数列放缩法应用

1.已知数列}{n a 中，n a =

n ，前n 项和为n S ，证明：n S <2 2.已知数列}{n a 中，n a =21n

，前n 项和为n S ，证明：n S <47

3.已知数列}{n a 中，n a =21n

，前n 项和为n S ，证明：n S <35

4.已知数列}{n a 中，n a =1

21+n ，前n 项和为n S ，证明：n S <4437

5.已知数列}{n a 中，n a =n n

n +2，前n 项和为n S ，证明：n S <2

6.已知数列}{n a 中，n a =n n 2

31-，前n 项和为n S ，证明：n S <23

7.已知数列}{n a 中，n a =122-n n

，求证：()311

<-∑=n

i i i a a

8..求证：

()2

)

2(14332212)1(+<+++?+?+?<+n n n n n n *∈N n 9..已知数列}{n a 中，n a =

1，n S 是数列}{n a 的前n 项和，证明：

()

n S n n 2112<<-+

10.已知数列}{n a 满足1a =1，1+n a =2n a +1，（1）求}{n a 的通项公式；（2）证明：2

1213221n

a a a a a a n n n <+++<

-+ 11.已知数列}{n a 前n 项和=n S 3

223

1+?-+n n a

（1）求首项1a 与通项n a ；（2）设n n

n S T 2=，证明：231

<∑=n

i i T

练习 1．证明：()

121513112

22<-++++

n 2．已知数列}{n a 中，n a =2

31-n

，前n 项和为n S ，证明：n S <1417 3．求证：1

21265

4321+<

-????n n n 4. 求100

1211+

+++

= S 的整数部分

总结：放缩之后的数列属于以下三种情况的解法：裂项相消模型，等比数列，错位相减模型，等差数列模型

已知数列}{n a 前n 项和n S 满足=n S ()n n a 12-+，1≥n ；（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对任意的整数m ，都有

11154<+++m a a a 。

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，，所以（2）因为，所以，所以； 2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

数列放缩法

数列放缩法 1. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，且1a =2，*1,4N n a a s n n n ∈?=+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列? ?????21n a 的前n 项和为n T ，求证：21＜＜T 44n +n n 。 2. 已知数列{}n a 和{}n b 满足()()* 3212N n a a a a n b n ∈=Λ。若{}n a 为等比数列，且21 =a ，236b b +=。（1）求数列n a 和n b 。

（2）设数列() *11N n b a c n n n ∈-=。记数列{}n c 的前n 项和n s 。（1）求n s ；（2）求正整数k ，使得对任意实数*N n ∈均有n k s s ≥。 3. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，满足：() *22N n n a s n n ∈-=。（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}()n n n T a b ,2log 2+=为数列??????+2n n a b 的前n 项和，求证21≥n T 。

4.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为s n ，且n s 满足()() *222,033N n n n s n n s n n ∈=+--+-。（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有 ()()()3 1＜1111112211++++++n n a a a a a a Λ。

练习：1.设数列{}()Λ,3,2,1=n a n 的前n 项和满足,21a a s n n -=且321,1,a a a +成等差数列。（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列? ?????n a 1的前n 项和为n T ，求使得10001＜1-n T 成立的n 的最小值。

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

数列难题放缩法的技巧

数列难题放缩法的技巧一、基本方法 1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3 －b 3 ＝a 2 －b 2 ，求证143 ＜＋＜a b 。例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?=Λ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目

数列综合应用(放缩法)

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解 1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 1 1213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈；（1）求证：数列{} 2n s 是等差数列；（2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+；（1）求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++；（1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<

高三数学数列放缩法

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

∴． 3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

实用文档之(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

实用文档之"数列和不等问题（教师版）" 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高三数列列项求和和放缩法专题

（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++ 基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等差，分别求奇数项通项，偶数项通项。例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____． (2)积型：)(1n f a a n n =?+ 基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反．例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n n n a a )2 1(1=?+，则数列}{n a 的通项公式为________．特别地： (1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。递推公式为：?? ?=+=+c a a a a n n 11 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等． (2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。递推公式为：?? ?=?=+p b b b b n n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等． 9.周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例如：已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______. 10.取对数法形如r n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，2 12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 11.换元法：适用于含有根式递推关系式类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例如.已知数列}{n a 中，111 (14116 n n a a a +=+=，，求数列}{n a 的通项公式.

数列放缩法应用

1.已知数列}{n a 中，n a = 21 n ，前n 项和为n S ，证明：n S <2 2.已知数列}{n a 中，n a =21n ，前n 项和为n S ，证明：n S <47 3.已知数列}{n a 中，n a =21n ，前n 项和为n S ，证明：n S <35 4.已知数列}{n a 中，n a =1 21+n ，前n 项和为n S ，证明：n S <4437 5.已知数列}{n a 中，n a =n n n +2，前n 项和为n S ，证明：n S <2 6.已知数列}{n a 中，n a =n n 2 31-，前n 项和为n S ，证明：n S <23 7.已知数列}{n a 中，n a =122-n n ，求证：()311 <-∑=n i i i a a 8..求证： ()2 ) 2(14332212)1(+<+++?+?+?<+n n n n n n *∈N n 9..已知数列}{n a 中，n a = n 1，n S 是数列}{n a 的前n 项和，证明： () n S n n 2112<<-+ 10.已知数列}{n a 满足1a =1，1+n a =2n a +1，（1）求}{n a 的通项公式；（2）证明：2 3 1213221n a a a a a a n n n <+++< -+ 11.已知数列}{n a 前n 项和=n S 3 223 13 4 1+?-+n n a （1）求首项1a 与通项n a ；（2）设n n n S T 2=，证明：231 <∑=n i i T 练习 1．证明：() 45 121513112 22<-++++ n 2．已知数列}{n a 中，n a =2 31-n ，前n 项和为n S ，证明：n S <1417 3．求证：1 21 21265 4321+< -????n n n 4. 求100 1 3 1211+ +++ = S 的整数部分

数列放缩篇(万能的数列放缩法——数学归纳法)

万能的数列放缩法——数学归纳法无穷等比放缩关注两点 1、通项呈指数形式增大或减少； 2、无法通过裂项放缩数学归纳法标准三部曲第一步：验证首项1 n成立 = 第二步：假设当k n=时成立第三步：证明当1 =k n时也成立 + 什么时候使用归纳放缩？ 1、递推式； 2、矛盾式； 3、求和式；

例1、（全国卷）设数列}{n a 满足，121+-=+n n n na a a ，Λ,3,2,1=n （1）当21=a 时，求}{n a 的一个通项公式。（2）当31≥a 时，证明对所有的11≥a ，有（i ）2+≥n a n ; （ii ） 2 111111111321≤++++++++n a a a a Λ;

例2（2018年浙江）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121?++∈=-+N n a a a n n n ．记n n a a a S +++=Λ21．) 1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ΛΛ．求证：当?∈N n 时，（Ⅰ）1+n S n ；（Ⅲ）3

例3、（全国卷）求证：2 )2()1(32212)1(+<+?++?+?<+n n n n n n Λ

A a f a f a f n <++)()()(21Λ )()()()(21n g A a f a f a f n ?<++Λ 如何求)(n g （1）)1()1(g A f ?< （2）)1()()()1(+-<-+n g n g n f n f 例4、求证： 89131212111<+++++++n n n n Λ

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- 2. ==>= 2)==<= =<= == 4. =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1 x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，且n c =（1）求n c ；（2）证明：4444123111174n c c c c ++++< 例2. 证明：16117<+++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈；（1）求证：数列{} 2n s 是等差数列；（2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b ==++++ ，证明：312n T <<-

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+；（1）求n a ；（2 2++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++；（1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162n c c c c ≤++++<

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧汇总

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1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例 4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证： n n x a x a x a +++Λ2211≤1. 2．利用有用结论例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。例7 已知1 1211 1,(1).2n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ）例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+

高考数学数列放缩法技巧全总结

- 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 2 2 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版

证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证:351 12 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 11 1 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 1 1 1)11)((1122222 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证: )2()12(2167)12(1513112 22≥-->-++++ n n n Λ

数列不等式(放缩法)

用放缩法证明不等式的方法与技巧一．常用公式 1． )1(11)1(12-<<+k k k k k 2． 1 21 12-+<<++k k k k k 3．22 k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<，21n n n >+-，111n n +->-，2(1)n n n n +>= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4）2212 2(1)2(1)11n n n n n n n n n n n +-= <=<=--++++- （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -）（7）1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8）111111123n n n n n n n +++???+>++???+==等等。三．常见题型（一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34 n T <

数列综合应用放缩法

数列综合应用放缩法 CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解 1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

2. 先放缩再求和 ①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=. (1) 求证：2214n n n a a S ++<； (2)