人教版高中数学选修4-4课件第二讲一第2课时圆的参数方程
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
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四 柱坐标系与球坐标系简介
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第二讲 参数方程
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0002页 0066页 0118页 0187页 0243页 0338页
引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版2019年高中数学选修4-4教学案： 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程_含答案
第2课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)在t 时刻，M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．[问题思考]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即(x R )2＋(yR)2＝1，令⎩⎨⎧xR ＝cos θ，y R＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ.(0≤θ<2π)点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M①当M 在x 轴上方时，∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ②当M 在x 轴下方时，∠MO ′x ＝－2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos （－2φ），y ＝－r sin （－2φ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ③当M 在x 轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数且－π2≤φ≤π2)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，然后利用已知条件中的参数分别表示x ，y ，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．设中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ.它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．2．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ（cos θ＋sin θ），y 1＝sin θ（cos θ＋sin θ），(θ为参数) 即为所求的参数方程．已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上的动点，(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．(1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋π3)＋1∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1.即3x ＋y 的取值范围为[－1，3]． (2)∵x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0， ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin (θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C ，求在曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标．解：∵OP 2＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋23sin θ＋2cos θ＝5＋4sin (θ＋π6)．当θ＝2k π＋43π，k ∈Z 时，OP 最小，此时点P 的坐标为(12，32)．高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．[考题印证]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图象可知直线l 和圆C 的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2，0)．2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0，0)，半径r ＝2，点(0，0)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95<2，∴直线与圆相交，而(0，0)点不在直线上． 3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎨⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ解析：选C 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ.P (x ，y )则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.∴该参数方程表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． 答案：圆6．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：[1－2，1＋2]7．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．解析：由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2. 答案：－1＋3 28．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心，由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1 ∴当sin (θ＋π4)＝1时t max ＝2＋1.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
第二讲 参数方程知 识归纳 课件(人教A选修4-4)
x＝5cos θ， 参数方程 y＝5sin θ
π π (－ ≤θ≤ )表示的曲线是 2 2
π π 化为普通方程是：x ＋y ＝25，∵－ ≤θ≤ ， 2 2
2 2
∴0≤x≤5，－5≤y≤5. ∴表示以(0,0)为圆心，5 为半径的右半圆．
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ห้องสมุดไป่ตู้ [例 2]
3 x＝ t＋1， 将参数方程 5 (t 为参数)化为普通方程． y＝t2－1
(t 为 参 数 ) 与 曲 线
(α 为参数)的交点个数为________．
解析：直线的普通方程为 x＋y－1＝0，圆的普通方程为 2 x ＋y ＝3 ， 圆心到直线的距离 d＝ ＜3， 故直线与圆的 2
2 2 2
交点个数是 2.
答案：2
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2．(2012· 湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
x＝t＋1， 曲线 y＝t－12，
(t 为参数)相交于 A， 两点， B 则线段 AB
的中点的直角坐标为________．
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π 解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝ ，转化为直角坐标 4 方程为 y＝x(x≥0)，曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程 得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线段 AB 的中点坐标 5 5 为( ， )． 2 2
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考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对 本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与 圆或与圆锥曲线的有关的问题．
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真题体验
x＝2＋t， 1 ． (2012· 京 高 考 ) 直 线 北 y＝－1－t x＝3cos α， y＝3sin α
第二讲 一 第二课时圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
(t 为参数)π≤t＜2π. ( θ 为参数)0≤θ＜2π.
x＝3＋15cos θ， (3) y＝2＋15sin θ，
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x＝3cos θ， 解析：(1)由 y＝3sin θ
得 x2＋y2＝9.
π 又由 0＜θ＜2，得 0＜x＜3,0＜y＜3， ∴所求方程为 x2＋y2＝9(0＜x＜3 且 0＜y＜3)． 这是一段圆弧(圆 x2＋y2＝9 位于第一象限的部分)． x＝2cos t， (2)由 （t 为参数）得 x2＋y2＝4. y＝2sin t， 由 π≤t<2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0. ∴所求圆方程为 x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)． 这是一段半圆弧(圆 x2＋y2＝4 位于 y 轴下方的部分包括端点). x＝3＋15cos θ， (3)由参数方程 （θ 为参数）得(x－3)2＋(y y＝2＋15sin θ， －2)2＝152.由 0≤θ＜2π 可知这是一个整圆弧．
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∵|AB|＝10，
x＝5cos θ， ∴圆的参数方程为 y＝5sin θ
(θ 为参数)．
∵|AC|＝|BD|＝4. ∴C，D 两点的坐标为 C(－1,0)，D(1,0)． ∵点 P 在圆上，所以可设点 P 的坐标为(5cos θ,5sin θ). ∴|PC|＋|PD| ＝ 5cos θ＋12＋5sin θ2＋ 5cos θ－12＋5sin θ2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ2 ＝ 52＋2 262－100cos 2θ. π 当 cos θ＝ 时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. 2 ∴|PC|＋|PD|的最大值为 2 26. 金品质•高追求 我们让你更放心！
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
3．参数方程x＝11－＋tt22，(t 为参数)，化为普通方程为 y＝1＋2tt2
() A．x2＋(y－1)2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．x2＋y2＝1
1－t2 1－x 解析：x＝1＋t2，1＋x＝t2
代入
y＝1＋2tt2，
|1－（－2）＋m|
则
2
＝2，解得 m＝－3±2 2.
类型 2 利用圆的参数方程求轨迹
[典例 2] 如图，圆 O 的半径为 2，P 是圆上的动点， Q(6，0)是 x 轴上的定点，M 是 PQ 的中点．当点 P 绕点 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程．
解：设点 M 的坐标为(x，y)，∠POQ＝θ，取 θ 为参
(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为 ___xy_＝＝__yx_00＋＋__rr_sc_ion_s_θθ_，__(_θ_为__参__数__)_．__
温馨提示 圆的参数方程不唯一，选取的参数不同，
相应的参数方程也不同．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解：(1)消去参数 t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y
＋2)2＝9. 由 2ρsin(θ－π4)＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，
2．利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值 和取值范围问题．
求最值问题时，利用圆的参数方程来将问题合理地转 化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角 函数的值域求解，解决此类问题还要注意数形结合思想的 应用．
2018高中数学人教a版选修4-4课件：第二讲 一 2. 圆的参数方程
解析：设 P(2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为 36.
答案：A
二、填空题 5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．
x＝2cos θ， 2 2 解析：圆x ＋y ＝4的参数方程为 y＝2sin θ，
OM 的 逆 时针旋转到_____ 义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O____
位置时，OM0 转过的角度． (3) 若圆心在点 M0(x0 ， y0) ，半径为 R ，则圆的参数方程为
x＝x0＋Rcos θ y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π)．
求圆的参数方程
[例1]
x＝2cos θ， 解析：将 y＝2sin θ
B．1个 D．3个
化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆
1 2 心，2为半径的圆，由于 ＝ <2＝r，故直线与圆相交， 2 2 有两个公共点．
答案：C
3．直线：3x－4y－9＝0与圆： 关系是 A．相切 C．直线过圆心
x＝2cos θ y＝2sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
2．已知点P(2,0)，点Q是圆
x＝cos θ y＝sin θ
上一动点，求PQ中点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ y＝ ， 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
一
理解教材新知
第 二 讲
2 . 圆 的 参 数 方 程
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4
-6-
四 渐开线与摆线
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × )
(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数),则此渐开线对应的基圆的直径
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
思维辨析
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变式训练 若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐
标可能是( )
A.π B.5π C.10πD.12π
������ = 5������-5sin������,
π4,则对应
的点的直角坐标分别为 .
答案：
2π 3
-√3,1
,
π 2
-√2,2-√2
-12-
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
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选修4-4 2.1.2 圆的参数方程
1. 圆的参数方程概念
圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作 匀速转动时,物体中各个点都作匀速圆周运动. 那么,怎样刻画运动中点的位置呢？
yrMo NhomakorabeaM0
x
1. 圆的参数方程概念
如果在时刻t,点M转过的角度是,坐标是M(x,y), 那么＝t.设|OM|＝r, 那么由三角函数定义有
x y cos t ,sin t , r r x r cos t 即 (t为参数) y r sin t
y
r
M
o
M0
x
这就是圆心在原点O,半径为r的 圆的参数方程.其中参数t有明确的物 理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).
圆的参数方程中参数的几何意义 考虑到＝t,也可以取为参数,于 是有 x r cos y ( 为参数) y r sin M
这也是圆心在原点O, 半径为r的圆的参数方程.其 中参数的几何意义是OM0 绕点O旋转到OM的位置时, OM0转过的角度.
r
o
M0
x
2. 参数法求轨迹方程
例2.如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴 上的定点,M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时,求 点M的轨迹的参数方程.
解：设点M 的坐标是( x, y )，xOP , 则点P的坐标是(2 cos , 2 sin ), 由中点坐标公式得： 2 cos 6 x cos 3, 2 2 sin y sin 2 所以，点M 的轨迹的参数方程是 x cos 3 ( 为参数) y sin
2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 一 第二课时 圆的参数方程
1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 ．
2．若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝rcos θ，
___y＝___rs_i_n_θ____(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点
O 逆 时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度． 3．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为__xy_＝＝__yx_00＋_＋_R_R_sc_ion_s_θθ_，____0_≤__θ_＜___2_π_.
用参数方程表示为xy＝＝23＋＋scions
θ， θ
(θ 为参数)，
由于点 P(x，y)在圆上，
∴可设点 P 为(3＋cos θ，2＋sin θ)，
(1)x2＋y2＝(3＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2 ＝14＋4sin θ＋6cos θ ＝14＋2 13sin(θ＋φ)(其中 tan φ＝32)， ∴x2＋y2 的最大值为 14＋2 13，最小值为 14－2 13. (2)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θ＝5＋ 2sin(θ＋π4)， ∴x＋y 的最大值为 5＋ 2，最小值为 5－ 2.
1．已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程． 解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 得(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ， 所以参数方程为xy＝＝3－＋1s＋incθos θ ，(θ 为参数)．
探究二 与圆的参数方程有关的轨迹问题
θ， θ
(θ∈[0,2π))．故
人教版高中数学选修4-4第二讲第二节5圆的参数方程(共18张ppt)
思考：圆心为C（a,b),半径为r的圆的参数 方程是什么？
y b
v O
P r y
C
(x,y)
a
x
x
探究点1 圆的参数方程
圆心为C（a,b)， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
y b
v O
P(x,y) r y
C
a
x
∴该圆的圆心为(-1,3),半径为2. x 1 2 cos (θ为参数) ∴参数方程为 y 3 2 sin
练习：已知圆方程为 x2+y2=2x，写出它的参数方程.
x 1 cos 解： (为参数） y sin
比较圆的标准方程与参数方程，思考用参数 方程表达圆时有什么优点？
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线 的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参数. 2、求曲线的参数方程的步骤有哪些?
(1)建系；(2)设点;(3)选参;(4)列式;(5)证明.
x 2 cos (为参数) 2： y 2 sin _____________
x 5 cos 1 练习2 : 若圆的参数方程为 (为参数), y 5 sin 1 2+(y+1)2=25 ( x 1) 则其标准方程为_____________
答案： [1,3]
课堂训练
x 2 cos 1、P( x, y )是曲线 (为参数）上一点，则 y sin ( x 5) 2 ( y 4) 2的最大值为（ A ）
《2.2.2 圆的参数方程》课件2-优质公开课-人教B版选修4-4精品
当 堂 双 基 达 标
且平行于极轴的直线；(2)过
课 堂 互 动 探 究
π 3π A 3，3 且和极轴成 4 的直线．
菜
单
【自主解答】 (1)如图 1 所示，在所求直线上任意取点 M(ρ，θ)，过 M 作 MH⊥Ox 于 H，连 OM.
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
菜
单
【自主解答】
课 前 自 主 导 学
∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，
课 堂 互 动 探 究
π π ∵A2，4，∴MH＝2· sin ＝ 4
2，在 Rt△OMH 中，MH
π A2，4平行于极轴的
＝OMsin θ，即 ρsin θ＝ 2，所以，过 直线方程为 ρsin θ＝ 2.
菜 单
课 前 自 主 导 学
(2)如图 2 所示，在所求直线上任取一点 M(ρ，θ)，
当 堂 双 基 达 标
表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知
课 堂 互 动 探 究
识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的 一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转 化而来．
菜
单
课 前 自 主 导 学
2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？
【提示】
(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一
当 堂 双 基 达 标
的，但一般约定只在规定范围内求值； (2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；
课 堂 互 动 探 究
(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价 性，通常总要用ρ去乘方程的两端.
菜
单
课 前 自 主 导 学
求直线的极坐标方程
圆的参数方程j及应用课件--高中数学人教A版选修4-4第二讲
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2cos 6 3 cos , y 2sin sin
2
2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x
二、1. 圆圆心的为参原数点方半程径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义
是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的 角度
圆心为O1(a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程x yFra biblioteka b
r r
cos sin
(为
参
数)
y
P
b
ry
v
O
|102－＋0＋－11|2＝
1＝ 2
22，
所以点
P
到直线
l
距离的最大值为
2＋
2 2.
4．在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋ 7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为 P(x，y)，求 2x－y 的取值范围．
[解] 由题设得xy＝＝43csionsθθ，， (θ 为参数，θ∈R)．
[解] (1)曲线 C1 上的动点 M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原 点 O(0,0)，
设 P 的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得 x＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点 P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
高中数学人教A版选修4-4课件：2.1曲线的参数方程
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首 页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
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解：(1)消去参数 t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y
＋2)2＝9. 由 2ρsin(θ－π4)＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，
讲 参数方程
一、曲线的参数方程 第 2 课时 圆的参数方程
[学习目标] 1.掌握圆的参数方程，明确圆参数方程 中参数的几何意义(重点)． 2.会用圆的参数方程解一些 数问题(难点、重点)．
[知识提炼·梳理] x＝rcos θ， (1)如图所示，圆 O 的参数方程为_y_＝__r_s_in__θ_，___， 其中 θ 为参数．θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转 到 OM 的位置时，OM0 转过的角度．
(1)圆
x2＋y2＝25
的参数方程是xy＝＝55csions
θ， θ (θ
为参
数)．( )
(2)圆(x＋6)2＋y2＝4
的参数方程是xy＝＝26s＋in2θcos
θ， (θ
为参数)．( )
(3)参数方程xy＝＝44scions
θθ，(θ∈[0，2π)与xy＝＝44scions
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
则|PQ|＝
cos
θ－122＋sin
θ－
232＝
2－ 3sin θ－cos θ＝ 2－2sinθ＋π6
故|PQ|max＝ 2＋2＝2. 答案：2
类型 1 圆的参数方程与普通方程互化(自主研析)
[典例 1]
(1)
已
知曲线
的参数
方
程
x＝1＋2cos t， y＝－2＋2sin t
(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图
(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为 ___xy_＝＝__yx_00＋＋__rr_sc_ion_s_θθ_，__(_θ_为__参__数__)_．__
温馨提示 圆的参数方程不唯一，选取的参数不同，
相应的参数方程也不同．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
[变式训练] (2015·福建卷)在平面直角坐标系 xOy
中，圆 C 的参数方程为xy＝＝－1＋2＋3co3ssitn，t (t 为参数)．在极 坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以 原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方 程为 2ρsin(θ－π4)＝m(m∈R)．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
所以 0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. 所以所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2. (2)由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0 得 (x＋1)2＋(y－3)2＝1， 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
y＝5sin θ
确的．
(2)由圆方程知圆心为(－6，0)，半径为 2，故参数方
x＝－6＋2cos θ，
程为
故不正确．
y＝2sin θ，
x＝4cos θ，
(3)
θ∈[0，2π)表示以原点为圆心，半径为
y＝4sin θ
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
(θ 为参数)．
y＝3＋sin θ
x＝－1＋cos 答案：y＝3＋sin θ
θ， (θ
为参数)(答案不唯一)
5．已知点
P12，
23，Q
是圆xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)
上的动点，则|PQ|的最大值是________．
解析：由题意，设点 Q(cos θ，sin θ)，
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
(θ 为参数)．
y＝3＋sin θ
归纳升华 1．把圆的参数方程化为普通方程，就是将参数方程 中的参变量消去，常利用 sin2θ＋cos2θ＝1 进行消参，但 要注意消去参数时变量范围的一致性．
2．将一般方程标准化，引入参数，化为参数方程．将 参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围确定参数 f(t) 和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
x＝5cos θ，
中 θ 的几何意义是不同的，但参数方程是正
圆的参数方程知 D 正确． 答案：D
3．参数方程x＝11－＋tt22，(t 为参数)，化为普通方程为 y＝1＋2tt2
() A．x2＋(y－1)2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．x2＋y2＝1
1－t2 1－x 解析：x＝1＋t2，1＋x＝t2
代入
y＝1＋2tt2，
形；
(2)已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它
化为参数方程．
x＝1＋2cos t， 解：(1)由曲线的参数方程
y＝－2＋2sin t， x－1＝2cos t， 得 y＋2＝2sin t. 因为 cos2t＋sin2t＝1， 所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，