2012年广州市中考数学试卷

2012年广东广州中考数学

一、选择题（共10小题；共50分）

1. 实数的倒数是

2. 将二次函数的图象向下平移个单位，则平移后的二次函数的解析式为

A. B. C. D.

3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是

A. 四棱锥

B. 四棱柱

C. 三棱锥

D. 三棱柱

4. 下面的计算正确的是

A. B.

C. D.

5. 如图，在等腰梯形中，，，，交于点，

且则梯形的周长是

A. B. C. D.

6. 已知，则

C. D.

7. 在中，，，，则点到的距离是

B. D.

8. 已知，若是任意实数，则下列不等式中总是成立的是

A. B. C. D.

9. 在平面中，下列命题为真命题的是

A. 四边相等的四边形是正方形

B. 对角线相等的四边形是菱形

C. 四个角相等的四边形是矩形

D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形

10. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，

若，则的取值范围是

A. 或

B. 或

或或

二、填空题（共6小题；共30分）

11. 已知，是的平分线，则度．

12. 不等式的解集是．

13. 分解因式：．

14. 如图，在等边中，，是上一点，且，绕点旋

转后得到，则的长度为．

15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．

16. 如图，在标有刻度的直线上，从点开始，以为直径画半圆，记为第个半圆；以

为直径画半圆，记为第个半圆；以为直径画半圆，记为第个半圆；以

为直径画半圆，记为第个半圆，，按此规律，继续画半圆．则第个半圆的面积是第个半圆面积的倍，第个半圆的面积为（结果保留）．

三、解答题（共9小题；共117分）

17. 解方程组

18. 如图，点在上，点在上，，．求证：．

19. 广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护局公布的 2006~2010

这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息回答：

（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是，极差是；

（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比较，增加最多的是年（填写年份）；

（3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数．

20. 已知，求的值．

21. 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分

别为，，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为，．先从甲袋中随机取出一

张卡片，用表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用表示取出的卡片上标的数值，把，分别作为点的横坐标、纵坐标．

（1）用适当的方法写出点的所有情况；

（2）求点落在第三象限的概率．

22. 如图，的圆心为，半径为，直线过点且平行于轴，点在

点的上方．

（1）在图中作出关于轴对称的，根据作图直接写出与直线的位置关系；

（2）若点在（1）中的上，求的长．

23. 某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费；每户每

月用水量如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过的部分则按每吨元收费．设某户每月用水量为吨，应收水费为元．

（1）分别写出每月用水量未超过吨和超过吨时，与间的函数关系式；

（2）若该城市某户月份水费平均为每吨元，求该户月份用水多少吨 ?

24. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴

交于点．

（1）求点，的坐标；

（2）设为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标；

（3）若直线过点，为直线上的动点，当以，，为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线的解析式．

25. 如图，在平行四边形中，，，为的中点，于点

，设（）．

（1）当时，求的长；

（2）当时，

（i）是否存在正整数，使得 ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（ii）连接，当取最大值时，求的值．

答案

第一部分

1. B

2. A

3. D

4. C 【解析】；

与不是同类项，不能合并；

，．

5. C

【解析】，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是等腰梯形，

，

梯形的周长为．

6. B 【解析】答案：B 解析：，且，

，，，，．故选 B

7. A 【解析】根据题意画出相应的图形如图所示，

过点作于点，

在中，，，

根据勾股定理得

又，

，

所以点到的距离是

8. B 9. C 10. D

【解析】由图象可得或时，．

第二部分

11.

【解析】，是的平分线，

．

12.

13.

14.

【解析】在等边中，，

，

绕点旋转后得到，

，

．

15.

16. ，

【解析】以为直径画半圆，记为第个半圆；

以为直径画半圆，记为第个半圆；

以为直径画半圆，记为第个半圆，

第，第个半圆的面积为，

第个半圆的面积是第个半圆的面积的倍．

根据已知可得出第个半圆的直径为，则第个半圆的半径为

第个半圆的面积为

第三部分

17.

得

解得

把代入得

解得

所以方程组的解是

18. 在和中，

（）．

．

19. （1）；

【解析】这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：，，，，，所以中位数是，极差是．

（2） 2008

【解析】2007 年与 2006 年相比，；

2008 年与 2007 年相比，；

2009 年与 2008 年相比，；

2010 年与 2009 年相比，，

所以增加最多的是 2008 年．

（3）这五年的全年空气质量优良天数的平均数为

（天）．

20. ，

，

21. （1）如下表：

点，共种情况．

（2）点落在第三象限共有两种情况，

点落在第三象限的概率是

22. （1）如图所示，即为所求作的圆，与直线相交．

（2）设直线与相交于点，

在中，；

在中，．

23. （1）当时，；

当时，．

（2） 5 月份水费平均为每吨元，用水量如果未超过吨，按每吨元收费．用水量超过了吨．

根据题意，得

解得

答：该户 5 月份用水吨．

24. （1）令，即，解得

，点的坐标为，．

（2）．

在中，．

设中边上的高为，则有，解得

如图，在坐标平面内作直线平行于，且到的距离，这样的直线有条，分别是和，则直线与对称轴的两个交点即为所求的点．

设交轴于，过作于，则，所以

设直线的解析式为，将，坐标代入，得到

解得

直线解析式为．

直线可以看做直线向下平移个长度单位）而形成的，

直线的解析式为，则的纵坐标为

．

同理，直线向上平移个长度单位得到，可求得．

综上所述，点坐标为，．

（3）

如图，以为直径作，圆心为．

过点作的切线，这样的切线有条．

连接，过作轴于点．

，，

，半径．

又，

在中，，，．

在中，，

，则，

点坐标为，直线过，．

设直线的解析式为，则有

解得

所以直线的解析式为．

同理，可以求得另一条切线的解析式为．

综上所述，直线的解析式为或．

25. （1），，

，即，

解得．

（2）（i）存在，使得．理由如下：

连接并延长交的延长线于点，

为的中点，

，

在平行四边形中，，

．

在和中，

．

，，

，

（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

，

，，点是的中点，

，，

，

．

在中，，

，

．

因此，存在正整数，使得；

（ii）设，

，

．

在中，；

在中，，（（i）中已证），

，

所以当，即点是的中点时，取最大值，

此时，．

所以