15压杆稳定问题(阅读版)
第15章-压杆稳定问题
[
st
]
cr
nst
[ st ] [ ]
[ ] 为许用压应力，
为是一个小于1的系数，称为折减系数或稳定系数,
其值与压杆的柔度及所用材料有关。
二、压杆的稳定条件:
F A
[ st ]
例6 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直
径为： d = 0.3m，试求此杆的容许压力。
其中 : k 2 F EI
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin kx B coskx y(0)y(L)0
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1
0
sinkL coskL
sinkL0
k n F
L
EI
临界载荷 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ； 且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Fcr
2EI
(0.7l ) 2
Fc
r
2EI
(0.5l2
长度因数μ =1 0.7 =0.5 =2
Fcr
2 EI l2
=1
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的 临界载荷公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
F
F
EIy M (x) Fy M0
③压杆的临界载荷
Fcr min( Fcry , Fcrz )
例3 求下列细长压杆的临界载荷。
解：图(a)
F
F
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
第十五章压杆稳定问题
1. 压杆稳定性的概念
①
强 刚
度 度
构件的承载能力： 构件的承载能力：
② ③ 稳 定 性
工程中有些构件 具有足够的强度、 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。 可靠地工作。
1. 压杆稳定性的概念
P
1. 压杆稳定性的概念 工程中的稳定性问题
液压缸顶杆
压杆 压杆
桁架中的压杆
1. 压杆稳定性的概念
细长杆，其临界应力用欧拉公式计算， 细长杆，其临界应力用欧拉公式计算， 为中小柔度杆，其临界应力不能用 为中小柔度杆， 欧拉公式计算
4. 中小柔度杆的临界应力
中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 直线型经验公式 ①σP<σ<σS 时：
σ cr =a−bλ
Qσ cr = a − b λ ≤σ s a −σs ∴λ ≥ = λ0
4
2
]
6
×0.117×11×10 =91kN
5.压杆稳定条件与合理设计 .
例 正视图 xy平面 平面 俯视图 xz平面 平面
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢 已知： 钢 E＝205 GPa, FP＝150 kN, [n]st=1.8 ＝ 校核: 稳定性是否安全。 校核: 稳定性是否安全。
i
③临界应力总图
4. 中小柔度杆的临界应力
抛物线型经验公式
①σP<σ<σs 时：
σ cr =a1 −b1λ
2
我国建筑业常用： 我国建筑业常用： σ cr
λ 2 = σ s 1 − α λc
π 2E 对于A3钢、A5钢和16锰钢：α =0.43，λc = 0.56σ S
第15章压杆稳定
目录
§15.1 压杆稳定的概念(The basic concepts of
columns)
危害：
临界应力往往低于材料的屈服极限甚至比例极 限，破坏具有突然性
特点：
压杆临界力与压杆的材料性质、长度、截面尺 寸和形状、受到的约束情况有关
防止压杆失稳的关键所在：
压杆工作时所受到的压力（工作压力）必须小 于其临界力
3、在 Fcr作用下，
x
k ,wAsin 挠曲线为一条半波正弦曲线
l x
l
,w A
l
即 A 为跨度中点的挠度
2
目录
§15.2 临界荷载的欧拉公式
例题
解： 截面惯性矩
临界压力
269103N269kN
目录
§15.2 临界荷载的欧拉公式
两端非铰支细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：
3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的 类别选用合适的公式计算临界应力
4、掌握简单压杆的稳定计算方法 5、了解提高压杆稳定性的主要措施
目录
作业 15－7; 15－9
34 目录
45钢。最大起重量F=80kN，规定
的稳定安全系数nst=4。试校核丝 杠的稳定性。
（1）计算柔度
dl
i
I A
d44 64 d2
d41cm 44
l 237.575
i1
查得45钢的2=60，1=100，2<<1，属于中柔度杆。
目录
§15.4 压杆稳定条件与合理设计
第十五章 压杆稳定问题
Chapter 15 Buckling of Columns
第十五章 压杆稳定问题
压杆稳定习题及答案
压杆稳定习题及答案【篇一：材料力学习题册答案-第9章压杆稳定】xt>一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力p=pq时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ a ）。
a、弯曲变形消失，恢复直线形状；b、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； c、微弯状态不变； d、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力p=pq时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力p，则压杆的微弯变形（ c ）a、完全消失b、有所缓和c、保持不变d、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ d）来判断的。
a、长度b、横截面尺寸c、临界应力d、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ a）对临界应力的影响。
a、长度，约束条件，截面尺寸和形状；b、材料，长度和约束条件；c、材料，约束条件，截面尺寸和形状；d、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( c )a.60；b.66.7；c.80；d.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ d ）所示截面形状，其稳定性最好。
≤?≥?- 1 -10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ c）a、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；b、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； c、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； d、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ a ）a. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；b. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；c. 临界应力和临界压力一定相等；d. 临界应力和临界压力不一定相等；a、杆的材质b、杆的长度c、杆承受压力的大小d、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。
第15章压杆稳定
小结
• 压杆稳定的概念 在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原 有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲, 致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。
• 临界力Pcr 临界应力cr
强度问题
n 压杆稳定条件为
n 压杆稳定计算注意事项
¨ 根据约束确定长度系数 ¨ 要考虑不同平面内的弯曲，取大者计算 ¨ 根据长度系数的大小确定计算公式
¨ 柔度的概念，如何确定压杆的柔度
细长杆承受轴向压力的工况是很多见的
因此，有一根细长压杆，当压力P 不大时，干扰力一旦撤去， 杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图9-2c,
这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡。
当压力P 增大到某一数值 Pcr 时，稍受横向力的干
扰，杆即变弯，不再恢复 原有的直线形状，而处于
弯曲平衡状态；如P值再
稍有增加，杆的弯曲变形 显著增大，甚至最后造成 破坏，这种不能保持原有 直线形状的平衡是不稳定
的平衡。如图9-2d.
15-2 细长压杆的临界力
压力 Pcr 称为压杆的临界力或称为临界载荷。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下， 使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。 这种丧失稳定的现象也称为屈曲。
令
式中，iy和iz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半
径。
令
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
2.欧拉公式的适用范围
压杆的临界应力图 比例极限的柔度值：
当 p时，欧
拉公式才适用。 这类压杆称为 大柔度杆或细 长杆。
欧拉双曲线
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式：
压杆的临界应力图
如图（b）,截面的惯性矩为
《压杆稳定》问答题
压杆稳定【例1】压杆的压力一旦达到临界压力值，试问压杆是否就丧失了承受荷载的能力？解：不是。
压杆的压力达到其临界压力值，压杆开始丧失稳定，将在微弯形态下保持平衡，即丧失了在直线形态下平衡的稳定性。
既能在微弯形态下保持平衡，说明压杆并不是完全丧失了承载能力，只能说压杆丧失了继续增大荷载的能力。
但当压杆的压力达到临界压力后，若稍微增大荷载，压杆的弯曲挠度将趋于无限，而导致压溃，丧失了承载能力。
且在杆系结构中，由于某一压杆达到临界压力，引起该杆弯曲。
若在增大荷载，将引起结构各杆内力的重新分配，从而导致结构的损坏，而丧失其承载能力。
因此，压杆的压力达到临界压力时，是其承受荷载的“极限”状态。
【例2】如何判别压杆在哪个平面内失稳？图示截面形状的压杆，设两端为球铰。
试问，失稳时其截面分别绕哪根轴转动？解：(1)压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳。
(2)因两端为球铰，各方向的U=1，由柔度知九=巴i(a) i —i，在任意方向都可能失稳。
xy(b) ,i V i 失稳时截面将绕x 轴转动。
xy(c) i >i ，失稳时截面将绕y 轴转动。
xy【例3】细长压杆的材料宜用高强度钢还是普通钢？为什么？解：对于细长压杆，其临界压力与材料的强度指标无关，而与材料的弹性模量E 有关。
由于高强度钢与普通钢的E 大致相等，而其价格贵于普通钢，故细长压杆的材料宜用普通钢。
【例4】图示均为圆形截面的细长压杆(入三入p ),已知各杆所用的材料及直径d 均相同，长度如图。
当压力P 从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？yx解：方法一：用公式P^n z EI/Wl）2计算，由于分子相同，则M越大，P］越小，杆件越先失稳。
方法二：运用公式PA=n2EA/入2,分子相同，而入=ul/i,i相同，故卩l越大，入ijij越大，p越小，杆件越先失稳。
ij综上可知，杆件是否先失稳，取决于卩1。
图中，杆A：ul=2Xa=2a杆B：ul=lX1.3a=1.3a杆C：ul=0.7X1.6a=1.12a由（ul）＞（ul）＞（ul）可知，杆A首先失稳。
第十五章 压杆稳定
课题一 压杆稳定的概念
如上图，在自由端沿杆轴线方向施较小压力时，压杆处于直线平 衡状态（图a），此时若施加一微小横向干扰力，使杆处于微弯状 态（图b），然后将干扰力去除，杆经过几次左右摆动后，仍能回 复到原来的直线平衡状态（图c），这说明压杆的直线平衡状态是 稳定的。
但当压力F增大到某一数值时，压杆在微小干扰力作用下，杆即变 弯。当去除干扰力，杆不再回复到原来的直线平衡状态，而是处 于微弯平衡状态，称此时压杆的直线平衡状态不稳定。
（1）计算螺杆的柔度： i
I A
d
4 0
/
64
d0
40 mm 10mm
d
2 0
/
4
4
4
l 2 375 75
i 10
（2）计算临界应力
cr s a2 275 0.00853 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
（3）校核螺杆的稳定性。
稳定许用应力为：
[
w
]
cr nw
227 4
MPa
56.8MPa
螺杆的工作应力为： F 70 103 MPa 55.7MPa
A 40 2 / 4
[ w ]
，所以螺杆是稳定的。
二、提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。
第十五章 压杆稳定 课题三 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
对于钢材 cr s a2 对于铸铁 cr b a2
式中是与材料有关的常数，单位为MPa，其值可从表中10-2查得。
第十五章 压杆稳定
课题二 临界力和临界应力
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象（下图）称为临界 应力总图。
第十五章 压杆稳定
压杆稳定问题ppt课件
俞永华
精选
1
15-1 压杆稳定的概念
稳定问题与强度和刚度问题一样，在结构和构件的设 计中占有重要的地位。
精选
2
P<Pcr :在扰动作用下，直线平衡 形态转变为弯曲平衡形态，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形状， 则称原来的直线平衡形态是稳定的。
P>Pcr :在扰动作用下，直线平衡 形态转变为弯曲平衡形态，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡形状， 则称原来的直线平衡形态是不稳定的 。
精选
8
欧拉公式通用形式：
Fcr
π 2 EI
(l)2
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
精选
9
例: 试由压杆挠曲线的近似微分方程，导出两端固定杆的欧拉公式 解： 挠曲线的近似微分方程
d2w dx2
M(x) EI
Me EI
Fw EI
ห้องสมุดไป่ตู้
dd2xw2 k2w
由此得到临界载荷
Fcr
π2n2EI精选 l2
最小临界载荷
5
两端铰支细长压杆的临界力
π 2 EI Fcr l 2
klnπ, n1,2,,w =Asin(πx／l)
A为压杆中点的挠度（未定常数）
精选
6
折线OAB仅为理论近似结果（挠曲
线近似微分方程 (6.5)），若将(6.5)
用(6.3)代替，则直线AB变为曲 线
精选
失稳（屈曲）
3
精选
4
15-2 两端铰支细长压杆的临界力
0A＋1B0 sinklAcosklB0
M = -F w
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一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原 来的直线平衡状态。
此时，原来的直线平衡状态是稳定的
（2）当轴向力F 较大时，如有一微小的侧 向干扰力，压杆产生弯曲变形；
当侧向力去掉后，杆不能回到原来的直 线平衡状态。而是处于曲线平衡状态。
此时，原来的直线平衡状态是不稳定的
2 EI
l 2
2
Fcr
2EI
(0.7l)2
欧拉临界压力公式的普遍形式
Fcr
2EI (l)2
l : 相当长度（为把压杆折算成两端铰支压
杆的长度）
: —— 长度因数，与约束性质有关。
1
2
1
2
0.7
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长 杆，临界力Fcr是原来的多少倍？
答：A、C
B. 中柔度杆采用欧拉公式 计算临界应力，结果安
cr cr s
全，偏于保守。 C. 大柔度杆采用中柔度杆
s A
B
公式计算临界应力，结 果可能不安全。
P
cr a b
C
cr
2E 2
D. 大柔度杆采用中柔度杆 公式计算临界应力，结 果安全，偏于保守。
研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
工程实例
薄壁圆筒受外压作用
某施工工地脚手架
§15. 2 临界载荷的欧拉公式
两端铰支的细长杆受压力F 作用： y
w
M (x) Fw
O
x
x
F
将其代入挠曲线近似微分方程：
l
d2w Fw dx2 EI 引入记号： k 2 F
EI
y
M
wF
x
边界条件：
M C 0 F 2 FNAB sin 30 1.5 0
1500
500 F
FN AB
8 3
F
杆AB 的惯性半径：
C
30 B D
杆AB 的长度： FNAB
i
I A
(D4 d4)
64
(D2 d2)
D2 d2 4
4
502 402 16mm 4
2. 压杆的稳定性条件
设压杆的稳定安全因数为:nst
则压杆的许可压力为: F Fcr
nst
n
Fcr F
nst
说明：
压杆的稳定性条件可表示为:
F Fcr F
nst
（1）稳定安全因数 一般比 强度安全因数高；
（2）稳定性计算的三类问题
F 为压杆的实际工作压力。
3. 折减系数法
稳定的平衡 失稳(lost stability ) 不稳定的平衡 屈曲 ( buckling )
F 使杆件保持稳定平衡状态的最大压力
——临界压力 Fcr
稳定的平衡
(F Fcr )
失稳（屈曲）
不稳定的平衡
(F Fcr )
压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。
例：图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l
=1.5m，材料为A3钢，E=206GPa，试按欧拉公式计算其临界压力。
解：由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故
x
必在最小刚度平面内失稳。
F
由截面形状可知：
I min
Iy
bh3 12
40 303 12
9 104 mm4
压杆的柔度或长细比： 欧拉公式的适用范围：
l
i
p
满足此式的压杆，称 为大柔度杆或细长杆
λ P
仅与材料的性质有关，如，Q235钢：
三、中、小柔度杆的临界应力
p
2E
100
P
当柔度小于p 时，采用经验公式计算临界力
直线公式 cr a b 其中：a 、b 为与材料有关的常数。
2Ei2 A A( l ) 2
2E l 2
令 l
i
i
称为压杆的柔度或长细比，无量纲量。 反映杆端约束情况、杆长、截面形状和 尺寸等因素对临界应力的影响。
cr
2E 2
P
即：
2E
P
记： p
2E P
欧拉公式的适用范围为：
p
小惯性矩Imin计算。即失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面内；
Fcr与 杆件的支承条件有关。
力学家和材料力学史
Euler，瑞士人，数学
家、力学家。在数学（数学 分析、变分法、拓扑学）和 力学（固体力学、刚体动力 学、流体力学）的许多领域 都有着开创性的贡献。
Euler 在 1744 年出版的 专著中，对柱的屈曲问题进 行了系统的研究。
1500 30
500 F BD
解： Fcr
2EI
l
2 AB
A 1500
500 F
2 206 109 (504 404 ) 1012 C
I正 I圆
12
d4
64
1
为原压杆的
16
d 4
2
2
12
d4
3
64
动脑又动笔
将下面四种梁的临界荷载从大到 小地排列起来。
3 EI
0.8L
Fcr
π 2 EI 0.64L2
4 2EI L
Fcr
π 2 EI 2L2
2 EI
L
Fcr
π 2 EI 0.49L2
1 EI
1.2L
Leonhard Euler （1707-1783）
力学家和材料力学史
他是迄今为止世界上最为 多产的科学家。他一生的著述 多达八百余件。在他去世后， 俄国科学院花了四十七年的时 间，陆续出版了他遗留下来的 大量文稿。
他以惊人的毅力和顽强的 精神，克服重重困难，坚持科 学研究。
Leonhard Euler （1707-1783）
压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的 1/16 ；若
将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原
压杆的 / 3 。
解：（1）
Fcr
2EI (l)2
2E d4
64
( l)2
（2）
2E I正
Fcr正 ( l)2 Fcr圆 2 E I 圆
( l)2
a4
Fmax= 41.6kN。规定稳定安全因数nst = 8~10。试校核其稳定性。
解：（1）确定压杆类型
l
i
1 703103 45103 / 4
62.5
（2）选用适当公式计算临界压力
cr a b
301106 Pa
P
2E P
2 210 109
k n
l
又k 2 F EI
y
w
O
x l
F n2 2EI
l2
(n 0,1,2,)
两端铰支细长压杆的临界压力Fcr的计算公式
x
F
说明：
Fcr
2EI
l2
—— 两端铰支压杆的欧拉公式
Fcr与 EI 成正比；杆长 l 成反比； 如果截面对于不同轴的惯性矩I不同，确定临界压力需根据最
9 108 m4
代入欧拉公式，有
l
h
Fcr
2 EI y l2
2
206 109 1.52
9 108
81.3103 N 81.3kN
y z
y b
两端非铰支细长压杆的临界载荷
两端非铰支细长压杆的临界载荷
Fcr
2EI
l2
Fcr
2EI
(2l ) 2
Fcr
461
2.568
硅钢
578
3.744
铬钼钢
9807
5.296
铸铁
332.2
1.454
强铝
373
2.15
松木
28.7
0.19
抛物线公式
cr a1 b12
p 0
若 0 称为小柔度杆或短粗杆。
此时压杆一般不发生失稳，其 破坏大多由强度不够引起：
cr
l AB
1500 cos 30
1730mm
杆AB 的柔度：
l
i
11.73 0.016
108
P
杆AB 为大柔度杆
例：图示托架，AB 杆外径 D=50mm，内径 d=40mm，两端为球铰，材料为A3钢，
E=206GPa，λ1=100，稳定安全因数nst=3， C
试确定托架的许可载荷F。
当x 0时, w 0
B0
d2w dx 2
k
2
w
0
w Asin kx
——挠曲线是一条正弦曲线
此方程的通解：
当x l时, w 0 Asin kl 0
w Asin kx B cos kx
sin kl 0
§15. 2 临界载荷的欧拉公式
kl n , n 0,1, 2,
Fcr
π 2 EI 0.36L2
§15. 3 中小柔度杆的临界应力
一、 临界应力、柔度或长细比