具有一定的相似性，但在用途和解析意义上有所不同。
1. 图像形状二次函数和二次不等式的图像都是抛物线，但二次函数的图像更注重其几何特征，如开口方向、顶点坐标和对称轴等；而二次不等式的图像更强调是否满足不等式的条件，如是否在抛物线上方或下方。
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标
0=x2-x-2
y
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为
（-1，0）和（2，0）
预备知
识
a>0
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
当⊿＞0时，方程有两
y>0 x<-1或x>2,
-1 o
2
x
y<0 -1<x<2
例.解不等式x2-x-6 >0.
y
解：x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。 函数y=x2-x-6
的图像如图，
x2-x-6>0
x<-2或x>3是 (, 2) (3, ).
不等的实根x1，x2.
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
x1 o
x2 x
当⊿＝0 时，方程有两相
等的实根 X1=X2=X0
当⊿＜0 时，方程无实根
y
o x0
x
y
o
x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性
质
y
y=0, y>0, y<0
y=0 x=-1或x=2,
解不等式x2-x-6 <0.
解: x2-x-6=0的两个根
y
是x1=-2，x2=3。函数
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0 -2<x<3
-2 o
函数、方程、不等式以及它们图像_课件 共90页
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解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
函数、方程、不等式 以及它们的图像
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1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
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解：（2）
由题意可知方程组
y
a
x
有解
ax x
y x
显然 x 0 不是方程 ax x 的解，所以存在非零常数T，使得 aT T
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27
解：
对于 f(x) ax ，有
f( x T ) a x T a T a x T a x T ( x )f f(x)axM
f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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证明（2）：
f(x1)
f(1)1 2
f(xn1)f(12xxnn2) f(1x nx nx x nn)f(xn)f(xn)
2f(xn)
f (xn1) 2 f (xn )
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证明（2）：
y x的图像有公共点，证明： f(x) ax M；（3）若函数
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
函数图像与不等式
函数图像与不等式【学习目标】1.理解函数图像与不等式的关系2.明白数形结合思想，会用几何法求不等式的解集。
【重点难点】会用几何法求不等式的解集【知识复习】如何观察函数图像求不等式的解集【新知达标】1．如图，直线y 1=k 1x+a与y 2=k 3x+b 的交（1,2），则使y 1<y 2的点坐标为x 的取值范围为A 、x＞1 B 、x ＞2 C 、x ＜1 D x＜22.函数x y 1，34312x y ．当21y y 时，x 的范围是A.．x ＜－1 B ．－1＜x ＜2 C．x ＜－1或x ＞2 D ．x ＞23．一次函数b kx y 的图象如图2所示，当y ＜0时，x 的取值范围是（A ）x ＜0 （B ）x ＞0 （C ）x ＜2 （D）x ＞24．如图，直线b kx y 交坐标轴于A （—3，0）、B （0，5）两点，则不等式0b kx 的解集为（）A ．3x B ．3x C ．3x D ．3x （3题4ti5．已知一次函数y kx b 的图象如图所示，当1x 时，y 的取值范围是．6．一次函数b kx y （k 为常数且0k ）的图象如图所示，则使0y 成立的x 的取值范围为．过点A （0,2），且与直线y ＝mx 7.如图，直线y ＝kx ＋b交于点P （1，m ），则不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集是．于点P （a ，2），则关于x 的8．如图，直线：1y x 与直线：y mx n 相交不等式1x ≥mxn 的解集为．9.如图，反比例函数y 1=k 1x 和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若k 1x ＞k 2x ，则x 的取值范围是（A ）-1＜x ＜0（B ）-1＜x ＜1 （C ）x ＜-1或0＜x ＜1 （D ）-1＜x ＜0或x ＞1 10. 如图，函数11y x 和函数22y x 的图象相交于点M (2，m )，N (-1，n )，若12y y ，则x 的取值范围是（）A ．102xx 或B ．12x x 或C ．1002x x 或D ．102x x 或11.如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式k x + x 2 + 1 < 0的解集是 ( )A ．x > 1B ．x < - 1C ．0 < x < 1D ．- 1 < x < 012. 二次函数223y x x 的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）．A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞3yxO P2a（第8题）（第11题）x y A13．已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）．A ．－32＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32【典例分析】1。
一次函数与不等式的关系
y
y2=2X+10
B(A(-5,0)
C(2,14)
1 2
x 21 x 14
5
=
1 ,0) 0 22
147 5
x
4 5
y1=5x+4
及时反馈
4、如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交于点（-2，2）
<-2 时，y1>y2，当x____ =-2 时， ＞-2 时，y1＜y2，当x____ 则当x____ y1=y2 解：观察图像： 1、在交点（ - 2 ，2）的右侧，直线y1在 直线y2的下方，对于同一个x的值， y1＜ y2，所以当x＞-2时y1＜y2 2、在交点（ - 2 ，2）的左侧，直 线y1在直线y2的上方，对于同一个x 的值， y1>y2，所以当x<-2时y1>y2
y
数y＝2x－6的图象。 当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解 集为x＜3。
y y＝x＋2 0 3 x 0
Y=2x-6
3 -6
x
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝ x+2的图象，交点横坐标为3。 当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x －4上的点在直线y＝x+2上相应点的 下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等 式的解集为x＜ 3。
1.求Y1和Y2与X的函数关系式
2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省？ 请说明理由。
Y=8x
解:(1) Y1＝8x,Y2=4x+120
y
(2)由图象可知，当x=30 时，两家一样， Y=4x+120
当X>30时，照相馆省钱， 当X<30时，学校自己省钱. 0
二次函数图像和性质以及不等式
驶向胜利 的彼岸
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
…
…
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
…
…
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
？
做一做
描点,连线
-4 -3 -2 -1
y 2 0
驶向胜利 的彼岸
-1 -2
-4 -6
1
2
3
4
x
?
-8 -10
y=-x2
做一做
观察图象,回答问题串
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律 是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应 的y值,完成下表：
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
y 2 0
驶向胜利 的彼岸
描点,连线
-4 -3 -2 -1
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
1 2 3 4 x -1 （2)图象 与x轴有交点吗？如果有 ,交点坐标是什么? -2
（3)当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢？ （4)当x取什么值时,y的值最小 ?最小值是什么？你是如何 -6 知道的？
2 y= x
?
-4 -3 -2 -1
2 1 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
北师版一元一次不等式与一次函数图像
回顾思考
1.解不等式2x－5＞0，并把他的解集在数轴上表示出来
一条直线 2.一次函数的图象是__________. 它与x轴的交点坐标
是 是 即可
(-b/k,0) ，与y轴的交点坐标 (0,b) ；要作一次函数的图象，只需_______点 (0,-5) 。画出该函数是图像。
两点 (5/2,0) ，
3. 一次函数 y = 2x – 5它与x轴的交点坐标是 与y轴的交点 坐标是
下面我们来探讨一下一元一次不等式与 一次函数之间的关系
北 师 大 八大 年• 级八 《 年 数 学 ( 下 ) 》学 北• 师 级《 数
课首
(下)》
2.5一次不等式与一次函数
教学目标、重点、难点
○
2
3
4
5
6
x
(2.5 函数图象上当x ＞2.5时，y＞0。即上当x ＞2.5时， 2x －5＞0。
“关于x 的不等式的问题”转化为 “关于函数值的问题 ” 问题1： 作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题： y (1) x取何值时，2x-5=0？ 6
x取何值时， y=0 即（？，0）
5 ( , 0) 2
方法点睛：X轴上方的图象y值大于0
“关于x 的不等式的问题”转化为 “关于函数值的问题 ”
问题3：作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答 下列问题： y 6 (3) x取哪些值时, 2x-5<0?
x取哪些值时，y＜0 即（？，y ＜0） 4
3 意思就是在函数图象上纵坐标 2 负数 y的值是 时，函数图像 1 上的点所对应的横坐标x的值 -2 -1 0 -1 是多少？ 在函数图象上我们不难看到纵坐标y -2 的值是负数时，纵坐标y的值在y轴 -3 -4 的 负半轴上 ，对应的函数图象 -5 在 x轴的下方 ，这部分函数图象对 -6 应的横坐标x的值是 x ＜ 2.5 的实 数。
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函数图像与不等式
【学习目标】1.理解函数图像与不等式的关系
2.明白数形结合思想，会用几何法求不等式的解集。
【重点难点】会用几何法求不等式的解集
【知识复习】如何观察函数图像求不等式的解集
【新知达标】
1.如图，直线y i=k i x+a
点坐标为
A、x> 1 B
x的取值范围为
、x > 2 C 、x
第2题圉
(1,2 ),则使y1< y2 的
v 1 D x
2.函数y,y2
4 t
3.当y1y2时, x的范围是
A. . x v —
B.—1 v x v 2 C .x v—1 或x> 2 D
3. 一次函数kx b的图象如图2所示，当y v0时，x的取值范围是
(A) x v 0 (B) x> 0(C) x v 2 ( D) x> 2
> 2
-4
第三题图
J y=kx+b0 >
I
4ti
kx b交坐标轴于A (—3, 0)、B (0,
4.如图，直线y5）两点，则不等式kx b 0的解集为（
A. x 3
B. x 3
C. x 3
D. x 3
与y2=k3X+b的交
5. 已知一次函数y kx b的图象如图所示，当x 1时，y的取值范围是
6. —次函数y kx b (
取值范围为_______ .
7. 如图，直线y = kx + b 交
于点P (1, m),则不
&如图，直线：y x 1与直线不等式x
1 > mx n的解集为
y mx于点P( a ,2),则关于x的9.如图，反比例函数y1=k1和正比例函数y2=k2X 的图象交于A (-1 , -3 )、B (1, 3) 两点，若夕>
k2x，则x的取值范围是
(A) -1 v x v0 (B) -1 v x v 1 (C) x v -1 或0 v x v 1
11.
12.
10.如图，函数y1 x 1和函数y2 -的图象相交于点M2 ,
x
右y1
D. 1
y2，则x的取值范围是(
如图，抛物线y = x2+ 1
x2+ 1 < 0 的解集是
与双曲线
x的取值范围是( ).
1
k
的交点A的横坐标是
x
1或x 2 C . 1
二次函数y x22x 3的图象如图所示.当y v 0时，自变量
A. —1 v x v 3 B . x v—1 D. x v—1 或x > 3
13.已知函数y i = x 2与函数y 2=— ■ x + 3的图象大致如图，若 y i v y 2,则自变量x 的取值范围是（
)•
B. x >2 或 x v —- 2 亠 3 D. x v — 2 或 x >
2 【典例分析】
1。
利用函数图像求不等
式
2 x 2 2x 1的解集
1 2.利用函数图像求不等式 x 2
的解集 x A 3 c
A . — _ v x v 2 2 3
C.— 2v x v 2
【本节课小结】 1. 这节课使用了什么数学方法2. 利用函数图像求不等式解集的步骤是什么。