高中数学必修4知识点总结
必修4基础知识汇整
第一部分 三角函数与三角恒等变换
1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1180
π
=弧度，1弧度180()π='5718≈.
⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211
||22
S R Rl α=
=. 2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；
x 叫作α的余弦，记作cos α；
y
x
叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：
sin ,cos ,y x r r αα==tan y
x
α=.
三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：
正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT .(过定点A （1，0）) 4
六组诱导公式统一为“()2
k Z α±∈”
，记忆口诀：奇变偶不变（对k 而言），符号看象限.
5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos
α
αα
=
（商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切：① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；
② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=； ③ tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=.
7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；
② 2222cos2cos sin 2cos 112sin α
αααα=-=-=-； ③ 22tan tan 21tan α
αα
=-.
变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2
α
α+=. （降幂）
8．辅助角公式：sin cos )y a x b x x x =+)x ?+. 万能公式：a
a a a a cos 1sin sin cos 12tan
+=
-= 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，
表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为
2
T
π
ω
=，表示物体往返运动一次所需的时间；
频率为
1
2
f
T
ω
π
==，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x
ω?
+为相位；?为初相.
（会根据图像求函数的解析式）
函数
sin
y x
=cos
y x
=tan
y x
=
图
象
作图：五点法作图：五点法定
义域（－∞，＋∞）（－∞，＋∞）{|,}
2
x x k k Z
π
π
≠+∈
值
域
［－1，1］［－1，1］（－∞，＋∞）
极值当x＝2kπ＋
2
π
,y max=1；
当x＝
2
-
2
π
πk y min=－1
当x＝2kπ,y max＝1；
当x＝2kπ＋π,y min＝1 无
奇
偶
奇函数偶函数奇函数周
期
2kπ2kπkπ最
小正周期
2π
（
|
|
2
ω
π
=
T）
2π
（
|
|
2
ω
π
=
T）
π
（
|
|ω
π
=
T）
对
称轴x=,
2
π
π
k
+πk
x=无
对
称中心（kπ,0）(,0
2
π
π
k
+) (0,
2
πk
)
单调性[2,2]
22
k k
ππ
ππ
-+递增
3
[2,2]
22
k k
ππ
ππ
++递减
[2,2]
k k
πππ
-递增
[2,2]
k k
πππ
+递减
(,)
22
k k
ππ
ππ
-+递增
11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的性质及研究思路：
先把已知函数转化为sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的形式 ① 最小正周期2T π
ω
=
，值域为[,]A A -.
② 五点法图：把“x ω?+”看成一个整体，取30,
,,
,222
x π
π
ω?ππ+=时的五个自变量
值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线：sin y x =??????→左移个单位
sin()y x ?=+ ω
?????→1
横坐标变为倍 sin()y x ω?=+A ?????
→纵坐标变为倍
sin()y A x ω?=+. 或：sin y x = ω
?????→1
横坐标变为倍
sin y x ω=?
ω
?????
→左移个单位
sin ()y x ?ωω
=+A ?????
→纵坐标变为倍
sin()y A x ω?=+. （先伸缩后平移这种情况必须保证x 前面的系数为1）
④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的增区间，把“x ω?+”代入到sin y x =增
区间[2,
2]()22k k k Z π
π
ππ-
++∈，即求解22()22
k x k k Z π
π
πω?π-
+≤+≤
+∈.减区
间同理（注：求单调区间必须保证x 前面的系数为正）
⑤对称轴：sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的对称轴，把“x ω?+”代入到sin y x =对
称轴x=
,2
ππ
k +（Z k ∈）
，即求解x ω?+=,2
ππ
k +（Z k ∈）
。y=Acos(x ω?+)同理 ⑥对称中心：sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的对称中心，把“x ω?+”代入到sin y x =对称中心（k π,0）（Z k ∈），即求解x ω?+= k π，（Z k ∈）。y=Acos(x ω?+)同理
⑦最大，最小值（或值域）：先把函数转化为sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的形式 (1)当x 的范围是全体实数，那么当x ω?+=2
2π
π+
k 时，y max =A,
当x ω?+=2-
2π
πk 时，y min =－A
(2)当x 的范围是指定的，就须先根据x 的范围确定x ω?+的范围，再根据x ω?+的范围画图来确定sin(x ω?+)的取值范围，在进行计算 y=Acos(x ω?+)同理
⑧ 整体思想：把“x ω?+”看成一个整体，代入sin y x =，y=cosx 与tan y x =的性质
中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，对称轴，对称中心或取最大值与最小值时的自变量取值.
余弦型函数y=Acos(x ω?+),正切型函数y=Atan(x ω?+)的性质及研究思路同理（按第10点的表所列的性质）
第二部分 平面向量
平面向量
1. 向量与数量：在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为a 或AB （起点A ，终点B ）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为||a 或||AB . 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0；长度等于1个单位的向量称为单位向量.
2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作//a b ，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作a b =. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -，规定零向量的相反向量仍是零向量.
3. 向量加减法：
向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.
如图所示，已知非零向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则向量
b a AB OA OC OA OB +=+=+=.
若作,OA a OC b ==，则向量b a OC OA CA -=-=.
向量的加减法满足：交换律a b a b +=-；结合律()()a b c a b c ++=++. 向量加法：向量首尾相接，结果首尾连.
向量减法：向量起点相同，结果第二个向量终点指向第一个向量起点
4. 向量数乘运算（结果仍是一个向量）：实数λ与向量a 的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作a λ，并规定：① ||||||a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与
a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=. 数乘运
算满足：
分配律()u a a ua λλ+=+、()a b a b λλλ+=+；结合律()()a a λμλμ=. 对于任意向量,a b ，以及任意实数12,,u u λ，恒有1212()u a u b u a u b λλλ±=±. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+. 把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（不共线的两个向量都可以作为一组基底）
向量夹角（起点须相同）：对两个非零向量,a b ，在平面内任取一点O ，作
,OA a OB b ==，则AOB θ=∠叫做向量a 与b 夹角. 当a 与b 夹角是90°时，a 与b 垂
直，记作a b ⊥.
正交分解：依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ与22a λ，使1122a a a λλ=+. 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，则对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+. 即平面内的任意向量a 都可由x 、y 唯一确定，把有序数对（x ,y ）叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，式子(,)a x y =叫做向量的坐标表示.
6. 平面向量的数量积运算（结果是一个实数）：θcos ||||b a b a =?，其中θ是a 与b 的夹角，||cos a θ叫做向量a 在b 方向上的投影.b a ?的几何意义：数量b a ?等于a 的长度
||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积. 数量积运算满足：
交换律?=?；数乘结合律)()()(b a b a b a λλλ?=?=?； 分配律c a b a c b a ?+?=+?)(.
把?记作2
a ，有性质22||a a =，从而2
||a a =. 7. 平面向量的坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则
加减法：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--；
数乘：11(,)a x y λλλ=；向量积：2121y y x x +=?；模：21||a x =+ 距离：2||||(AB d AB b a x ==-=-（终点坐标减起点坐标） 夹角：21
1
cos ,||||
a b
a b a b x y
<>=
=+.
8. 向量共线：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，其中0b ≠，若,a b 共线，当且仅当存在实数
λ，使a b λ=，即//a b a b λ?=12210x y x y ?-=. 由此可证明平行问题、三点共线等.
9. 向量垂直：对于平面内任意两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥?=. 设11(,)a x y =，
22(,)b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=. 由此可证明一些垂直问题.
2(AB x x =-||||a b 或转化为两个非零向量,a 的数量积为b 共线，即a 11. 向量法解决平面几何问题三步曲：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.