浙江省杭州市拱墅区2015年中考数学一模试题

2015中考一模数学试卷

考生须知：

本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟．

答题时，不能使用计算器，在答题卷指定位置内写明校名，姓名和班级，填涂考生号． 所有答案都做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应．

参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-a b 2，a b ac 442

-）

一．仔细选一选 （本题有10个小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案． 1．下列实数中是无理数的是（ ）

A ．tan30°

B ．38

C ．3

1 D ．49

2．在⊙O 上作一条弦AB ，再作一条与弦AB 垂直的直径CD ，CD 与AB 交于点E ，则下列结论中不一．．定．

正确是（ ） A ．AE ＝BE B ．⌒AC ＝⌒BC C ．CE ＝EO D ．⌒AD ＝ ⌒BD

3．二次根式2)3(+x 中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≠－3 B ．x ≥－3 C ．x ＞－3 D ．全体实数

4．下列说法中错误的是（ ） A ．一个锐角的补角一定是钝角； B ．同角或等角的余角相等；

C ．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；

D ．过直线l 上的一点有且只有一条直线垂直于l .

5．如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列 式子中成立的是（ ）

A ．m －1＜n －1

B ．－m ＜－n

C ．|m |－|n |＞0

D ．m ＋n ＜0

6．下列各项结论中错误的是（ ）

A ．二元一次方程22=+y x 的解可以表示为??

???-==21m y m

x （m 是实数）；

B ．若??

?-==2

1

y x 是二元一次方程组???=-=+123y x n m y x 的解，则m ＋n 的值为0； C ．设一元二次方程0432

=-+x x 的两根分别为m 、n ，则m ＋n 的值为－3；

D ．若－5x 2

y m 与x n

y 是同类项，则m ＋n 的值为3.

7．2015年1月1日起，杭州市城区实行全新的阶梯水价，之前为了解某社区居民的用水情况，随8月份用水量的调查结果：

那么关于这次用水量的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ）

A ．平均数是10（吨）

B ．众数是8（吨）

C ．中位数是10（吨）

D ．样本容量是20

8．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④

9．把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，则两次朝上面的点数之积为3的倍数的概率是（ ） A ．31

B ．

36

15

C ．114

D ．95

10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），连结AD ，作∠ADE＝∠B＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝54

．有

下列结论：①△ADE∽△ACD； ②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③当△DCE 为直角三角形时，BD ＝8；④3.6≤AE ＜10．其中正确的结论是（ ）

A ．①③

B ．①④

C ．①②④

D ．①②③

二．认真填一填 （本题有6个小题，每小题4分，共24分）

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．有底面为正方形的直四棱柱容器A 和圆柱形容器B ，容器材质相同，厚度忽略不计.如果．．它们的主视图是完全相同的矩形，那么将B 容器盛满水，全部倒入A 容器，问：结果会 （“溢出”、“刚好”、“未装满”，选一个）

12．如图是某班对40名学生上学出行方式调查的扇形 统计图，问：（1）该班乘坐公交车上学的有 人；

（2）表示骑自行车上学的扇形对应的圆心角是 度.

13．如图，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，若∠2＝62°，则∠1＝ ． 14．已知一次函数的图像经过点A （0,2）和点B （2，－2）：（1）求出y

关于x 的函数表达式为 ；（2）当－2＜y ＜4时，x 的取值范围是 ．

15．已知等腰△ABC 的两条边长分别为4cm 和6cm ，则等腰△ABC 的内切圆半径为 cm ．

16．设二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点(3，0)，(7，– 8)，当3≤x ≤7时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 ．

三．全面答一答 （本题有7个小题，共66分）

解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17.（本小题6分） 求一元一次不等式组??

?->-<4

3343

x x x 的整数解，将解得的整数分别写在相同的卡片上，背面朝上，

随机抽取一张，不放回，再抽出一张，把先抽出的数字作为横坐标，后抽出的作为纵坐标，这样的点在平面直角坐标系内有若干个，请用列表或树状图等方法表示出来，并求出点在坐标轴上的概率.

18．（本小题8分）

某公园有一座雕塑D ，在北门B 的正南方向，BD 为100米，小树林A 在北门的南偏西60°方向，荷花池C 在北门B 的东南方向，已知A ，D ，C 三点在同一条直线上且BD ⊥AC ： （1）分别求线段AB 、BC 、AC 的长（结果中保留根号，下同）；

（2）若有一颗银杏树E 恰好位于∠BAD 的平分线

与BD 的交点，求BE 的距离.

19．（本小题8分）

正方形纸片ABCD 的对称中心为O ，翻折∠A 使顶点A 重合于对角线AC 上一点P ，EF 是折痕： （1）证明：AE ＝AF ；

（2）尺规作图：在图中作出当点P 是OC 中点时的△EFP （不写画法，保留作

图痕迹）；完成作图后，标注所作△EFP 的外接圆心M.

20．（本小题10分）

（1）将下列各式进行分解因式：①14

2++x x ； ② 22818b a -

（2）先化简，再求值：（1－121

2+-x x ）÷（1

22

--x x －2），其中34=x ；

完成对分式的化简求值后，填空：要使该分式有意义，x 的取值应满足 .

21．（本小题10分）

平面直角坐标系中，点A 在函数y 1＝x 2（x ＞0）的图象上，点B 在y 2＝－x

2

（x ＜0）的图象上，设A 的横坐标为a ，B 的横坐标为b ：

（1）当|a |＝|b |＝5时，求△OAB 的面积； （2）当AB∥x 轴时，求△OAB 的面积；

（3）当△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形，且AB 与x 轴不平行时，求a2b 的值.

22．（本小题12分）

已知抛物线p ：12

3)1(2-+

+-=k

x k x y 和直线l :2k kx y +=： （1）对下列命题判断真伪，并说明理由：

①无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点； ②无论k 取何实数值，直线l 与y 轴的负半轴没有交点；

（2）设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2

＝4AB 2

时，求出抛物线的解析式及最小值.

23.（本小题12分）

菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 在线段AC 上从点A 向点C 运动，过P 作PE ∥AD ，交AB 于点E ，过P 作PF ∥AB ，交AD 于点F ，四边形QHCK 与四边形PEAF 关于直线BD 对称. 设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，AP ＝x ： （1）对角线AC 的长为 ；S 菱形ABCD ＝ ；

（2）用含x 的代数式表示S 1；

（3）设点P 在移动过程中所得两个四边形PEAF 与QHCK 的重叠部分面积为S 2，当S 2＝21

S 菱形ABCD 时，求x 的值．

2015中考一模数学答案

一．仔细选一选 ACDDA BCBDC

二．认真填一填 （本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．未装满 12．（1）16；（2）108 13．31° 14．（1）22+-=x y ；（2）－1＜x ＜2

15．2或7

73 16．－21≤ a ＜0或0＜a ≤21

（16题仅写－21≤ a ， a ≤21每个得1分）

三．全面答一答（本题有7个小题，共66分） 17.（6分）

不等式组解得－1＜x ＜3 ------------------------1分 ； 整数解 0，1，2 -----------------------------1分，

6个点：（0,1）；（0,2）；（1,0）；（1,2）；（2,0）；（2,1）不论列表还是树状图或枚举，---------3分

点在坐标轴上的概率为3

2

.-------------------------------------------------------------------------------------1分

（说明：①用列表中和树状图表示点，可不必再写点的坐标；②如第一部分整数解求错，第二部分按求错的整数来解，结果正确，原来的满分4分扣掉1分） 18．（8分）

（1）AB ＝200（米），BC ＝1002（米），-----------------2分（各1分） ∵

AD

＝

100

3

，DC ＝100，

------------------------------------1分

∴A C ＝AD ＋DC ＝（1003＋100）米-----------------------1分

（2）作EF ⊥AB ，根据角平分线性质，得△AE F ≌△A ED

∴AF ＝AD ＝1003--------------------------------------------1分 又BE ＝2BF---------------------------------------------------------1分

∴BE ＝2（AB －AF ）＝2（200－1003）＝400－2003＝（米）----------------------2分 19．（8分）

（1） 证明：设AP 交EF 于点Q ，∵P 是A 的对称点， ∴AP ⊥EF ，------------------1分 在△AEQ 和△AFQ 中：∵点P 在AC 上，∴∠EAQ ＝∠FAQ ＝45°

AQ 公共边，∠AQE ＝∠AQF ＝90°

∴△AEQ ≌△AFQ （ASA ）-------------------2

分

∴AE ＝

AF-----------------------------------------1分

（注：也可以证明△AEP ≌△AFP ，或证AEPF 是正方形.同样给分）

（2）尺规作图：OC 中点P----------------------------------------------------1分

作AP 垂直平分线EF 、 或PE 、PF 用角平分线、或过P 作垂直线等方法获得△EFP ----------2分

△EFP 的外接圆心M 的位置是EF 与AC 的交点（位置正确即可）-----------------------------1分

20．（10分）

（1）① 14

2++x x 2)12(+=x ----------2分；② 2

2818b a -)23)(23(2b a b a -+=---------2分

（2）（1－

1212+-x x ）÷（122--x x －2）＝2

2)

1(2--x x x 122

--÷x x x -------------------------------------2分

＝2

2

)1(2--x x x 3x x x 212--＝11-x -------------1分； 将34=x 代入11-x 得3=x ---------------1分

要使该分式有意义，x 的取值应满足x ≠0且x ≠1且x ≠2

----------------------------------------2分

（注：只写出其中的一个或二个得1分，三个全写出得2分；如果“且”字没写，不扣分） 21．（10分）

（1）∵a ＞0，b ＜0，当|a |＝|b |＝5时，可得A （5,52

）,B(－5,52

) ----------------------2分

∴S △OAB ＝21310352

＝2

-------------------------------------------------------------------------1分 （2）设A （a ,a 2

）,B(b ,b 2

-)，当AB ∥x 轴时，a 2

＝b 2

-，∴a ＝－b ------------------2分

∴S △OAB ＝

2

1

3（a －b ）3a 2

＝

2

132 a 3a 2

＝2

-----------------------------------------------------1分

（3）设A （a ,a 2

）,B(b ,b 2

-)，∵△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形, OA ＝OB

由OA 2

＝a 2

＋(a 2

)2 , OB 2＝a 2

＋(a 2

)2 ，∴a 2

＋(a 2

)2＝b 2

＋(b 2

-)2

-------1

分

整理得：（ a 2

―b 2

）（1224b a -）＝0

----------------------------------------------1分

∵AB 与x 轴不平行，∴|a |≠| b |,∴1224b a -＝0 ∴a2b ＝±2------------1分

∵a ＞0，b ＜0，∴a2b ＝－2 --------------------------------------------------------1分

22．（12分）

（1）①正确

---------------------------------------------------------------------------------------------1分

∵012

3)1(2=-+

+-k

x k x 的解是抛物线与x 轴的交点， 由判别式△＝)12

3(4)1(2--+k k ＝542

+-k k ＝01)2(2>+-k -----------------------2分

∴无论k 取何实数值，抛物线总与x 轴有两个不同的交点； ②

正

确

--------------------------------------------------------------------------------------

--------------1分

∵直线2k kx y +=与y 轴交点坐标是(0，

2k )--------------------------------------------------1分

而无论k 取何实数值2

k ≥0，∴直线与y 轴的负半轴没有交点-----------------------------1分 （2）∵|OD|＝|―k | ,|AB|＝542+-k k ∴OD 2

＝4AB 2

?201642

2+-=k k k 解得3

10k 2==或k

-----------------------------------------------------------------------------------2分

又∵OC 1＝2k ，OC ＝123-k ＞0，∴2

k ＝123-k ＋2，解得21k 2-==或k ------------2分

综上得k ＝2，∴抛物线解析式为232+-=x x y ，最小值为41- ------------------------2分

23.（12分） 解

：

（

1

）

AC

＝

2

3；S

菱形ABCD

＝23

-------------------------------------------------------------2分

（2）根据题设可知四边形PEAF 是菱形，有一个角是60°，菱形的较短对角线与边长相等， ① 当0≤x ≤3时：

∵AP ＝x ，得菱形PEAF 的边长AE ＝EF ＝33

x -----------------1分

S 菱形PEAF ＝2

1AP 2EF ＝x x 3321?＝26

3x ，

∴S 1＝ 2 S

菱形PEAF

＝

23

3x ----------------------------------------------2分

②当3＜x ≤23时：

S 1等于大菱形ABCD 减去未被遮盖的两个小菱形，

由菱形PEAF 的边长AE 为3

3x ，∴BE ＝2－33

x ------------1分

∴S 菱形BEMH ＝23

2)332(43x -＝3226

32

+-x x

∴S 1＝23－2S 菱形BEMH ＝…＝3243

32

-+-x x ------------2分 （3）∵有重叠，∴3＜x ≤23，此时OP ＝3-x ------------------------------------------1

分

∴重叠菱形QMPN 的边长MP ＝MN ＝23

32-x

∴S 2 ＝21P Q2MN ＝2132（3-x ）（23

32-x ）＝3243322+-x x -----------------------2分

令3243322+-x x ＝3，解得263±=x ，符合题意的是263+=x ------------------1分