矩估计 & 总体方差的无偏估计

《总体平均数与方差的估计》 教学设计

《总体平均数与方差的估计》教学设计 本节课是湘教版数学九年级上册第五章用样本推断总体的第一节课，是统计的初步知识，本节课主要讲解用总体平均数与方差的估计，本节要求了解用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体的百分比、平均数或方差；进一步体会用样本估计总体的统计思想方法。 因此本节课重点是用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体百分比、平均数或方差。所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。 【知识与能力目标】 1.了解用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体的百分比、平均数或方差； 2.进一步体会用样本估计总体的统计思想方法。 【过程与方法目标】 经历生活实例，体会统计估计，能对问题发表看法。 【情感态度价值观目标】 培养学生学习认真、细致、耐心的学习态度与习惯，加深学生对统计估计意义和基本思想的理解，构建师生、学生互动平台，让学生发表自己的看法，提高学生的表达能力。【教学重点】 用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体百分比、平均数或方差。 【教学难点】 用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体百分比、平均数或方差。 ◆教学过程 一、导入新课 阅读下面的报道，回答问题。 阅读PPT上的新闻报道。 从上述报道可见，北京市××局进行2019年度人口调查采用的是什么调查方式？ 二、新课学习 我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性。 从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想.

总体平均数与方差的估计

总体平均数与方差的估计 教学目标 1.掌握并灵活、快速、准确地计算样本的平均数、方差，以及对样本和总体的结合分析。 2.会利用样本的平均数众数中位数方差估计总体的平均数众数中位数方差. 3.进一步体会用样本估计总体的统计思想方法. 重点难点 重点：平均数.加权平均数.方差的计算方法.． 难点：在简单随机样本中，会用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差. 教学设计 一.预习导学 学生通过自主预习教材P141-P144完成下列各题. 1.什么是平均数?平均数是怎样计算的? 2.什么是方差?方差是怎样计算的?方差反映的是一组数据的什么特征? 3.什么情况下，可以用样本的平均数或方差来估计总体？ 设计意图：通过复习平均数与方差的计算方法，挑起学生对统计知识的回忆，同时训练学生的基本计算能力。通过自主预习课本新知，培养学生自主学习的良好习惯和能力。 二.探究展示 (一)合作探究 1.教材第141页的“议一议”。 分析下面三个方面的问题： （1）上述调查繁琐吗？ （2）上述调查的对象多不多？ （3）如果你去进行具体调查，从你自身的角度出发，你认为采取什么样的方式要好？ 2.小组讨论：用哪种方案解决此问题最好？ 归纳：从总体中抽取简单随机样本，然后对样本进行分析，再用样本的各种数据去推断总体的各种情况是最好的，是最简单同时也有效的。 教师总结：在大多数情况下，当样本容量足够大时，才用随机抽取的样本进行分析，然后用样本的数据去推断总体的各种情况是比较合理的，是符合数学规律的。 推广：由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差。 (二)展示提升 以下题目先由学生独立完成，然后小组内讨论交流 交流完毕后，各小组选派人员上台展示. 1.为检测一批节能灯的使用寿命,从中抽取了25个节能灯进行试验.这25个节能灯的使用寿命是( ). A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量. 设计意图：复习统计中的各基本名称术语。 2.了解某中学学生的身高情况,需要抽取部分学生进行调查,下列抽取学生的方法合适的是( ) A随机抽取该校一个班级的学生.

5.1总体平均数与方差的估计

第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【学习目标】 教学目标 1. 会利用样本的平均数众数中位数方差估计总体的平均数众数中位数方差 2. 进一步体会用样本估计总体的统计思想方法 . 重点：平均数.加权平均数.方差的计算方法.? 难点：在简单随机样本中，会用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差 【预习导学】 学生通过自主预习教材 P l41-P l44完成下列各题. 1. 什么是平均数？平均数是怎样计算的？ 2. 什么是方差？方差是怎样计算的？方差反映的是一组数据的什么特征 3. 什么情况下，可以用样本的平均数或方差来估计总体? 【探究展示】 合作探究 1.（一）教材第141页的“议一议”。 分析下面三个方面的问题： （1）上述调查繁琐吗？ （2）上述调查的对象多不多? （3 ）如果你去进行具体调查，从你自身的角度出发，你认为采取什么样的方式要好? 2. 小组讨论：用哪种方案解决此问题最好？ 归纳：从总体中抽取 ____________ 样本，然后对样本进行分析，再用样本的各种数据 去 ______ 总体的各种情况是最好的，是最简单同时也有效的。 总结：在大多数情况下，当样本容量足够大时，才用随机抽取的样本进行分析，然后用 样本的数据去推断总体的各种情况是比较合理的，是符合数学规律的。 推广：由于简单随机样本客观地反映了实际情况， 能够代表总体，因此我们可以用简单 随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差。 ,从中抽取了 25个节能灯进行试验.这25个节能灯的使用寿 样本 D. 样本容量. ,需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法合适的 （—二 ）展示提升 1.为检测一批节能灯的使用寿命 命是（）如图. A. 总体 B. 个体 C. 2 .为了解某中学学生的身高情况 是（）

3.1-3.2.1-估计量的性质、最小方差无偏估计

第三章估计理论 什么是“估计”？ 通俗解释：对事物做大致的判断 专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信 息进行加工、处理获得结果的过程。

3.1引言 3.1 引言 根据研究对象的不同估计分为二种 参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量 波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论 与信号参量估计相关的理论 最佳估计 一定准则下的“最好”估计 应用领域 通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制

3.1.2 估计量的性质质 假设得到N 个观测样本数据为： 为待估计参量，[][]0,1,,1 x n w n n N θ=+=?…式中，是观测噪声。 θ[]w n 估计的任务就是利用观测样本数据构造估计量,获得估计量后，通常需要对的质量进行评价,这就需要研[]x n θ θ θ究估计量的主要性质。 估计量也是一个随机变量，具有均值和方差等统计特征，可以利用其统计特征对估计量的性质进行评价。评价 θ 指标包括：无偏性、一致性、充分性和有效性。

1、无偏性 非随机参量随机参量??θθ 无偏估计 渐进无偏估计()E θθ=()()E E θ=?lim ()N E θθ→∞=?lim ()()N E E θ θ→∞=如果上式不满足，则是一个有偏估计 θ 定义 为估计量的偏估计量的无偏性保证估计量分布在参量真值附近，是衡量()()b E θθθ=?估计量性能优劣的重要指标。然而，一个估计量是无偏的不能确保就是好的估计量，它仅能保证估值的均值近似真值。

2、一致性 可以通过增加观测样本数据来减少估计量的估计误差，具有这种性质的估计称为一致估计。 简单一致性： ?lim (||)1N P θθδ→∞?<=均方一致性：2?lim [()]0N E θ θ→∞ ?= ?定义估计误差，对无偏估计，误差的方差为 222?εθθ=?在同时满足无偏性、均方一致性的条件下，随着观测样本()()()() Var E b E εεθε==数的增加，估计误差的方差将减小并趋于零。

《总体平均数与方差的估计》教案

5.1总体平均数与方差的估计 【教学目标】： 通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作出合理的判断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。 【重点难点】： 重点、难点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。 【教学过程】： 一、课前准备 问题：2010年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2010年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网，网址是 二、新课 师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天，通过上网得知北京在这30天的空气污染指数及质量级别，如下表所示： 这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2010年的平均空气污染指数为107，空气质量状况属于轻微污染。 讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？根据样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。 2、体会用样本估计总体的合理性 下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市2010年全年的相应数据的统计图，同学们可以通过比较两张统计图，体会用样本估计总体的合理性。

经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还是可以接受的，是一个较好的估计。 练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和2010年全年的相应数据的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？ 显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我们前面已经看到的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围，将来同学们会学习到有关的数学知识。 3、加权平均数的求法 问题1：在计算20个男同学平均身高时，小华先将所有数据按由小到大的顺序排列，如下表所示： 然后，他这样计算这20个学生的平均身高： 小华这样计算平均数可以吗？为什么？ 问题2：假设你们年级共有四个班级，各班的男同学人数和平均身高如下表所示.

用样本数字特征估计总体数字特征(平均数,方差,实用标准差等)

考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等） 1．(13辽宁T16) 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加 该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本 数据中的 最大值为 . 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10 【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知 2222212345 123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5 x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个 整数的平 方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可 得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10. 2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=. 【测量目标】方差. 【难易程度】中等 |d 【试题解析】

1 1219 110 1918 19 +2 9 1919 x d x x x E x d x ξ ? + ++ ===+= … （步骤1） 2 2222222 (981019)30 19 d D d ξ=+++++++= L L．（步骤2） 3.(13北京T16) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． JC113 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）设 i A表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)． 根据题意，P( i A)＝ 1 13 ，且 i j A A I＝?(i≠j)． 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝ 58 A A U. 所以P(B)＝P( 58 A A U)＝P( 5 A)＋P( 8 A)＝ 2 13 .（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X＝1)＝()()()()() 3671136711 4 13 P A A A A P A P A P A P A =+++= U U U，

总体平均数与方差的估计

.总体平均数与方差的估计

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第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是

这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.

样本方差与总体方差的区别

样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量 立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X- 期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同 样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它 不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就 是那个”偏"的由来 刊屮）二 Ei a.—-￡（A;-W） f=l 9 =rr 一 证明: 10次，测量值和期望值之间是独

DGH 兀） 担工加D （X ；）） g ? u 曰右力m-工P) 占E (m ：-寸) __________ ■!■ A^(E ：=iCV —2A ；T + X-)) 闵肯) ) + ￡：D) n(<7- + //-) E(X 力二丫) nE(X~) MD(X) + E2(X)) M 吟+ “?) 尙e + //-) - 角F + "') t7- 证毕?? D(X)二 --- ◎ E(f)= D(X) + Eh 工) E{S-)= ￡(E ； =1 A ；y )=

总体平均数与方差的估计 (3)

5.1 总体平均数与方差的估计 学习目标： 1.使学生了解简单的随机抽样的操作过程，理解简单的随机抽样的含义； 2.能用随机抽样的方法从总体中抽取样本； 3.培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯。 重点、难点： 用简单的随机抽样的方法从总体中抽取样本。 学习过程： 一、用例子说明有些调查不适宜做普查，只适宜做抽样调查 例1：妈妈为了知道饼熟了没有，从刚出锅的饼上切下一小块尝尝，如果这一小块熟了，那么可以估计整张饼熟了。 例2：环境检测中心为了了解一个城市的空气质量情况，会在这个城市中分散地选择几个点，从各地采集数据。 例3：农科站要了解农田中某种病虫害的灾情，会随意地选定几块地，仔细地检查虫卵数，然后估计一公顷农田大约平均有多少虫卵，会不会发生病虫害。 例4：某部队要想知道一批炮弹的杀伤半径，会随意地从中选取一些炮弹进行发射实验，以考察这一批炮弹的杀伤半径。 以上的例子都不适宜做普查，而适宜做抽样调查。 二、如何从总体中选取样本 1、什么是简单的随机抽样 上面的例子不适宜做普查，而需要做抽样调查，那么应该如何选取样本，使它具有代表性，而能较好地反映总体的情况呢？ 要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个性，有一个对每个个体都公平的方法，决定哪些个体进入样本，这种思想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样 2、用简单的随机抽样方法来选取一些样本。 假设总体是某年级300名学生的数学考试成绩，我们已经按照学号顺序排列如下： 97 92 89 86 93 73 74 72 60 98 70 90 89 90 91 80 69 92 70 64 92 83 89 93 72 77 79 75 80 93 93 72 87 76 86 82 85 82 87 86 81 88 74 87 92 88 75 92 89 82 88 86 85 76 79 92 89 84 93 75 93 84 87 90 88 90 80 89 72 78 73 79 85 78 77 91 92 82 77 86 90 78 86 90 83 73 75 67 76 55 70 76 77 91 70 84 87 62 91 67 88 78 82 77 87 75 84 70 80 66 80 87 60 78 76 89 81 88 73 75 95 68 80 70 78 71 80 65 82 83 62 72 80 70 83 68 74 67 67 80 90 70 82 85 96 70 73 86 87 81 70 69 76 68 70 68 71 79 71 87 60 64 62 81 69 63 66 63 64 53 61 41 58 60 84 62 63 76 82 76 61 72 66 80 90 93 87 60 82 85 77 84 78 65 62 75 64 70 68 66 99 81 65 98 87 100 64 68 82 73 66 72 96 78 74 52 92 83 85 60 67 94 88 86 89 93 99 100 79 85 68 60 74 70 78 65 68 68 79 77 90 55 80 77 67 65 87 81 67 75 57 75 90 86 66 83 68 84 68 85 74 98 89 67 79 77 69 89 68 55 58 63 77 78 69 67 80 82 83 98 94 96 80 79 68 70 57 74 96 70 78 80 87 85 93 80 88 67 70 93。 用简单抽样的方法选取三个样本，每个样本含有5个个体，老师示范完成了第一个样本的选取，请同学们继续完成第二和第三个样本的选取。

用样本估计总体(频率分布直方图、平均数、方差等)课案

考点2 用样本估计总体（频率分布直方图、平均数、方差等） 1. （15泰州一模）若数据2，x ，2，2的方差为0，则x= ． 【考点】极差、方差与标准差． 【答案】2 【分析】因为数据2，x ，2，2的方差为0，由其平均数为 64 x +，得到22166320444x x x ?? ++????-+-=?? ? ??????? ??，解得x =2. 2.（15江苏高考压轴）样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如图所示，则 这组数据的方差等于 ． 第2题图 cqn17 【答案】7.2 【分析】2出现100.44?=次，5出现100.22?=次，8出现100.44?=次，所以 2222 14(25)2(55)4(85)7.210s ??= ?-+?-+?-=? ? 3．（2015江苏苏州市高三上调考）如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的 茎叶图，则其平均得分为 ． JSY33 第3题图 【考点】茎叶图. 【答案】31． 【分析】根据茎叶图的数据，得； 数据的平均分为 x = 182830323840 6 +++++=31．

故答案为：31． 4．(淮安都梁中学2015届高三10月调研)某校为了解2015届高三同学寒假期间学习情况， 抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为 人． zl085 第4题图 【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布． 【答案】30 【分析】∵这100名同学中学习时间在6～8小时外的频率为 （0.04+0.12+0.14+0.05）×2=0.7 ∴这100名同学中学习时间在6～8小时内为1-0.7=0.3 ∴这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为100×0.3=30. 5．（徐州市2014届高考信息卷）甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测 验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 组． 【考点】茎叶图． 第5题图 zl060 【答案】甲 【分析】甲的平均分为63747981838486868890 81.410 x +++++++++= =甲， 5864677475767679808273.110 x +++++++++==乙； x x >乙甲，且甲的成绩多集中在80分上，乙的成绩多集中在70分上， ∴甲组的成绩较好些； 故答案为：甲． 6. （南通市2015届高三第三次调研） 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生 的课外阅读时间，所得数据都在[]50,150中，其频率分布直方图如图所示．已知在

总体平均值与方差的估计

《总体平均值与方差的估计》教案 教学目标 知识目标： ⑴使用计算器计算样本平均数和方差； ⑵掌握用样本特征数估计总体的思想方法； ⑶理解样本估计总体的合理性，总体期望值对样本的代表性的要求. 能力目标：⑴培养学生搜集，分析，计算和整理数据的能力； ⑵培养探索研究问题的能力和应涌所学知识解决实际问题的能力.领会统计知识在实际生活中应用. 教学重点 用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差. 教学难点 用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差的合理性. 教学过程 一.设置情境 问题一：收获季节 从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号后再放入湖里，数天后再打一网鱼共n 条，其中K 条有记号.估计湖中有鱼大约 条？ 问题二：选拔人才 要从甲乙丙三名选手中挑选一名同学参加数学竞赛，参考5次平时成绩： 甲：86 85 90 85 84 乙：70 95 85 83 97 丙：75 78 72 74 76 请你分析数据，作出选拔决定. 二.新课 总体期望值的估计 1.总体期望值(又称为总体平均数)描述了一个总体的平均水平； 2.对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两总体的平均数大小； 3.样本平均数的符号表达：)(121n x x x n x +++= 方差估计：

样本方差：])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-= 样本标准差：])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-= 方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数. 计算器使用： 某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据(单位:小时)： 灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590 灯泡乙：1670 1610 1550 1490 1430 1610 1530 1430 1410 1580 1520 1440 1500 1510 1540 1400 1420 1530 1520 1510 根据上述两个样本，你准备选哪种灯泡？请说明理由！ 四.课堂练习 1．全年级的学生的语文成绩中任意抽取了20名学生的成绩如下表(单位：分)： 60 90 85 75 65 70 80 90 95 80 85 95 75 70 85 80 85 65 90 85 求全年级的学生的语文考试平均成绩的估计值. 2．甲乙两个总体中各抽取了一个样本： 甲:900 920 900 850 910 920 乙:890 960 950 850 860 890 根据上述样本，哪个总体的波动较小？ 3．甲、乙两台机器同时制造某种零件，抽查了15天中这两台机器制造该零件的数量，结果如下： 机器甲:151 150 141 143 135 131 141 142 150 142 144 137 134 140 134

用样本方差估计总体方差

第2课时 用样本方差估计总体方差 1．会用样本方差估计总体方差；(重点、难点) 2．体会样本代表性的重要意义． 一、情境导入 某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下： 他们的平均进球数都是8，现在从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？ 二、合作探究 探究点一：用样本方差估计总体方差 【类型一】 质量问题 两台机床同时生产直径(单位：mm)为10的零件，为了检验产品的质量，质量检 验员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下： 如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识来判断这两台机床生产的零件的质量优劣？ 解析：求出每组数据的平均数，根据方差公式求出每组的方差，然后根据方差的大小进行比较． 解：x 甲＝15(8＋9＋10＋11＋12)＝10(mm)，x 乙＝1 5(7＋10＋10＋10＋13)＝10(mm)．由于 x 甲＝x 乙，因此平均直径不能反映两台机床生产出的零件的质量优劣； 再计算方差，可得s 2甲＝2，s 2乙＝3.6，∵s 2甲

第十九讲正态总体均值及方差的区间估计

第十九讲 正态总体均值及方差的 区间估计 1. 单个正态总体方差的区间估计 设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。 ①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此， )1,0(~N X i σ μ -（,2,1=i n , ）。 由2χ分布的定义知： ∑ =-n i i n X 1 22 2 )(~)(χσ μ， 据)(2n χ分布上α分位点的定义，有： αχσμχαα-=<-<∑ =-1)}()()({2 1 2 2 212 2 n X n P n i i 从而 αχμσχμαα-=????? ??-<

总体平均数与方差的估计

第 5 章用样本推断总体 5.1 总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1. 掌握用样本平均数估计总体平均数 2. 掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】感受数学在生活中的应用. 【教学重点】样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10 次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1. 我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2. 从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3. 思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？

（2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4. 探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩. 如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10 亩水稻，记 录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10 亩甲、乙品种的水稻的平均产量. 因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10 亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5. 通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？【归 纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6. 如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小. 方差越大，离散程度越大，稳定性越差. 用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成. 培养学生互助、协作的精神. 三、运用新知，深化理解

5.1总体平均数与方差的估计

5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，

当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神. 三、运用新知，深化理解

湘教版九年级下册数学 课题：总体平均数与方差的估计

课题：总体平均数与方差的估计 【学习目标】 1．学会正确、合理地取样，懂得随机抽样的合理性． 2．能利用样本的平均数与方差，对总体所含有的个体做出合理的估计和推测． 3．感受数学在生活中的应用，体会统计思想． 【学习重点】 利用样本的平均数与方差，对总体所含有的个体做出合理的估计和推测． 【学习难点】 利用方差分析总体的稳定状况． 一、情景导入 生成问题 回顾： 1．抽样调查时，既要关注样本容量的大小，又要关注样本是否具有代表性． 2．算术平均数公式：x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ． 3．加权平均数公式：x ＝x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f k f 1＋f 2＋…＋f k ，其中f 1＋f 2＋…＋f k ＝n. 4．方差公式：s 2＝1n [(x 1－x)2＋(x 2－x)2…＋(x n －x)2]． 二、自学互研 生成能力 知识模块 总体平均数与方差的估计 阅读教材P 141～P 144，完成下面的内容： 1．在总体中抽取样本，通过对样本的分析，去推断总体的情况，这就是统计的基本思想． 2．用样本平均数、方差去估计总体平均数、总体方差，然后再对事件发展做出决断、预测． 3．P 143例题是通过计算零件直径的方差来得到机器两个时段的运作性能是否正常的． 归纳：统计的基本思想：用样本的平均数、样本方差分别去估计总体的平均数、总体方差．用样本去估计总体时要注意：(1)抽取的样本要具有代表性；(2)样本容量要足够大． 【例1】 为了了解晋龙中学某班学生每天的睡眠情况，随机抽取该班10名学生，在一段时间里，平均每人每天的睡眠时间统计如下(单位：小时)：6，8，8，7，7，9，10，7，6，9，由此估计该班多数学生每天的睡眠时间为( C )

用样本方差估计总体方差【教案1】

20.2.2方差（第二课时） 三维目标 一、知识与技能 1.会求方差，并能用方差判断一组数据的波动大小。 2.学会用计算器的统计功能计算方差。 二、过程与方法 1.经历对数据处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。 2.根据方差的大小，解决问题，培养学生解决问题的能力。 3.学会用现代信息技术处理数据。 三、情感态度与价值观 1.解决现实情境中的问题，增强学生的统计意识 2.通过小组活动，培养学生的合作交流意识。 教学重点 进一步掌握方差的概念，理解方差是刻画一组数据波动大小的统计量 教学难点 理解方差的概念，会求一组数据的方差，并判断这组数据的波动大小 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 甲、乙两台编织机同时编织一种毛衣，在5天中，两台编织机每天出的合格品数量如下（单位：件） 甲：10 8 7 7 8

乙：9 8 7 7 9 在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小? 设计意图 本题考查方差的计算和应用，考查两组数据波动大小的问题实质上就是比较两组样本的方差大小的问题。 师生行为：由学生自己完成，教师讲评。 生 解：； ）（甲887781051=++++=x 8)9778995 1=++++=乙x 。 而 2 .1])88()87()87()88()810[(51222222 =-+-+-+-+-=甲s 8.0])89()87()87()88()89[(5 1222222 =-+-+-+-+-=乙s 2s 甲 >2 s 乙 ∴乙编织机比甲编织机出合格品的波动小 活动2 问题：在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下： 已经算得两组的平均分都是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩哪一组好些，哪一组稍差，并说明理由。 设计意图 本题是一道综合运用统计知识的题目，解题关键是多角度地对两组学生的成绩进行统计分析

湘教版九上数学5.1 总体平均数与方差的估计教案

湘教版九上数学第5章用样本推断总体 5.1 总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情境导入，初步认识 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是

这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计.这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.