10_自适应横向滤波器(1)
横向滤波器
x1 j x1 j x1 j x2 j
Rxx
E[ Xj
X
T j
]
E
x2
j x1
j
x2 j x2 j
xNj
x1
j
xNj x2 j
E[e
2 j
]
E[d
2 j
]
2RdTx
Wj
W
T j
Rxx
Wj
x1 j xNj
x2
j
xNj
xNj
xNj
19
输入信号自相关矩阵的 特征值及其性质
20
1.R的所有特征值是实的并且大于等于零； 2.对于不同特征值的特征向量相互正交； 3.特征向量矩阵Q 可以归一化（正交化），
ej
dj
yj
dj
X
T j
Wj
dj
W
T j
X
j
16
2.最小均方误差和 最佳权系数
17
性能函数表面
E[e2j ]
E[(d
j
yj
)2 ]
E[(d
j
X
T j
W
)2 ]
E[d
2 j
]
2E[d
j
X
T j
]Wj
W
T j
E[ X
j
X
T j
]Wj
18
令 Rdx E[d j X j ] E[d j x1j , d j x2 j , , d j xNj ]T
8
§3.2 自适应横向滤波器
9
基本原理
e(n) d(n) y(n) s(n) sˆ(n) s(n) y(n)
E[e2 (n)]min
自适应滤波器原理
自适应滤波器原理
自适应滤波器是一种数字信号处理的方法，它基于信号的统计特性来自动调整滤波器的参数，以适应信号的变化。
其原理可以简要概括如下：
1. 自适应滤波器通过比较输入信号与期望输出信号之间的差异来调整滤波器的参数。
这种差异通常用误差信号来表示，它是输入信号与期望输出信号之间的差。
2. 滤波器的参数调整可分为离散时间和连续时间两种情况。
在离散时间中，滤波器的参数可以通过迭代更新来实现。
其中一个常用的方法是最小均方（LMS）算法，它通过不断调整滤波器的参数，使得误差信号的均方误差最小化。
3. 在连续时间中，自适应滤波器的参数调整可以通过梯度下降法来实现。
梯度下降法基于损失函数的梯度信息，通过更新参数的方向和步长来逐渐降低误差，直到收敛到最优解。
4. 自适应滤波器的应用广泛，特别是在信号处理、通信和控制系统中。
它可以用于去除信号中的杂波、抑制干扰、提升信号的质量等。
常见的应用包括语音降噪、信号恢复和自适应控制等领域。
总之，自适应滤波器通过根据信号的统计特性来调整滤波器的参数，以适应信号的变化。
它是一种有效的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
自适应滤波器
硬件速度的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性、处理能力的优越性， 而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用FIR结构。 可分为：横向型、对称横向型、格型
5 自适应滤波器
5.1 引言
①
②
③自适应滤波器的定义
• 按复杂度来分： – 线性自适应滤波器 – 非线性自适应滤波器（包括Volterra滤波器和基于神经网络 的自适应滤波器 。信号处理能力更强，但计算也更复杂。） 值得注意的是： 自适应滤波器常称为：时变性的非线性的系统。 非线性：系统根据所处理信号特点不断调整自身的滤波器 系数，以便使滤波器系数最优。 时变性：系统的自适应响应/学习过程。 实际应用的常见情况： 学习/训练阶段：滤波器根据所处理信号的特点，不断修 正自己的滤波器系数，以使均方误差最小(LMS)。 使用阶段：均方误差达最小值，意味着滤波器系数达最 优并不再变化，此时的滤波器就变成了线性系统，故此类自适 应滤波器被称为线性自适应滤波器，因为这类系统便于设计 且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波 器就是线性自适应滤波器。
RLS算法的主要问题：每次迭代中的计算量与阶数M的平 方成正比。虽然比之最小二乘法(M的三次方成正比)好， 但比LMS算法(M成正比)要差。
• 按复杂度来分：
– 线性自适应滤波器 – 非线性自适应滤波器（包括Volterra滤波器和基于神经网络的自适应滤 波器 。信号处理能力更强，但计算也更复杂。）
值得注意的是： 自适应滤波器通常是时变性的非线性的系统，非线性：系 统根据所处理信号特点不断调整自身的滤波器系数。时变性： 系统的自适应响应/学习过程。所以，自适应滤波器可自动适 应信号的传输环境，无须详细知道信号的结构和特征参数，无 须精确设计滤波器本身。 实际应用的常见情况： 当自适应学习过程结束，滤波器系数就不再变化，此时滤 波器就变成了线性系统，故此类自适应滤波器被称为线性自适 应滤波器，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际 应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是线性自适应滤波器。
基于时域均衡原理的横向滤波器的设计
基于时域均衡原理的横向滤波器的设计一、前言横向滤波器是数字图像处理中常用的滤波器之一，它可以对图像进行水平或垂直方向的滤波，能够有效地去除图像中的噪声和干扰，提高图像的清晰度和质量。
本文将介绍基于时域均衡原理的横向滤波器的设计原理及实现方法。
二、时域均衡原理时域均衡是数字信号处理中常用的一种技术，它通过对信号进行预处理来抑制噪声和干扰。
在图像处理中，时域均衡可以用于去除空间域上的噪声和干扰。
时域均衡原理是基于自适应滤波算法实现的。
该算法利用了信号与噪声之间的差异性，在不影响信号质量的前提下抑制噪声。
具体地说，该算法先估计出信号与噪声之间的差异性，并根据这种差异性对信号进行加权平均处理，从而达到抑制噪声和增强信号质量的目的。
三、横向滤波器设计1. 滤波器结构横向滤波器通常采用FIR滤波器结构，即有限脉冲响应滤波器。
该结构具有线性相位和稳定性等优点，能够有效地抑制噪声和干扰。
2. 滤波器设计步骤（1）确定滤波器的截止频率横向滤波器的截止频率应该根据实际需要进行确定。
通常情况下，截止频率应该选择在图像中主要包含信息的频段内。
（2）设计滤波器系数根据所选的截止频率和FIR滤波器的结构，可以通过窗函数法、最小二乘法等方法来设计出合适的滤波器系数。
其中，窗函数法是最为常用的方法之一。
（3）实现滤波器将所得到的滤波器系数通过数字信号处理芯片或者软件实现到实际系统中。
四、横向滤波器应用实例横向滤波器可以广泛应用于数字图像处理领域中。
例如，在医学影像处理中，横向滤波器可以用于去除X光片上的噪声和干扰；在航空遥感图像处理中，横向滤波器可以用于提取地形特征和目标信息等。
五、总结本文介绍了基于时域均衡原理的横向滤波器的设计原理及实现方法。
通过对信号与噪声之间的差异性进行加权平均处理，能够有效地抑制噪声和干扰，提高图像的清晰度和质量。
在实际应用中，需要根据实际需要来确定滤波器的截止频率，并通过窗函数法、最小二乘法等方法来设计合适的滤波器系数。
第4章 维纳滤波原理及自适应算法
{ } = E x(n) 2 + x(n)v2* (n)+ x* (n)v2 (n)+ v2 (n) 2
=
rx (0)+
s
2 2
r(1)= E{u(n)u* (n - 1)}
{ } = E 轾 臌x(n)+ v2 (n) 轾 臌x(n - 1)+ v2 (n - 1) * = rx (1)
25
p(0)= E{u(n)d* (n)}
• 开关K1打向B1，K2打向B2 ，进入工作过程， 对输入信号进行滤波处理
• 求出滤波器权值的学习过程是最优滤波问题的 关键
7
4.2 维纳滤波原理
4.2.1 均方误差准则及误差性能面 已知估计误差
e(n) = d (n)- dˆ(n) = d (n)- wHu(n)= d (n)- uT (n)w* 定义e(n)的平均功率为
(n -
N
m)
+j
÷÷÷÷
+
E{v(n)v(n -
m)}
=
1 2
cos骣 ççç桫2pNm÷÷÷+
E{v(n)v(n -
m)}
∴
r (m) =
ìïïïïïíïïïïïî
1 2
cos骣 ççç桫2pN×0÷÷÷+
1 2
cos骣 ççç桫2Np
÷÷÷,
s
2 v
=
0.5 +
s
2 v
,
m= 0 m= 1
19
???
+
4s
2 v
+
4s
4 v
J (w)=
s
2 d
-
《自适应滤波器原理》课件
自适应滤波器原理：通过调整滤波 器的参数，使滤波器的输出接近期 望输出
减小稳态误差的方法：调整滤波器 的参数，使其更接近期望输出
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稳态误差：滤波器在稳态条件下的 输出误差
性能优化：通过减小稳态误差，提 高自适应滤波器的性能
调整滤波器参数，如调整滤波 器阶数、调整滤波器系数等
军事领域：用于 雷达信号处理， 提高探测精度
工业领域：用于 机器故障诊断， 提高生产效率
深度学习算法：利用神经网络进行自适应滤波 强化学习算法：通过强化学习实现自适应滤波器的优化 遗传算法：利用遗传算法进行自适应滤波器的参数优化 模糊逻辑算法：利用模糊逻辑进行自适应滤波器的决策和控制
FPGA实现：利用FPGA的灵活性和并行性，实现自适应滤波器 ASIC实现：利用ASIC的高性能和低功耗，实现自适应滤波器 专用芯片实现：设计专用芯片，实现自适应滤波器 云计算实现：利用云计算平台的计算资源，实现自适应滤波器
特点：全局搜索能力强，收 敛速度快
原理：通过模拟鸟群觅食行 为，寻找最优解
应用：广泛应用于自适应滤 波器、神经网络等领域
优缺点：优点是简单易实现， 缺点是容易陷入局部最优解
采用快速傅里叶变 换（FFT）算法， 减少计算量
利用并行计算技术， 提高计算速度
采用稀疏矩阵算法 ，减少存储需求
采用低复杂度算法 ，如LMS算法，减 少计算量
挑战：如何提高自适应滤波器的性能和稳定性，降低成本，提高可靠性，以及如何应对新的应 用场景和需求。
汇报人：
,
汇报人：
01
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05
06
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自适应滤波器：一种能够根据输入信号的变化自动调整滤波器参数 的滤波器
(word完整版)自适应滤波器原理-带图带总结word版,推荐文档
第二章自适应滤波器原理2.1 基本原理2.1.1 自适应滤波器的发展在解决线性滤波问题的统计方法中，通常假设已知有用信号及其附加噪声的某些统计参数（例如，均值和自相关函数），而且需要设计含噪数据作为其输入的线性滤波器，使得根据某种统计准则噪声对滤波器的影响最小。
实现该滤波器优化问题的一个有用方法是使误差信号（定义为期望响应与滤波器实际输出之差）的均方值最小化。
对于平稳输入，通常采用所谓维纳滤波器（Wiener filter）的解决方案。
该滤波器在均方误差意义上使最优的。
误差信号均方值相对于滤波器可调参数的曲线通常称为误差性能曲面。
该曲面的极小点即为维纳解。
维纳滤波器不适合于应对信号和/或噪声非平稳问题。
在这种情况下，必须假设最优滤波器为时变形式。
对于这个更加困难的问题，十分成功的一个解决方案使采用卡尔曼滤波器（Kalman filter）。
该滤波器在各种工程应用中式一个强有力的系统。
维纳滤波器的设计要求所要处理的数据统计方面的先验知识。
只有当输入数据的统计特性与滤波器设计所依赖的某一先验知识匹配时，该滤波器才是最优的。
当这个信息完全未知时，就不可能设计维纳滤波器，或者该设计不再是最优的。
而且维纳滤波器的参数是固定的。
在这种情况下，可采用的一个直接方法是“估计和插入过程”。
该过程包含两个步骤，首先是“估计”有关信号的统计参数，然后将所得到的结果“插入（plug into）”非递归公式以计算滤波器参数。
对于实时运算，该过程的缺点是要求特别精心制作，而且要求价格昂贵的硬件。
为了消除这个限制，可采用自适应滤波器（adaptive filter）。
采用这样一种系统，意味着滤波器是自设计的，即自适应滤波器依靠递归算法进行其计算，这样使它有可能在无法获得有关信号特征完整知识的环境下，玩完满地完成滤波运算。
该算法将从某些预先确定的初始条件集出发，这些初始条件代表了人们所知道的上述环境的任何一种情况。
我们还发现，在平稳环境下，该运算经一些成功迭代后收敛于某种统计意义上的最优维纳解。
自适应滤波器课程设计
自适应滤波器课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解自适应滤波器的基本概念，掌握其工作原理和应用领域；2. 学会推导自适应滤波器的算法，并能运用相关理论知识分析滤波性能；3. 了解自适应滤波器在信号处理、通信等领域的实际应用。
技能目标：1. 能够运用所学知识设计简单的自适应滤波器，完成特定信号的处理任务；2. 掌握使用编程软件（如MATLAB）进行自适应滤波器仿真实验，提高实际操作能力；3. 培养独立分析问题、解决问题的能力，提高团队协作和沟通表达能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对信号处理领域的兴趣，激发学生主动探索科学问题的热情；2. 培养学生严谨、认真的学习态度，养成勤奋刻苦的学习习惯；3. 增强学生的国家使命感和社会责任感，使其认识到自适应滤波器在我国科技发展中的重要作用。
本课程针对高年级本科生，结合课程性质、学生特点和教学要求，将课程目标分解为具体的学习成果。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力，培养学生解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，使学生能够掌握自适应滤波器的核心知识，为未来从事相关领域的研究和工作打下坚实基础。
二、教学内容1. 自适应滤波器基本概念：滤波器分类、自适应滤波器的定义及其与传统滤波器的区别；2. 自适应滤波器原理：线性最小均方（LMS）算法、递推最小均方（RLS）算法、归一化算法等；3. 自适应滤波器的应用：信号处理、通信、语音识别等领域；4. 自适应滤波器设计：基于MATLAB工具箱的滤波器设计流程及参数配置；5. 自适应滤波器性能分析：收敛性分析、计算复杂度分析、数值稳定性分析；6. 实践教学：设计并实现一个简单的自适应滤波器，完成特定信号处理任务。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1周：自适应滤波器基本概念，教材第1章；2. 第2周：自适应滤波器原理，教材第2章；3. 第3周：自适应滤波器的应用，教材第3章；4. 第4周：自适应滤波器设计，教材第4章；5. 第5周：自适应滤波器性能分析，教材第5章；6. 第6周：实践教学，结合教材第4章和第5章内容进行。
自适应滤波器
ˆ ) 1 ( Kr ˆxd ) Rx 1rxd w(n) ( KR x
（2）LMS 算法 LMs 算法的性能准则是采用瞬时平方误差性能函数|e(k)|2 代替均方误差性能函数 E{|e(k)|2}, 其实质是以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得下个时刻的权系数。 其输出信号 y(k)、输出误差 e(k)及权系数 W(k)的计算公式为:
问题。换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二 乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。 对同一类数据来说， 最小均方误差准则对不同 的数据组导出同样的“最佳”滤波器，而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤 波器，因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。故本设计就是采用 RLS 算法。 下面我们将分析基本的 RLS 算法的原理及其性能。 3.2.2 基本 RLS 算法原理及性能分析 首先叙述最小二乘法的基础，然后推导递推最小二乘算法的计算公式。 3.2.2.1 最小二乘滤波方程 设已知 n 个数 x(1)，x(2)，„，x(n)，我们要根据这些数据，利用图 4 的 m 阶线性滤波器来估计需要信号 y(1)，y(2)，„，y(n)。 x(1) Z-1 x(2) Z-1 Z-1 x(i-Nx(k )e * (k ) e(k ) [1 | y(k ) |2 ] y(k ) x(k )
该算法的收敛性在理论上无法保障。 同时该算法的另外一个缺陷是， 如果有一个较大的干扰 信号，则该算法往往收敛到一个错误的信号上。 综上所述，LMS，SMI,CMA,DDLMS 算法都具有收敛性，但 SMI 算法比 LMS 算法收敛速 度快，LMS，SMI,DDLMS 都需要参考信号，且 SMI 算法较复杂，CMA 算法理论上可能不 收敛。RLS 算法（递推最小二乘法）是最小二乘法的一类快速算法，它包含时间递推最小 二乘法（TRLS）与阶数递推最小二乘法（ORLS）两大类。通常说来，RLS 自适应算法具 有快速收敛性，最小均方误差自适应算法（LMS）的收敛性对输入信号相关矩阵参数很灵 敏。 所研究的自适应滤波算法直接根据一组数据寻求最佳输出，最小二乘算法就可解决这个
自适应滤波
h h0
h1 hN 1
R sx Rsx0
1/3/2019
Rsx1 RsxN 1
T
11
由式(7)可解出最佳单位脉冲响应为
1 hopt R xx R sx
5.2.2 维纳-霍甫夫方程求解
维纳-霍甫夫方程的解就是维纳滤波器的系数，也即FIR数字滤波器 的单位脉冲响应h(n)，此时维纳滤波器的输出是信号的最佳估计。 相应地，最佳的单位脉冲响应叫做维纳解。设计维纳滤波器可以归 结为求维纳解，也就是解维纳-霍甫夫方程。 下面介绍一种求维纳解的方法，搜索法。 首先将前面提到的单位脉冲序列h(n)表示为权系数w0,w1,…wN-1,由 权系数组成的向量称为权向量。则n时刻权向量表示为
这个偏移量的期望值称为超量均方误差mseminexcessmseeminmin超量均方误差mse对最小均方误差的归一化定义为失调量用m表示mintrexcessmse说明步长因子和信号功率都对失调有影响2805202063失调与收敛时间常数的关系实际应用中失调量收敛速度和权系数的个数往往需要作一个折中因此这个方程很有若r的n个特征值相等则有2805202064递归最小二乘rls算法基本思想把最小二乘法ls推广为一种自适应算法用来设计自适应的横向滤波器利用n1时刻的滤波器抽头权系数通过简单的更新求出n时刻的滤波器抽头权系数
R为数据的自相关函数组成的N×N维矩阵
1/3/2019 15
将（9）式、（10）式代入（8）式可得均方误差性能函数为：
2 (w ) d 2wT P wT Rw
性能曲面
单权重情况: 抛物线
w n w0 n
2 n 2 P0w0 n n E d 2 n R0w0
滤波器的自适应滤波和参数调整技术
滤波器的自适应滤波和参数调整技术一、引言滤波器是信号处理中常用的工具，广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
传统的滤波器设计需要预先确定好滤波器参数，但实际应用中，信号的特性往往是动态变化的，这就要求滤波器能够自适应地调整参数以适应不同的信号特性。
本文将介绍滤波器的自适应滤波和参数调整技术。
二、自适应滤波的原理自适应滤波是一种根据输入信号的变化动态调整滤波器参数的方法。
其基本原理是通过不断观察输入信号的统计特性以及输出信号的误差，来调整滤波器的参数，使得输出信号尽可能接近期望的信号。
自适应滤波的关键是如何选择适应性的参数调整策略。
常用的方法有最小均方误差（Least Mean Square, LMS）算法和最小二乘逼近（Least Squares, LS）算法。
LMS算法通过不断调整滤波器的权值来减小输出信号与期望信号之间的均方误差。
LS算法则是通过求解最小二乘问题得到滤波器的最优参数值。
三、自适应滤波的应用自适应滤波在各个领域中都有广泛的应用。
以下将分别介绍其在通信、图像处理和音频处理中的应用。
1. 通信领域在通信系统中，自适应滤波可以用于消除信号传输过程中的噪声和干扰。
例如，在无线通信中，自适应滤波可以有效抑制多径衰落引起的干扰信号。
通过不断调整滤波器的参数，可以改善信号的传输质量，提高通信系统的性能。
2. 图像处理领域在图像处理中，自适应滤波可以用于去除图像中的噪声和模糊。
例如，在数字相机的图像采集过程中，由于光线条件的变化或者摄像机的抖动，图像中会出现噪点和模糊现象。
自适应滤波可以根据图像局部的统计特性来调整滤波器的参数，从而将噪点和模糊进行有效的去除，得到清晰的图像。
3. 音频处理领域在音频处理中，自适应滤波可以用于消除音频信号中的噪声和回声。
例如，在语音通信中，由于传输环境的噪声和回声干扰，接收端往往会产生不清晰的语音信号。
自适应滤波可以通过动态调整滤波器参数，减小噪声和回声对语音信号的影响，提高语音通信的质量。
自适应数字滤波器
一、研究E [ε2( j)]与[W]的关系
由于均方误差为：
E[ 2 ( j)] E[d 2 ( j)] 2[P]T [W ] [W ]T [R][W ]
N1 N1
N1
dd (0)
WiWm xx (i m) 2 Wi d (i)
i1 m1
i 1
看出：均方误差E [ε2(j)]是加权系数W的二次函 数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具 有唯一最小值的函数。
行方阵列
单个值
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5.求出自适应滤波器的E[ε2( j)]与wi的关系
由于均方误差为：
E[ 2 ( j)] E[d 2 ( j)] 2[P]T [W ] [W ]T [R][W ]
NN
N
dd (0)
WiWm xixm (0) 2 Wi xid (0)
当N 1时，i只 1 m有1 一个信号
i 1
(5)自适应DF可变成自适应线性组合器。
第13页/共60页
5、FIR ADF的框图 （也即自适应线性组合器）
x1j
w1
x2j
w2
.
xNj
. .
wN
y(j)
- ε(j) + d(j)
一般来讲x1j, x2j , x3j …… xNj , 可以是任意一组输入信号，
并不一定要求当时x1j = xj, x2j= x(j-1),x3j= x(j-2) ，……，xNj= x(jN+1) ， 即并不要求各xi(j)是由同一信 号的不同延时组成.
第24页/共60页
二、E [ε2( j)]与[W]的关系曲线
E[ 2 ( j)]
E[ 2 ( j2 )]
第四章自适应滤波4
本节内容
1、自适应横向滤波器与自适应格型滤波 器的优缺点比较
2、 预测误差的格型滤波器 4、LMS自适应格型滤波器的实现
一、自适应横向滤波器构简单 缺点：收敛速度较慢。
为了克服这种不足，可采用格型自适应 滤波器。
因此称ep (n)为前向线性预测误差。
对上式进行z变换，得到：
p
Ep (z) X (z) ap,k X (z)z-k k 1
H f
(z)
Ep (z) X (z)
1
p
ap,k z-k
k 1
p
ap,k z-k , ap,0
k 0
1
H f (z)称为前向预测误差滤波器的系统函数。 前向预测误差滤波器的结构如图所示。
可由上式解出前向线性预测误差滤波器的最佳系数，
以及最小前向预测误差。
2、后向线性预测误差滤波器
如果利用x(n 1), x(n 2), , x(n p) 数据预测x(n)，则称为后向预测，
其估计值用xˆ'(n)表示：
p
xˆ '(n) -
a' p,k
x(n
k
)
k 1
一般前向、后向预测用同一数据进行，
2、自适应格型滤波器的优缺点：
格型滤波器是一种较有特色的自适应滤波器。它 比自适应横向滤波器有许多优点。
优点（1）自适应收敛速度快。 （2）滤波器的节数易改变，一个m节的格型滤波
器可产生相当于从1阶到m阶的m个横向滤波器 的输出，使我们能在变化的环境下动态地选择 最佳的阶；
（3）它的权系数对寄存器有限长度效应不敏感， 有模块式结构，便于实现高速并行处理。
与前向预测误差滤波器的系统函数对比， 得到前、后向预测误差滤波器的系数函数 之间的关系是：
现代数字信号处理课件：自适应滤波——自适应信号处理技术与应用
Pxx(z)=P1mm(z)+Pnn(z)|H(z)|2
(6.1.8)
基础理论
滤波器输入和期望响应间的互相关谱只取决于互相关的原始 分量和参考分量，并可表示为
Pxd(z)=Pnn(z)H*(z) 于是维纳滤波器的传输函数则为
(6.1.9)
Wopt (z)
Pnn (n)H *(z) P1mm (z) Pnn (z) H (z)
感应、接地不良及其他原因造成。Widrow等人采用如图 6.8所示的噪声 对消电路抑制这种干扰，取得了很好的效果。图中主通道接心电图仪的 前置放大器输出，它包含心电信号和工频干扰。参考通道直接从墙上的 电源插座取出，因而有用信号分量基本上不会出现在参考通道中。因为 需要调整两个参量(幅度和相位)，所以采用两路加权，即滤波器含有两 个可变的加权系数，一个系数直接对应工频干扰，而另一个系数对应于 相移了90°的工频干扰。自适应滤波器的实验结果示于图 6.9。图 6.9(a) 为主通道的信号，从图中可看到它受到市电的干扰。图 6.9(b)为从墙上 取下的送到参考通道的50 Hz干扰信号。图 6.9(c)为自适应噪声对消的输 出，可以看出自适应噪声对消的效果很明显。
基础理论
图 6.5中第一个权的输入直接由参考输入采样得到，而 第二个输入是将第一个权输入移相90°后产生的，即
x1k=c cos(kω0+) x2k=c sin(kω0+)
其中，ω0=2πf0T(T为采样周期)。 权的迭代采用LMS算法，图 6.6给出了这种算法的工作
原理流程。权的修正过程如下: w1, k+1=w1, k+2μεkx1，k w2，k+1=w2，k+2μεkx2，k
若参考通道有信号s的分量进入，如图 6.2所示，则自适 应滤波器的输出y将包含信号分量，也就是说，系统的输出e 中信号s也受到了一定程度的对消，从而使噪声对消效果变 差。可以证明
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3.2.2 性能函数表示式及其几何意义
将性能函数表示式(3.2.11)重写如下:
回答p116思考题3.4, 证明:
式(3.2.19)
(n) E[d 2 (n)] wT Rw 2PT w
等效于
式(3.2.11)
(n) E[d 2 (n)] wT Rw 2P T w 1.用权偏移矢量坐标v表示性能函数 不难证明(见附录), 均方误差可写成与上式等效的标准形式:
(3.2.7)
均方误差为:
(n) E[e2 (n)]
E[d 2 (n)] w T (n) E[ x(n) x T (n)]w(n) 2 E[d (n) x T (n)]w(n)
(3.2.8)
定义输入信号 x (n)的自相关矩阵 R :
R E[ x (n) x T (n)]
2 x0 ( n) x0 (n) x1 (n) x12 (n) x1 (n) x0 (n) E xL (n) x0 (n) xL (n) x1 (n)
k 0
其中, wk (n) 为加权系数. 定义“权矢量”:
w (n) w0 (n) w1 (n) wL (n)
T
(3.2.3)
则 y (n) 的矢量表示式为: (3.2.4) y(n) xT (n)w(n) w(n)T x(n) 在该线性组合器中，其自适应过程，就是通过自适应算法自动调整权 k 0,1,, L ，使其均方误差最达最小的过程。 系数 wk (n) ， （2）自适应FIR滤波器(单输入系统)
证明见本节附录.
(3.2.16)
（3）正交原理 根据均方误差性能曲面梯度的定义
E[e (n)] E[e 2 (n)] E[e 2 (n)] E[e 2 ( n)] w w w w 0 1 L
2 T e(n) e(n) e(n) 2 E e( n ) 0 w1 wL w0 T
x0 (n)
输 入 x1 (n) 信 号 矢 量 x (n) L
w0 (n)
w1 (n)
wL (n)
输出响应 y(n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d ( n) 参考响应
自适应处理器
e(n)
图3.2.1 自适应线性组合器
如图3.2.1所示, 这种多输入系统的输出 y (n) , 等于输入矢量 x (n) 的 各元素的线性组合(因此称该系统为线性组合器): L (3.2.2) y ( n) wk (n) xk ( n)
2.自适应滤波器的特点 （1）自适应滤波器，实际上是一种参数可自动调整的特殊的维纳滤波 器。 （2）实现自适应滤波器不需要任何关于信号和噪声统计特性的先验知 识；当输入统计特性变化时，它能按照某种准则自动地调整自身参数， 以满足最佳滤波的需要。 （3）自适应滤波器具有学习和跟踪性能。 ●学习过程: 在输入信号统计特性未知的情况下, 调整自身参数达到 最佳的过程. ●跟踪过程: 当输入信号统计特性变化时, 调整自身参数达到最佳的 过程.
(3.2.10)
将式(3.2.9)和式(3.2.10)代入式(3.2.8), 并用 w代替 w ( n) , 可得
(n) E[d (n)] w Rw 2P w
2 T T
若将式(3.2.11)展开, 则w的 各分量只含一次项和二次项, (3.2.11) 所以说 , ξ 是 w 各分量的二 次函数.
于是得到
这与FIR维纳滤波器的最佳解 hopt R-1 P是一致的,因此 w 又称维纳
（2）最小均方误差 min 将最佳权矢量 w 代入式(3.2.11), 得最小均方误差 min
min
w R1 P
(3.2.15)
E[d 2 (n)] P T R-1 P E[d 2 (n)] P T w
（1）最佳权矢量 w 满足均方误差最小时, 对应的权矢量即为最佳权矢量. 在性能曲面上, 该点的梯度等于零. 由式(3.2.13), 有
由式(3.2.14), 可 得互相关矩阵:
(3.2.13)
2Rw 2P 0
P Rw
此关系式正是输 入-输出互相关 定理的矢量表达 形式.
(3.2.14)
输入信号矢量是一个时间序列, 其元素由同一个信号在不同时刻的取 样值构成(即对同一信号源, 在 n 时刻以前 L 1个取样时刻得到): T (3.2.5) x (n) x(n) x(n 1) x(n L)
x ( n)
z-1
时变横向（FIR）数字滤波器
w0 (n)
x(n 1)
3.1.2 自适应滤波器的原理
原理框图如图3.1.1所示，主要包括两部分： ●参数可调数字滤波器，滤波器结构: FIR, IIR或格形滤波器； ●自适应算法。 与维纳滤波器比较, 自适应滤波器增加了一个识别控制环节.
x(n)
参数可调数字滤波器
y(n)
d(n)
自适应算法 识别控制环 节
0 0 L Diag(0 , 1 ,, L )
对角线上的元素i (i 0,1,2,, L) 是 R 的 L 1 个特征值.
Q 称为“特征矢量矩阵”:
Q [q0 q00 q01 q q11 10 q1 qL ] qL 0 qL1 q0 L q1L qLL
min (w w )T R(w w )
定义权偏移矢量:
(3.2.19)
v w w [v0 , v1 ,, vL ]
用表示式(3.2.19), 得
(3.2.20)
min v T Rv
(3.2.21)
上式表明，当 w 偏离 w 一个数值 v (v 0) 时，均方误差 将比 min 大 为满足式 (3.2.22), R 应是正 v T Rv 。为保证 0 ，要求 定或半正定的. v T Rv 0 ， v (3.2.22) 半正定是指对某些有限个 v 或所有v, vTR v =0的情况. 2.用旋转坐标v(主坐标系)表示性能函数 由于自相关矩阵 R 是对称和正定(或半正定)的, 因此可利用它的特征 值和特征向量对式(3.2.21)进一步简化. 将 R 化为标准形: R QQT (3.2.23) 式中, 是 R 的特征值矩阵(对角线矩阵): 0 0 0 0 0 (3.2.24) 1
(3.2.25)
其中 qi 称为对应于特征值 i 的特征矢量. 调节每个特征矢量的模, 使它们都具有单位长度, 于是, Q 的 L 个特 1 征矢量是相互正交并各自归一的, 即满足: 1, i j (3.2.26) qi T q j 0, i j (3.2.27) Rqi i qi
(3.2.6)
同样用矢量表示为
y(n) xT (n)w(n) w(n)T x(n) 其中权矢量 w ( n) 与式(3.2.3)相同. 由上可得单输入自适应滤波器的结构如图3.2.3示: 1 xn z 1 xn 1 z 1 xn2 xnL z xn
w0 n w1n
上式表明: 当输入矢量 x (n) 和参考响应 d (n)都是平稳随机信号时, 均 方误差 是权矢量 w 的各分量的二次函数. 的函数图形是 L 2 维空间中 的一个向下凹的超抛物面, 并有唯一的最低点 min .该曲面称为均方误差 性能曲面, 简称性能曲面; 式(3.2.11)称为性能函数. 均方误差性能曲面的梯度定义为: T (3.2.12) w w0 w1 wL 将式(3.2.11)代入上式, 得 2 Rw 2 P
(3.1.1)
即 y (n) 是 d (n)的估计. 将 y (n)与期望信号 d (n)比较, 产生误差信号 e(n) : e(n) d (n) y(n)
(3.1.2) （2）通过自适应算法，由 e(n) 产生相应的控制信号，自动调整数字滤 波器的参数，最终使 e(n) 的均方误差最小, 即 (3.1.3) E[e2 (n)] min 这时 y (n)即为 d (n) 的最佳逼近.
x0 (n) xL (n) x1 (n) xL (n) 2 xL (n)
T
(3.2.9)
d (n) 与 x (n)的互相关矩阵P:
P E[d (n) x (n)] E d (n) x0 (n) d (n) x1 (n) d (n) xL (n)
说明: （1）自适应滤波有两个输入信号: 原始输入信号和参考输入信号; 两个输出信号: 实际响应y (n)和误差信号 e(n) . x(n)和 d (n) 究竟哪个作原始输入, 哪个作参考输入, 信号形式如何; y (n)和 e(n)究竟哪个作为输出, 均根据具体应用来确定. （2）要达到自适应滤波的目的, 原始输入信号与参考输入信号必须 相关.
w2 n
w( L1)n
wLn
yn
图3.2.3 自适应横向滤波器结构
这是一种时变横向数字滤波器, 在信号处理中应用较为广泛. 2.利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差 下面采用均方误差(或平均功率)最小准则, 求最佳权系数. 对于以上两种输入情况, 输出误差信号均可表示为:
e( n ) d ( n ) y ( n ) d ( n ) x T ( n ) w ( n ) d ( n ) w T ( n) x ( n)
x(n 2)
z-1
w1 (n)