角平分线的解题模型
角平分线的模型
三角形中角平分线的基本模型
在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。下面举例说明。
【模型一】角平分线+垂直一边（点在线垂两边得全等）
若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；
【模型二】角平分线+斜线
若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。
【模型三】角平分线+垂线（角分垂等腰归）
若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形；
【模型四】角平分线+平行线（角分平等腰呈）
若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。
【模型五】角平分线+对角互补
若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD．
【模型六】夹角模型
BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，则：∠P=90°+
∠A ．
BP 、CP 分别是∠CBG 、∠BCD 的角平分线，则： ∠D=90°-∠A ．
BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的角平分线，则：∠P=∠A ．
模型：角平分线 + 垂直
（一）、与角的两边垂直——构全等
如果：OP 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，可以过P 点向OA 作垂线交于点N 。
那么：△NOP
≌△MOP
例题：
1、如图△ABC 中， ∠C=90o，AC=BC ，AD 是∠A 平分线。
求证：AC+CD=AB
P
A
N
B
A
O
M
2、已知如图2-3，△ABC 的角平分线ＡＥ、ＣＦ相交于点Ｏ。求证：∠ＡＢＣ的平分线也经过点Ｏ。
３、如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证：点F 在∠BAC 的平分线上。
4、已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。
（二）、与角平分线垂直——构等腰三角形
如果：OP 平分∠AOB ，PM ⊥OP ，可以延长ＭＰ交ＯＢ于点Ｎ。那么：△MON 为等腰三角形
A M
O
F
E
C
B
A
A
B
C
F
E
D
图2-7
D
C
B
A
例题：
1、已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 o ，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
2、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E 。求证：1
()2
BE AC AB =
-３、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝1800。
求证：DE ∥BC
4、(11呼市)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE=2AE ，若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积 。
图3-2
B
F
C
2
1F E
D
C
B
A
A
C
D
E
B
E
A B
B
A
模型二：角平分线 + 截线（一）、同向截线
如果：OP 平分∠AOB ，PM=PN ，可以过P 点向OA 、OB 作垂线分别交于点C 、点D 。
那么：△PCN ≌△PDM ，OM=ON
例题：
1、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC
2、如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．
求证：OE ＝OF ．
P
B
A O
C D
N
M O
F
E
C
B
A
3、已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，
DA=DB ，求证DC ⊥AC
（二）、异向截线
如果：OP 平分∠AOB ，PM=PN ，可以过P 点向OA 、OB 作垂线分别交于点C 、点D 。
那么：△PCN ≌△PDM ，∠ONP+∠OMP=180o。
例题：
１、已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC
２、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD
P
B
A O
C D
N
M
A
B
C
A B D
C
12
A C
D
３、如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，且∠EDF ＋∠BAF =180°。
求证：DE =DF .
4、如图，在四边形中，平分，过ABCD AC BAD ∠C 作
，
并且
，则
CE AB ⊥于E 1
()2
AE AB AD =
+等于多少？
ABC ADC ∠+∠5、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分BC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F.
（1）说明BE=CF 的理由；
（2）如果AB=，AC=，求AE 、BE 的长.
a b 模型三：角平分线+平行（一）、在角内与一边平行
如果：OP 平分∠AOB ， PM ∥OB ,那么：△OMP 为等腰三角形
例题：
P
B
A
O
M
E
D
G
F C B
A
E
D
C
B
A
1、已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外
角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论．
2、如图，若AD 平分∠BAC 平分线，过CE ∥AB 交AD 延长线于点E 。 求证：=AB AC BD
CD
3、如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。
4、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABD =30o ，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若
BD =2。
求CD 的长。
（二）、在角外与角平分线平行
C
A
D
Cv
B
E
C
A
B
O
E
D
如果：OP 平分∠AOB ，OP ∥MN
那么：△OMN 为等腰三角形，∠OMN=∠AOB
1
2例题：
1、如图，△ABC 中AB=AC ，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC 。求证：AD ∥BC
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 为BC 中点，过点E 作EF ∥DA 交AB 于点M ，交CA 延长线于点F ，CN ∥AB 交EF 延长线于点N 。求证：BM=CF
3、如图，△ABC 中，M 为BC 边上中点，AD 平分∠A ，ME ∥DA 交BA 延长线于点F 。
求证：（1）∠1=∠2 （2）、CF=（AB+AC ）1
2
P
B
A
O
N
M