2019年中考数学专题复习第二十一讲矩形-菱形-正方形(含详细参考答案)(可编辑修改word版)
2019 年中考数学专题复习
第二十一讲矩形菱形正方形
【基础知识回顾】
一、矩形：
1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质：
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定：
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的是矩形
⑶对角线相等的是矩形
【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的
三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600 或1200 角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】
二、菱形：
1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线且每条对角线
3、菱形的判定：⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的是菱形
⑶四条边都相等的是菱形
【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200 或600 时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的
是正方形
2、性质：⑴正方形四个角都都是角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线、且每条对角线平分
一组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证
⑵先证是菱形，再证
【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：
2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴
3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】
【重点考点例析】
考点一：矩形的性质
例1 （2018?杭州）如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°
B．（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°
C．（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°
D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°
【思路分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°-θ1，∠BCD=θ3+130°-θ4，再根据矩形ABCD 中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°．
【解答】解：如图，
∵AD∥BC，∠APB=80°，
∴∠CBP=∠APB-∠DAP=80°-θ1，
∴∠ABC=θ2+80°-θ1，
又∵△CDP 中，∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=130°-θ4，
∴∠BCD=θ3+130°-θ4，
又∵矩形ABCD 中，∠ABC+∠BCD=180°，
∴θ2+80°-θ1+θ3+130°-θ4=180°，
即（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．
考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2 （2018?淮安）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 的长分别为6 和8，则这个菱形的周长是（）
A．20 B．24
C．40 D．48
AO
2
+ BO 2
【思路分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= 1 AC=3，BO= 1
BD=4，且 AO ⊥BO ，
2 2
则 AB = = 5 ，
故这个菱形的周长 L=4AB=20． 故选：A ．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般．
考点三：和正方形有关的证明题
例 3 （2018?北京）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A 、B 重合），连接 DE ，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ，连接 EF 并延长交 BC 于点 G ，连接 DG ，过点 E 作 EH ⊥DE 交 DG 的延长线于点 H ，连接 BH ．
（1） 求证：GF=GC ；
（2） 用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．
2 2 ?
DG ＝DG 【思路分析】（1）如图 1，连接 DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由 HL 证明 Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；
（2）证法一：如图 2，作辅助线，构建 AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得 DE=EH ， 证明△DME ≌△EBH ，则 EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：EM= AE ，得结 论；
证法二：如图 3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE ≌△ENH ，得 AE=HN ， AD=EN ，再说明△BNH 是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】证明：（1）如图 1，连接 DF ，
∵四边形 ABCD 是正方形， ∴DA=DC ，∠A=∠C=90°，
∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ， ∴△ADE ≌△FDE ，
∴DA=DF=DC ，∠DFE=∠A=90°， ∴∠DFG=90°，
在 Rt △DFG 和 Rt △DCG 中，
∵ ?DF ＝DC ， ?
∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ）， ∴GF=GC ；
（2）BH= AE ，理由是：
证法一：如图 2，在线段 AD 上截取 AM ，使 AM=AE ，
2 2 ? ?
∵AD=AB ， ∴DM=BE ，
由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ADC=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴2∠2+2∠3=90°， ∴∠2+∠3=45°， 即∠EDG=45°， ∵EH ⊥DE ，
∴∠DEH=90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH ， ∴∠1=∠BEH ， 在△DME 和△EBH 中， ?DM ＝BE ∵ ?∠1＝∠BEH ， ?DE ＝EH
∴△DME ≌△EBH ， ∴EM=BH ，
Rt △AEM 中，∠A=90°，AM=AE ，
∴EM= AE ，
∴BH= AE ；
2 2 ?
?
证法二：如图 3，过点 H 作 HN ⊥AB 于 N ， ∴∠ENH=90°，
由方法一可知：DE=EH ，∠1=∠NEH ， 在△DAE 和△ENH 中， ?∠A ＝∠ENH ∵ ?∠1＝∠NEH ， ?DE ＝EH
∴△DAE ≌△ENH ， ∴AE=HN ，AD=EN ， ∵AD=AB ，
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN ， ∴AE=BN=HN ，
∴△BNH 是等腰直角三角形，
∴BH= HN= AE ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的 性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 【备考真题过关】
一、选择题
1．（2018?十堰）菱形不具备的性质是（ ）
A ．四条边都相等
B ．对角线一定相等
C ．是轴对称图形
D ．是中心对称图形
7
2. （2018?哈尔滨）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠
ABD= 3
，则线段 AB 的长为（ ）
4 A ． B ．2
C ．5
D ．10
3. （2018?大连）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，若 AB=5，
AC=6，则 BD 的长是（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
4. （2018?贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF ∥CB ，交 AB 于点 F ，如果 EF=3，那么菱形 ABCD 的周长为（
）
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
7
5.（2018?遵义）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF∥BC，分别交AB，CD 于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）
A．10 B．12
C．16 D．18
6.（2018?梧州）如图，在正方形ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（-1，2）、（- 1，0）、（-3，0），将正方形ABCD 向右平移3 个单位，则平移后点D 的坐标是（）
A．（-6，2）B．（0，2）
C．（2，0）D．（2，2）
7.（2018?宜昌）如图，正方形ABCD 的边长为1，点E，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）
A．1 B．1
2
C．
1
3
D．
1
4
8.（2018?湘西州）下列说法中，正确个数有（）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1 个B．2 个
C．3 个D．4 个
9.（2018?张家界）下列说法中，正确的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
10.（2018?湘潭）如图，已知点E、F、G．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是（）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．平行四边形
11.（2018?临沂）如图，点E、F、G、H 分别是四边形ABCD 边AB、BC、CD、DA 的中点．则下列说法：
①若AC=BD，则四边形EFGH 为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH 为菱形；
③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；
2 3 3 ④若四边形 EFGH 是正方形，则 AC 与 BD 互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12. （2018?陕西）如图，在菱形 ABCD 中．点 E 、F 、G 、H 分别是边 AB 、BC 、CD 和 DA 的中点，连接 EF 、FG 、CH 和 HE ．若 EH=2EF ，则下列结论正确的是（
）
A ．AB= EF
B ．AB=2EF
C ．AB= EF
D ．AB=
EF
二、填空题
13. （2018?黔南州）已知一个菱形的边长为 2，较长的对角线长为 2 ，则这个
菱形的面积是
．
14. （2018?湖州）如图，已知菱形 ABCD ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ．若 tan ∠
BAC= 1
，AC=6，则 BD 的长是 ．
3
15. （2018?葫芦岛）如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的标为（2，3），
5
则点C 的坐标为．
16.（2018?广州）如图，若菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是．
17.（2018?黑龙江）如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件使平行四边形ABCD 是菱形．
18.（2018?株洲）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O，AC=10，P、Q 分别为AO、AD 的中点，则PQ 的长度为．
19.（2018?武汉）以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是．
三、解答题
20.（2018?柳州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，且AB=2．
（1）求菱形ABCD 的周长；
（2）若AC=2，求BD 的长．
21．（2018?盐城）在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点E、F 满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．
22.（2018?遂宁）如图，在?ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 上的点，且DE=BF，AC ⊥EF．求证：四边形AECF 是菱形．
23.（2018?郴州）如图，在?ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线E F，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE 是菱形．
24.（2018?张家界）在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证．DF=AB；
（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．
25.（2018?泰安）如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，DE⊥AC 于点E，F 是AD 的中点，FG⊥BC 于点G，与DE 交于点H，若FG=AF，AG 平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF 是否为菱形，并说明理由．
26.（2018?连云港）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE，BA 交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；
（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．
27.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE 的周长．
28.（2018?沈阳）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O．过点C 作BD 的平行线，过点 D 作AC 的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED 是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD 的面积是．
29.（2018?玉林）如图，在?ABCD 中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF 的交点分别是E，F，过点E，F 分别作DC 与AB 间的垂线MM'与NN'，在DC 与AB 上的垂足分别是M，N 与M′，N′，连接EF．
（1）求证：四边形EFNM 是矩形；
（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF 的长．
30.（2018?白银）已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F，G，H 分别是BC，BE，CE 的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．
31.（2018?湘潭）如图，在正方形ABCD 中，AF=BE，AE 与DF 相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD 的度数．
2019 年中考数学专题复习
第二十一讲 矩形 菱形 正方形参考答案
【备考真题过关】
一、选择题
1. 【思路分析】根据菱形的性质即可判断；
【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等， 故选：B ．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．
2. 【思路分析】根据菱形的性质得出 AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ，求出 OB ，
解直角三角形求出 AO ，根据勾股定理求出 AB 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4，
3 AO ∵ tan ∠ABD = = ，
4 OB
∴AO=3，
在 Rt △AOB 中，由勾股定理得： AB
故选：C ．
== 5 ， 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
3. 【思路分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出 OB 即可；
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC=3，OB=OD ，AC ⊥BD ， 在 Rt △AOB 中，∠AOB=90°，
根据勾股定理，得： OB =
∴BD=2OB=8， 故选：A ．
= 4 ， 【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
4. 【思路分析】易得 BC 长为 EF 长的 2 倍，那么菱形 ABCD 的周长=4BC 问题
得解．
【解答】解：∵E 是 AC 中点， ∵EF ∥BC ，交 AB 于点 F ， ∴EF 是△ABC 的中位线，
∴ 1
EF= BC ，
2 ∴BC=6，
∴菱形 ABCD 的周长是 4×6=24． 故选：A ．
【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单．
5. 【思路分析】想办法证明 S △PEB =S △PFD 解答即可．
【解答】解：作PM⊥AD 于M，交BC 于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN 都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE= 1
×2×8=8，2
∴S
阴
=8+8=16，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明
S△PEB=S△PFD．
6.【思路分析】首先根据正方形的性质求出D 点坐标，再将D 点横坐标加上3，纵坐标不变即可．
【解答】解：∵在正方形ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（-1，2）、（-1，0）、（-3，0），
∴D（-3，2），
∴将正方形ABCD 向右平移3 个单位，则平移后点D 的坐标是（0，2），
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化-平移，是基础题，比较简单．
7.【思路分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，
∴1 1
S 阴=
2 S 正方形ABCD=
2
，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．
8.【思路分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．
9.【思路分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质等知识点，能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键．
10.【思路分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；